专题3-1勾股定理（考点清单，知识导图+5个考点梳理+16种题型解读+4种方法解读）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（苏科版）

考点清单3-1 勾股定理 （5个考点梳理+16种题型解读+4种方法解读） 【清单01】直角三角形 定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． 性质：1）直角三角形两个锐角互余. 2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 3）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半. 判定：1）两个内角互余的三角形是直角三角形. 2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 3）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． 4）勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形. 【清单02】勾股定理 文字语言：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 符号语言：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么. 变式：，， ,,. 【清单03】勾股定理的实际应用 利用勾股定理解决实际问题的一般步骤： 1）从实际问题中抽象出几何图形； 2）确定与问题相关的直角三角形； 3）找准直角边和斜边，根据勾股定理建立等量关系； 4）求得符合题意的结果. 【清单04】勾股数 勾股数：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即满足关系的3个正整数a，b，c称为勾股数. 勾股数需要满足的两个条件：1）这三个数均是正整数； 2）两个较小数的平方和等于最大数的平方. 常见的勾股数：1）3，4，5；2）6，8，10；3）5，12，13等. 【清单05】勾股定理的逆定理 内容：如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边. 【考点题型一】利用勾股定理解三角形 1．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）一直角三角形两边分别是4和3，则它的另一边长是 ． 2．（23-24八年级上·江西九江·期末）如图，在中，，平分，，，则点D到的距离是 ．    3．（23-24八年级下·全国·期末）如图，中，，的垂直平分线交于点E，若，，则 ．    4．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，，，是边 上的中线，则的面积是 ． 【考点题型二】已知两点坐标求两点距离 5．（23-24八年级下·山东临沂·期末）在直角坐标系中，点到原点的距离是 ． 6．（23-24八年级上·上海长宁·期末）在直角坐标平面内点与点的距离等于 ． 7．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，点是该平面内任意一点，连接，则的最小值是 ． 【考点题型三】以直角三角形三边为边长的图形面积 8．（23-24八年级下·陕西渭南·期末）如图，已知的斜边，分别以直角边、为边向外作正方形，正方形的面积分别记为，，则的值为 ． 9．（23-24八年级下·河南洛阳·期末）如图，已知中，以的三边为直径向外作3个半圆，以为直径的半圆面积分别为9和5，则以为直径的半圆面积为 ． 10．（23-24八年级下·山西大同·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为，，，．若，，则 ． 11．（23-24八年级下·北京·期末）有一个边长为1的正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上长出两个小正方形，其中，三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形，再经过1次这样的“生长”后，变成了如图1所示的图形．如果照此规律继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股树”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有正方形的面积和是 ． 【考点题型四】勾股定理与网格问题 12．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，各顶点均在网格的格点上，于点D，则的长为 ． 13．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图所示，在边长为的正方形网格图中，点、、、均在正方形网格格点上．图中 ． 14．（23-24七年级上·浙江温州·期中）如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，以数1表示的点为圆心，阴影正方形边长为半径，画圆弧交数轴于点A（点A位于原点右侧），则点A表示的数为 ．    15．（23-24八年级·江苏·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为，点A、B、C均在格点上，线段与竖直网格线相交于点D，则线段的长为 ． 16．（22-23八年级上·江苏镇江·期末）把由5个小正方形组成的十字形纸板（如图1）剪开，以下剪法中能够将剪成的若干块拼成一个大正方形的有 （填写序号）． 【考点题型五】勾股定理与折叠问题 17．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如图，在长方形中，，，E、F分别在边、上．现将四边形沿折叠，点B、C的对应点分别为点、．当点恰好与点D重合时，则 ． 18．（23-24八年级上·江苏常州·期末）如图，在中，，，，点在斜边上，将沿折叠，使点恰好落在边上的点处，则的周长为 ． 19．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，在直角中，，，点在边上．将沿折叠，使点落在点处，连接，则的最小值为 ． 20．（21-22八年级上·江苏泰州·期末）如图，小明将一张正方形纸片对折，使得AB与CD重合，折痕为EF，展开后再沿BH折叠，使得点C刚好落在折痕EF上的C′处，若CH=1cm，则BC= cm． 【考点题型六】利用勾股定理求线段的平方和/差 21．（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，四边形ABCD的对角线交于点O．若，，，则 ．    22．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在中，． (1)求证：； (2)当，，时，求的值． 23．（22-23八年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，中，，为中点，点在边上（点不与点，重合），连接，过点作交于点，连接． (1)求证：. (2)若，，，直接写出线段的长． 24．（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，已知，是斜边的中点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的周长及的长． 【考点题型七】利用勾股定理证明线段的平方关系 25．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，，M，N分别是，的中点． (1)猜想与的位置关系？并证明你的猜想． (2)直接写出、、三者之间的数量关系：_______ 26．（23-24八年级下·福建莆田·阶段练习）如图，是等腰直角三角形，，求证：． 27．（23-24八年级上·四川成都·期中）在中，，为中点，，射线、分别交直线、于、． (1)如图1，在射线上，连接，试判断、、之间的数量关系并证明； (2)如图2，在射线上，将绕点逆时针旋转． ①如图3，当射线交线段于点时，求证：； ②当时，若，，当时，请直接写出的长度． 28．（23-24八年级上·广东茂名·阶段练习）如图，E．F是等腰的斜边上的两动点，，且．求证：    (1)； (2)； (3)连接，若，求的最小值． 【考点题型八】勾股定理的证明方法 29．（23-24八年级上·吉林长春·期末）人们很早就发现直角三角形的三边满足的关系，我国汉代“赵爽弦图”（如图）就巧妙的利用图形面积证明了这一关系．下列几何图形中，可以正确的解释直角三角形三边这一关系的图有 ．（直接填写图序号） 30．（24-25八年级上·江苏常州·期中）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，图1中的2个全等的直角三角形可以拼成不同的图形，用来证明勾股定理． (1)把两个全等的直角和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，，可得．请用a，b，c分别写出梯形，四边形，的面积，再根据这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)若图1中，，图3中方格纸中的小正方形的边长为1，请你用两种不同的方式将图1中两个全等的直角三角形放入图3的两个五边形中，并涂上阴影，则图3（1）中空白部分的面积为________，图3（2）中空白部分的面积为________，从而得到． (3)用（2）中4个全等的直角三角形（，）拼成如图4中的形状，则这个图形外围轮廓（实线）的周长为________． 31．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．    (1)将两个全等的直角三角形按如图所示方式摆放，使点A、E、D在同一条直线上，请利用图2证明勾股定理． (2)探究发现：如图3以直角三角形的三边为边，向外部作正方形面积分别为，请猜想的等量关系，并证明你的结论． (3)拓展应用：如图，中，，分别以的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：、、，若图中阴影部分的面积，，，则 ． 32．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，火柴盒的侧面为长方形，其中，，．把直立的火柴盒放倒，侧面旋转至长方形处（如图）．    (1)__________，__________，__________；（用、、有关代数式表示）__________；（用、有关代数式表示） (2)由（1）的结论证明勾股定理：； (3)若，，求的值． 【考点题型九】以弦图为背景的计算题 33．（23-24八年级上·广西南宁·期末）数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”类似的，我们可以用两种不同的方法来表示同一个图形的面积，从而得到一个等式． (1)如图，大正方形是由两个小正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成，请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积． 方法：______；方法：______； 根据以上信息，可以得到的等式是______； (2)如图，大正方形是由四个边长分别为的直角三角形（为斜边）和一个小正方形拼成，请用两种不同的方法分别表示小正方形的面积，并推导得到之间的数量关系； (3)在（）的条件下，若，求斜边的值． 34．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形．它是美丽的弦图．其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b（），斜边长为c．    (1)结合图①，求证：； (2)如图②③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接成正方形，记正方形、正方形、正方形的面积分别为，若，求． 35．（22-23八年级上·江苏·期中）我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1的“弦图”（史称“赵爽弦图”） ． (1)弦图中包含了一大一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为，较短的直角边为，斜边长为，结合图1，试验证勾股定理； (2)如图2，将四个全等的直角三角形紧密地拼接，形成“勾股风车”，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，，求该“勾股风车”图案的面积； (3)如图3，将八个全等的直角三角形（外围四个和内部四个）紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，若，则 ． 36．（21-22八年级下·贵州遵义·阶段练习）用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为a， b （a<b），斜边长为c ． (1)结合图①，求证：； (2)如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH．若该图形的周长为48，OH=6．求该图形的面积； (3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接成正方形PQMN，记正方形PQMN、正方形ABCD、正方形EFGH的面积分别为、、，++=24，= ． 【考点题型十】用勾股定理构造图形解决问题 解题方法：勾股定理是解决三角形中线段问题最有效的方法之一，若图中没有含特征线段的直角三角形，则需添加辅助线，构造满足条件的直角三角形. 37．（23-24八年级上·江苏南京·期末）在中，，且． (1)当是锐角三角形时，小明猜想：．以下是他的证明过程： 小明的证明过程 如图①，过点作，垂足为．设． ∵在中，， 在中， ① ， ∴ ① ． 化简得，． ② ．    其中，①是______；②是______． (2)如图②，当是钝角三角形时，猜想与之间的关系并证明．      38．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）【问题背景】 在中，，，，且．若为直角，则；若为锐角或钝角，则与之间有怎样的大小关系呢？ 【探究结论】 （1）当是锐角三角形时，小明猜想：．以下是他的证明过程： 如图1，过点A作，垂足为D．设． ∵在中，， 在中，①，①． 化简得，． ，，∴②．． ． 其中，①是 ；②是 ． （2）如图2，当是钝角三角形时，猜想与之间的关系，并证明． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，为锐角，点D是的中点，点E在上，点F在上．若，，，求长的最大整数值． 【考点题型十一】根据已知条件判断能否构成直角三角形 39．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）满足下列条件的△不是直角三角形的是（  ） A． B． C． D． 40．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）在中，a，b，c分别是的对边，在下列条件中，不能确定是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 41．（24-25八年级上·广东深圳·期中）已知△中，、、分别是、、的对边，下列条件中不能判断△是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【考点题型十二】网格中判断直角三角形 解题方法：根据勾股定理求出三角形三边长，再根据勾股定理逆定理判断△ABC是否是直角三角形 42．（24-25八年级上·广东茂名·期中）如图，在边长为1的正方形组成的网格图中，的三个顶点均在格点上 (1)求的周长； (2)试判断的形状． 43．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，且A，B，C都在格点（每个小正方形的顶点）上． (1)填空： ______，______． (2)求的度数． 44．（24-25八年级上·辽宁锦州·阶段练习）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． (1)在图（a）中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数； (2)在图（b）中，画一个直角三角形，使它的斜边长为； (3)在图（c）中，画一个直角三角形，使它的斜边长为5，直角边长都是无理数． 【考点题型十三】勾股数 判断方法：1）确定是三个正整数a，b，c； 2）确定最大的数c； 3）计算较小的两个数的平方是否等于. 45．（22-23八年级下·湖北咸宁·阶段练习）下列各组数不是勾股数的是（    ） A． B． C． D． 46．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如果表示大于的整数，，，，求证：，，为勾股数． 47．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，我们称为勾股数，观察下面表格中左栏给出的三个正整数a，b，． a，b，c 3，4，5 5，12，13 7，24，25 9，40，41 … … 15，b，c … … (1)写出它们的共同点．（写出两条即可） (2)当时，求b，c的值． 【考点题型十四】利用勾股定理逆定理求解 48．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如图所示，在中，，，，．求： (1)的长； (2)点到的距离． 49．（20-21八年级上·江苏扬州·期末）如图，在四边形中，． (1)求的度数； (2)求出四边形的面积． 50．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在四边形中，，，，，，求的度数． 51．（23-24八年级下·广东肇庆·期末）【再读教材】我们八年级下册数学课本第页介绍了“海伦秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积为． 【解决问题】已知，在中，，，． (1)请你用“海伦秦九韶公式”求的面积； (2)除了利用“海伦秦九韶公式”求的面积外，你有其它解法吗？请写出你的解法． 【考点题型十五】勾股定理的简单应用 52．（23-24八年级上·江苏常州·期末）防火安全无小事，时时处处需留心．一天晚上，某居民楼的点处着火，消防大队派出云梯消防车展开紧急救援．已知点离地面28米，消防车的云梯底部（点与地面的垂直距离是4米，与居民楼的水平距离是10米．云梯需要伸长多少米才能到达着火处？ 53．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）如图，学校高的教学楼上有一块高的校训宣传牌，为美化环境，对校训牌进行维护．一辆高的工程车在教学楼前点M处，伸长的云梯（云梯最长）刚好接触到的底部点A处．问工程车向教学楼方向行驶多少米，长的云梯刚好接触到的顶部点C处？ 54．（22-23八年级上·江苏淮安·期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．      (1)应用场景1——在数轴上画出表示无理数的点．如图1，在数轴上找出表示2的点A，过点A作直线l垂直于OA，在l上取点B，使，以原点O为圆心，为半径作弧，则弧与数轴负半轴的交点C表示的数是_________； (2)应用场景2——解决实际问题．如图2，有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出2尺，斜放就恰好等于门的对角线（），已知门宽6尺，求竹竿长． 55．（22-23八年级下·湖南永州·阶段练习）如图是长、宽、高的长方体容器． (1)求底面矩形的对角线的长； (2)长方体容器内可完全放入的棍子最长是多少？ (3)一只蚂蚁从D点爬到E点最短路径是多少？ 56．（20-21八年级上·江苏盐城·期末）一艘轮船从A港向南偏西48°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km．    (1)若轮船速度为25km/小时，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间． (2)C岛在A港的什么方向？ 57．（21-22八年级上·江西景德镇·期中）如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是______． (2)如图①，求该长度最短的金属丝的长． (3)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？ 58．（21-22八年级·全国·假期作业）如图，圆柱形容器的高为120cm，底面周长为100cm，在容器内壁离容器底部40cm的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿40cm与蚊子相对的点A处，求壁虎捕捉蚊子的最短距离． 59．（21-22八年级上·江苏南京·期末）滑撑杆在悬窗中应用广泛．如图，某款滑撑杆由滑道，撑杆、组成，滑道固定在窗台上．悬窗关闭或打开过程中，撑杆、的长度始终保持不变．当悬窗关闭时，如图①，此时点与点重合，撑杆、恰与滑道完全重合；当悬窗完全打开时，如图②，此时撑杆与撑杆恰成直角，即，测量得，撑杆，求滑道的长度． 【考点题型十六】勾股定理逆定理的实际应用 60．（23-24八年级下·辽宁抚顺·期末）某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形地时，由于在上有一处古建筑，使得的长不能直接测出，于是工作人员在上取一点，测得米，米后，又测得米，米，请你根据测量数据，求出的长度． 61．（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图，一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形和，分别摆放甲、乙两种不同的花卉，经测量，，，，，，，求四边形的面积． 62．（23-24八年级下·广东云浮·期中）3月15日是国际消费者权益日，广东各地开展“3·15”消费维权活动，重拳出击，推进高质量发展，营造良好消费环境．图①是某品牌婴儿车，图②为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），通过计算说明该车是否符合安全标准． 63．（23-24八年级下·全国·期末）如图，甲、乙两艘轮船同时从港口A出发，分别沿方向和方向航行，甲船速度为16海里/时，乙船速度为12海里/时，离开港口1小时后两船分别到达点E，F处，且相距20海里．若甲船沿东北方向航行，则乙船沿哪个方向航行？ 64．（23-24八年级下·辽宁盘锦·期末）在一条东西走向的河流一侧有一村庄，河边原有两个取水点，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． (1)求的度数； (2)求原来的路线的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 考点清单3-1 勾股定理 （5个考点梳理+16种题型解读+4种方法解读） 【清单01】直角三角形 定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． 性质：1）直角三角形两个锐角互余. 2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 3）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半. 判定：1）两个内角互余的三角形是直角三角形. 2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 3）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． 4）勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形. 【清单02】勾股定理 文字语言：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 符号语言：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么. 变式：，， ,,. 【清单03】勾股定理的实际应用 利用勾股定理解决实际问题的一般步骤： 1）从实际问题中抽象出几何图形； 2）确定与问题相关的直角三角形； 3）找准直角边和斜边，根据勾股定理建立等量关系； 4）求得符合题意的结果. 【清单04】勾股数 勾股数：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即满足关系的3个正整数a，b，c称为勾股数. 勾股数需要满足的两个条件：1）这三个数均是正整数； 2）两个较小数的平方和等于最大数的平方. 常见的勾股数：1）3，4，5；2）6，8，10；3）5，12，13等. 【清单05】勾股定理的逆定理 内容：如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边. 【考点题型一】利用勾股定理解三角形 1．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）一直角三角形两边分别是4和3，则它的另一边长是 ． 【答案】或/或5 【分析】此题考查了勾股定理．分两种情况：①当4和3为直角边长时，由勾股定理求出斜边即可；②当4为斜边长时，由勾股定理求出第三边长即可；即可得出结果． 【详解】解：分两种情况： ①当4和3为直角边长时，第三边长为斜边 ； ②当4为斜边长时，第三边长为． 综上所述：直角三角形的第三边长为或. 故答案为：或. 2．（23-24八年级上·江西九江·期末）如图，在中，，平分，，，则点D到的距离是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查解平分线的性质，勾股定理．过点D作于点E，由角平分线性质定理得，由勾股定理求出，最后根据三角形面积可求出． 【详解】解：如图，过点D作于点E，    ∵平分， ∴， 在中，由勾股定理得， ， 又， ∴， ∴， 解得，， 即：点D到的距离是， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·全国·期末）如图，中，，的垂直平分线交于点E，若，，则 ．    【答案】4 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质及勾股定理，根据线段垂直平分线性质先求出，再根据勾股定理求出即可． 【详解】解：连接，   的垂直平分线交于点E，， ， 中，，， ， 故答案为：4． 4．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，，，是边 上的中线，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，三角形中线的性质，先根据勾股定理求得，进而求得，根据三角形中线的性质，即可求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， ∵是边 上的中线，则的面积是， 故答案为：． 【考点题型二】已知两点坐标求两点距离 5．（23-24八年级下·山东临沂·期末）在直角坐标系中，点到原点的距离是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查两点间的距离公式，根据两点之间的距离公式计算即可． 【详解】解：点到原点的距离是， 故答案为：． 6．（23-24八年级上·上海长宁·期末）在直角坐标平面内点与点的距离等于 ． 【答案】 【分析】本题考查两点间的距离公式：设有两点，，则这两点间的距离为，直接利用两点间的距离公式求解，熟练掌握两点间的距离公式是解此题的关键． 【详解】解：∵、， ∴点和点的距离， 故答案为：． 7．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，点是该平面内任意一点，连接，则的最小值是 ． 【答案】// 【分析】 本题考查利用勾股定理求两点间得距离，以及平方式非负，根据点，表示出，再利用求出最小值，即可解题． 【详解】解：点， ， 整理得 ， ， ， 有最小值为， 即的最小值为， 故答案为：． 【考点题型三】以直角三角形三边为边长的图形面积 8．（23-24八年级下·陕西渭南·期末）如图，已知的斜边，分别以直角边、为边向外作正方形，正方形的面积分别记为，，则的值为 ． 【答案】25 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理求出的平方即为的值，熟练掌握勾股定理，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：在中，由勾股定理得，， ∵， ∴， 故答案为：25． 9．（23-24八年级下·河南洛阳·期末）如图，已知中，以的三边为直径向外作3个半圆，以为直径的半圆面积分别为9和5，则以为直径的半圆面积为 ． 【答案】4 【分析】题目主要考查勾股定理解三角形及圆的面积，根据题意得出，，然后求解即可． 【详解】解：∵中， ∴， ∵以为直径的半圆面积分别为9和5， ∴， 即， ∴以为直径的半圆面积为：， 故答案为：4． 10．（23-24八年级下·山西大同·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为，，，．若，，则 ． 【答案】86 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据正方形面积计算公式得到，，，，再由勾股定理推出，据此可得答案． 【详解】解：如图，连接． 由题意，得，，，． 在中，由勾股定理得． 在中，由勾股定理得． ． ， 故答案为：． 11．（23-24八年级下·北京·期末）有一个边长为1的正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上长出两个小正方形，其中，三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形，再经过1次这样的“生长”后，变成了如图1所示的图形．如果照此规律继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股树”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有正方形的面积和是 ． 【答案】2026 【分析】根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1，由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，…… ∴“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2026， 故答案为：2026． 【考点题型四】勾股定理与网格问题 12．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，各顶点均在网格的格点上，于点D，则的长为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理可求的长，利用割补法求出的面积，由三角形的面积公式求出即可． 【详解】解：由题意可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 13．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图所示，在边长为的正方形网格图中，点、、、均在正方形网格格点上．图中 ． 【答案】 【分析】本题考查了网格问题，根据网格线段及三角形的特征即可求解．根据勾股定理可得，从而得由图推出得，据此即可求解； 【详解】解：如图， 由图可知： ，， ∴， 由图可知： ∴， ∴， ∴， 故答案为： 14．（23-24七年级上·浙江温州·期中）如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，以数1表示的点为圆心，阴影正方形边长为半径，画圆弧交数轴于点A（点A位于原点右侧），则点A表示的数为 ．    【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴和勾股定理．先根据勾股定理求出圆弧的半径，再求出点A到原点的距离，然后结合点A在数轴上的位置即可得出答案． 【详解】解：∵正方形网格中每个小正方形的边长为1， ∴阴影正方形的边长即圆弧半径为， ∴点A到原点的距离是， ∴点A表示的数是， 故答案为：． 15．（23-24八年级·江苏·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为，点A、B、C均在格点上，线段与竖直网格线相交于点D，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】先证明则，进而得出，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是找出全等三角形，得出边的长度． 16．（22-23八年级上·江苏镇江·期末）把由5个小正方形组成的十字形纸板（如图1）剪开，以下剪法中能够将剪成的若干块拼成一个大正方形的有 （填写序号）． 【答案】①③/③① 【分析】设小正方形的边长为1，则5个小正方形的面积为5，进而可知拼成的大正方形的边长为，再根据所画虚线逐项进行拼接，看哪种剪法能拼成边长为的正方形即可． 【详解】解：按照①中剪法，在外围四个小正方形上分别剪一刀然后放到相邻的空处，可拼接成边长为的正方形，符合题意； 如下图所示，按照③中剪法，通过拼接也可以得到边长为的正方形，符合题意； 按照②中剪法，无法拼接成边长为的正方形，不符合题意； 故选①③． 故答案为：①③． 【点睛】本题考查图形的拼接，解题的关键在于根据所给小正方形的面积求出所拼接成的正方形的边长． 【考点题型五】勾股定理与折叠问题 17．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如图，在长方形中，，，E、F分别在边、上．现将四边形沿折叠，点B、C的对应点分别为点、．当点恰好与点D重合时，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查翻折变换，勾股定理等知识．由翻折的性质可得，，，由勾股定理可得出答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 由翻折的性质可知：，，， ， 在中，根据勾股定理得：， ， ， 故答案为：5． 18．（23-24八年级上·江苏常州·期末）如图，在中，，，，点在斜边上，将沿折叠，使点恰好落在边上的点处，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），勾股定理．由折叠可得，，，则，，再由的周长，即可求解． 【详解】解：由折叠可得，，， ，， ， ， ， ， 的周长． 故答案为：． 19．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，在直角中，，，点在边上．将沿折叠，使点落在点处，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】利用勾股定理，三角形不等式计算即可，熟练掌握三角形不等式是解题的关键． 【详解】∵，， ∴， ∵沿折叠，使点落在点处， ∴， ∵， 故当三点共线时，取得最小值， 此时的最小值为， 故答案为：． 20．（21-22八年级上·江苏泰州·期末）如图，小明将一张正方形纸片对折，使得AB与CD重合，折痕为EF，展开后再沿BH折叠，使得点C刚好落在折痕EF上的C′处，若CH=1cm，则BC= cm． 【答案】 【分析】连接CC′，证明△BCC′是等边三角形，再由折叠的性质得到∠HBC=∠HBC′=30°，利用含30度角的直角三角形的性质求解即可解决问题． 【详解】解：如图，连接CC′， 由折叠的性质知，折痕为EF是BC的垂直平分线， ∴BC′=CC′， 又由折叠的性质知，BC= BC′，∠HBC=∠HBC′， ∴BC′=CC′=BC， ∴△BCC′是等边三角形， ∴∠C′BC=60°， ∴∠HBC=∠HBC′=30°， 在Rt△HBC中，∠HBC=30°，CH=1cm， ∴HB=2cm， ∴BC=（cm）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质． 【考点题型六】利用勾股定理求线段的平方和/差 21．（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，四边形ABCD的对角线交于点O．若，，，则 ．    【答案】21 【分析】根据勾股定理即可解答． 【详解】解：，，， 在中，， 在中，， 又在中，， 在中，， ． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，灵活应用勾股定理是解题关键． 22．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在中，． (1)求证：； (2)当，，时，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； 【分析】本题考查了勾股定理和平方差公式的相关证明和计算及解二元一次方程组，熟练掌握和运用勾股定理是解决问题的关键． （1）在和中，分别运用勾股定理可得，，利用边相等，联立两式移项即得证． （2）根据第一问的结论，可求出的值，利用平方差公式，结合，可求得，而，由此可求得、，由勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明： ， 在和中，根据勾股定理得， ，， ， 移项得：． 故． （2）解： ，， ， ， ，即， ， ，解得， ， ． 23．（22-23八年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，中，，为中点，点在边上（点不与点，重合），连接，过点作交于点，连接． (1)求证：. (2)若，，，直接写出线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和勾股定理，中垂线的性质； （1）延长至使，连接，证明，从而得，，由得为中垂线，故，在中根据勾股定理即可的结论； （2）结合（1）中的结论可得，，在中利用勾股定理即可解决． 【详解】（1）证明：作，交延长线于，连接 ， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， ， ， （2）解：设， ，，， 则， ， ， ， 即：， 由（1）知：，，， ，， ， ， 即：， 解得：， 即：． 24．（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，已知，是斜边的中点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的周长及的长． 【答案】(1)见解析 (2)的周长为， 【分析】本题考查了勾股定理的应用、线段垂直平分线的性质等知识点． （1）由线段垂直平分线的性质可得，在利用勾股定理建立线段的平方关系，再等量代换即可求证； （2）在中，由勾股定理得的长度，结合线段垂直平分线的性质、勾股定理，即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵是斜边的中点，， ∴是线段的垂直平分线， ∴. 在中，由勾股定理得， ∴， 即. （2）解：∵是斜边的中点，， ∴. 在中，由勾股定理得， ∴. 又∵， ∴， ∴的周长为. ∵ ∴， 即， 解得：． 【考点题型七】利用勾股定理证明线段的平方关系 25．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，，M，N分别是，的中点． (1)猜想与的位置关系？并证明你的猜想． (2)直接写出、、三者之间的数量关系：_______ 【答案】(1)且平分，证明过程见详解； (2)． 【分析】本题考查了等腰三角形性质和直角三角形斜边上中线的应用及勾股定理，关键是求出，题目比较典型，主要考查学生运用性质进行推理的能力． （1）连接、，根据直角三角形斜边上中线性质推出，，推出，在中，根据三线合一定理求出即可； （2）根据勾股定理及直角三角形斜边上中线等于斜边的一半即可得． 【详解】（1）解：与的位置关系是垂直且平分， 证明∶连接， ，，M为中点， ，， ， 为中点， ，， 即与的位置关系是垂直且平分； （2）解：， ， ，， ， 即． 26．（23-24八年级下·福建莆田·阶段练习）如图，是等腰直角三角形，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，把绕点A顺时针旋转，得到，证明，得到，勾股定理得到，等量代换后即可得出结论． 【详解】 证明：∵是等腰直角三角形，， ∴， 把绕点A顺时针旋转，得到，连接，则，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴， 又， ∴． ∴． 27．（23-24八年级上·四川成都·期中）在中，，为中点，，射线、分别交直线、于、． (1)如图1，在射线上，连接，试判断、、之间的数量关系并证明； (2)如图2，在射线上，将绕点逆时针旋转． ①如图3，当射线交线段于点时，求证：； ②当时，若，，当时，请直接写出的长度． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①见解析；②或 【分析】（1）由垂直平分线的性质可得，由勾股定理可求解； （2）①由勾股定理可求，由可证，可得，，由勾股定理可得，即可求解； ②分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况讨论，由勾股定理可求解． 【详解】（1）解：， 理由如下：是中点，， ， 中， ； （2）解：①证明：如图，延长至点，使，连接，，， ， 中，， ， ，， ， ，， ， ，即， 中，， ， ； ②解：当点在线段上时， ，，， ，， ， ， ； 当点在线段的延长线上时，如图，延长至点，使，连接，，，   中，， 又， ， ，，， ，， ， ， ， ， 中，， ， ． ， ． 综上所述：的长度为或． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 28．（23-24八年级上·广东茂名·阶段练习）如图，E．F是等腰的斜边上的两动点，，且．求证：    (1)； (2)； (3)连接，若，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用证明即可； （2）证明，得到，结合，即可得证； （3）易证是等腰直角三角形，得到，进而得到当时，最小，此时最小，求出的长，即可． 【详解】（1）证明：∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴； （2）证明：由（1）知，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在与中，， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∵， ∴． （3）连接，    ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴． 当取最小值时，最小， ∴当时，最小，此时最小， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等，是解题的关键． 【考点题型八】勾股定理的证明方法 29．（23-24八年级上·吉林长春·期末）人们很早就发现直角三角形的三边满足的关系，我国汉代“赵爽弦图”（如图）就巧妙的利用图形面积证明了这一关系．下列几何图形中，可以正确的解释直角三角形三边这一关系的图有 ．（直接填写图序号） 【答案】③④/④③ 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法，解题的关键是理解题意，掌握利用等面积法进行证明．分别求出①②③④的面积，进行化简即可得． 【详解】解：①长方形的面积：， ②， ③， 整理，得， ④， 整理，得， 故答案为：③④． 30．（24-25八年级上·江苏常州·期中）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，图1中的2个全等的直角三角形可以拼成不同的图形，用来证明勾股定理． (1)把两个全等的直角和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，，可得．请用a，b，c分别写出梯形，四边形，的面积，再根据这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)若图1中，，图3中方格纸中的小正方形的边长为1，请你用两种不同的方式将图1中两个全等的直角三角形放入图3的两个五边形中，并涂上阴影，则图3（1）中空白部分的面积为________，图3（2）中空白部分的面积为________，从而得到． (3)用（2）中4个全等的直角三角形（，）拼成如图4中的形状，则这个图形外围轮廓（实线）的周长为________． 【答案】(1)见解析 (2)作图见解析，25，25 (3)20 【分析】本题考查了勾股定理的证明和应用，掌握三角形和正方形面积计算公式是解决问题的关键． （1）由题意可知，，，，得到，然后代入整理求解即可； （2）根据题意画出图形，然后表示出图（1）中空白面积和图（2）中空白面积，进而求解即可； （3）首先根据勾股定理求出，然后由，得到，然后证明出，证明出，得到，设，则，根据勾股定理求出，得到，进而求解即可． 【详解】（1）证明：由题意可知，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，    ∵，， ∴图3（1）中空白面积； 图3（2）中空白面积． ∴； （3）如图所示，    ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴中，， ∴， 解得， ∴， 同理可得，， ∴这个图形外围轮廓（实线）的周长． 故答案为：20． 31．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．    (1)将两个全等的直角三角形按如图所示方式摆放，使点A、E、D在同一条直线上，请利用图2证明勾股定理． (2)探究发现：如图3以直角三角形的三边为边，向外部作正方形面积分别为，请猜想的等量关系，并证明你的结论． (3)拓展应用：如图，中，，分别以的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：、、，若图中阴影部分的面积，，，则 ． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查勾股定理的证明及运用； （1）通过三个直角三角形的面积等于大直角梯形的面积可以推导出勾股定理； （2）由题意得，可得； （3）分别交、于点、点，设，，，，，由，可得，由此构建关系式，通过计算即可得到答案． 【详解】（1）证明：由题意得， ， ， ； （2）解：，理由如下， 如图，   ， ∵， ∴； （3）解：如图，分别交、于点、点，    ∵，，均是等腰直角三角形， ∴，，， 设，，，，， ∵，，， 又∵， ∴， ∵，， ∴ ∴． 故答案为：． 32．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，火柴盒的侧面为长方形，其中，，．把直立的火柴盒放倒，侧面旋转至长方形处（如图）．    (1)__________，__________，__________；（用、、有关代数式表示）__________；（用、有关代数式表示） (2)由（1）的结论证明勾股定理：； (3)若，，求的值． 【答案】(1)，，， (2)证明见详解 (3)6 【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟练的利用面积法进行证明是解本题的关键. （1）根据三角形面积公式分别表示、、的面积，根据梯形面积公式表示梯形的面积计算即可； （2）根据，列出方程并整理可证． （3）根据公式求出，即可； 【详解】（1）解： ， ， 为直角三角形， ，； ； 故答案为：，，， （2）由图形可知， 则 ． 因此，． （3）∵ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ 【考点题型九】以弦图为背景的计算题 33．（23-24八年级上·广西南宁·期末）数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”类似的，我们可以用两种不同的方法来表示同一个图形的面积，从而得到一个等式． (1)如图，大正方形是由两个小正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成，请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积． 方法：______；方法：______； 根据以上信息，可以得到的等式是______； (2)如图，大正方形是由四个边长分别为的直角三角形（为斜边）和一个小正方形拼成，请用两种不同的方法分别表示小正方形的面积，并推导得到之间的数量关系； (3)在（）的条件下，若，求斜边的值． 【答案】(1)，，； (2)； (3)． 【分析】（）用整体法和分割法分别表示即可，进而得到等式； （）用整体法和分割法分别表示即可，进而得到； （）把代入到（）中的关系式中计算即可求解； 本题考查了完全平方公式和勾股定理的几何背景，学会用两种方法表示同一个图形的面积是解题的关键． 【详解】（1）解：方法：， 方法：， 可以得到的等式是：， 故答案为：，，； （2）解：方法：， 方法：， ∴， ∴； （3）解：把代入得， ， ∴． 34．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形．它是美丽的弦图．其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b（），斜边长为c．    (1)结合图①，求证：； (2)如图②③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接成正方形，记正方形、正方形、正方形的面积分别为，若，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，勾股定理的应用等知识． （1）用两种方法分别表示中间小正方形面积即可； （2）设八个全等三角形每个的面积为y，则，，得到，即可得到． 【详解】（1）证明：， ， 即， ∴； （2）解：设八个全等三角形每个的面积为y， ∵，， ∴， ∴ 35．（22-23八年级上·江苏·期中）我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1的“弦图”（史称“赵爽弦图”） ． (1)弦图中包含了一大一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为，较短的直角边为，斜边长为，结合图1，试验证勾股定理； (2)如图2，将四个全等的直角三角形紧密地拼接，形成“勾股风车”，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，，求该“勾股风车”图案的面积； (3)如图3，将八个全等的直角三角形（外围四个和内部四个）紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，若，则 ． 【答案】(1)证明见详解 (2)“勾股风车”图案的面积为 (3) 【分析】（1）根据图形可知，由此即可求解； （2）已知图形的周长，可求出直角三角形的斜边长，已知，则可求出直角三角形的两条直角边，由此即可求出“勾股风车”图案的面积； （3）八个全等的直角三角形，且图形的面积是由三角形和正方形组成，，设直角三角形的两条直角边分别为，，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：由图①可知， ∵， ∴， 即． （2）解：四个全等的直角三角形，外围轮廓（粗线）的周长为24，，设， ∴，即， ∴， 在中，，，， ∴，解方程得，，即， ∴，， ∴， ∴“勾股风车”图案的面积是． （3）解：设，， ∴，，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查勾股定理，理解直角三角形三边关系是解题的关键． 36．（21-22八年级下·贵州遵义·阶段练习）用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为a， b （a<b），斜边长为c ． (1)结合图①，求证：； (2)如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH．若该图形的周长为48，OH=6．求该图形的面积； (3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接成正方形PQMN，记正方形PQMN、正方形ABCD、正方形EFGH的面积分别为、、，++=24，= ． 【答案】(1)见解析 (2)S=96； (3)8 【分析】（1）用两种方法分别表示中间小正方形面积即可； （2）设AH=BC=x，则AB=12-x，在Rt△AOB中，由勾股定理列出方程即可求出BC的长，从而解决问题； （3）设正方形EFGH的面积为x，其他八个全等三角形的面积为y，则=8y+x，=4y+x，=x，根据++=24，即可得出x+4y=8． 【详解】（1）证明：， ， 即， ∴； （2）解：∵AB+BC=48÷4=12， 设AH=BC=x，则AB=12-x，OB=OH=6． 在Rt△AOB中，由勾股定理得： ， 即， 解得：x=2， ∴AB=12-x=10， ∴S=×6×8×4=96； （3）解：设正方形EFGH的面积为x，其他八个全等三角形的面积为y， ∵++=24， ∴=8y+x，=4y+x，=x， ∴++=3x+12y=24， ∴x+4y=8， ∴=8， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明，勾股定理的应用等知识，运用整体思想、方程思想是解题的关键． 【考点题型十】用勾股定理构造图形解决问题 解题方法：勾股定理是解决三角形中线段问题最有效的方法之一，若图中没有含特征线段的直角三角形，则需添加辅助线，构造满足条件的直角三角形. 37．（23-24八年级上·江苏南京·期末）在中，，且． (1)当是锐角三角形时，小明猜想：．以下是他的证明过程： 小明的证明过程 如图①，过点作，垂足为．设． ∵在中，， 在中， ① ， ∴ ① ． 化简得，． ② ．    其中，①是______；②是______． (2)如图②，当是钝角三角形时，猜想与之间的关系并证明．    【答案】(1)， (2)；证明见详解 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键． （1）在中根据勾股定理即可表示出，从而得出，然后进行判断即可； （2）过点作的延长线，垂足为，设，在和中分别根据勾股定理表示出，然后仿照（1）中的方法判断即可． 【详解】（1）解：如图①，过点作，垂足为，设， 在中，， 在中，， ， 化简得，， ，， ， ， ． 其中，①是；②是； 故答案为：，； （2）； 证明：如图，    过点作的延长线，垂足为，设， 在中，， 在中，， ， 化简得，， ，， ， ， ． 38．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）【问题背景】 在中，，，，且．若为直角，则；若为锐角或钝角，则与之间有怎样的大小关系呢？ 【探究结论】 （1）当是锐角三角形时，小明猜想：．以下是他的证明过程： 如图1，过点A作，垂足为D．设． ∵在中，， 在中，①，①． 化简得，． ，，∴②．． ． 其中，①是 ；②是 ． （2）如图2，当是钝角三角形时，猜想与之间的关系，并证明． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，为锐角，点D是的中点，点E在上，点F在上．若，，，求长的最大整数值． 【答案】（1）①；②；（2）证明过程见详解；（3）9 【分析】（1）观察推理过程可得答案； （2）仿照（1）可得； （3）延长到，使，连接，，可得，证明，知，，由为锐角，可得，故，从而得长的最大整数值为9． 【详解】解：（1）如图1，过点作，垂足为，设， 在中，， 在中，， ， 化简得，， ，， ， ， ； 故答案为：；； （2）； 证明如下：过点作交延长线于，设， 在中，， 在中，， ， 化简得，， ， ， ， ； （3）延长到，使，连接，， 如图： ，， 是的垂直平分线， ， 为中点， ， 又，， ， ， 为锐角， ， 即为钝角， 由（2）的结论得：， ， ， 长的最大整数值为9． 【点睛】本题考查三角形综合应用，涉及勾股定理及应用，全等三角形判定与性质，垂直平分线的判定与性质等，解题的关键是作辅助线构造全等三角形． 【考点题型十一】根据已知条件判断能否构成直角三角形 39．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）满足下列条件的△不是直角三角形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了直角三角形的判定方法，掌握直角三角形的判定方法是解决问题的关键． 根据勾股定理逆定理、有一个角是的三角形是直角三角形进行判断即可得解． 【详解】解：A．∵，， ∴即 ∴是直角三角形，不符合题意； B．∵ ∴设， ∴，是直角三角形，不符合题意； C．∵， ∴ ∴是直角三角形，不符合题意； D．∵ ∴，， ∴不是直角三角形，符合题意． 故选：D 40．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）在中，a，b，c分别是的对边，在下列条件中，不能确定是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了直角三角形的判定，根据勾股定理逆定理及三角形内角和定理判定即可． 【详解】解：因为，所以这个三角形是直角三角形，则A不符合题意； 设，则，可知，所以这个三角形是直角三角形，则B不符合题意； 因为，所以不能组成直角三角形，则C符合题意； 设，则，根据题意，得， 解得， ∴． 所以这个三角形是直角三角形． 则D不符合题意． 故选：C． 41．（24-25八年级上·广东深圳·期中）已知△中，、、分别是、、的对边，下列条件中不能判断△是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形内角和定理及勾股定理的逆定理的应用．由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理求解，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是即可． 【详解】解：A、， ， 是直角三角形，故选项A不符合题意； B、， 最大角， 不是直角三角形，故选项B符合题意； C、， ， ， ， 是直角三角形，故选项C不符合题意； D、设，，， ， ， 是直角三角形，故选项D不符合题意； 故选：B． 【考点题型十二】网格中判断直角三角形 解题方法：根据勾股定理求出三角形三边长，再根据勾股定理逆定理判断△ABC是否是直角三角形 42．（24-25八年级上·广东茂名·期中）如图，在边长为1的正方形组成的网格图中，的三个顶点均在格点上 (1)求的周长； (2)试判断的形状． 【答案】(1) (2)是直角三角形，见解析 【分析】本题主要考查了网格与勾股定理，勾股定理的逆定理等知识点，熟练掌握勾股定理以及勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理可得：，，，从而求出，，的长，然后利用三角形的周长公式，进行计算即可解答； （2）利用（1）的结论，再根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答； 【详解】（1）由题意得： ， ， ， ∴， ， ， ∴的周长， ∴的周长为； （2）是直角三角形， 理由：由（1）可得： ，， ∴， ∴是直角三角形． 43．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，且A，B，C都在格点（每个小正方形的顶点）上． (1)填空： ______，______． (2)求的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理． （1）根据勾股定理，即可解答； （2）连接，则，根据勾股定理逆定理得出是等腰直角三角形，即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，． （2）解：如图，连接，则， 由（1），知， 所以． 因为， 所以， 所以是等腰直角三角形， 所以． 44．（24-25八年级上·辽宁锦州·阶段练习）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． (1)在图（a）中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数； (2)在图（b）中，画一个直角三角形，使它的斜边长为； (3)在图（c）中，画一个直角三角形，使它的斜边长为5，直角边长都是无理数． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 (3)作图见详解 【分析】本题主要考查了网格与勾股定理及其逆定理的运用， （1）根据网格与勾股定理的特点作图即可； （2）根据网格与勾股定理的特点作图即可； （3）由（1）可得，再根据勾股定理与网格的特点分别作出即可求解． 【详解】（1）解：根据格点的特点，作，取，如图所示， ∴是一个直角三角形，，且它的三边长都是有理数； （2）解：根据格点的特点，作，取，如图所示， ∴是一个直角三角形，，它的斜边长为； （3）解：由（1）的作图可得，根据勾股定理及网格的特点，如图所示， ∵，， ∴，即， ∴是一个直角三角形，它的斜边长为5，直角边长都是无理数． 【考点题型十三】勾股数 判断方法：1）确定是三个正整数a，b，c； 2）确定最大的数c； 3）计算较小的两个数的平方是否等于. 45．（22-23八年级下·湖北咸宁·阶段练习）下列各组数不是勾股数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了勾股数，根据勾股数的定义，可以进行判断，解题的关键是要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形． 【详解】、，故这是一组勾股数，不符合题意； 、，故这是一组勾股数，不符合题意； 、，故这是一组勾股数，不符合题意； 、，故这不是一组勾股数，符合题意； 故选：． 46．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如果表示大于的整数，，，，求证：，，为勾股数． 【答案】证明见解析 【分析】根据，，，勾股定理的逆定理，即可． 【详解】证明：如下， ∵，， ∴，， ∴， 又∵，，为正整数， ∴，，为勾股数． 【点睛】本题考查勾股定理的知识，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理． 47．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，我们称为勾股数，观察下面表格中左栏给出的三个正整数a，b，． a，b，c 3，4，5 5，12，13 7，24，25 9，40，41 … … 15，b，c … … (1)写出它们的共同点．（写出两条即可） (2)当时，求b，c的值． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题是数字规律题，考查了勾股定理的逆定理：“已知三角形的三边满足，则三角形为直角三角形”，理解题意是解题关键． （1）根据表格找出规律即可； （2）利用（1）中得出的规律，把已知数据代入即可． 【详解】（1）解：①以上各组数均满足； ②最小的数是奇数，其余的两个数是连续的正整数； ③最小奇数的平方等于另两个连续整数的和． （写两条即可，合理即可） （2）设，则． 有，解得， ，． 【考点题型十四】利用勾股定理逆定理求解 48．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如图所示，在中，，，，．求： (1)的长； (2)点到的距离． 【答案】(1)16 (2) 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，勾股定理，利用三角形面积求高． （1）根据勾股定理逆定理得出，再利用勾股定理进行求解即可； （2）过点D作垂足为，则为点到的距离，利用进行求解即可． 【详解】（1）解：在中， ，， ， ， ； （2）过点D作垂足为， 则为点到的距离， ， ， 解得：， 点到的距离为． 49．（20-21八年级上·江苏扬州·期末）如图，在四边形中，． (1)求的度数； (2)求出四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中利用勾股定理求出，进而利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即； （2）根据进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，连接， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，即， （2）解：由（1）得 ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理得逆定理，掌握相关知识并灵活应用是解本题的关键． 50．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在四边形中，，，，，，求的度数． 【答案】． 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理．直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半，先求出边的长度，再利用勾股定理逆定理判断出为直角三角形． 【详解】解：，， ， 设，则， 又， ， 或（舍去）， ，， 又，， ，， ， 是直角三角形， ． 51．（23-24八年级下·广东肇庆·期末）【再读教材】我们八年级下册数学课本第页介绍了“海伦秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积为． 【解决问题】已知，在中，，，． (1)请你用“海伦秦九韶公式”求的面积； (2)除了利用“海伦秦九韶公式”求的面积外，你有其它解法吗？请写出你的解法． 【答案】(1) (2)有，见解析 【分析】本题考查了代数式求值，勾股定理逆定理，准确计算是解题关键． （1）直接用海伦—秦九韶公式计算面积即可； （2）计算得到，即为直角三角形，直接两直角边的积除以求面积． 【详解】（1）解： ，，， ， ， 即的面积为； （2） ，，， ，，， ， ， ． 【考点题型十五】勾股定理的简单应用 52．（23-24八年级上·江苏常州·期末）防火安全无小事，时时处处需留心．一天晚上，某居民楼的点处着火，消防大队派出云梯消防车展开紧急救援．已知点离地面28米，消防车的云梯底部（点与地面的垂直距离是4米，与居民楼的水平距离是10米．云梯需要伸长多少米才能到达着火处？ 【答案】26米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．作地面于点，于点，在中，由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，作地面于点，于点， 由题意得：米，米，米． 米， （米． 在中，由勾股定理得， （米． 答：云梯需要伸长26米才能到达着火处． 53．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）如图，学校高的教学楼上有一块高的校训宣传牌，为美化环境，对校训牌进行维护．一辆高的工程车在教学楼前点M处，伸长的云梯（云梯最长）刚好接触到的底部点A处．问工程车向教学楼方向行驶多少米，长的云梯刚好接触到的顶部点C处？ 【答案】工程车再向教学楼方向行驶5米． 【分析】过点作交于点，在根据勾股定理求出的长，设，则，在中根据勾股定理列方程求出x即可． 本题主要考查了根据勾股定理解决实际问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】过点作交于点， 由题意得， 在中， ， 设，则， 在中， ， ∴， 解得， 工程车再向教学楼方向行驶5米，云梯刚好接触到的顶部点处． 54．（22-23八年级上·江苏淮安·期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．      (1)应用场景1——在数轴上画出表示无理数的点．如图1，在数轴上找出表示2的点A，过点A作直线l垂直于OA，在l上取点B，使，以原点O为圆心，为半径作弧，则弧与数轴负半轴的交点C表示的数是_________； (2)应用场景2——解决实际问题．如图2，有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出2尺，斜放就恰好等于门的对角线（），已知门宽6尺，求竹竿长． 【答案】(1) (2)10尺 【分析】（1）根据勾股定理求得，根据实数与数轴关系解答； （2）竹竿长x尺，则门高尺，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意，，，， 在中，， ∴， ∴点C表示的数为， 故答案为：； （2）解：竹竿长x尺，由题意，竹竿，门高 尺，门宽尺，， 在中， ∴， ∴， 解得， 答：竹竿长10尺． 【点睛】本题考查勾股定理的应用、实数与数轴，理解题意，熟练掌握勾股定理是解答的关键． 55．（22-23八年级下·湖南永州·阶段练习）如图是长、宽、高的长方体容器． (1)求底面矩形的对角线的长； (2)长方体容器内可完全放入的棍子最长是多少？ (3)一只蚂蚁从D点爬到E点最短路径是多少？ 【答案】(1)底面矩形的对角线的长为 (2)长方体容器内可完全放入的棍子最长是 (3)蚂蚁从D点爬到E点最短路径 【分析】（1）根据题意运用勾股定理即可得出结果； （2）根据题意连接、，两次运用勾股定理即可得出结果; （3）分别求出三种情况下蚂蚁爬行的最短距离，然后进行比较，得出蚂蚁爬行的最短距离即可． 【详解】（1）解：∵、，， ∴对角线的长为：； 答：底面矩形的对角线的长为． （2）解：连接、，如图所示： 在中， ∵、，， ∴， 在中， ． 答：这个盒子最长能放的棍子． （3）解：将前面的面和右边的面展开，如图所示： 此时蚂蚁从D点爬到E点最短路径为： ； 将前面的面和上边的面展开，如图所示： 此时蚂蚁从D点爬到E点最短路径为： ； 将左边的面和上边的面展开，如图所示： 此时蚂蚁从D点爬到E点最短路径为： ； ∵， ∴蚂蚁从D点爬到E点最短路径． 【点睛】本题主要考查的是勾股定理的应用，根据题意，作出辅助线、构造出直角三角形是解答此题的关键． 56．（20-21八年级上·江苏盐城·期末）一艘轮船从A港向南偏西48°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km．    (1)若轮船速度为25km/小时，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间． (2)C岛在A港的什么方向？ 【答案】(1)3小时 (2)C岛在A港的北偏西42° 【分析】（1）中，利用勾股定理求得的长度，则，然后在中，利用勾股定理来求的长度，再根据时间路程速度即可求得答案； （2）由勾股定理的逆定理推知．由方向角的定义作答． 【详解】（1）解：由题意可知，AD⊥BC， 在中，， ∴， ， ∵BC＝125km， ， ， ∴（小时）， ∴从岛返回港所需的时间为3小时； （2），， ， ， ，   岛在港的北偏西．    【点睛】本题考查了勾股定理的应用，方向角问题，解题的关键是数形结合寻找直角三角形进行求解． 57．（21-22八年级上·江西景德镇·期中）如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是______． (2)如图①，求该长度最短的金属丝的长． (3)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？ 【答案】(1)A (2) (3) 【分析】（1）由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题； （2）要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可； （3）若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是以周长及的高为直角三角形的斜边长的4倍． 【详解】（1）解：因圆柱的侧面展开面为长方形，展开应该是两线段，且有公共点． 故选：A； （2）解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度． 圆柱底面的周长，圆柱的高， 该长度最短的金属丝的长为． （3）解：若将金属丝从点B绕四圈到达点A， 则所需金属丝最短长度是以周长及的高为直角三角形的斜边长的4倍： ． 【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，解题的关键是掌握圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 58．（21-22八年级·全国·假期作业）如图，圆柱形容器的高为120cm，底面周长为100cm，在容器内壁离容器底部40cm的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿40cm与蚊子相对的点A处，求壁虎捕捉蚊子的最短距离． 【答案】130cm 【分析】将容器侧面展开，建立A关于EC的对称点，根据两点之间线段最短可知B的长度即为所求． 【详解】解：如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点，连接B交EC于F，则B即为最短距离． ∵高为120cm，底面周长为100cm，在容器内壁离容器底部40cm的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿40cm与蚊子相对的点A处， ∴D＝50cm，BD＝120cm， ∴在直角△DB中，B＝＝130（cm）． 故壁虎捕捉蚊子的最短距离为130cm． 【点睛】本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 59．（21-22八年级上·江苏南京·期末）滑撑杆在悬窗中应用广泛．如图，某款滑撑杆由滑道，撑杆、组成，滑道固定在窗台上．悬窗关闭或打开过程中，撑杆、的长度始终保持不变．当悬窗关闭时，如图①，此时点与点重合，撑杆、恰与滑道完全重合；当悬窗完全打开时，如图②，此时撑杆与撑杆恰成直角，即，测量得，撑杆，求滑道的长度． 【答案】滑道的长度为51cm． 【分析】设cm，可得出cm，cm，在Rt△ABC中，根据勾股定理可得m的值，由此可得结论． 【详解】解：设cm，则由图①可知 cm， 由图②可知cm， ∵， ∴在Rt△ABC中，根据勾股定理可得， ， ∴， 解得， ∴滑道的长度为51cm． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，能结合撑杆、的长度始终保持不变正确表示出BC和AC是解题关键． 【考点题型十六】勾股定理逆定理的实际应用 60．（23-24八年级下·辽宁抚顺·期末）某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形地时，由于在上有一处古建筑，使得的长不能直接测出，于是工作人员在上取一点，测得米，米后，又测得米，米，请你根据测量数据，求出的长度． 【答案】米 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟记勾股定理的逆定理，勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理推出，再根据勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：米，米，米， ， ， ， （米）， （米）． 61．（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图，一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形和，分别摆放甲、乙两种不同的花卉，经测量，，，，，，，求四边形的面积． 【答案】四边形的面积为18． 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识．由勾股定理得，再由勾股定理的逆定理得是直角三角形，且，然后由三角形面积公式即可解决问题． 【详解】解：由题意得：，， 在中，由勾股定理得：， ， ， 是直角三角形，且， ． 答：四边形的面积为18． 62．（23-24八年级下·广东云浮·期中）3月15日是国际消费者权益日，广东各地开展“3·15”消费维权活动，重拳出击，推进高质量发展，营造良好消费环境．图①是某品牌婴儿车，图②为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），通过计算说明该车是否符合安全标准． 【答案】该车符合安全标准，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理和它的逆定理，先在 中,根据勾股定理求出的值，再根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形即可．熟练掌握勾股定理和它的逆定理是解题的关键． 【详解】在 中，由勾股定理，得， ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴该车符合安全标准． 63．（23-24八年级下·全国·期末）如图，甲、乙两艘轮船同时从港口A出发，分别沿方向和方向航行，甲船速度为16海里/时，乙船速度为12海里/时，离开港口1小时后两船分别到达点E，F处，且相距20海里．若甲船沿东北方向航行，则乙船沿哪个方向航行？ 【答案】乙船航向为南偏东． 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，方向角的应用．连接，利用勾股定理的逆定理证明，据此求解即可． 【详解】解：连接， 由题意可知，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 即乙船航向为南偏东． 64．（23-24八年级下·辽宁盘锦·期末）在一条东西走向的河流一侧有一村庄，河边原有两个取水点，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． (1)求的度数； (2)求原来的路线的长． 【答案】(1) (2)8.45千米 【分析】本题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）利用勾股定理的逆定理推导为直角三角形，即可获得答案； （2）设，则，在中，利用勾股定理解得的值，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，可知千米，千米，千米， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，； （2）由（1）可知，，即， 设，则， 在中，可有， 即，解得， ∴千米， 即原来的路线的长为8.45千米． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$