第04讲 二次根式（讲义，2考点+2命题点12种题型（含6种解题技巧）)-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（全国通用）

null第一章 数与式 第04讲 二次根式 （思维导图+2考点+2命题点12种题型（含6种解题技巧）） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 二次根式的相关概念 考点二 二次根式的性质与化简 考点三 二次根式的运算 04题型精研·考向洞悉 命题点一 二次根式的性质与化简 ►题型01 二次根式有意义的条件 ►题型02 与二次根式有关的开放性试题 ►题型03 利用二次根式的性质化简 ►题型04 二次根式与数轴 命题点二 二次根式的运算 ►题型01 应用乘法公式求二次根式的值 ►题型02 最简二次公式的判断 ►题型03 分母有理化 ►题型04 二次根式的混合运算 ►题型05 二次根式估值 ►题型06 与二次根式有关的新定义问题 ►题型07 与二次根式有关的规律探究 ►题型08 二次根式的应用 01考情透视·目标 中考考点 考查频率 新课标要求 二次根式的相关概念 ★★ 了解二次根式、最简二次根式的概念 二次根式的性质 ★★ 掌握二次根式的性质 二次根式的运算 ★★ 了解二次根式(根号下仅限于数)加，减、乘、除运算法则,会用它们进行简单的四则运算 【考情分析】中考中，对二次根式的考察主要集中在对其取值范围、化简计算等方面，其中取值范围类考点多出选择题、填空题形式出现，而化简计算则多以解答题形式考察.此外，二次根式还常和锐角三角函数、实数、其他几何图形等结合出题，难度不大，但是也多属于中考必考题. 02知识导图·思 03考点突破·考 考点一 二次根式的相关概念 1.二次根式 二次根式的定义：一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，a叫做被开方数． 【易错易混】 1）二次根式的两个要素（判断依据）：含有二次根号“”，且根指数为2；被开方数为非负数； 2）二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如：，-都是二次根式； 3)二次根式的被开方数a可以是一个数，也可以是一个式子，但都要满足𝑎≥0； 4)在具体问题中，如果已知是二次根式，相当于给出了𝑎≥0. 2.二次根式有意义的条件 1）单个二次根式，如有意义的条件是𝑎≥0； 2）二次根式作为分母时，如有意义的条件是𝑎>0； 3）二次根式与分式相加，如有意义的条件是𝑎≥0且b＞0. 1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是 ． 2．（2023·四川绵阳·中考真题）使代数式有意义的整数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 考点二 二次根式的性质与化简 二次根式的性质 1）式子（𝑎≥0）既表示二次根式，又表示非负数a的算术平方根（），所以具有双重非负性； 2），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； 3），即一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值. 二次根式的化简 二次根式的化简：1）利用二次根式的基本性质进行化简； 2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． ， 【易错易混】 1.在使用 =• 时一定要注意 2.在使用（a≥0，b＞0）时一定要注意 1．（2024·内蒙古包头·中考真题）计算所得结果是（    ） A．3 B． C． D． 2．（2024·四川乐山·中考真题）已知，化简的结果为（   ） A． B．1 C． D． 3．（2023·广东广州·中考真题）已知关于x的方程有两个实数根，则的化简结果是（    ） A． B．1 C． D． 4．（2022·山东聊城·中考真题）射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式进行计算，其中为子弹的加速度，为枪筒的长．如果，，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）为（    ） A． B． C． D． 5．（2023·湖北黄冈·中考真题）请写出一个正整数m的值使得是整数； ． 考点三 二次根式的运算 1.二次根式的乘法 乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： 2.二次根式的除法 除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即： 3.最简二次根式 定义：1）被开方数不含分母；2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，把满足上述两个条件的二次根数，叫做最简二次根式.例：都是最简二次根式. 最简二次根式必须同时满足以下两个条件： ①开方数所含因数是整数或字母，因式是整式（分母中不应含有根号）； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1. 4.二次根式的加减 同类二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式. 【补充】几个同类二次根式在没有化简前，被开方数可以完全互不相同，如：、、是同类二次根式. 二次根式的加减：一般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并. 【口诀】一化、二找、三合并. 5.二次根式的混合运算 内容：二次根式的混合运算指的是二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算. 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号里面的. 易错易混 1）结果要化为最简二次根式或整式； 2）如果含有字母，要注意字母的取值范围是否能使式子成立，以及其中的隐藏条件. 6.分母有理化 分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程. 【分母有理化方法】 1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： 2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 即：； 4题型精研·考 1．（2024·山东济宁·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2.（2024·重庆·中考真题）估计的值应在（　　） A．8和9之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间 3．（2023·湖南·中考真题）对于二次根式的乘法运算，一般地，有．该运算法则成立的条件是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·山东潍坊·中考真题）从、，中任意选择两个数，分别填在算式里面的“□”与“○”中，计算该算式的结果是 ．（只需写出一种结果） 5．（2024·四川遂宁·中考真题）计算：． 命题点一 二次根式的性质与化简 ►题型01 二次根式有意义的条件 1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 1．（2023·内蒙古通辽·中考真题）二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（    ） A．  B．   C．  D．   2．（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·上海·中考真题）已知，则 ． 4．（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数中，自变量x的取值范围是 ． ►题型02 与二次根式有关的开放性试题 1．（2023·四川绵阳·中考真题）使代数式有意义的整数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（2022·四川南充·中考真题）若为整数，x为正整数，则x的值是 ． 3．（2023·湖南永州·中考真题）已知x为正整数，写出一个使在实数的范围内没有意义的x值是 ． 4．（2023·湖北黄冈·中考真题）请写出一个正整数m的值使得是整数； ． ►题型03 利用二次根式的性质化简 1）利用二次根式性质化简时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简． 2）化简后的最后结果应为最简二次根式，并且分母中不含二次根式． 1．（2020·湖北武汉·中考真题）化简二次根式的结果等于 ． 2．（2023·湖北宜昌·中考真题）下列运算正确的个数是（    ）． ①；②；③；④． A．4 B．3 C．2 D．1 3．（2023·四川凉山·中考真题）计算 ． 4．（2022·四川宜宾·中考真题）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为．现有周长为18的三角形的三边满足，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为 ． ►题型04 二次根式与数轴 1．（2023·内蒙古·中考真题）实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简： ． 2．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）实数在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（    ） A．2 B． C． D．-2 3．（2024武威四中二模）实数在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简后为（ ） A． B． C． D． 4．（2022·四川遂宁·中考真题）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简 ． 命题点二 二次根式的运算 ►题型01 应用乘法公式求二次根式的值 1） 2） 1．（2024·天津·中考真题）计算的结果为 ． 2．（2023·内蒙古·中考真题）先化简，再求值：，其中，． 3．（2023·山东淄博·中考真题）先化简，再求值：，其中，． 4．（2023·湖南张家界·中考真题）阅读下面材料： 将边长分别为a，，，的正方形面积分别记为，，，． 则 例如：当，时， 根据以上材料解答下列问题： (1)当，时，______，______； (2)当，时，把边长为的正方形面积记作，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想； (3)当，时，令，，，…，，且，求T的值． ►题型02 最简二次公式的判断 最简二次根式必须同时满足以下两个条件： ①开方数所含因数是整数或字母，因式是整式（分母中不应含有根号）； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1. [补充] ①不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2,3,5，a（a≥0），x+y等； ②含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有等. 1．（2021·湖南益阳·中考真题）将化为最简二次根式，其结果是（    ） A． B． C． D． 2．（2021·广西桂林·中考真题）下列根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．（2021·上海·中考真题）下列实数中，有理数是（    ） A． B． C． D． 4．（2022·广西桂林·中考真题）化简的结果是（    ） A．2 B．3 C．2 D．2 ►题型03 分母有理化 【分母有理化方法】 1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： 2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 即：； 1．（2024·江苏宿迁·中考真题）先化简再求值：，其中． 2．（2023·湖北恩施·中考真题）先化简，再求值：，其中． 3．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）先化简，再求代数式的值，其中． ►题型04 二次根式的混合运算 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号里面的. 【补充】1）在二次根式的混合运算中，乘方公式和实数的运算律仍然适用； 2）在二次根式混合运算中，要结合题目特点，灵活运用二次根式的性质. 二次根式运算时的注意事项： 1）结果要化为最简二次根式或整式； 2）如果含有字母，要注意字母的取值范围是否能使式子成立，以及其中的隐藏条件. 1．（2023·甘肃武威·中考真题）计算：． 2．（2023·四川内江·中考真题）计算： 3．（2024·上海·中考真题）计算：． 4．（2024·四川凉山·中考真题）计算：． ►题型05 二次根式估值 1．（23-24八年级下·山西吕梁·阶段练习）关于，下列说法不正确的是（    ） A．是无理数 B．能与合并 C．整数部分是4 D．一定能够在数轴上找到表示的点 2．（2024·江苏盐城·中考真题）矩形相邻两边长分别为、，设其面积为，则S在哪两个连续整数之间（    ） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 3．（2024·河北石家庄·三模）计算的结果为 ，这个数落在了数轴上的 段． 4．（2023·湖北荆州·中考真题）已知，则与最接近的整数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（2022·湖北荆州·中考真题）若的整数部分为a，小数部分为b，则代数式的值是 ． ►题型06 与二次根式有关的新定义问题 1．（2023·湖南娄底·一模）定义一种运算：，例如：当，时，，则的值为(　　) A． B． C． D． 2．（2020·青海·中考真题）对于任意不相等的两个数，定义一种运算※如下：，如．那么 ． 3．（2020·内蒙古通辽·中考真题）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定，如：． （1）求； （2）若，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集． 4．（2024·广东·模拟预测）【代数推理】代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论． 【发现问题】小明在计算时发现：对于任意两个连续的正整数m、n，它们的乘积 与较大数的和一定为较大数的平方． （1）举例验证：当 则 （2）推理证明：小明同学做了如下的证明： 设， m、n是连续的正整数， ∴； ∵， ∴． ∴一定是正数n的平方数． 【类比猜想】小红同学提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差是较小数的平方． 请你举例验证及推理证明； 【深入思考】若 （m， n为两个连续奇数， 求证：p一定是偶数． ►题型07 与二次根式有关的规律探究 1．（2024·四川德阳·中考真题）将一组数，按以下方式进行排列： 则第八行左起第1个数是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·内蒙古·中考真题）观察下列各式： ，，，… 请利用你所发现的规律，计算： ． 3．（2022·四川眉山·中考真题）将一组数，2，，，…，，按下列方式进行排列： ，2，，； ，，，4； … 若2的位置记为，的位置记为，则的位置记为 ． 4．（2022·四川达州·中考真题）人们把这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设，，记，，…，，则 ． 5．（2024·江苏盐城·中考真题）发现问题 小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽． 提出问题 销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？ 分析问题 某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以看成点，每个点表示不同的籽．该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有n个籽，每列有k个籽，行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d（n，k均为正整数，，），如图1所示． 小明设计了如下三种铲籽方案． 方案1：图2是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为________，共铲________行，则铲除全部籽的路径总长为________； 方案2：图3是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为________； 方案3：图4是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长． 解决问题 在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价． ►题型08 二次根式的应用 1．（2022·湖南常德·中考真题）我们发现：，，，…，，一般地，对于正整数，，如果满足时，称为一组完美方根数对．如上面是一组完美方根数对．则下面4个结论：①是完美方根数对；②是完美方根数对；③若是完美方根数对，则；④若是完美方根数对，则点在抛物线上．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2024·山东菏泽·一模）已知为整数，将其除以4所得的商记为，余数记为，即（n是整数），我们称属于数组，记作，则下列说法正确的是 ．（直接填写序号） ①； ②若为4的倍数，则点到点的距离的最小值为； ③所有整数组成的数组； ④若，则，属于同一个数组． 3．（2024·江苏南京·二模）（n为正整数）的近似值可以这样估算：，其中m是最接近n的完全平方数．例如：，这与科学计算器计算的结果4.8989…很接近． (1)按照以上方法，估计的近似值（精确到0.1）； (2)结合图中思路，解释该方法的合理性． 4．（2024·广东中山·三模）下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成任务． 用均值不等式求最值 若实数，则有，当且仅当时，取等号，我们称不等式为均值不等式． 证明： 由上可知，①当为定值的时候，有最大值； ②当为定值的时候，有最小值． 所以，利用均值不等式可以求一些函数的最值． 例：已知，求函数的最小值． 解： ，当且仅当，即时，等号成立 当即时，函数取最小值，最小值为2． 任务： (1)若，则当_____时，代数式取最小值，最小值为______； (2)已知若，函数，试说明当取何值时，取得最小值，并求出的最小值； (3)如图，已知点是反比例函数图象上一动点，点，则的面积的最小值为______． $$第一章 数与式 第04讲 二次根式 （思维导图+2考点+2命题点12种题型（含6种解题技巧）） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 二次根式的相关概念 考点二 二次根式的性质与化简 考点三 二次根式的运算 04题型精研·考向洞悉 命题点一 二次根式的性质与化简 ►题型01 二次根式有意义的条件 ►题型02 与二次根式有关的开放性试题 ►题型03 利用二次根式的性质化简 ►题型04 二次根式与数轴 命题点二 二次根式的运算 ►题型01 应用乘法公式求二次根式的值 ►题型02 最简二次公式的判断 ►题型03 分母有理化 ►题型04 二次根式的混合运算 ►题型05 二次根式估值 ►题型06 与二次根式有关的新定义问题 ►题型07 与二次根式有关的规律探究 ►题型08 二次根式的应用 01考情透视·目标 中考考点 考查频率 新课标要求 二次根式的相关概念 ★★ 了解二次根式、最简二次根式的概念 二次根式的性质 ★★ 掌握二次根式的性质 二次根式的运算 ★★ 了解二次根式(根号下仅限于数)加，减、乘、除运算法则,会用它们进行简单的四则运算 【考情分析】中考中，对二次根式的考察主要集中在对其取值范围、化简计算等方面，其中取值范围类考点多出选择题、填空题形式出现，而化简计算则多以解答题形式考察.此外，二次根式还常和锐角三角函数、实数、其他几何图形等结合出题，难度不大，但是也多属于中考必考题. 02知识导图·思 03考点突破·考 考点一 二次根式的相关概念 1.二次根式 二次根式的定义：一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，a叫做被开方数． 【易错易混】 1）二次根式的两个要素（判断依据）：含有二次根号“”，且根指数为2；被开方数为非负数； 2）二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如：，-都是二次根式； 3)二次根式的被开方数a可以是一个数，也可以是一个式子，但都要满足𝑎≥0； 4)在具体问题中，如果已知是二次根式，相当于给出了𝑎≥0. 2.二次根式有意义的条件 1）单个二次根式，如有意义的条件是𝑎≥0； 2）二次根式作为分母时，如有意义的条件是𝑎>0； 3）二次根式与分式相加，如有意义的条件是𝑎≥0且b＞0. 1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了求自变量的取值范围，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式组解答即可求解，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， 解得且， 故答案为：且． 2．（2023·四川绵阳·中考真题）使代数式有意义的整数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据组合代数式有意义的条件，分别根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，列不等式求解即可． 【详解】解：根据题意可得： ， 解得， ∴使代数式有意义的整数有，，0，1． 共有4个． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了代数式有意义的条件，关键是利用分式的分母不为零和二次根式的被开方数为非负数，列不等式（组）求解，是常考题型，比较简单． 考点二 二次根式的性质与化简 二次根式的性质 1）式子（𝑎≥0）既表示二次根式，又表示非负数a的算术平方根（），所以具有双重非负性； 2），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； 3），即一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值. 二次根式的化简 二次根式的化简：1）利用二次根式的基本性质进行化简； 2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． ， 【易错易混】 1.在使用 =• 时一定要注意 2.在使用（a≥0，b＞0）时一定要注意 1．（2024·内蒙古包头·中考真题）计算所得结果是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查化简二次根式，根据二次根式的性质，化简即可． 【详解】解：； 故选C． 2．（2024·四川乐山·中考真题）已知，化简的结果为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，去绝对值，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据化简二次根式，然后再根据去绝对值即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3．（2023·广东广州·中考真题）已知关于x的方程有两个实数根，则的化简结果是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】首先根据关于x的方程有两个实数根，得判别式，由此可得，据此可对进行化简． 【详解】解：∵关于x的方程有两个实数根， ∴判别式， 整理得：， ∴， ∴，， ∴ ． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质，理解一元二次方程根的判别式是解答此题的关键． 4．（2022·山东聊城·中考真题）射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式进行计算，其中为子弹的加速度，为枪筒的长．如果，，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把a＝5×105m/s2，s＝0.64m代入公式，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简以及科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 5．（2023·湖北黄冈·中考真题）请写出一个正整数m的值使得是整数； ． 【答案】8 【分析】要使是整数，则要是完全平方数，据此求解即可 【详解】解：∵是整数， ∴要是完全平方数， ∴正整数m的值可以为8，即，即， 故答案为：8（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，正确理解题意得到要是完全平方数是解题的关键． 考点三 二次根式的运算 1.二次根式的乘法 乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： 2.二次根式的除法 除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即： 3.最简二次根式 定义：1）被开方数不含分母；2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，把满足上述两个条件的二次根数，叫做最简二次根式.例：都是最简二次根式. 最简二次根式必须同时满足以下两个条件： ①开方数所含因数是整数或字母，因式是整式（分母中不应含有根号）； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1. 4.二次根式的加减 同类二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式. 【补充】几个同类二次根式在没有化简前，被开方数可以完全互不相同，如：、、是同类二次根式. 二次根式的加减：一般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并. 【口诀】一化、二找、三合并. 5.二次根式的混合运算 内容：二次根式的混合运算指的是二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算. 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号里面的. 易错易混 1）结果要化为最简二次根式或整式； 2）如果含有字母，要注意字母的取值范围是否能使式子成立，以及其中的隐藏条件. 6.分母有理化 分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程. 【分母有理化方法】 1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： 2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 即：； 4题型精研·考 1．（2024·山东济宁·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查二次根式的运算法则，根据二次根式的加法法则对A进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断． 【详解】A. 不能合并，所以A选项错误； B. ，所以B选项正确； C. ，所以C选项错误； D. ，所以D选项错误． 故选：B． 2.（2024·重庆·中考真题）估计的值应在（　　） A．8和9之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，无理数的估算，先计算二次根式的乘法运算，再估算即可． 【详解】解：∵， 而， ∴， 故答案为：C 3．（2023·湖南·中考真题）对于二次根式的乘法运算，一般地，有．该运算法则成立的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义的条件得出不等式组，再解不等式组即可得出结果． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，得， ， 故选：D． 【点睛】二次根式有意义的条件，及解不等式组，掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是本题的关键． 4．（2023·山东潍坊·中考真题）从、，中任意选择两个数，分别填在算式里面的“□”与“○”中，计算该算式的结果是 ．（只需写出一种结果） 【答案】（或或，写出一种结果即可） 【分析】先利用完全平方公式计算二次根式的乘法，再计算二次根式的除法即可得． 【详解】解：①选择和， 则 ． ②选择和， 则 ． ③选择和， 则 ． 故答案为：（或或，写出一种结果即可）． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． 5．（2024·四川遂宁·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】此题主要考查了实数运算及二次根式的运算，直接利用负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质、算术平方根分别化简得出答案，正确化简各数是解题关键． 【详解】解： ． 命题点一 二次根式的性质与化简 ►题型01 二次根式有意义的条件 1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 1．（2023·内蒙古通辽·中考真题）二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（    ） A．  B．   C．  D．   【答案】C 【分析】根据被开方数大于等于0列不等式计算即可得到x的取值范围，然后在数轴上表示即可得解． 【详解】解：根据题意得，， 解得， 在数轴上表示如下：    故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，不等式的解法，以及在数轴上表示不等式的解集，理解二次根式有意义的条件是解题关键． 2．（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式和分式有意义的条件即可求得答案． 【详解】解：由题意可得， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查二次根式及分式有意义的条件，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 3．（2024·上海·中考真题）已知，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．由二次根式被开方数大于0可知，则可得出，求出x即可． 【详解】解：根据题意可知：， ∴， 解得：， 故答案为：1． 4．（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件得出，即可求解． 【详解】解：依题意， ∴且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，熟练掌握分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是解题的关键． ►题型02 与二次根式有关的开放性试题 1．（2023·四川绵阳·中考真题）使代数式有意义的整数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据组合代数式有意义的条件，分别根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，列不等式求解即可． 【详解】解：根据题意可得： ， 解得， ∴使代数式有意义的整数有，，0，1． 共有4个． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了代数式有意义的条件，关键是利用分式的分母不为零和二次根式的被开方数为非负数，列不等式（组）求解，是常考题型，比较简单． 2．（2022·四川南充·中考真题）若为整数，x为正整数，则x的值是 ． 【答案】4或7或8 【分析】根据根号下的数大于等于0和x为正整数，可得x可以取1、2、3、4、5、6、7、8，再根据为整数即可得的值． 【详解】解：∵ ∴ ∵为正整数 ∴可以为1、2、3、4、5、6、7、8 ∵为整数 ∴为4或7或8 故答案为：4或7或8． 【点睛】本题考查了利用二次根式的性质化简、解一元一次不等式等知识点，掌握二次根式的性质是解答本题的关键． 3．（2023·湖南永州·中考真题）已知x为正整数，写出一个使在实数的范围内没有意义的x值是 ． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】根据二次根式有意义的条件，可得当时，没有意义，解不等式，即可解答． 【详解】解：当时，没有意义， 解得， 为正整数， 可取1，2， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知根号下的式子小于零时，二次根式无意义，是解题的关键． 4．（2023·湖北黄冈·中考真题）请写出一个正整数m的值使得是整数； ． 【答案】8 【分析】要使是整数，则要是完全平方数，据此求解即可 【详解】解：∵是整数， ∴要是完全平方数， ∴正整数m的值可以为8，即，即， 故答案为：8（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，正确理解题意得到要是完全平方数是解题的关键． ►题型03 利用二次根式的性质化简 1）利用二次根式性质化简时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简． 2）化简后的最后结果应为最简二次根式，并且分母中不含二次根式． 1．（2020·湖北武汉·中考真题）化简二次根式的结果等于 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据进行求解即可． 【详解】解：， 故答案为：3． 2．（2023·湖北宜昌·中考真题）下列运算正确的个数是（    ）． ①；②；③；④． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据，，、，进行逐一计算即可． 【详解】解：①，，故此项正确； ②， ，故此项正确； ③，此项正确； ④，故此项正确； 正确的个数是个． 故选：A． 【点睛】本题考查了实数的运算，掌握相关的公式是解题的关键． 3．（2023·四川凉山·中考真题）计算 ． 【答案】 【分析】根据零指数幂、二次根式的性质进行计算即可． 【详解】 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，二次根式的性质等知识，掌握任何一个不为零的数的零次幂都是1是解题的关键． 4．（2022·四川宜宾·中考真题）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为．现有周长为18的三角形的三边满足，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为 ． 【答案】 【分析】根据周长为18的三角形的三边满足，求得，代入公式即可求解． 【详解】解：∵周长为18的三角形的三边满足，设 ∴ 解得 故答案为： 【点睛】本题考查了化简二次根式，正确的计算是解题的关键． ►题型04 二次根式与数轴 1．（2023·内蒙古·中考真题）实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简： ． 【答案】/ 【分析】利用二次根式的性质和绝对值的性质，即可求解． 【详解】由数轴位置可知， ． 【点睛】本题考查二次根式化简运算，掌握二次根式的性质是关键． 2．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）实数在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（    ） A．2 B． C． D．-2 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴的关系，二次根式的性质和绝对值的化简法则，根据数轴可得，，，再利用二次根式的性质和绝对值的化简法则，化简计算即可． 【详解】解∶由数轴知∶，， ∴， ∴ ， 故选：A． 3．（2024武威四中二模）实数在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简后为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由数轴可知，，可得，，再化简即可． 【详解】由数轴可知， ∴， ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，二次根式的性质是解题的关键． 4．（2022·四川遂宁·中考真题）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简 ． 【答案】2 【分析】利用数轴可得出，进而化简求出答案． 【详解】解：由数轴可得：， 则 ∴ = = = =2． 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a，b的取值范围是解题关键． 命题点二 二次根式的运算 ►题型01 应用乘法公式求二次根式的值 1） 2） 1．（2024·天津·中考真题）计算的结果为 ． 【答案】 【分析】利用平方差公式计算后再加减即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则及平方差公式是解题的关键． 2．（2023·内蒙古·中考真题）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，45 【分析】先按照完全平方公式、平方差公式、多项式乘以多项式计算整式的乘法，再合并同类项即可． 【详解】原式 ． 当，时 原式． 【点睛】本题考查的是整式的化简求值，同时考查了二次根式的混合运算，掌握完全平方公式与平方差公式进行简便运算是解题的关键． 3．（2023·山东淄博·中考真题）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ； 【分析】直接利用整式的混合运算法则化简进而合并得出答案． 【详解】原式 , 当 时, 原式 ． 【点睛】此题主要考查了整式的混合运算二次根式的运算，正确合并同类项是解题关键． 4．（2023·湖南张家界·中考真题）阅读下面材料： 将边长分别为a，，，的正方形面积分别记为，，，． 则 例如：当，时， 根据以上材料解答下列问题： (1)当，时，______，______； (2)当，时，把边长为的正方形面积记作，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想； (3)当，时，令，，，…，，且，求T的值． 【答案】(1)， (2)猜想结论：，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题意，直接代入然后利用完全平方公式展开合并求解即可； （2）根据题意得出猜想，然后由完全平方公式展开证明即可； （3）结合题意利用（2）中结论求解即可． 【详解】（1）解： 当，时， 原式； 当，时， 原式； （2）猜想结论： 证明： ； （3） ． 【点睛】题目主要考查利用完全平方公式进行计算，理解题意，得出相应规律是解题关键． ►题型02 最简二次公式的判断 最简二次根式必须同时满足以下两个条件： ①开方数所含因数是整数或字母，因式是整式（分母中不应含有根号）； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1. [补充] ①不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2,3,5，a（a≥0），x+y等； ②含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有等. 1．（2021·湖南益阳·中考真题）将化为最简二次根式，其结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的化简方法即可得． 【详解】解：原式， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握化简方法是解题关键． 2．（2021·广西桂林·中考真题）下列根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】要选择属于最简二次根式的答案，就是要求知道什么是最简二次根式的两个条件：1、被开方数是整数或整式；2、被开方数不能再开方．由被选答案可以用排除法可以得出正确答案． 【详解】A、被开方数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、是有理数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D、符合最简二次根式的定义，是最简二次根式，故本选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了满足是最简二次根式的两个条件：1、被开方数是整数或整式；2、被开方数不能再开方． 3．（2021·上海·中考真题）下列实数中，有理数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简二次根式，再根据有理数的定义选择即可 【详解】解： A、∵是无理数，故是无理数 B、∵是无理数，故是无理数 C、为有理数 D、∵是无理数，故是无理数 故选：C 【点睛】本题考查二次根式的化简、无理数的定义、有理数的定义、熟练掌握有理数的定义是关键 4．（2022·广西桂林·中考真题）化简的结果是（    ） A．2 B．3 C．2 D．2 【答案】A 【分析】将被开方数12写成平方数4与3的乘积，再将4开出来为2，易知化简结果为2． 【详解】解：＝2， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，关键在于被开方数要写成平方数乘积的形式再进行化简． ►题型03 分母有理化 【分母有理化方法】 1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： 2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 即：； 1．（2024·江苏宿迁·中考真题）先化简再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先对括号里面的通分，再利用平方差公式展开，最后约分，然后再代入x的值代入计算，并利用二次根式的性质化简． 【详解】解： ， 当时，原式． 2．（2023·湖北恩施·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先把括号内的分式进行通分，再将除法变为乘法化简，最后代入x的值计算即可． 【详解】解：原式 当时, 原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值和二次根式的混合运算，正确化简分式是解题的关键． 3．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【分析】先根据分式混合运算法则代简，再将代入代简式计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 【点睛】本题考查分式化简求值，特殊角的三角函数值，分母有理化，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键． ►题型04 二次根式的混合运算 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号里面的. 【补充】1）在二次根式的混合运算中，乘方公式和实数的运算律仍然适用； 2）在二次根式混合运算中，要结合题目特点，灵活运用二次根式的性质. 二次根式运算时的注意事项： 1）结果要化为最简二次根式或整式； 2）如果含有字母，要注意字母的取值范围是否能使式子成立，以及其中的隐藏条件. 1．（2023·甘肃武威·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】利用二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解答本题的关键． 2．（2023·四川内江·中考真题）计算： 【答案】4 【分析】根据有理数乘方、特殊角三角函数值、负整数指数幂、零指数幂结合二次根式的混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了有理数乘方、特殊角三角函数值、负整数指数幂、零指数幂以及二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键． 3．（2024·上海·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，二次根式，零指数幂等，掌握化简法则是解题的关键．先化简绝对值，二次根式，零指数幂，再根据实数的运算法则进行计算． 【详解】解： ． 4．（2024·四川凉山·中考真题）计算：． 【答案】2 【分析】本题考查了实数的混合运算．分别进行零指数幂、负整数指数幂、二次根式及绝对值的运算，然后代入特殊角的三角函数值代入运算即可． 【详解】解： ． ►题型05 二次根式估值 1．（23-24八年级下·山西吕梁·阶段练习）关于，下列说法不正确的是（    ） A．是无理数 B．能与合并 C．整数部分是4 D．一定能够在数轴上找到表示的点 【答案】C 【分析】此题考查了二次根式、无理数、实数与数轴，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A. 是无理数，说法正确，不符合题意； B. ，能与合并，说法正确，不符合题意； C. ，即，整数部分是5，说法错误，符合题意； D. 一定能够在数轴上找到表示的点，说法正确，不符合题意； 故选C． 2．（2024·江苏盐城·中考真题）矩形相邻两边长分别为、，设其面积为，则S在哪两个连续整数之间（    ） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 【答案】C 【分析】本题主要考查无理数的估算，二次根式的乘法，先计算出矩形的面积，再利用放缩法估算无理数大小即可． 【详解】解：， ， ， ， 即S在3和4之 间， 故选：C． 3．（2024·河北石家庄·三模）计算的结果为 ，这个数落在了数轴上的 段． 【答案】 ② 【分析】本题考查了二次根式的乘法、无理数的估算、实数与数轴，先根据二次根式的乘法求出式子的值，再估算出，从而得出，即可得解． 【详解】解：， ∵， ∴，即， ∴，即，故这个数落在了数轴上的②段， 故答案为：，② ． 4．（2023·湖北荆州·中考真题）已知，则与最接近的整数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据二次根式的混合运算进行计算，进而估算无理数的大小即可求解． 【详解】解： ∵， ∴, ∴与最接近的整数为， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 5．（2022·湖北荆州·中考真题）若的整数部分为a，小数部分为b，则代数式的值是 ． 【答案】2 【分析】先由得到，进而得出a和b，代入求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴， ∵ 的整数部分为a，小数部分为b， ∴，． ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查无理数及代数式化简求值，解决本题的关键是要熟练掌握无理数估算方法和无理数整数和小数部分的求解方法． ►题型06 与二次根式有关的新定义问题 1．（2023·湖南娄底·一模）定义一种运算：，例如：当，时，，则的值为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，可以计算出的值． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：B． 【点睛】本题考查解直角三角形、二次根式的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． 2．（2020·青海·中考真题）对于任意不相等的两个数，定义一种运算※如下：，如．那么 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了新定义运算、二次根式的混合运算，根据新定义结合二次根式的混合运算计算即可得出答案． 【详解】解：， ， 故答案为：． 3．（2020·内蒙古通辽·中考真题）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定，如：． （1）求； （2）若，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集． 【答案】(1)；(2)，图见解析 【分析】（1）根据新定义规定的运算法则列式，再由有理数的运算法则计算可得； （2）根据新定义列出关于x的不等式，解不等式即可得． 【详解】解：（1）= = = （2）∵， ∴ 解得： 将解集表示在数轴上如下： 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式和二次根式的混合运算，解题的关键是根据新定义列出算式和一元一次不等式及解一元一次不等式的步骤 4．（2024·广东·模拟预测）【代数推理】代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论． 【发现问题】小明在计算时发现：对于任意两个连续的正整数m、n，它们的乘积 与较大数的和一定为较大数的平方． （1）举例验证：当 则 （2）推理证明：小明同学做了如下的证明： 设， m、n是连续的正整数， ∴； ∵， ∴． ∴一定是正数n的平方数． 【类比猜想】小红同学提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差是较小数的平方． 请你举例验证及推理证明； 【深入思考】若 （m， n为两个连续奇数， 求证：p一定是偶数． 【答案】见解析 【分析】本题考查完全平方公式的应用，二次根式化简； 类比猜想：参考发现问题的举例和推理过程计算即可； 深入思考：由m， n为两个连续奇数， ，可得，，然后代入计算即可． 【详解】解：类比猜想：（1）举例验证：当 则 （2）推理证明：小明同学做了如下的证明： 设， m、n是连续的正整数， ∴； ∵， ∴． ∴一定是正数的平方数． 深入思考：∵m， n为两个连续奇数，， ∴， ∴， ∴， ∴p一定是偶数． ►题型07 与二次根式有关的规律探究 1．（2024·四川德阳·中考真题）将一组数，按以下方式进行排列： 则第八行左起第1个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．求出第七行共有28个数，从而可得第八行左起第1个数是第29个数，据此求解即可得． 【详解】解：由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数， 归纳类推得：第七行共有个数， 则第八行左起第1个数是， 故选：C． 2．（2023·内蒙古·中考真题）观察下列各式： ，，，… 请利用你所发现的规律，计算： ． 【答案】/ 【分析】直接根据已知数据变化规律进而将原式变形求出答案． 【详解】 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查数字变化规律，正确将原式变形是解题的关键． 3．（2022·四川眉山·中考真题）将一组数，2，，，…，，按下列方式进行排列： ，2，，； ，，，4； … 若2的位置记为，的位置记为，则的位置记为 ． 【答案】 【分析】先找出被开方数的规律，然后再求得的位置即可． 【详解】数字可以化成： ，，，； ，，，； ∴规律为：被开数为从2开始的偶数，每一行4个数， ∵，28是第14个偶数，而 ∴的位置记为 故答案为： 【点睛】本题考查了类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力．被开方数全部统一是关键． 4．（2022·四川达州·中考真题）人们把这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设，，记，，…，，则 ． 【答案】5050 【分析】利用分式的加减法则分别可求S1=1，S2=2，S100=100，•••，利用规律求解即可． 【详解】解： ，， ， ， ， …， 故答案为：5050 【点睛】本题考查了分式的加减法，二次根式的混合运算，求得，找出的规律是本题的关键． 5．（2024·江苏盐城·中考真题）发现问题 小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽． 提出问题 销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？ 分析问题 某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以看成点，每个点表示不同的籽．该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有n个籽，每列有k个籽，行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d（n，k均为正整数，，），如图1所示． 小明设计了如下三种铲籽方案． 方案1：图2是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为________，共铲________行，则铲除全部籽的路径总长为________； 方案2：图3是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为________； 方案3：图4是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长． 解决问题 在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价． 【答案】分析问题：方案1：；；；方案2：；方案3：；解决问题：方案3路径最短，理由见解析 【分析】分析问题：方案1：根据题意列出代数式即可求解；方案2：根据题意列出代数式即可求解；方案3：根据图得出斜着铲每两个点之间的距离为，根据题意得一共有列，行，斜着铲相当于有n条线段长，同时有个，即可得出总路径长； 解决问题：利用作差法比较三种方案即可． 题目主要考查列代数式，整式的加减运算，二次根式的应用，理解题意是解题关键． 【详解】解：方案1：根据题意每行有n个籽，行上相邻两籽的间距为d， ∴每行铲的路径长为， ∵每列有k个籽，呈交错规律排列， ∴相当于有行， ∴铲除全部籽的路径总长为， 故答案为：；；； 方案2：根据题意每列有k个籽，列上相邻两籽的间距为d， ∴每列铲的路径长为， ∵每行有n个籽，呈交错规律排列，， ∴相当于有列， ∴铲除全部籽的路径总长为， 故答案为：； 方案3：由图得斜着铲每两个点之间的距离为， 根据题意得一共有列，行， 斜着铲相当于有n条线段长，同时有个， ∴铲除全部籽的路径总长为：； 解决问题 由上得：， ∴方案1的路径总长大于方案2的路径总长； ， ∵， 当时， ， ， ∴方案3铲籽路径总长最短，销售员的操作方法是选择最短的路径，减少对菠萝的损耗． ►题型08 二次根式的应用 1．（2022·湖南常德·中考真题）我们发现：，，，…，，一般地，对于正整数，，如果满足时，称为一组完美方根数对．如上面是一组完美方根数对．则下面4个结论：①是完美方根数对；②是完美方根数对；③若是完美方根数对，则；④若是完美方根数对，则点在抛物线上．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据定义逐项分析判断即可． 【详解】解：， 是完美方根数对； 故①正确； 不是完美方根数对； 故②不正确； 若是完美方根数对，则 即 解得或 是正整数 则 故③正确； 若是完美方根数对，则 , 即 故④正确 故选C 【点睛】本题考查了求算术平方根，解一元二次方程，二次函数的定义，理解定义是解题的关键． 2．（2024·山东菏泽·一模）已知为整数，将其除以4所得的商记为，余数记为，即（n是整数），我们称属于数组，记作，则下列说法正确的是 ．（直接填写序号） ①； ②若为4的倍数，则点到点的距离的最小值为； ③所有整数组成的数组； ④若，则，属于同一个数组． 【答案】②④ 【分析】本题主要考查新定义问题，考查了学生的理解能力和推理能力，理解定义式解题的关键． ①根据数组的定义可判断； ②根据定义可知，点A在上，由两点距离公式可求出距离的最小值； ③由整数除以4的余数可能为0，1，2，3可判断； ④可根据定义分别设a，b的数组为，进行判断． 【详解】①根据数组定义，因此，所以①错误； ②a是4的倍数，不妨设（n是整数） 当 时，最小，所以②正确； ③a除以4的余数可能是0，1，2，3； 所以③错误； ④不妨设（m为整数） （n为整数） 由可知， a和b属于同一数组， 所以④正确； 故答案为：②④． 3．（2024·江苏南京·二模）（n为正整数）的近似值可以这样估算：，其中m是最接近n的完全平方数．例如：，这与科学计算器计算的结果4.8989…很接近． (1)按照以上方法，估计的近似值（精确到0.1）； (2)结合图中思路，解释该方法的合理性． 【答案】(1)6.6 (2)见解析 【分析】本题考查的是无理数的估算，新定义的含义，完全平方公式的应用，理解新定义的含义是解本题的关键； （1）根据新定义的法则进行估算即可． （2）设，其中，再变形，结合完全平方公式可得结论． 【详解】（1）解：由新定义可得： ； （2）解：设，其中． 则． 将两边平方，得． ∵ ， ∴  的值会更接近于0，不妨近似为0． ∴  ． ∴ ， 即． 4．（2024·广东中山·三模）下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成任务． 用均值不等式求最值 若实数，则有，当且仅当时，取等号，我们称不等式为均值不等式． 证明： 由上可知，①当为定值的时候，有最大值； ②当为定值的时候，有最小值． 所以，利用均值不等式可以求一些函数的最值． 例：已知，求函数的最小值． 解： ，当且仅当，即时，等号成立 当即时，函数取最小值，最小值为2． 任务： (1)若，则当_____时，代数式取最小值，最小值为______； (2)已知若，函数，试说明当取何值时，取得最小值，并求出的最小值； (3)如图，已知点是反比例函数图象上一动点，点，则的面积的最小值为______． 【答案】(1)2，12 (2)当时，函数取最小值，最小值为8 (3) 【分析】本题考查了二次根式的应用、反比例函数的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意得出，，再利用均值不等式计算即可得出答案； （2）由题意得出，将式子变形为，再利用均值不等式计算即可得出答案； （3）作轴于，轴于，设，表示出，再利用均值不等式计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， 当且仅当，即，即（负值舍去）时，等号成立， ∴当时，代数式取最小值，最小值为； （2）解：∵， ∴， ∴， 当且仅当，即（负值舍去）时，等号成立， ∴当时，函数取最小值，最小值为8； （3）解：如图，作轴于，轴于， ∵， ∴，， ∵点是反比例函数图象上一动点， ∴设， ∴，， ∴， ∴ ， ∵， ∴，， ∴， 当且仅当，即时，等号成立， ∴的面积的最小值为． $$