专题 平面直角坐标系中动点问题（压轴题）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（浙教版）

（浙教版）八年级上册数学《第4章 图形与坐标》 专题 平面直角坐标系中动点问题（压轴题） 1．（2024春•宁乡市期中）如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（b，c）三点，其中a，b，c满足关系式． （1）求a，b，c的值； （2）如果在第二象限内有一点，那么请用含m的式子表示四边形ABOP的面积； （3）在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形ABOP的面积与三角形ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2024春•鞍山期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（1，2），（3，1），将线段AB平移，平移后点A的对应点为C，点B的对应点为D． （1）若平移后点C，D同时在坐标轴上，分别写出点C，D的坐标； （2）在（1）的条件下，画出线段CD，点M（m，0）是x轴上一个动点，且2＜m＜4，试判断∠ABM，∠BMD，∠CDM之间的数量关系，并证明你的结论． 3．（2024春•阳新县校级期末）在平面直角坐标系中，点A（a，0），B（0，b），a、b满足|2a﹣b﹣9|+（a+2b﹣12）2＝0，连接AB． （1）求出点A、B的坐标； （2）如图1，点C是线段AB上一点，若AC＝2BC，求点C坐标．小军想到：可连接OC，此时将三角形OAB分成两个小三角形，而三角形OBC的面积恰好是三角形OAB的三分之一，从而求出点C坐标，请你根据小军的思路写出求解点C坐标的过程； （3）如图2，将线段AB先向下平移5个单位，再向左平移2个单位得到线段MN（点A的对应点为M），线段MN与y轴交于点P，点E（0，t）是y轴上一动点，当三角形MNE的面积小于3时，请直接写出t的取值范围． 4．（2024春•礼县月考）平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0）． （1）如图①，则三角形ABC的面积为 　 ； （2）如图②，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D．求△ACD的面积． 5．（2023•苏州模拟）如图，长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为（4，0），C点的坐标为（0，6），点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣C﹣B﹣A﹣O的路线移动（即：沿着长方形移动一周）． （1）写出B点的坐标（　 　）； （2）当点P移动了4秒时，描出此时P点的位置，并写出点P的坐标． （3）在移动过程中，当点P到x轴距离为5个单位长度时，求点P移动的时间． 6．（2023春•公安县期末）如图1，已知，点A（1，a），AH⊥x轴，垂足为H，将线段AO平移至线段BC，点B（b，0），其中点A与点B对应，点O与点C对应，a、b满足． （1）填空：①直接写出A、B、C三点的坐标A（ 　 　）、B（ 　 　）、C（ 　 　）； ②直接写出三角形AOH的面积 　 　． （2）如图1，若点D（m，n）在线段OA上，证明：4m＝n． （3）如图2，连OC，动点P从点B开始在x轴上以每秒2个单位的速度向左运动，同时点Q从点O开始在y轴上以每秒1个单位的速度向下运动．若经过t秒，三角形AOP与三角形COQ的面积相等，试求t的值及点P的坐标． 7．（2023春•延长县期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点A（8，6）分别作x轴、y轴的平行线，交y轴于点B，交x轴于点C，点P是从点B出发，沿B→A→C以2个单位长度/秒的速度向终点C运动的一个动点，运动时间为t（秒）． （1）直接写出点B和点C的坐标B（　 　，　 　）、C（　 ，　 ）； （2）当点P运动时，用含t的式子表示线段AP的长，并写出t的取值范围； （3）点D（2，0），连接PD、AD，在（2）条件下是否存在这样的t值，使S△APDS四边形ABOC，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由． 8．（2023春•牡丹江期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（a，0），（b，0），其中a，b满足|a﹣2|0，现同时将点A，B分别向上平移6个单位长度，再向左平移2个单位长度，分别得到AB的对应点C，D，连接AC，BD，CD． （1）点C的坐标为 　 　，点D的坐标为 　 ； （2）把AC的中点M（1，3）向左平移4个单位长度得到点E，如图②，连接EC，EA，求△ACE的面积； （3）P是x轴上一点，连接PC，BC，使S△PBC＝2S△ABC，直接写出点P点坐标． 9．（2024春•咸安区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别是A（4，0），B（0，2），点C坐标C（m，n）满足，连接AC，BC，OC． （1）四边形OACB的面积为 　 　； （2）点D是x轴上一个动点，当三角形ADC的面积为10时，求点D的坐标； （3）将线段AC平移至线段PQ（点C的对应点为P，点A的对应点为Q），且点P在线段OB上，当三角形PAC的面积为时，求点Q的坐标． 10．（2024秋•辽阳月考）如图1，已知在平面直角坐标系中，点A（﹣4，0），点B（0，3），将线段AB向右平移4个单位长度至OC的位置，连BC． （1）直接写出点C的坐标　 　； （2）如图2，作CD⊥x轴于点D，在x轴正半轴有一点E（1，0），作EF⊥x轴交BC于点F，交AC于点，动点P从F点开始，以每秒1个单位长度沿射线FE运动，设时间为t秒，连接AC． ①试问：△PCD的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由； ②当△PCA的面积为时，求t的值及此时点P的坐标． 11．（2024春•滨城区期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（3，5），（3，0）．将线段AB向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段CD，连接AC，BD； （1）直接写出坐标：点C（ 　 　），点D（ 　）． （2）M，N分别是线段AB，CD上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒0.5个单位长度，若两点同时出发，求几秒后MN∥x轴？ （3）点P是直线BD上一个动点，连接PC、PA，当点P在直线BD上运动时，请直接写出∠CPA与∠PCD，∠PAB的数量关系． 12．（2024春•天山区校级期末）已知点A（﹣2，0），B（0，﹣4），C（﹣4，﹣6），过点C作x轴的平行线m，交y轴于点D，一动点P从C点出发，在直线m上以1个单位长度/秒的速度向右运动． （1）如图．当点P在第四象限时，连接OP，作射线OE平分∠AOP，过点O作OF⊥OE． ①填空：若∠OPD＝60°，则∠AOE＝　 　； ②设∠AOE＝α，则　 　． （2）若与此同时，直线m以2个单位长度/秒的速度竖直向上运动，设运动时间为t秒，点P的坐标为（x，y）．①在坐标轴上是否存在满足条件的点P，使得S△ABP＝6，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； ②求x和y的关系式． 13．（2024春•扶沟县期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，0），（4，0），现同时将点A，B分别向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度，分别得到A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD． （1）求点C，D的坐标． （2）P是x轴上（除去B点）的动点． ①连接PC，BC，使S△PBC＝2S△ABC，求符合条件的P点坐标． ②如图2，Q是线段BD上一定点，连接PQ，请直接写出∠BPQ+∠PQB与∠CDB的数量关系． 14．（2024春•新市区校级期末）在平面直角坐标系中，点A和点B在坐标轴上，其中点A（0，a），B（b，0）满足|a﹣3|0，将线段AB平移至线段CD处，且点A的对应点为点C，点B的对应点为点D． （1）求A，B两点的坐标． （2）如图1，若点C的坐标为（2，m），且△ABC的面积等于15，求点C的坐标． （3）如图2，若平移后C，D两点在坐标轴上，P为线段AB上一动点（不包括点A和点B），连接OP，PQ平分∠BPO，∠BCQ＝2∠QCD，请写出∠COP，∠OPQ，∠Q之间的数量关系，并说明理由． 15．（2023春•武汉期末）如图1，已知点A（﹣2，0），B（0，﹣4），C（﹣4，﹣6），过点C作x轴的平行线m，一动点P从C点出发，在直线m上以1个单位长度/秒的速度向右运动，与此同时，直线m以2个单位长度/秒的速度竖直向上运动． （1）直接写出：运动1秒时，点P的坐标为 　 　； 运动t秒时，点P的坐标为 　 　；（用含t的式子表示） （2）若点P在第三象限，且S△ABP＝8，求点P的坐标； （3）如图2，如果将直线AB沿y轴负半轴向下平移n个单位长度，恰好经过点C，求n的值． 16．（2024春•思明区校级期中）已知，在平面直角坐标系中，AB⊥x轴于点B，点A（a，b）满足|b﹣3|＝0，平移线段AB使点A与原点重合，点B的对应点为点C． （1）则a＝　 　，b＝　 　；点C坐标为　 　； （2）如图1，点D（m，n）在线段BC上，求m、n满足的数量关系； （3）如图2，若点E是射线OB上一动点，连接CE，分别作∠AOE与∠BCE的邻补角的角平分线OF与CI，两线所在的直线交于F点，试问当点E在射线OB（点E不与O、B重合）上运动过程中，的值是否会发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请求出其值． 17．（2023春•营口期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为长方形，其中点A和点C的坐标分别为（﹣4，2），（1，﹣4），且AD∥x轴，交y轴于点M，AB交x轴于点N． （1）直接写出点B的坐标 　 　；∠OBC的度数为 　 　． （2）若动点P从点A出发，沿AB向点B运动，在点P运动过程中，连接MP，OP，试探究∠AMP，∠MPO，∠PON之间的数量关系，并说明理由． （3）若动点P从点A出发，沿AB→BC→CD以每秒0.25个单位长度的速度向终点D匀速运动，设点P的运动时间为t秒，当△AMP的面积大于长方形ABCD面积的时，直接写出时间t的取值范围． 18．（2023春•闽侯县期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣5，﹣1），B（﹣3，2），将线段AB平移至线段CD，使点A的对应点C恰好落在x轴的正半轴上，设点C的坐标为（k，0），点B的对应点D在第一象限． （1）求点D的坐标（用含k的式子表示）； （2）连接BD，BC，如图2，若三角形BCD的面积为8，求k的值； （3）连接AD，如图3，分别作∠ABC和∠ADC的平分线，交于点P，试探究∠BAD，∠BCD和∠BPD之间的等量关系，并说明理由． 19．（2023春•瓦房店市期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（3，5），（3，0）．现同时将点A，B分别向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD． （1）直接写出C，D两点的坐标为：C 　 　，D 　 　； （2）若点P是线段AC上的一个动点，Q是线段AB上的一点（不与点A，B重合），连接PQ，PO，当点P在线段AC上移动时（不与点A，C重合），请找出∠DOP，∠QPO，∠BQP的数量关系，并证明你的结论； （3）在坐标轴上是否存在点M，使三角形MBD的面积与三角形ACB的面积相等？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，试说明理由． 20．如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（2，﹣1）、B（4，2），将线段AB平移至线段CD，使点B的对应点D在y轴的正半轴上，点C在第二象限． （1）若点D的坐标为（0，k），求点C的坐标（用含k的式子表示）． （2）连接AC、BC，若三角形ABC的面积为9，求k的值． （3）如图2，分别作∠BAD和∠BCD的平分线，它们交于点P请写出∠B、∠P和∠ADC之间的一个等量关系，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ （浙教版）八年级上册数学《第4章 图形与坐标》 专题 平面直角坐标系中动点问题（压轴题） 1．（2024春•宁乡市期中）如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（b，c）三点，其中a，b，c满足关系式． （1）求a，b，c的值； （2）如果在第二象限内有一点，那么请用含m的式子表示四边形ABOP的面积； （3）在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形ABOP的面积与三角形ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据非负数的性质求出a、b、c的值，即可得出A、B、C三点的坐标； （2）根据四边形ABOP的面积等于△AOB的面积加上△AOP的面积计算即可； （3）根据四边形ABOP的面积与三角形ABC的面积相等即可求出点P的坐标． 【解答】解：（1）∵（b﹣2）2+|c﹣3|＝0， ∴0，（b﹣2）2|＝0，|c﹣3|＝0， ∴a＝1，b＝2，c＝3， ∴点A的坐标是（0，1），点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（2，3）； （2）由（1）知A（0，1），B（2，0），C（2，3）， 又∵P（m，）在第二象限， ∴m＜0， ∴S四边形ABOP＝S△AOB+S△AOP 1×21×|m| ＝1m； （3）存在， ∵B（2，0），C（2，3）， ∴BC⊥x轴， ∴S△ABC3×2＝3， 由题意得，1m＝3， 解得m＝﹣4， ∴点P的坐标为（﹣4，）． 【点评】本题考查了三角形的面积，坐标与图形的性质，非负数的性质，四边形的面积，熟练掌握坐标与图形的性质是解题的关键． 2．（2024春•鞍山期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（1，2），（3，1），将线段AB平移，平移后点A的对应点为C，点B的对应点为D． （1）若平移后点C，D同时在坐标轴上，分别写出点C，D的坐标； （2）在（1）的条件下，画出线段CD，点M（m，0）是x轴上一个动点，且2＜m＜4，试判断∠ABM，∠BMD，∠CDM之间的数量关系，并证明你的结论． 【分析】（1）根据平移的性质，进行求解即可； （2）过点M作AB∥MN，进而得到∠ABM+∠BMN＝180°，平移得到AB∥CD，进而得到MN∥CD，得到∠NMD+∠CDM＝180°，进而得到∠ABM+∠BMD+∠CDM＝360°，即可． 【解答】解：（1）∵点A，B的坐标分别是（1，2），（3，1），将线段AB平移，平移后点A 的对应点为C，点B的对应点为D， 当平移后点C，D 同时在坐标轴上，分两种情况， 当点C在y轴上，点D在x轴上时：则C的横坐标为0，D的纵坐标为0， ∴平移规则为：先向左平移1个单位，再向下平移1个单位， ∴C（0，1），D（2，0）； 当点C在x轴上，点D在y轴上时：则C的纵坐标为0，D的横坐标为0， ∴平移规则为：先向左平移3个单位，再向下平移2个单位， ∴D（0，﹣1），C（﹣2，0）； （2）∠ABM+∠BMD+∠CDM＝360°， 证明：过点M作AB∥MN， 则∠ABM+∠BMN＝180°， 由平移可得AB∥CD， ∴MN∥CD， 则∠NMD+∠CDM＝180°， ∴∠ABM+∠BMD+∠CDM＝360°． 【点评】本题考查坐标与平移，平行线的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 3．（2024春•阳新县校级期末）在平面直角坐标系中，点A（a，0），B（0，b），a、b满足|2a﹣b﹣9|+（a+2b﹣12）2＝0，连接AB． （1）求出点A、B的坐标； （2）如图1，点C是线段AB上一点，若AC＝2BC，求点C坐标．小军想到：可连接OC，此时将三角形OAB分成两个小三角形，而三角形OBC的面积恰好是三角形OAB的三分之一，从而求出点C坐标，请你根据小军的思路写出求解点C坐标的过程； （3）如图2，将线段AB先向下平移5个单位，再向左平移2个单位得到线段MN（点A的对应点为M），线段MN与y轴交于点P，点E（0，t）是y轴上一动点，当三角形MNE的面积小于3时，请直接写出t的取值范围． 【分析】（1）根据非负数的性质可得关于a，b的二元一次方程组，解此方程组即可求解； （2）易求得S△OAB＝9，设点C（m，n），由小军的思路可知，S△OAC，以此列出方程求出m，n即可； （3）利用平移的性质可求出M（4，﹣5），N（﹣2，﹣2），以及点C平后的对应点为点P（0，﹣3），利用两点间的距离公式求得PE＝|t+3|，于是S△MNE＝S△PEN+S△PEM，即3，代入计算即可求出t的取值范围． 【解答】解：（1）∵|2a﹣b﹣9|+（a+2b﹣12）2＝0， ∴， 解得：， ∴A（6，0），B（0，3）； （2）∵A（6，0），B（0，3）， ∴OA＝6，OB＝3， ∴S△OAB9， 设点C（m，n）， ∵AC＝2BC， ∴，即， S△OAC，即， ∴， 6， 解得：m＝2，n＝2， ∴C（2，2）； （3）如图， ∵将线段AB先向下平移5个单位，再向左平移2个单位得到线段MN， ∴M（4，﹣5），N（﹣2，﹣2）， ∴平移后点C对应点的坐标为（0，﹣3）， ∴点C的对应点为点P（0，﹣3）， ∵点E（0，t）， ∴PE＝|t﹣（﹣3）|＝|t+3|， ∵S△MNE＝S△PEN+S△PEM，即， ∴S△MNE3|t+3|， ∵三角形MNE的面积小于3， ∴3|t+3|＜3， 解得：﹣4＜t＜﹣2， ∵当t＝﹣3时，△MNE不存在， ∴﹣4＜t＜﹣2且t≠﹣3． 【点评】本题主要考查非负数的性质、解二元一次方程组、坐标与图形性质、三角形的面积、平移变换，解题关键是灵活运用所学知识，利用数形结合思想解决问题． 4．（2024春•礼县月考）平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0）． （1）如图①，则三角形ABC的面积为 　 ； （2）如图②，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D．求△ACD的面积． 【分析】（1）根据题意得出OA＝2，OB＝2，OC＝4，然后根据三角形面积公式直接计算即可； （2）由平移的性质可得点D坐标；①连接OD，过点D作DE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，根据S△ACD＝S△OAD+S△OCD﹣S△OAC进行计算即可得到答案；②根据△PAO的面积等于△CAO的面积，求解即可． 【解答】解：（1）∵O为原点，点A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0）． ∴OA＝2，OB＝2，OC＝4， ∴BC＝OB+OC＝6， ∴． 故答案为：6； （2）∵将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，B（﹣2，0）， ∴得到对应点D坐标为（5，4）， 连接OD，过点D作DE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F， ∵D（5，4）， ∴DE＝5，DF＝4， ∴S△ACD＝S△OAD+S△OCD﹣S△OAC ＝9． 【点评】本题考查了坐标与图形、点的平移等知识，掌握运用数形结合的思想分析解决问题是解题关键． 5．（2023•苏州模拟）如图，长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为（4，0），C点的坐标为（0，6），点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣C﹣B﹣A﹣O的路线移动（即：沿着长方形移动一周）． （1）写出B点的坐标（　 　）； （2）当点P移动了4秒时，描出此时P点的位置，并写出点P的坐标． （3）在移动过程中，当点P到x轴距离为5个单位长度时，求点P移动的时间． 【分析】（1）根据矩形的性质以及点的坐标的定义写出即可； （2）先求得点P运动的距离，从而可得到点P的坐标； （3）根据矩形的性质以及点到x轴的距离等于纵坐标的长度求出OP，再根据时间＝路程÷速度列式计算即可得解． 【解答】解：（1）∵A点的坐标为（4，0），C点的坐标为（0，6）， ∴OA＝4，OC＝6， ∴点B（4，6）； 故答案为：4，6． （2）如图所示， ∵点P移动了4秒时的距离是2×4＝8， ∴点P的坐标为（2，6）； （3）点P到x轴距离为5个单位长度时，点P的纵坐标为5， 若点P在OC上，则OP＝5， t＝5÷2＝2.5秒， 若点P在AB上，则OP＝OC+BC+BP＝6+4+（6﹣5）＝11， t＝11÷2＝5.5秒， 综上所述，点P移动的时间为2.5秒或5.5秒． 【点评】本题考查了坐标与图形性质，动点问题，主要利用了矩形的性质和点的坐标的确定，难点在于（3）要分情况讨论． 6．（2023春•公安县期末）如图1，已知，点A（1，a），AH⊥x轴，垂足为H，将线段AO平移至线段BC，点B（b，0），其中点A与点B对应，点O与点C对应，a、b满足． （1）填空：①直接写出A、B、C三点的坐标A（ 　 　）、B（ 　 　）、C（ 　 　）； ②直接写出三角形AOH的面积 　 　． （2）如图1，若点D（m，n）在线段OA上，证明：4m＝n． （3）如图2，连OC，动点P从点B开始在x轴上以每秒2个单位的速度向左运动，同时点Q从点O开始在y轴上以每秒1个单位的速度向下运动．若经过t秒，三角形AOP与三角形COQ的面积相等，试求t的值及点P的坐标． 【分析】（1）①利用非负数的性质求出a，b的值，可得结论． ②利用三角形面积公式求解即可． （2）连接DH，根据△ODH的面积+△ADH的面积＝△OAH的面积，构建关系式，可得结论． （3）分两种情形：①当点P在线段OB上，②当点P在BO的延长线上时，分别利用面积关系，构建方程，可得结论． 【解答】（1）解：①∵， 又∵0，（b﹣3）2≥0， ∴a＝4，b＝3， ∴A（1，4），B（3，0），C（（2，﹣4）， 故答案为：1，4；3，0；2，﹣4． ②△AOH的面积1×4＝2， 故答案为：2． （2）证明：如图，连接DH． ∵△ODH的面积+△ADH的面积＝△OAH的面积， ∴1×n4×（1﹣m）＝2， ∴4m＝n． （3）解：①当点P在线段OB上，（3﹣2t）×42t， 解得t＝1.2． 此时P（0.6，0）． ②当点P在BO的延长线上时，（2t﹣3）×42×t， 解得t＝2， 此时P（﹣1，0）， 综上所述，t＝1.2时，P（0.6，0），t＝2时，P（﹣1，0）． 【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移，非负数的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 7．（2023春•延长县期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点A（8，6）分别作x轴、y轴的平行线，交y轴于点B，交x轴于点C，点P是从点B出发，沿B→A→C以2个单位长度/秒的速度向终点C运动的一个动点，运动时间为t（秒）． （1）直接写出点B和点C的坐标B（　 　，　 　）、C（　 ，　 ）； （2）当点P运动时，用含t的式子表示线段AP的长，并写出t的取值范围； （3）点D（2，0），连接PD、AD，在（2）条件下是否存在这样的t值，使S△APDS四边形ABOC，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据题意即可得到结论； （2）当点P在线段BA上时，根据A（8，6），B（0，6），C（8，0），得到AB＝8，AC＝6当点P在线段AC上时，于是得到结论； （3）当点P在线段BA上时，当点P在线段AC上时，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：（1）B（0，6），C（8，0）， 故答案为：0、6，8、0； （2）当点P在线段BA上时， 由A（8，6），B（0，6），C（8，0）可得：AB＝8，AC＝6 ∵AP＝AB﹣BP，BP＝2t， ∴AP＝8﹣2t（0≤t＜4）； 当点P在线段AC上时， ∴AP＝点P走过的路程﹣AB＝2t﹣8（4≤t≤7）． （3）存在两个符合条件的t值， 当点P在线段BA上时 ∵S△APDAP•AC S四边形ABOC＝AB•AC，S△APDS四边形ABOC， ∴（8﹣2t）×68×6， 解得：t＝3＜4， 当点P在线段AC上时， ∵S△APDAP•CD CD＝8﹣2＝6， ∴（2t﹣8）×68×6， 解得：t＝5． 综上所述：当t为3秒和5秒时S△APDS四边形ABOC， 【点评】本题考查了坐标与图形性质，矩形的性质，三角形面积的计算，正确的作出图形是解题的关键． 8．（2023春•牡丹江期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（a，0），（b，0），其中a，b满足|a﹣2|0，现同时将点A，B分别向上平移6个单位长度，再向左平移2个单位长度，分别得到AB的对应点C，D，连接AC，BD，CD． （1）点C的坐标为 　 　，点D的坐标为 　 ； （2）把AC的中点M（1，3）向左平移4个单位长度得到点E，如图②，连接EC，EA，求△ACE的面积； （3）P是x轴上一点，连接PC，BC，使S△PBC＝2S△ABC，直接写出点P点坐标． 【分析】（1）根据绝对值、二次根式的非负性求出a与b的值，得到点A，B的坐标，再根据点的平移规律得出点C，D的坐标； （2）利用S△ACE＝S△AME+S△CME列式计算即可； （3）根据S△PBC＝2S△ABC得到•PB•OC＝2AB•OC，得出PB＝2AB，进而求出P点横坐标，即可得出答案． 【解答】解：（1）∵|a﹣2|0， ∴a﹣2＝0，8﹣b＝0， ∴a＝2，b＝8， ∴A（2，0），B（8，0）， ∵同时将点A，B分别向上平移6个单位长度，再向左平移2个单位长度，分别得到A，B的对应点C，D， ∴C（0，6），D（6，6）． 故答案为：（0，6），（6，6）； （2）∵把AC的中点M（1，3）向左平移4个单位长度得到点E， ∴E（﹣3，3），ME∥x轴， ∴EM＝1﹣（﹣3）＝4． 如图，连接EM， 则S△ACE＝S△AME+S△CME 4×6 ＝12； （3）∵S△PBC＝2S△ABC，P是x轴上一点， ∴•PB•OC＝2AB•OC， ∴PB＝2AB＝2×（8﹣2）＝12， ∵B（8，0）， ∴P点横坐标为：8+12＝20，或8﹣12＝﹣4， ∴P点坐标为（20，0）或（﹣4，0）． 【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，非负数的性质，三角形的面积，掌握平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键． 9．（2024春•咸安区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别是A（4，0），B（0，2），点C坐标C（m，n）满足，连接AC，BC，OC． （1）四边形OACB的面积为 　 　； （2）点D是x轴上一个动点，当三角形ADC的面积为10时，求点D的坐标； （3）将线段AC平移至线段PQ（点C的对应点为P，点A的对应点为Q），且点P在线段OB上，当三角形PAC的面积为时，求点Q的坐标． 【分析】（1）根据非负数的性质可得m﹣3＝0，n﹣4＝0，进而可得点C的坐标为（3，4）．利用割补法求四边形OACB的面积即可． （2）设点D的坐标为（m，0），根据题意可列方程为，求出m的值，即可得出答案． （3）设点P的坐标为（0，a），0≤a≤2，根据题意可列方程为，可得a＝1，则点P的坐标为（0，1），即线段AC是向左平移3个单位长度，向下平移3个单位长度得到线段PQ，结合平移的性质可得答案． 【解答】解：（1）∵， ∴m﹣3＝0，n﹣4＝0， 解得m＝3，n＝4， ∴点C的坐标为（3，4）． ∴四边形OACB的面积为S△AOC+S△BOC8+3＝11． 故答案为：11． （2）设点D的坐标为（m，0）， ∵三角形ADC的面积为10， ∴， 解得m＝9或﹣1， ∴点D的坐标为（9，0）或（﹣1，0）． （3）如图， ∵点P在线段OB上， ∴设点P的坐标为（0，a），0≤a≤2， ∴三角形PAC的面积为S四边形OACB﹣S△PBC﹣S△AOP， 解得a＝1， ∴点P的坐标为（0，1）， ∴线段AC是向左平移3个单位长度，向下平移3个单位长度得到线段PQ， ∴点A的对应点Q的坐标为（1，﹣3）． 【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移、非负数的性质：绝对值、非负数的性质：算术平方根、三角形的面积，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 10．（2024秋•辽阳月考）如图1，已知在平面直角坐标系中，点A（﹣4，0），点B（0，3），将线段AB向右平移4个单位长度至OC的位置，连BC． （1）直接写出点C的坐标　 　； （2）如图2，作CD⊥x轴于点D，在x轴正半轴有一点E（1，0），作EF⊥x轴交BC于点F，交AC于点，动点P从F点开始，以每秒1个单位长度沿射线FE运动，设时间为t秒，连接AC． ①试问：△PCD的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由； ②当△PCA的面积为时，求t的值及此时点P的坐标． 【分析】（1）根据题意利用平移的性质直接写出平移后的点坐标即可； （2）根据题意可知△PCD的面积为定值，利用面积公式将CD作为底，点P到CD距离为高，继而求得面积； （3）设点P的坐标为（1，m），利用动点三角形面积公式列式继而求出m的值即可，继而求出点P的坐标和运动时间t． 【解答】解：（1）∵BC＝4， ∴C（4，3）， 故答案为：（4，3）； （2）①△PCD的面积是定值，证明： ∵C（4，3），D（4，0）， ∴CD＝3， ∵动点P从F点开始，以每秒1个单位长度沿射线FE运动， ∴点P到CD距离为△PCD高，且恒为定值， ∵E（1，0）， ∴DE＝3， ∴点P到CD距离为3， ∴； ②设点P的坐标为（1，m）， ∵A（﹣4，0），C（4，3），点E（1，0），作EF⊥x轴交BC于点F，， ∴ ∵△PCA的面积为， ∴， ∴m＝6（舍）或， ∴点P的坐标为， ∴t的值为：． 【点评】本题考查平移性质，点坐标表示，三角形面积公式，已知面积求动点坐标，正确进行计算是解题关键． 11．（2024春•滨城区期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（3，5），（3，0）．将线段AB向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段CD，连接AC，BD； （1）直接写出坐标：点C（ 　 　），点D（ 　）． （2）M，N分别是线段AB，CD上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒0.5个单位长度，若两点同时出发，求几秒后MN∥x轴？ （3）点P是直线BD上一个动点，连接PC、PA，当点P在直线BD上运动时，请直接写出∠CPA与∠PCD，∠PAB的数量关系． 【分析】（1）利用平移变换的性质求解； （2）设t秒后MN∥x轴，构建方程求解； （3）分三种情形：①如图1中，当点P在直线AC的左侧时，②如图2中，当点P在直线AC的左侧或直线AC上且在直线AB的右侧时，③如图3中，当点P在直线AB的右侧时，分别求解即可． 【解答】解：（1）由题意C（﹣1，3），D（﹣1，﹣2）， 故答案为：﹣1，3，﹣1，﹣2； （2）设t秒后MN∥x轴， ∴5﹣t＝0.5t﹣2， 解得t， ∴t时，MN∥x轴； （3）①如图1中，当点P在线段BD上时，∠APC＝∠PCD+∠PAB． ②如图2中，当点P在BD的延长线上时，∠PAB＝∠PCD+∠APC． ③如图3中，当点P在DB的延长线上时，∠PCD＝∠PAB+∠APC． 【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 12．（2024春•天山区校级期末）已知点A（﹣2，0），B（0，﹣4），C（﹣4，﹣6），过点C作x轴的平行线m，交y轴于点D，一动点P从C点出发，在直线m上以1个单位长度/秒的速度向右运动． （1）如图．当点P在第四象限时，连接OP，作射线OE平分∠AOP，过点O作OF⊥OE． ①填空：若∠OPD＝60°，则∠AOE＝　 　； ②设∠AOE＝α，则　 　． （2）若与此同时，直线m以2个单位长度/秒的速度竖直向上运动，设运动时间为t秒，点P的坐标为（x，y）．①在坐标轴上是否存在满足条件的点P，使得S△ABP＝6，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； ②求x和y的关系式． 【分析】（1）①由平行线的性质得∠AOP＝120°，再由角平分线定义得∠AOE＝60°； ②由三角形的外角性质和角平分线定义得∠EOP＝45°∠DOP，则∠DOE＝45°∠DOP，再由直角三角形的性质得∠OPD＝90°﹣∠DOP，即可得出结论； （2）①经过t秒后，点P的坐标为（﹣4+t，﹣6+2t），再分两种情况，点P在x轴上和点P在y轴上，分别求出t的值，即可解决问题； ②由①可知，x＝﹣4+t，y＝﹣6+2t，则t＝x+4，把t＝x+4代入y＝﹣6+2t即可得出结论． 【解答】解：（1）①∵直线m∥x轴，∠OPD＝60°， ∴∠AOP+∠OPD＝180°， ∴∠AOP＝180°﹣60°＝120°， ∵OE平分∠AOP， ∴∠AOE∠AOP＝60°， 故答案为：60°； ②∵∠AOP＝∠AOD+∠DOP＝90°+∠DOP，OE平分∠AOP， ∴∠EOP∠AOP（90°+∠DOP）＝45°∠DOP， ∴∠DOE＝∠EOP﹣∠DOP＝45°∠DOP﹣∠DOP＝45°∠DOP， ∵∠OPD＝90°﹣∠DOP， ∴2， 故答案为：2； （2）①在坐标轴上存在满足条件的点P，理由如下： 由题意可知，经过t秒后，点P的坐标为（﹣4+t，﹣6+2t）， a、若点P在x轴上，则﹣6+2t＝0， 解得：t＝3， ∴p（﹣1，0）， ∴AP＝1，OB＝4， ∴S△ABPAP•OB1×4＝2≠6，不合题意； b、若点P在y轴上，则﹣4+t＝0， 解得：t＝4， ∴P（0，2）， ∴BP＝6，OA＝2， ∴S△ABPBP•OA6×2＝6，符合题意； 综上所述，在坐标轴上存在满足条件的点P，使得S△ABP＝6，点P的坐标为（0，2）； ②由①可知，x＝﹣4+t，y＝﹣6+2t， ∴t＝x+4， 把t＝x+4代入y＝﹣6+2t得：y＝﹣6+2（x+4）＝2x+2， 即x和y的关系式为y＝2x+2． 【点评】本题是三角形综合题目，考查了平行线的性质、角平分线定义、坐标与图形性质、直角三角形的性质、三角形的外角性质、三角形面积以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握平行线的性质和角平分线定义是解题的关键． 13．（2024春•扶沟县期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，0），（4，0），现同时将点A，B分别向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度，分别得到A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD． （1）求点C，D的坐标． （2）P是x轴上（除去B点）的动点． ①连接PC，BC，使S△PBC＝2S△ABC，求符合条件的P点坐标． ②如图2，Q是线段BD上一定点，连接PQ，请直接写出∠BPQ+∠PQB与∠CDB的数量关系． 【分析】（1）根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加写出点C、D的坐标即可； （2）①设P点坐标为（m，0），由三角形面积公式可得出答案； ②分两种情况，如图1，当点P在点B左侧（m＜4）时，过点Q作QE∥AB，则∠EQP＝∠BPQ．由平行线的性质可得出∠BPQ+∠PQB＝∠CDB．如图2，当点P在点B右侧（m＞4）时，过点Q作QF∥AB，则∠PQF＝∠BPQ，∠BQF＝∠ABD．由平行线的性质可得出∠BPQ+∠PQB+∠CDB＝180°． 【解答】解：（1）∵点A（1，0），B（4，0），将点A，B分别向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到对应点为C，D， ∴C（0，3），D（3，3）． （2）①∵AB＝3，CO＝3， ∴S△ABCAB•CO3×3． 设P点坐标为（m，0）， ∴3×|4﹣m|2． 解得m＝﹣2或m＝10． ∴P点坐标为（﹣2，0）或（10，0）． ②∠BPQ+∠PQB＝∠CDB；∠BPQ+∠PQB+∠CDB＝180°． 如图1，当点P在点B左侧（m＜4）时，过点Q作QE∥AB，则∠EQP＝∠BPQ． ∵C（0，3），D（3，3）， ∴AB∥CD． ∴CD∥EQ． ∴∠EQB＝∠CDB． ∴∠BPQ+∠PQB＝∠CDB． 如图2，当点P在点B右侧（m＞4）时，过点Q作QF∥AB， 则∠PQF＝∠BPQ，∠BQF＝∠ABD． ∵AB∥CD， ∴∠CDB+∠ABD＝180°． ∴∠BQF+∠CDB＝180°． ∴∠BPQ+∠PQB+∠CDB＝180°． 【点评】本题是几何变换综合题，考查了平移的性质，平行线的性质，三角形的面积公式，也考查了坐标与图形性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 14．（2024春•新市区校级期末）在平面直角坐标系中，点A和点B在坐标轴上，其中点A（0，a），B（b，0）满足|a﹣3|0，将线段AB平移至线段CD处，且点A的对应点为点C，点B的对应点为点D． （1）求A，B两点的坐标． （2）如图1，若点C的坐标为（2，m），且△ABC的面积等于15，求点C的坐标． （3）如图2，若平移后C，D两点在坐标轴上，P为线段AB上一动点（不包括点A和点B），连接OP，PQ平分∠BPO，∠BCQ＝2∠QCD，请写出∠COP，∠OPQ，∠Q之间的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）利用非负数的性质求解即可． （2）如图1中，分别过点B，A作x轴，y轴的垂线交于点M，过点C作CN⊥AM于N．根据S△ABC＝S四边形MNCB﹣S△ABM﹣S△ACN构建方程求解即可． （3）过点O作OM∥AB，由平行线的性质得出∠COP＝∠POM+∠COM＝∠BPO+∠DCO，∠Q＝∠BPQ+∠DCQ，则可得出答案． 【解答】解：（1）∵|a﹣3|0， 又∵|a﹣3|≥0，0， ∴a＝3，b＝﹣4， ∴A（0，3），B（﹣4，0）． （2）如图1中，分别过点B，A作x轴，y轴的垂线交于点M，过点C作CN⊥AM于N． ∵S△ABC＝S四边形MNCB﹣S△ABM﹣S△ACN， ∴15•（3+3﹣m）•（4+2）3×42×（3﹣m）， 解得m＝﹣3， ∴C（2，﹣3）． （3）∠COP＝3∠Q﹣∠OPQ． 理由如下：如图2，过点O作OM∥AB， ∴∠BPO＝∠POM， ∵AB∥CD， ∴OM∥CD， ∴∠DCO＝∠OCM， ∴∠COP＝∠POM+∠COM＝∠BPO+∠DCO， 同理可得∠Q＝∠BPQ+∠DCQ， ∵PQ平分∠BPO， ∴∠BPO＝2∠OPQ＝2∠BPQ， ∴∠COP＝2∠BPQ+∠DCQ+∠BCQ， ∵∠BCQ＝2∠DCQ， ∴∠COP＝2∠BPQ+3∠DCQ ＝3∠BPQ+3∠DCQ﹣∠OPQ ＝3∠Q﹣∠OPQ． 【点评】本题属于三角形综合题，考查了平移变换，平行线的性质，三角形的面积，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会利用面积法求点的坐标，学会利用基本几何模型解决问题． 15．（2023春•武汉期末）如图1，已知点A（﹣2，0），B（0，﹣4），C（﹣4，﹣6），过点C作x轴的平行线m，一动点P从C点出发，在直线m上以1个单位长度/秒的速度向右运动，与此同时，直线m以2个单位长度/秒的速度竖直向上运动． （1）直接写出：运动1秒时，点P的坐标为 　 　； 运动t秒时，点P的坐标为 　 　；（用含t的式子表示） （2）若点P在第三象限，且S△ABP＝8，求点P的坐标； （3）如图2，如果将直线AB沿y轴负半轴向下平移n个单位长度，恰好经过点C，求n的值． 【分析】（1）运动1秒时，点P的坐标为（﹣4+1，﹣6+2），即P（﹣3，﹣4），运动t秒时，点P的坐标为（﹣4+t，﹣6+2t）， （2）连接OP，由S△ABP＝S△AOP+S△BOP﹣S△AOB＝8，得2×（6﹣2t）4×（4﹣t）2×4＝8，解得t，即可得出结论； （3）由平移的性质和规律即可得出结论． 【解答】解：（1）运动1秒时，点P的坐标为（﹣4+1，﹣6+2）， 即P（﹣3，﹣4）； 运动t秒时，点P的坐标为（﹣4+t，﹣6+2t）， 故答案为：（﹣3，﹣4），（﹣4+t，﹣6+2t）； （2）如图1﹣1，连接OP， ∵点A（﹣2，0），B（0，﹣4）， ∴OA＝2，OB＝4， ∵S△ABP＝S△AOP+S△BOP﹣S△AOB＝8， ∴2×（6﹣2t）4×（4﹣t）2×4＝8， 解得：t， ∴﹣4+t，﹣6+2t＝﹣5， ∴点P的坐标为（，﹣5）； （3）如图2，设直线m与y轴交于点D， ∵C（﹣4，﹣6）， ∴D（0，﹣6）， ∴将直线AB沿y轴负半轴向下平移2个单位经过点D， ∵C（﹣4，﹣6），点A（﹣2，0），B（0，﹣4）， ∴将直线AB沿y轴负半轴向下平移n个单位长度，恰好经过点C时，n＝2+2×4＝10， 即n的值为10． 【点评】本题是三角形综合题目，考查了坐标与图形性质、三角形面积、平移的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握三角形面积公式和平移的性质是解题的关键． 16．（2024春•思明区校级期中）已知，在平面直角坐标系中，AB⊥x轴于点B，点A（a，b）满足|b﹣3|＝0，平移线段AB使点A与原点重合，点B的对应点为点C． （1）则a＝　 　，b＝　 　；点C坐标为　 　； （2）如图1，点D（m，n）在线段BC上，求m、n满足的数量关系； （3）如图2，若点E是射线OB上一动点，连接CE，分别作∠AOE与∠BCE的邻补角的角平分线OF与CI，两线所在的直线交于F点，试问当点E在射线OB（点E不与O、B重合）上运动过程中，的值是否会发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请求出其值． 【分析】（1）由算术平方根和绝对值的非负性质得a+4＝0，b﹣3＝0，则a＝﹣4，b＝3，A（﹣4，3），再由平移的性质得：OC＝AB＝3，则C（0，﹣3）； （2）连接OD，过D作DM⊥x轴于M，DN⊥y轴于N，由△OBC的面积＝△OCD的面积+△OBD的面积，即可求解； （3）由平行线的性质得∠AOB＝∠CBO＝∠CBE，再由角平分线定义得∠EOF∠EOH＝90°∠CBE，∠FCB＝∠GCI＝90°∠BCE，则∠FCE＝∠FCB+∠BCE＝90°∠BCE，然后由三角形内角和定理和三角形的外角性质即可得出结论． 【解答】解：（1）∵|b﹣3|＝0， ∴a+4＝0，b﹣3＝0， ∴a＝﹣4，b＝3， ∴A（﹣4，3）， ∵AB⊥x轴， ∴AB＝3，OB＝4， 由平移的性质得：OC＝AB＝3， ∴C（0，﹣3）， 故答案为：﹣4，3，（0，﹣3）； （2） 连接OD，过D作DM⊥x轴于M，DN⊥y轴于N，如图1所示： ∵点D（m，n）在线段BC上， ∴DN＝﹣m，DM＝﹣n， ∵△OBC的面积＝△OCD的面积+△OBD的面积， ∴OB×OCOC×DNOB×DM， ∴4×3＝﹣3m﹣4n， ∴3m+4n＝﹣12， 即m、n满足的数量关系为3m+4n＝﹣12； （3）的值不发生变化，值为，理由如下： 由平移的性质得OC∥AB，OC＝AB， ∴∠AOB＝∠CBO＝∠CBE， ∵∠AOE与∠BCE的邻补角的角平分线为OF与CI， ∴∠EOF∠EOH（180°﹣∠AOB）（180°﹣∠CBE）＝90°∠CBE， ∠FCB＝∠GCI（180°﹣∠BCE）＝90°∠BCE， ∴∠FCE＝∠FCB+∠BCE＝90°∠BCE+∠BCE＝90°∠BCE， 设OF与CE交于点H，如图2所示： 则∠EHO＝∠FOC＝180°﹣∠OFC﹣∠FCE＝180°﹣∠OFC﹣（90°∠BCE）＝90°﹣∠OFC∠BCE， ∵∠OEC+EOF+∠EHO＝180°，∠OEC＝∠CBE+∠BCE， ∴∠OEC+90°∠CBE+90°﹣∠OFC∠BCE＝180°， ∴∠OEC﹣∠OFC（∠CBE+∠BCE）＝0， 即∠OEC﹣∠OFC∠OEC＝0， ∴∠OFC∠OEC， ∴． 【点评】本题是三角形综合题目，考查了坐标与图形性质、平移的性质、平行线的性质、算术平方根和绝对值的非负性质、三角形面积、三角形内角和定理、三角形的外角性质、角平分线定义等知识；本题综合性强，熟练掌握平移的性质、平行线的性质以及三角形内角和定理是解题的关键． 17．（2023春•营口期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为长方形，其中点A和点C的坐标分别为（﹣4，2），（1，﹣4），且AD∥x轴，交y轴于点M，AB交x轴于点N． （1）直接写出点B的坐标 　 　；∠OBC的度数为 　 　． （2）若动点P从点A出发，沿AB向点B运动，在点P运动过程中，连接MP，OP，试探究∠AMP，∠MPO，∠PON之间的数量关系，并说明理由． （3）若动点P从点A出发，沿AB→BC→CD以每秒0.25个单位长度的速度向终点D匀速运动，设点P的运动时间为t秒，当△AMP的面积大于长方形ABCD面积的时，直接写出时间t的取值范围． 【分析】（1）利用矩形的性质求出点B的坐标即可解决问题； （2）分两种情形：点P在线段AN上，点P在线段BN上，分解求解即可； （3）求出两种特殊情形t的值，可得结论． 【解答】解：（1）∵点A、C坐标分别为（﹣4，2）、（1，﹣4）， 而四边形ABCD为矩形， ∴B（﹣4，﹣4），D（1，2）； ∴∠OBC＝45°， 故答案为：（﹣4，﹣4），45°； （2）当点P在线段AN上时，作PQ∥AM，如图， ∵AM∥ON， ∴AM∥PQ∥ON， ∴∠QPM＝∠AMP，∠QPO＝∠PON， ∴∠QPM+∠QPO＝∠AMP+∠PON， 即∠MPO＝∠AMP+∠PON； 当点P在线段NB上时，同样方法可得∠MPO＝∠AMP﹣∠PON； （3）当点P在AB上，S△APMS四边形ABCD时， ∵AM＝4，APt， ∴S△AMP4tt， ∴t＝3010， ∴t＝20， ∴AP20＝5， ∵AN＝2， ∴P点坐标为（﹣4，﹣3）． 当点P在线段CD上，S△APMS四边形ABCD时，可得P（1，﹣3）， 此时t48， ∴满足条件的t的值为20＜t＜48． 【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，平行线的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会寻找特殊位置解决问题，属于中考压轴题． 18．（2023春•闽侯县期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣5，﹣1），B（﹣3，2），将线段AB平移至线段CD，使点A的对应点C恰好落在x轴的正半轴上，设点C的坐标为（k，0），点B的对应点D在第一象限． （1）求点D的坐标（用含k的式子表示）； （2）连接BD，BC，如图2，若三角形BCD的面积为8，求k的值； （3）连接AD，如图3，分别作∠ABC和∠ADC的平分线，交于点P，试探究∠BAD，∠BCD和∠BPD之间的等量关系，并说明理由． 【分析】（1）由平移的性质可得出答案； （2）过点B作BK⊥x轴于点E，过点D作DT⊥x轴于点F，再列方程可解得答案； （3）过点P作PE∥AB得出∠PBA＝∠EPB，由平移的性质得出AB∥CD，由平行线的性质得出PE∥CD，则∠EPD＝∠PDC，得出∠BPD＝∠PBA+∠PDC，由角平分线的性质得出∠PBA∠ABC，∠PDC∠ADC，即可得出结论． 【解答】解：（1）∵﹣3+[k﹣（﹣5）]＝k+2，2+[0﹣（﹣1）]＝3， ∴D的坐标为（k+2，3）； （2）过B作BK⊥x轴于K，过D作DT⊥x轴于T，如图： ∵B（﹣3，2），C（k，0），D（k+2，3）； ∴BK＝2，DT＝3，OK＝3，OT＝k+2，KT＝k+5，CK＝k+3，TC＝2， ∵三角形BCD的面积为8， ∴2×（k+3）2×3＝8， 解得k＝1， ∴k的值为1； （3）∠BPD∠BCD∠A；理由如下： 过点P作PE∥AB，如图示： ∴∠PBA＝∠EPB， ∵线段AB平移至线段CD， ∴AB∥CD， ∴PE∥CD，∠ADC＝∠A，∠ABC＝∠BCD， ∴∠EPD＝∠PDC， ∴∠BPD＝∠PBA+∠PDC， ∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC， ∴∠PBA∠ABC，∠PDC∠ADC， ∴∠BPD∠ABC∠ADC∠BCD∠A． 【点评】本题考查几何变换综合运用，涉及平面直角坐标系与点的坐标、平移的性质、平行线的判定与性质、角平分线定义、三角形面积的计算等知识，熟练掌握平移的性质、平行线的性质是解题的关键． 19．（2023春•瓦房店市期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（3，5），（3，0）．现同时将点A，B分别向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD． （1）直接写出C，D两点的坐标为：C 　 　，D 　 　； （2）若点P是线段AC上的一个动点，Q是线段AB上的一点（不与点A，B重合），连接PQ，PO，当点P在线段AC上移动时（不与点A，C重合），请找出∠DOP，∠QPO，∠BQP的数量关系，并证明你的结论； （3）在坐标轴上是否存在点M，使三角形MBD的面积与三角形ACB的面积相等？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，试说明理由． 【分析】（1）由平移与坐标的关系可得C（0，3），D（0，﹣2）； （2）过P作PM∥AB，知∠BQP+∠QPM＝180°，而AB∥CD，故PM∥CD，有∠OPM+∠DOP＝180°，即可得∠BQP+∠DOP+∠QPO＝360°； （3）求出S△ACBAB×OB5×3＝7.5，分两种情况：①当M在x轴上时，BM×2＝7.5，BM＝7.5，故M（﹣4.5，0）或（10.5，0）；②当M在y轴上时，DM×3＝7.5，DM＝5，故M（0，﹣7）或（3，0）． 【解答】解：（1）∵A（3，5），B（3，0），将点A，B分别向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到点A，B的对应点C，D， ∴C（0，3），D（0，﹣2）； 故答案为：（0，3），（0，﹣2）； （2）∠BQP+∠DOP+∠QPO＝360°；证明如下： 过P作PM∥AB，如图： ∴∠BQP+∠QPM＝180°， ∵A（3，5），B（3，0），C（0，3），D（0，﹣2）； ∴AB∥CD， ∴PM∥CD， ∴∠OPM+∠DOP＝180°， ∴∠BQP+∠QPM+∠OPM+∠DOP＝360°， ∴∠BQP+∠DOP+∠QPO＝360°； （3）在坐标轴上存在点M，使三角形MBD的面积与三角形ACB的面积相等，理由如下： ∵A（3，5），B（3，0）， ∴AB＝5， ∵C（0，3）， ∴OB＝3， ∴S△ACBAB×OB5×3＝7.5， ①当M在x轴上时，如图： ∵D（0，﹣2）， ∴OD＝2， ∴BM×2＝7.5， ∴BM＝7.5， ∴M（﹣4.5，0）或（10.5，0）； ②当M在y轴上时，如图： ∵B（3，0）， ∴DM×3＝7.5， ∴DM＝5， ∴M（0，﹣7）或（3，0）； 综上所述，M的坐标为（﹣4.5，0）或（10.5，0）或（0，﹣7）或（3，0）． 【点评】本题考查几何变换综合应用，涉及平行线的判定与性质，三角形面积等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用． 20．如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（2，﹣1）、B（4，2），将线段AB平移至线段CD，使点B的对应点D在y轴的正半轴上，点C在第二象限． （1）若点D的坐标为（0，k），求点C的坐标（用含k的式子表示）． （2）连接AC、BC，若三角形ABC的面积为9，求k的值． （3）如图2，分别作∠BAD和∠BCD的平分线，它们交于点P请写出∠B、∠P和∠ADC之间的一个等量关系，并说明理由． 【分析】（1）由点B（4，2）的对应点为D（0，k）得出线段CD是由线段AB向左平移4个单位，再向上平移（k﹣2）个单位后得到，即可得出结果； （2）分两种情况：①当点C在点B水平线下方时，分别过点C和点B作x轴的垂线，过点A和点B作y轴的垂线，得到矩形BEFG，则BG＝6，BE＝3，CG＝5﹣k，CF＝k﹣2，AE＝2，AF＝4，由S△ABC＝S矩形BEFG﹣S△BCG﹣S△ABE﹣S△ACF＝9，即可得出结果； ②当点C在点B水平线上方时，分别过点C和点B作x轴的垂线，过点A和点B作y轴的垂线，得到矩形CEFG，则BG＝k﹣5，BF＝3，CG＝6，CE＝k﹣2，AE＝4，AF＝2，由S△ABC＝S矩形BEFG﹣S△BCG﹣S△ABF﹣S△ACE＝9，即可得出结果； （3）过点P作PE∥AB得出∠EPA＝∠PAB，由平移的性质得出AB∥CD，由平行线的性质得出PE∥CD，∠DCB＝∠B，∠ADC＝∠DAB，则∠EPC＝∠PCD，∠P＝∠PAB+∠PCD，由角平分线的性质得出∠PCD∠BCD，∠PAB∠DAB，即可得出结论． 【解答】解：（1）∵点B（4，2）的对应点为D（0，k）， ∴线段CD是由线段AB向左平移4个单位，再向上平移（k﹣2）个单位后得到， ∴由点A（2，﹣1）可得点C（﹣2，k﹣3）； （2）①当点C在点B水平线下方时， 分别过点C和点B作x轴的垂线，过点A和点B作y轴的垂线，得到矩形BEFG， 如图1所示： 则BG＝6，BE＝3，CG＝5﹣k，CF＝k﹣2，AE＝2，AF＝4， ∴S△ABC＝S矩形BEFG﹣S△BCG﹣S△ABE﹣S△ACF＝6×36×（5﹣k）2×34×（k﹣2）＝4+k＝9， 解得：k＝5； ②当点C在点B水平线上方时， 分别过点C和点B作x轴的垂线，过点A和点B作y轴的垂线，得到矩形CEFG，如图2所示： 则BG＝k﹣5，BF＝3，CG＝6，CE＝k﹣2，AE＝4，AF＝2， ∴S△ABC＝S矩形BEFG﹣S△BCG﹣S△ABF﹣S△ACE＝6×（k﹣2）6×（k﹣5）2×34×（k﹣2）＝4+k＝9， 解得：k＝5； 综上所述：k的值为：5； （3）∠P∠ADC∠B；理由如下： 过点P作PE∥AB，如图3所示： ∴∠EPA＝∠PAB， ∵线段AB平移至线段CD， ∴AB∥CD， ∴PE∥CD，∠DCB＝∠B，∠ADC＝∠DAB， ∴∠EPC＝∠PCD， ∴∠P＝∠PAB+∠PCD， ∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD ∴∠PCD∠BCD，∠PAB∠DAB， ∴∠P∠DAB∠BCD∠ADC∠B． 【点评】本题是三角形综合题，考查了平面直角坐标系与点的坐标、平移的性质、平行线的判定与性质、角平分线定义、矩形的判定与性质、矩形面积和三角形面积的计算、分类讨论等知识，熟练掌握平移的性质、平行线的性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！38 学科网（北京）股份有限公司 $$