不等式专项训练-2025届高三数学一轮复习

2024-2025学年度高三数学一轮复习2---不等式专项训练 一、单选题 1．已知实数a，b满足，在下列各式有意义的前提下，一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．下列是“不等式成立”的必要不充分条件的是 A． B． C． D． 3．“不等式在R上恒成立”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 4．已知，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 5．已知，且，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 6．在中，角的对边分别为，若，则的最小值是 A．5 B．8 C．7 D．6 二、多选题 7．设，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，其中，若，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．设，则 （填入“>”或“<”）． 10．设，为正数，则的最小值为 11．设x，y均为正数，且，则的最小值为 ． 12．已知不等式的解集为，则的取值范围是 . 四、解答题 13．求下列不等式的解集 （1）； （2）； （3）. 14．已知，，其中. (1)若，则是的什么条件?（充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件） (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 15．已知正数a，b满足． (1)求的最小值； (2)求的最小值． 16．（1）解不等式：； （2）证明不等式：. 17．已知. (1)求的最小值 (2)求的最小值. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B C C B D ACD BC 1．D 【分析】对于ABC，举例判断，对于D，利用基本不等式判断. 【详解】对于A，若，则满足，而，所以A错误， 对于B，若，则满足，而，所以B错误， 对于C，若，则满足，而，所以C错误， 对于D，因为，所以，当且仅当， 即时取等号，所以一定成立，所以D正确， 故选：D 2．B 【分析】由题意结合一元二次不等式的求解可得，再由集合间的包含关系及充分条件、必要条件的概念逐项判断即可得解. 【详解】由题意， 对于A，由，所以是不等式成立的充要条件，故A错误； 对于B，由，所以是不等式成立的必要不充分条件，故B正确； 对于C，由与没有互相包含的关系，所以是不等式成立的既不充分也不必要条件，故C错误； 对于D，由，所以是不等式成立的充分不必要条件，故D错误. 故选：B. 【点睛】本题考查了一元二次不等式的求解，考查了充分条件、必要条件的判断，属于基础题. 3．C 【分析】先求出不等式恒成立的充要条件，然后逐项判断即可. 【详解】解：∵“不等式在R上恒成立”， 显然不满足题意， ∴，解得， 对于A，是充要条件，故A错误； 对于B，因为推不出，故B错误； 对于C，因为，反之不能推出，故C正确； 对于D，因为推不出，故D错误． 故选：C． 4．C 【分析】确定，根据均值不等式得到答案. 【详解】因为，所以．因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为3． 故选：C. 5．B 【分析】利用换元法表示出代入所求式子，化简利用均值不等式即可求得最小值. 【详解】因为，所以，令，则且 ，代入中得： 当即时取“=”, 所以最小值为1. 故选：B 6．D 【分析】先化简条件中的等式，利用余弦定理整理得到等式，然后根据等式利用基本不等式求解最小值. 【详解】由，得， 化简整理得，， 即，当且仅当，即时，取等号．故选D． 【点睛】本题考查正、余弦定理在边角化简中的应用，难度一般.对于利用基本不等求最值的时候，一定要注意取到等号的条件. 7．ACD 【分析】利用不等式的性质以及作差法基本不等式推出结果即可． 【详解】，，所以，， ， 所以，故A正确； ， 所以，故B错误； ∵又，∴，故C正确； ∵， ∴，故D正确. 故选：． 8．BC 【分析】由可得，作差法可判断A，根据不等式的性质判断BCD. 【详解】由，得，又， 所以，且的符号不确定，故的符号也不确定，故错误； 由，得，故B正确； 由，得，故C正确； 因为，两边平方后不等式不一定成立，故D错误. 故选：BC. 9．< 【分析】利用作差法比较大小即得. 【详解】依题意， ， 所以. 故答案为：< 10．6 【分析】先将化简为，再根据积为定积，则和有最小值求解. 【详解】，为正数,由， 当且仅当，即时，的最小值为6. 故答案为：6 【点睛】本题考查了基本不等式的应用，已知积为定值，求和的最小值，属于基础题. 11． 【分析】根据基本不等式“1”的代换求解最值即可. 【详解】因为x，y均为正数，且 则 当且仅当且，即 所以的最小值为. 故答案为：. 12． 【详解】由于不等式的解集为， 所以， 解得. 故答案为： 13．（1）或；（2）；（3）. 【分析】（1）将原不等式变形为，由此可得出原不等式的解集； （2）将原不等式变形为，由此可得出原不等式的解集； （3）将原不等式变形为，计算，由此可得出原不等式的解集. 【详解】（1）不等式即为，解得或， 因此，不等式的解集为或； （2）不等式即为，解得， 因此，不等式的解集为； （3）不等式即为，， 因此，不等式的解集为. 【点睛】本题考查一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题. 14．(1)充分不必要条件 (2) 【分析】（1）解一元二次不等式求对应解集，根据已知判断、的推出关系，即可确定充分、必要性关系； （2）根据条件间的充分不必要关系列不等式组求参数范围. 【详解】（1）由，解得； 由且，解得； 当时，则，，故是的充分不必要条件； （2）由（1）知：，， 由题设有（等号不同时成立），故的取值范围. 15．(1) (2)18 【详解】（1）因为，，且，则， 所以， 当且仅当，即，即，时等号成立， 故的最小值为． （2）因为，，且，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为18． 16．（1）或；（2）证明见解析. 【详解】（1）由题设，整理得，解得或， 所以原不等式的解集为或 （2）由，且时等号成立， 所以，得证. 17．(1) (2)2 【详解】（1）由得，即， ，则， 因为，所以， 当且仅当，即时取得“=”， 所以的最小值为. （2）法一： 令，则，， 故由可得，整理得， ， 当且仅当，即，即时取“=”， 所以的最小值为2. 法二： 由可得，又， ， 当且仅当，即时取得“=”， 所以的最小值为2. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$