精品解析：山东省青岛市第五十八中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

保密★启用前 2024—2025学年第一学期期中检测 高一数学试卷 2024.11 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为选择题，共58分；第Ⅱ卷为非选择题，共92分，满分150分，考试时间为120分钟． 2．第Ⅰ卷共2页，请将选出的答案标号（A、B、C、D）涂在答题卡上．第Ⅱ卷共2页，将答案用黑色签字笔（0.5mm）写在答题纸上． 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据Venn图，结合集合的运算，可得正确结果. 【详解】易知图中阴影部分所表示的集合为  ， 易知  ，  ， 所以 . 故选：C 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由特称命题否定定义可得答案. 【详解】由题可得命题“”的否定是“”. 故选：D 3. 如图，向放在水槽底部的烧杯注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度h与注水时间t之间的函数关系，大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用水槽的形状，探究水槽中水面上升高度h与注水时间t之间的函数关系，从而确定图象． 【详解】开始向水槽底部烧杯注水的一段时间h=0，烧杯注满后，水开始进入水槽中直至到烧杯顶部时，h的变化较快，继续注入时的变化较慢． 故选B． 4. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数函数及二次函数单调性求出单调增区间. 【详解】函数中，，解得或， 函数在上单调递减，在上单调递增， 而函数在上单调递增， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递增区间是. 故选：D 5. 若函数，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据根式以及对数的性质求解的定义域，即可求解的定义域． 【详解】的定义域需要满足：，解得， 故的定义域为， 的定义域需满足，解得， 故的定义域为. 故选：A 6. 已知定义域为的偶函数满足：对任意的，都有．若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件得到在上单调递增，再利用函数是偶函数，得到在上单调递减，根据单调性，得到不等式，解出即可. 【详解】因为，所以在上单调递增． 因为为偶函数，所以在上单调递减． 若，则或，解得或． 故选：C. 7. 已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求解的值域，结合的值域为，分析的单调性、值域即可. 【详解】因为函数在上单调递增， 故， 又因为的值域为， 则需满足， ，解得. 故选：B. 8. 为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：汽车驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL.据仪器监测，某驾驶员喝了二两白酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中每小时末的酒精含量都比上一个小时末减少25%，那么此人在开车前至少要休息（参考数据：，）（ ） A. 4.1小时 B. 4.2小时 C. 4.3小时 D. 4.4小时 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意列不等式，然后利用对数运算公式解不等式即可. 【详解】设经过小时，血液中的酒精含量为，则. 由，得，则.因为，则 ，所以开车前至少要休息4.2小时. 故选：B. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题中的真命题为（ ） A. 命题“”的否定是“对于” B. 已知，则“”是“”的必要不充分条件 C. 若幂函数的图象经过点，则它的单调递增区间是 D. 函数与函数的定义域和值域都相同 【答案】BCD 【解析】 【分析】 利用命题的否定判断；充要条件判断；幂函数的单调性判断；函数的值域与定义域判断； 【详解】解：对于，命题“，”的否定是“对于，”，所以不正确； 对于，已知，，则“”则，推不出“”，反之若“”则，可以得到成立， 所以已知，，则“”是“”的必要不充分条件，所以正确； 对于，若幂函数的图象经过点，函数的解析式为：，则它的单调递增区间是，所以正确； 对于，函数与的定义域为，值域，函数的定义域为，值域，所以正确． 故选：． 10. 已知关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 的最小值为 【答案】AB 【解析】 【分析】已知关于x的不等式的解集为，则，用a表示出b、c，然后结合一元二次不等式的解法判断B选项，判断C，将化简为即可利用基本不等式进行求解判断D. 【详解】因为关于x的不等式的解集为， 所以，4是方程的两根，且，故A正确； 所以，解得， 所以，即，则，解得， 所以不等式的解集为，故B正确； 而，故C错误； 因为，，，所以， 则， 当且仅当，即或时，等号成立， 与矛盾，所以取不到最小值，故D错误. 故选：AB 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的值域为 C. 函数的单调递增区间为 D. 设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】 作出函数的图象，先计算，然后计算，判断A，根据图象判断BC，而利用参变分离可判断D． 【详解】画出函数图象.如图， A项，，， B项，由图象易知，值域为 C项，有图象易知，区间内函数不单调 D项，当时，恒成立， 所以即在上恒成立， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 所以. 当时，恒成立，所以在上恒成立， 即在上恒成立 令， 当时，，当时，，故； 令， 当时，，当时，，故； 所以. 故在R上恒成立时，有. 故选：ABD． 【点睛】关键点点睛：本题考查分段函数的性质，解题方法是数形结合思想，作出函数的图象，由图象观察得出函数的性质，绝对值不等式恒成立，可以去掉绝对值符号，再利用参变分离求参数的取值范围． 第Ⅱ卷 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围是______． 【答案】． 【解析】 【分析】由题意得恒成立，结合二次不等式恒成立对a进行分类讨论进行求解． 【详解】由题意得恒成立， 当时，恒成立，满足题意； 当时，，解得． 综上． 故答案为：． 13. 已知函数是R上的增函数，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由函数的单调性列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为函数是上的增函数， 则，解得. 故答案为：. 14. 设正实数x，y，z满足，则当取得最大值时，的值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】由条件等式结合基本不等式可求得取得最大值时所需满足的条件，进一步即可得解. 【详解】∵， ∴， ∵x，y，z均为正实数， ∴ 当且仅当，即，此时时取“=”， 故此时. 故答案为：3． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）计算：； （2）已知，计算的值并证明． 【答案】（1）2 （2）；证明：因为， 所以，， ， 因为，， 所以，且， 所以，即. 【解析】 【分析】（1）结合指数幂的运算性质即可求解； （2）结合指数与对数的转化及对数的换底公式可求，然后结合基本不等式即可求证. 【详解】（1） （2）略 16. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，， （1）当时，求函数的解析式； （2）求不等式的解集． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数为奇函数求出，且，进而求出时的函数解析式； （2）先得到在上单调递增，结合函数的奇偶性，得到不等式，求出答案. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数，所以， ，当时，则， 由时，函数， 所以， 即， 所以当时，； 【小问2详解】 不等式，由函数为奇函数， 化为：，即， 当时，在上单调递增， 故在上单调递增，且， 由函数为奇函数，所以在上单调递增， 且， 又∵， ∴在上单调递增， 故有，解得， 综上所述：不等式的解集为. 17. 已知是定义在上的奇函数，其中、，且. （1）求、的值； （2）判断在上的单调性，并用单调性的定义证明； （3）设，若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） 函数在上单调递减，证明如下： 任取、且，即，则，， 则， 所以，，故函数在上单调递减. （3）. 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的性质可得出，再结合可求得、的值，然后验证出函数为奇函数即可； （2）判断出函数在上为减函数，然后任取、且，作差，因式分解后判断的符号，结合函数单调性的定义可证得结论成立； （3）记在区间内的值域为，在区间内的值域为，将问题转化为时求实数的取值范围，利用单调性求出的值域，分,、、和四种情况讨论，结合单调性求出的值域，即可得到答案． 【小问1详解】 解：因为函数是定义在上的奇函数，则，可得， 则，则，解得，所以，，下面验证函数为奇函数. 对任意的，，故函数的定义域为， 则，故函数为奇函数，合乎题意， 因此，，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：若对任意的，总存在，使得成立， 则函数在上的值域为函数在上的值域的子集， 因为函数在上单调递减， 则当时，，， 所以，记在区间内的值域为. ①当时，在上单调递减， 则，，得在区间内的值域为. 因为，所以对任意的，总存在，使得成立. ②当时，，在上单调递减，且， 则，，得在区间内的值域为， 因为，所以对任意的，总存在，使得成立. ③当时，，在上单调递减，在上单调递增， 则，得在区间内的值域为 ，所以，该不等式组无解； ④当时，，在上单调递减，在上单调递增， 则，得在区间内的值域为，不符合题意. ⑤当时，在上的值域为，此时为值域的子集， 综上，实数的取值范围为. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，，. （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集. 18. 已知函数． （1）当时，求该函数的值域； （2）求不等式的解集； （3）若对于恒成立，求m的取值范围． 【答案】（1） （2）或； （3） 【解析】 【分析】（1）根据对数的运算性质，结合换元法，将转化为，，利用二次函数的性质即可求解， （2）换元，解一元二次不等式，进而根据对数的单调性求解， （3）换元，分离参数，将问题转化为在上恒成立，即可利用函数的单调性求解最值得解. 【小问1详解】 因为 令，，则， 函数转化为，， 则二次函数，对称轴为， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取到最小值为，当时，取到最大值为5， 故当时，函数的值域为． 【小问2详解】 由题得，令， 则，即，解得或， 当时，即，解得； 当时，即，解得， 故不等式的解集为或． 【小问3详解】 由于对于上恒成立， 令，，则，即在上恒成立， 所以在上恒成立， 因为函数在上单调递增，也在上单调递增， 所以函数在上单调递增，它的最大值为， 故时，对于恒成立． 19. 已知有限集，如果 A中元素满足，就称 A为“和积平衡集”. （1）判断集合是否为“和积平衡集”； （2）若是两个不同的正数，且是“和积平衡集”，写出以为根的一个一元二次方程系数可用表示，并证明至少有一个大于2； （3）若，求所有符合条件的“和积平衡集”. 【答案】（1）集合  是“和积平衡集”； （2） ，证明如下： 以  为根的一个一元二次方程可为  ，   是两个不同的正数，且  是“和积平衡集”，  ， 又 和 为  的两个不同的正根，  ， 又 ，则 ， 若  都小于等于2，则  ，矛盾， 所以  至少有一个大于 （3） . 【解析】 【分析】（1）根据“和积平衡集”的定义，进行判断即可； （2）根据“和积平衡集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程的性质进行求解即可； （3）设A中的  ，进行分类讨论求解. 【小问1详解】 ，又 ， 满足    集合  是“和积平衡集”； 【小问2详解】 以  为根的一个一元二次方程可为  ， 证明略； 【小问3详解】 设A中的 ，且， 由 ，得 时明显不满足， 所以，故  ， 所以 ， 当时，，，所以只能有， 由，得，此时的“和积平衡集”为 ，  当 时  又  ，即  即  ，与  矛盾，所以  不满足条件， 所以符合条件的“和积平衡集”有且只有  ，此时的“和积平衡集”为  . 【点睛】关键点点睛：本题主要考查集合的新定义问题，元素与集合关系的应用，关键是理解新定义并能运用新定义：“和积平衡集”所有元素的和与积相等．元素个数较少时，直接进行求和与求积操作进行检验，当元素个数不确定时通常用反证法，再进行求和与求积检验，注意大胆假设，小心验证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 保密★启用前 2024—2025学年第一学期期中检测 高一数学试卷 2024.11 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为选择题，共58分；第Ⅱ卷为非选择题，共92分，满分150分，考试时间为120分钟． 2．第Ⅰ卷共2页，请将选出的答案标号（A、B、C、D）涂在答题卡上．第Ⅱ卷共2页，将答案用黑色签字笔（0.5mm）写在答题纸上． 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 如图，向放在水槽底部的烧杯注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度h与注水时间t之间的函数关系，大致是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 5. 若函数，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 已知定义域为的偶函数满足：对任意的，都有．若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：汽车驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL.据仪器监测，某驾驶员喝了二两白酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中每小时末的酒精含量都比上一个小时末减少25%，那么此人在开车前至少要休息（参考数据：，）（ ） A. 4.1小时 B. 4.2小时 C. 4.3小时 D. 4.4小时 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题中的真命题为（ ） A. 命题“”的否定是“对于” B. 已知，则“”是“”的必要不充分条件 C. 若幂函数的图象经过点，则它的单调递增区间是 D. 函数与函数的定义域和值域都相同 10. 已知关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 的最小值为 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的值域为 C. 函数的单调递增区间为 D. 设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是 第Ⅱ卷 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围是______． 13. 已知函数是R上的增函数，则实数a的取值范围是________. 14. 设正实数x，y，z满足，则当取得最大值时，的值为________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）计算：； （2）已知，计算的值并证明． 16. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，， （1）当时，求函数的解析式； （2）求不等式的解集． 17. 已知是定义在上的奇函数，其中、，且. （1）求、的值； （2）判断在上的单调性，并用单调性的定义证明； （3）设，若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围. 18. 已知函数． （1）当时，求该函数的值域； （2）求不等式的解集； （3）若对于恒成立，求m的取值范围． 19. 已知有限集，如果 A中元素满足，就称 A为“和积平衡集”. （1）判断集合是否为“和积平衡集”； （2）若是两个不同的正数，且是“和积平衡集”，写出以为根的一个一元二次方程系数可用表示，并证明至少有一个大于2； （3）若，求所有符合条件的“和积平衡集”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $