专题5.1 平面直角坐标系中点的坐标规律（导学+5大题型+3篇专项练习）-2024-2025学年八年级数学重难点专项训练（苏科版）

专题5-1 平面直角坐标系中点的坐标规律 【学科专题——导学+题型+多维专项练习目录】 【1】学科专题——关键知识导学 【2】题型1——坐标确定位置 【3】题型2——两点间的距离公式 【4】题型3——对称视角探究坐标与图形变化 【5】题型4——平移视角探究坐标与图形变化 【6】题型5——旋转视角探究坐标与图形变化 【7】专题5-1专项练习——基础篇 【8】专题5-1专项练习——培优篇 【9】专题5-1专项练习——拔尖篇 【学科专题——关键知识导学】 导学一、坐标视角探究位置确定 （1）各象限内点M（a，b）的坐标特征： ①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0． （2）坐标轴上点M（a，b）的坐标特征： ①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0． （3）两坐标轴夹角平分线上点M（a，b）的坐标特征： ①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b． 导学二、关于x轴、y轴对称视角探究点的坐标变化规律 （1）关于x轴的对称点的坐标特点： 横坐标不变，纵坐标互为相反数． 即点M（x，y）关于x轴的对称点M′的坐标是（x，﹣y）． （2）关于y轴的对称点的坐标特点： 横坐标互为相反数，纵坐标不变． 即点M（x，y）关于y轴的对称点M′的坐标是（﹣x，y）． 导学三、对称视角探究坐标与图形变化 （1）关于x轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数． （2）关于y轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数． （3）关于直线对称 ①关于直线x＝m对称，P（a，b）⇒P（2m﹣a，b） ②关于直线y＝n对称，P（a，b）⇒P（a，2n﹣b） 【题型1坐标确定位置】 【例1】（2024秋•西安期中）褐马鸡是我国的珍稀鸟类，如图是保护褐马鸡宣传牌上利用网格画出的褐马鸡的示意图．若建立适当的平面直角坐标系，表示嘴部点A的坐标为（﹣3，2），表示尾部点B的坐标为（2，0），则表示足部点C的坐标为（　　） A．（0，1） B．（﹣1，﹣1） C．（0，﹣2） D．（0，﹣1） 【基础】（2024秋•深圳校级期中）如果电影票上的“3排1号”记作（3，1），那么（4，3）表示（　　） A．3排5号 B．5排3号 C．4排3号 D．3排4号 【培优】（2024秋•沙坪坝区校级期中）“黑神话悟空”的出现，极大地拉动了山西的旅游事业．欢欢在图中的方格纸中绘制了“跟着悟空游山西”的自驾路线局部示意图，若图中的“云冈石窟”与“龙门寺”分别用（5，3）、（7，﹣3）表示，则“小西天”表示为（　　） A．（2，﹣1） B．（2，﹣2） C．（﹣1，1） D．（0，﹣1） 【拔尖】（2023秋•浦口区校级月考）如图，杭州亚运会数字火炬手A和吉祥物琼琮B、宸宸C、莲莲D在5×5的方格（每小格边长为1m）上沿着网格线运动．数字火炬手从A处出发去寻找B、C、D处的吉祥物，规定：向上向右走为正，向下向左走为负，如果从A到B记为：A→B（+1，+4），从B到A记为：B→A（﹣1，﹣4），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中： （1）A→C（ 　 　，　 　）；B→C（ 　 　，　 　）；C→　 　（﹣3，﹣4）； （2）若数字火炬手的行走路线为A→B→C→D，则数字火炬手走过的路程为 　 　m； （3）若数字火炬手从A处去寻找最后一棒火炬手汪顺的行走路线依次为（+2，+2），（+2，﹣1），（﹣2，+3），（﹣1，﹣2），请在图中标出最后一棒火炬手汪顺的位置E点． 【题型2 两点间的距离公式】 【例2】（2024秋•阜阳月考）在平面直角坐标系中，有A（﹣2，m），B（m﹣2，4）两点． （1）当点B在y轴上时，求点A的坐标； （2）当AB∥x轴时，求A，B两点间的距离． 【基础】（2024秋•阳山县期中）点P（3，﹣4）到原点的距离为（　　） A．5 B．4 C．3 D．﹣3 【培优】（2024秋•高新区校级月考）在平面直角坐标系中，点A（1，2），B（﹣3，b），当线段AB最短时，AB的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【拔尖】（2024春•武昌区校级期中）在平面直角坐标系中，A（2，3），B（6，1），P（x，y），点A、B、P在同一直线上，且AP＝5BP，则P点的坐标是 　 　． 【题型3 对称视角探究坐标与图形变化】 【例3】如图，在直角坐标系xOy中，直线l过点（0，1）且与x轴平行，与y轴交于点C，△ABC关于直线l对称，已知点A的坐标是（4，4），则点B的坐标是 　 　；若直线l过点（0，m）且与x轴平行，与y轴交于点C，△ABC关于直线l对称，已知点A的坐标是（4，4），则点B的坐标是 　 　． 【基础】（2023秋•乐陵市校级月考）与点（2，﹣7）关于x轴对称的点的坐标为 　 　，关于y＝﹣1对称的点的坐标为 　 　． 【培优】（2023秋•沛县校级月考）如图，在直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A在x轴上，顶点B在y轴上，∠ACB＝90°，OB∥AC，点C的坐标为（1，2），点D和点C关于AB成轴对称，且AD交y轴于点E．则点E的坐标为 　 　． 【拔尖】（2024春•南通期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），B（2，2），N（n，﹣n），其中n＜0．若在线段AB上存在点Q，使得点N，Q关于正比例函数y＝mx（m≠0）的图象对称，则n的取值范围是 　 　． 【题型4 平移视角探究坐标与图形变化】 【例4】已知点A，B的坐标分别为（1，2），（0，4），若将线段AB平移到A1B1，点A1，B1的坐标分别为（2，a），（b，3），则a+b＝　 　． 【基础】（2024秋•定远县月考）将点P先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后的对应点Q的坐标为（﹣4，1），则点P的坐标为（　　） A．（﹣1，3） B．（﹣4，1） C．（2，5） D．（1，0） 【培优】（2024秋•金安区校级月考）在平面直角坐标系中，将点A（m+1，n﹣2）先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点A′．若点A′位于第二象限，则m，n的取值范围分别是（　　） A．m＞1，n＜﹣2 B．m＞1，n＞﹣2 C．m＜1，n＜﹣2 D．m＜1，n＞﹣2 【拔尖】（2024秋•市中区期中）如图，在平面直角坐标系中，A（a，﹣5），B（a+3，﹣5），且a＞0，P为y轴上一动点．连接AB，将线段AB先向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到线段CD，则下列结论：①CD＝3；②∠OBA+∠OCD＝∠BOC+180°：③若△PCD的面积为6，则P点的坐标为（0，1）或（0，﹣7）；④若P点不在直线AB、CD上，△PCD面积为x，△PAB面积为y，四边形ABDC面积为z，则．其中正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【题型5 旋转视角探究坐标与图形变化】 【例5】（2024秋•罗定市期中）如图，在平面直角坐标系中，A（3，0），B（0，4），连接AB，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，连接OC，则线段OC的长度为　 　． 【基础】（2024•威远县校级模拟）在直角坐标系中，点（5，4）绕原点O逆时针旋转90°，得到的点的坐标是（　　） A．（4，5） B．（﹣4，5） C．（5，4） D．（﹣5，4） 【培优】（2024秋•红塔区期中）如图，已知点A（2，0），B（3，b）（b＞0），将线段AB绕点A逆时针旋转90°，则点B的对应点C的横坐标为（　　） A．﹣b﹣1 B．1﹣b C．2﹣b D．b﹣2 【拔尖】（2024秋•中山区校级月考）如图，点A（m，0），B（0，5），D（5，0），将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到BC，连接CD与y轴交于点E，求点E的坐标．（用含有m的式子表示） 专题5-1 平面直角坐标系中点的坐标规律（基础篇） 1．（2024秋•银川期中）我国神舟十七号载人飞船在太空飞行了187天，并于2024年4月30日成功着陆，下列描述能确定飞船着陆位置的是（　　） A．内蒙古西部 B．酒泉卫星发射中心东南方向 C．东经100°03′08″，北纬41°39′12″ D．东经100°03′08″ 2．（2024秋•太原期中）对于平面内任意一点P，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数分别为3和﹣4，则点P的坐标为（　　） A．（3，﹣4） B．（﹣3，﹣4） C．（4，﹣3） D．（﹣4，3） 3．（2024秋•庐江县期中）在平面直角坐标系中，点P（1，﹣5）关于y轴对称的点的坐标为（　　） A．（﹣1，﹣5） B．（5，1） C．（﹣1，5） D．（1，5） 4．点A（1，﹣2）经过某种图形变化后得到点A′（2，1），这种图形变化可以是（　　） A．绕原点逆时针旋转90° B．绕原点顺时针旋转90° C．关于x轴对称 D．关于y轴对称 5．（2024秋•福田区校级期中）点P（﹣3，﹣2）在平面直角坐标系中所在的象限是第 　 　象限． 6．（2024秋•天桥区校级月考）如果用有序数对（1，4）表示第一单元4号的住户，那么第二单元8号的住户用有序数对表示为 　 　． 7．（2024秋•鄠邑区期中）已知坐标平面内点A（m，n）在第四象限，那么点B（﹣m，﹣n）在第 　 　象限． 8．（2024秋•河西区期中）点M（1，﹣6）关于y轴对称的点的坐标为 　 　． 9．（2024秋•庐阳区校级月考）将点P先向左平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度后与点Q（0，1）重合，则点P的坐标是 　 　． 10．（2024秋•大观区校级期中）已知点A（m﹣1，2m+3），根据下列条件，求出点A的坐标． （1）点A在y轴上； （2）点A到x轴的距离为3． 专题5-1 平面直角坐标系中点的坐标规律（培优篇） 11．（2024秋•高陵区期中）已知点A（a﹣1，2b﹣4）在y轴上，点B（3a﹣6，b+4）在x轴上，则点C（a，b）的坐标为（　　） A．（1，﹣4） B．（﹣1，4） C．（﹣2，2） D．（﹣4，﹣2） 12．（2024秋•历下区期中）下列说法不正确的是（　　） A．若x+y＝0，则点P（x，y）一定在第二、四象限的角平分线上 B．若点P（x，y）的坐标满足xy＝0，则点P在x轴上 C．已知点P（2，3），Q（﹣5，3），则PQ∥x轴 D．点A（﹣a2﹣1，|b|+1）一定在第二象限 13．△AOB关于x轴对称的图形是△A′OB，若△AOB内任意一点P的坐标是（a，b），则点P在△A′OB内的对应点Q的坐标是（　　） A．（a，b） B．（﹣a，b） C．（﹣a，﹣b） D．（a，﹣b） 14．（2024秋•南宁校级期中）如图，△OAB中，∠AOB＝60°，OA＝6，点B的坐标为（8，0），将△OAB绕点A逆时针旋转得到△CAD，当点O的对应点C落在OB上时，点D的坐标为（　　） A． B．（10，4） C． D． 15．（2024秋•西安期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（x+1，x﹣1），已知点A在第一象限且与x轴的距离为2，则点A的坐标为 　 　． 16．（2024春•马尾区校级期中）平面直角坐标系中，有A（﹣2，a+1），B（a﹣1，3）两点，当AB∥x轴时，则A，B两点间的距离是 　 　． 17．（2024•湖南模拟）如图，点A的坐标是（2，4），点B的坐标是（6，0），将△OAB沿x轴向右平移得到△DCE，若OE＝8，则点C的坐标为 　 　． 18．（2024秋•碑林区校级期中）如图，A（4，0），B（2，0），C（﹣2，0）是平面直角坐标系中三点，P为y轴正半轴上一个动点，将线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ，点B的对应点为Q，QC交y轴于D，则△ACD的周长为 　 　． 19．（2024秋•宁波期中）已知点P（a﹣2，2a+8），分别根据下列条件求出点P的坐标． （1）点P在x轴上； （2）点P在第二象限内且a为正整数． 20．（2023秋•吉林期中）如图，在平面直角坐标系中，点A（6，0），∠OBA＝30°．把△AOB绕原点O逆时针旋转，得到△COD，点CD分别为点A、B旋转后的对应点．旋转角记为α（0°＜α＜360°）： （1）当α＝45°时，求点C的坐标； （2）当CD∥x轴时，直接写出α的值． 专题5-1 平面直角坐标系中点的坐标规律（拔尖篇） 21．（2024春•汉川市期末）如图，是5×5的网格，一只蚂蚁在网格左下角（0，0）位置，每次能向上走一格或者向右走一格，要到达右上角（5，5）的位置，且不能经过点（1，1），（1，4），（4，1）和（4，4），则不同的走法共有 　 　种． 22．（2024春•门头沟区期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）给出如下定义，当|x|≤|y|时，我们称点P为“纵高点”．例如点（1，2），（﹣2，﹣3），（1，﹣1）都是“纵高点”． （1）在点A（2，2），B（﹣3，2），C（3.14，π），D（﹣1，）中，其中“纵高点”有 　 　； （2）将点M（m，n）先向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点M′． ①当点M在y轴上时，如果点M′是纵高点，那么n的取值范围是 　 　； ②当n＝2时，连接MM′，若线段MM′上任意一点都是“纵高点”，直接写出m的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5-1 平面直角坐标系中点的坐标规律 【学科专题——导学+题型+多维专项练习目录】 【1】学科专题——关键知识导学 【2】题型1——坐标确定位置 【3】题型2——两点间的距离公式 【4】题型3——对称视角探究坐标与图形变化 【5】题型4——平移视角探究坐标与图形变化 【6】题型5——旋转视角探究坐标与图形变化 【7】专题5-1专项练习——基础篇 【8】专题5-1专项练习——培优篇 【9】专题5-1专项练习——拔尖篇 【学科专题——关键知识导学】 导学一、坐标视角探究位置确定 （1）各象限内点M（a，b）的坐标特征： ①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0． （2）坐标轴上点M（a，b）的坐标特征： ①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0． （3）两坐标轴夹角平分线上点M（a，b）的坐标特征： ①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b． 导学二、关于x轴、y轴对称视角探究点的坐标变化规律 （1）关于x轴的对称点的坐标特点： 横坐标不变，纵坐标互为相反数． 即点M（x，y）关于x轴的对称点M′的坐标是（x，﹣y）． （2）关于y轴的对称点的坐标特点： 横坐标互为相反数，纵坐标不变． 即点M（x，y）关于y轴的对称点M′的坐标是（﹣x，y）． 导学三、对称视角探究坐标与图形变化 （1）关于x轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数． （2）关于y轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数． （3）关于直线对称 ①关于直线x＝m对称，P（a，b）⇒P（2m﹣a，b） ②关于直线y＝n对称，P（a，b）⇒P（a，2n﹣b） 【题型1 坐标确定位置】 【例1】（2024秋•西安期中）褐马鸡是我国的珍稀鸟类，如图是保护褐马鸡宣传牌上利用网格画出的褐马鸡的示意图．若建立适当的平面直角坐标系，表示嘴部点A的坐标为（﹣3，2），表示尾部点B的坐标为（2，0），则表示足部点C的坐标为（　　） A．（0，1） B．（﹣1，﹣1） C．（0，﹣2） D．（0，﹣1） 【分析】根据A（﹣3，2）或B（2，0）确定原点位置并建立坐标系，从而得到点C的坐标． 【详解】解：根据A（﹣3，2）或B（2，0）确定原点位置，建立如图所示的坐标系： 根据坐标系，表示足部点C的坐标为（0，﹣1）． 故选：D． 【基础】（（2024秋•深圳校级期中）如果电影票上的“3排1号”记作（3，1），那么（4，3）表示（　　） A．3排5号 B．5排3号 C．4排3号 D．3排4号 【分析】由于将“3排1号”记作（3，1），根据这个规定即可确定（4，3）表示的点． 【详解】解：∵“3排1号”记作（3，1）， ∴（4，3）表示4排3号． 故选：C． 【培优】（2024秋•沙坪坝区校级期中）“黑神话悟空”的出现，极大地拉动了山西的旅游事业．欢欢在图中的方格纸中绘制了“跟着悟空游山西”的自驾路线局部示意图，若图中的“云冈石窟”与“龙门寺”分别用（5，3）、（7，﹣3）表示，则“小西天”表示为（　　） A．（2，﹣1） B．（2，﹣2） C．（﹣1，1） D．（0，﹣1） 【分析】根据“云冈石窟”与“龙门寺”分别用（5，3）、（7，﹣3）表示建立坐标系，即可求解． 【详解】解：如图，“小西天”表示为（　2，﹣2　）． 故选：B． 【拔尖】（2023秋•浦口区校级月考）如图，杭州亚运会数字火炬手A和吉祥物琼琮B、宸宸C、莲莲D在5×5的方格（每小格边长为1m）上沿着网格线运动．数字火炬手从A处出发去寻找B、C、D处的吉祥物，规定：向上向右走为正，向下向左走为负，如果从A到B记为：A→B（+1，+4），从B到A记为：B→A（﹣1，﹣4），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中： （1）A→C（ 　 　，　 　）；B→C（ 　 　，　 　）；C→ 　　（﹣3，﹣4）； （2）若数字火炬手的行走路线为A→B→C→D，则数字火炬手走过的路程为 　 　m； （3）若数字火炬手从A处去寻找最后一棒火炬手汪顺的行走路线依次为（+2，+2），（+2，﹣1），（﹣2，+3），（﹣1，﹣2），请在图中标出最后一棒火炬手汪顺的位置E点． 【分析】（1）根据题中的新定义确定出所求即可； （2）根据题意列出算式，计算即可得到结果； （3）根据题中的规定，依次画出路线，确定出火炬手汪顺的位置E点即可． 【详解】解：（1）根据题中的新定义得：A→D（+3，+4），B→C（+2，0），C→A（﹣3，﹣4）； 故答案为：+3，+4；+2，0；A； （2）若数字火炬手的行走路线为A→B→C→D，则数字火炬手走过的路程为1+4+2+2+1＝10； 故答案为：10； （3）如图所示，点E为火炬手汪顺的位置． 【题型2 两点间的距离公式】 【例2】（2024秋•阜阳月考）在平面直角坐标系中，有A（﹣2，m），B（m﹣2，4）两点． （1）当点B在y轴上时，求点A的坐标； （2）当AB∥x轴时，求A，B两点间的距离． 【分析】（1）根据y轴上点的坐标特点得到m﹣2＝0，求出m＝2，即可得到点A的坐标； （2）首先根据AB∥x轴得到m＝4，然后求出A（﹣2，4），B（2，4），进而求解即可． 【详解】解：（1）当点B（m﹣2，4）在y轴上时， ∴m﹣2＝0， ∴m＝2， ∵A（﹣2，m）， ∴A（﹣2，2）； （2）当AB∥x轴时，A（﹣2，m），B（m﹣2，4）， ∴m＝4， ∴m﹣2＝4﹣2＝2， ∴A（﹣2，4），B（2，4）， ∴A，B两点间的距离为2﹣（﹣2）＝2+2＝4． 【基础】（2024秋•阳山县期中）点P（3，﹣4）到原点的距离为（　　） A．5 B．4 C．3 D．﹣3 【分析】直接根据两点间的距离公式求解． 【详解】解：OP＝＝5， 即点P（3，﹣4）到原点的距离为5． 故选：A． 【点评】本题考查了两点间的距离公式：设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB＝．求直角坐标系内任意两点间的距离可直接套用此公式． 【培优】（2024秋•高新区校级月考）在平面直角坐标系中，点A（1，2），B（﹣3，b），当线段AB最短时，AB的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】先判断点B的位置，再根据垂线段最短可得答案． 【详解】解：由题可知，点B在过（﹣3，0）且垂直于x轴的直线上， 根据垂线段最短，可得当b＝2时，AB有最小值，最小值为|1﹣（﹣3）|＝4． 故选：C． 【拔尖】（2024春•武昌区校级期中）在平面直角坐标系中，A（2，3），B（6，1），P（x，y），点A、B、P在同一直线上，且AP＝5BP，则P点的坐标是 　 　． 【分析】分情况P点可能在线段AB之间，可能在线段AB延长线上讨论． 【详解】解：如图P点可能在线段AB之间，可能在线段AB延长线上， ①当P点在AB之间为P（ x，y ）时，A（2，3），B（6，1），P（x，y）， 如图，过点A作AE⊥x轴，过点P，B作AE的垂线，垂足为E，C，作PF⊥BC于F，连接PC， 则AC＝3﹣1＝2，BC＝6﹣2＝4， ∵AP＝5BP ∴S△APC＝5S△BPC， ∴S△BPC＝△ABC， ∴PF＝AC＝， ∴y＝1+＝， ∵S△APC＝△ABC， ∴PE＝BC＝， ∴x＝2+＝， ∴点P的坐标为：（，）； ②当点P在线段AB延长线上时P（ x，y ），过点A作AE⊥x轴，过点P，B作AE的垂线，垂足为E，C，作BF⊥PE于F， A（2，3），B（6，1），P（x，y）， AC＝3﹣1＝2，BC＝6﹣2＝4， ∵AP＝5BP， ∴S△APE＝5S△BPE， ∵S△ABE＝S△APE， ∴BC＝PE＝4， ∴PE＝5， ∴x＝2+5＝7， ∴S△BPC＝S△APC， ∴BF＝AE， ∴1﹣y＝（3﹣y） ∴y＝， ∴点P的坐标为：（7，）； ∴P（，）或（7，）． 【题型3 对称视角探究坐标与图形变化】 【例3】如图，在直角坐标系xOy中，直线l过点（0，1）且与x轴平行，与y轴交于点C，△ABC关于直线l对称，已知点A的坐标是（4，4），则点B的坐标是 　 　；若直线l过点（0，m）且与x轴平行，与y轴交于点C，△ABC关于直线l对称，已知点A的坐标是（4，4），则点B的坐标是 　 　． 【分析】当直线l过点（0，1）且与x轴平行时，点A和点B关于直线y＝1对称，可得点B的横坐标是4，纵坐标是2×1﹣4＝﹣2，则点B的坐标是（4，﹣2）；当直线l过点（0，m）且与x轴平行时，点A和点B关于直线y＝m对称，可得点B的横坐标是4，纵坐标是2×m﹣4＝2m﹣4，则点B的坐标是（4，2m﹣4）． 【详解】解：由题意得，点A和点B关于直线y＝1对称， ∵点A的坐标是（4，4）， ∴点B的坐标是（4，﹣2）． ∵直线l过点（0，m）且与x轴平行， ∴直线l与y＝m， ∴点A和点B关于直线y＝m对称， ∵点A的坐标是（4，4）， ∴点B的坐标是（4，2m﹣4）． 故答案为：（4，﹣2）；（4，2m﹣4）． 【基础】（2023秋•乐陵市校级月考）与点（2，﹣7）关于x轴对称的点的坐标为 　 　，关于y＝﹣1对称的点的坐标为 　 　． 【分析】关于x轴对称的点的坐标特征是：横坐标不变，纵坐标变为原数的相反数；关于y＝﹣1对称的点的坐标特征是：横坐标不变，纵坐标关于y＝﹣1对称，据此解题． 【详解】解：点（2，﹣7）关于x轴对称的点的坐标为（2，7），关于y＝﹣1对称的点的坐标为（2，5）， 故答案为：（2，7）；（2，5）． 【培优】（2023秋•沛县校级月考）如图，在直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A在x轴上，顶点B在y轴上，∠ACB＝90°，OB∥AC，点C的坐标为（1，2），点D和点C关于AB成轴对称，且AD交y轴于点E．则点E的坐标为 　 　． 【分析】根据平行线的性质得出∠ABE＝∠BAC，再根据轴对称的性质得出∠BAC＝∠BAD，则∠ABE＝∠BAD，进而得出BE＝AE，设OE＝x，则BE＝AE＝2﹣x，在Rt△AOE中，根据勾股定理可得OA2+OE2＝AE2，列出方程求解即可． 【详解】解：∵OB∥AC， ∴∠ABE＝∠BAC， ∵点D和点C关于AB成轴对称， ∴∠BAC＝∠BAD，DB＝CB， ∴∠ABE＝∠BAD， ∴BE＝AE， ∵C（1，2）， ∴OA＝1，OB＝2， 设OE＝x，则BE＝AE＝2﹣x， 在Rt△AOE中，根据勾股定理可得OA2+OE2＝AE2， 即12+x2＝（2﹣x）2， 解得：， ∴点E的坐标为， 故答案为：． 【拔尖】（2024春•南通期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），B（2，2），N（n，﹣n），其中n＜0．若在线段AB上存在点Q，使得点N，Q关于正比例函数y＝mx（m≠0）的图象对称，则n的取值范围是 　 　． 【分析】根据平面直角坐标系中一次函数图象的有关知识进行分析． 【详解】解：∵N（n，﹣n）， ∴点N在函数y＝﹣x的图象上， ∵n＜0． ∴点N在第二象限． 若m＞0，则y＝﹣x（x＜0）的图象关于直线y＝mx的对称图象与线段AB没有交点， 若m＜0． ①当直线y＝mx与y轴正半轴的夹角是22.5°时，点A关于l3的对称点A′y＝﹣x上． 且OA′＝OA＝2，则A′（﹣，），此时n＝﹣． ②当直线y＝mx与y轴正半轴的夹角大于22.5°时，y＝﹣x关于l3的对称图象与线段AB没有交点． ③当直线y＝mx与y轴正半轴的夹角小于22.5°时，y＝﹣x关于l3的对称图象与线段AB有交点， 所以当l3与y轴正半轴的夹角大于0°，且小于等于22.5°时，y＝﹣x（x＜0）的图象关于直线y＝mx的对称图象与线段AB有交点． 此时n的取值范围是：﹣2． 故答案为：﹣2． 【题型4 平移视角探究坐标与图形变化】 【例4】已知点A，B的坐标分别为（1，2），（0，4），若将线段AB平移到A1B1，点A1，B1的坐标分别为（2，a），（b，3），则a+b＝　　． 【分析】根据点A、B平移后横纵坐标的变化可得线段AB向右平移1个单位，向下平移了1个单位，然后再确定a、b的值，进而可得答案． 【详解】解：由题意可得线段AB向右平移1个单位，向下平移了1个单位， ∵A、B两点的坐标分别为（1，2）、（0，4）， ∴点A1、B1的坐标分别为（2，1），（1，3）， ∴a+b＝1+1＝2， 故答案为：2． 【基础】（2024秋•定远县月考）将点P先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后的对应点Q的坐标为（﹣4，1），则点P的坐标为（　　） A．（﹣1，3） B．（﹣4，1） C．（2，5） D．（1，0） 【分析】根据题意可得将点Q向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点P，再根据“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可． 【详解】解：∵将点P先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后的对应点Q的坐标为（﹣4，1）， ∴将点Q向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点P， ∵Q（﹣4，1）， ∴点P的坐标为（﹣4+3，1+2），即（﹣1，3）， 故选：A． 【培优】（2024秋•金安区校级月考）在平面直角坐标系中，将点A（m+1，n﹣2）先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点A′．若点A′位于第二象限，则m，n的取值范围分别是（　　） A．m＞1，n＜﹣2 B．m＞1，n＞﹣2 C．m＜1，n＜﹣2 D．m＜1，n＞﹣2 【分析】先根据“上加下减，左减右加”的平移规律得到A′（m﹣1，n+2），再根据第二象限内的点横坐标为负，纵坐标为正进行求解即可． 【详解】解：∵将点A（m+1，n﹣2）先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点A′， ∴A′（m﹣1，n+2）， ∵A′（m﹣1，n+2）在第二象限， ∴m﹣1＜0，n+2＞0， ∴m＜1，n＞﹣2， 故选：D． 【拔尖】（2024秋•市中区期中）如图，在平面直角坐标系中，A（a，﹣5），B（a+3，﹣5），且a＞0，P为y轴上一动点．连接AB，将线段AB先向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到线段CD，则下列结论：①CD＝3；②∠OBA+∠OCD＝∠BOC+180°：③若△PCD的面积为6，则P点的坐标为（0，1）或（0，﹣7）；④若P点不在直线AB、CD上，△PCD面积为x，△PAB面积为y，四边形ABDC面积为z，则．其中正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【分析】①根据A，B两点坐标求出AB，即可判断； ②如图，延长DC交OB于点F，利用平行线的性质，三角形的外角的性质判断即可； ③设P（0，m），则有×3×|m+3|＝6，解方程，可得结论； ④分两种情形判断即可． 【详解】解：∵A（a，﹣5），B（a+3，﹣5）， ∴AB＝a+3﹣a＝3， ∵CD＝AB， ∴CD＝3，故①正确， 如图，延长DC交OB于点F． ∵CD∥AB， ∴∠OBA＝∠CFB， ∵∠OCD＝∠BOC+∠CFO， ∴∠OCD＝∠BOC+180°﹣∠OBA， ∴∠OBA+∠OCD＝∠BOC+180°，故②正确， 设P（0，m），则有×3×|m+3|＝6， 解得m＝1或﹣7， ∴P（0，1）或（0，﹣7），故③正确， 结论④错误，理由：当点P在CD的上方或AB的下方时，结论成立， 当点P在AB与CD之间时，则有|x+y|＝z． 故正确的有：①②③， 故选：A． 【题型5 旋转视角探究坐标与图形变化】 【例5】（2024秋•罗定市期中）如图，在平面直角坐标系中，A（3，0），B（0，4），连接AB，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，连接OC，则线段OC的长度为　 　． 【分析】过点C作x轴的垂线，求出点C的坐标即可解决问题． 【详解】解：过点C作x轴的垂线，垂足为M， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAO+∠CAM＝90°， ∵将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC， ∠BOA＝∠CMA＝90°，AB＝AC， ∴∠BAO+∠OBA＝90°， ∴∠CAM＝∠OBA， ∴△AOB≌△CMA（AAS）， ∴CM＝OA，AM＝BO， 又∵A（3，0），B（0，4）， ∴CM＝OA＝3，AM＝BO＝4， ∴OM＝7，CM＝3． 在Rt△COM中，． 故答案为：． 【基础】（2024•威远县校级模拟）在直角坐标系中，点（5，4）绕原点O逆时针旋转90°，得到的点的坐标是（　　） A．（4，5） B．（﹣4，5） C．（5，4） D．（﹣5，4） 【分析】把点绕原点旋转的问题转化为直角三角形旋转的问题，画出图形可解决问题． 【详解】解：过A点作AD⊥x轴，过B点作BE⊥y轴，垂足分别为D、E， ∵点A的坐标为（5，4）， ∴AD＝4，OD＝5， ∵∠AOB＝90°， ∴∠BOE+∠AOE＝90°， ∵∠AOD+∠AOE＝90°， ∴∠AOD＝∠BOE， ∵OA＝OB， 在△AOD和△BOE中， ， ∴△AOD≌△BOE（AAS）， ∴OE＝OD＝5，BE＝AD＝4， ∴点B的坐标为（﹣4，5）． 故选：B． 【培优】（2024秋•红塔区期中）如图，已知点A（2，0），B（3，b）（b＞0），将线段AB绕点A逆时针旋转90°，则点B的对应点C的横坐标为（　　） A．﹣b﹣1 B．1﹣b C．2﹣b D．b﹣2 【分析】作CF⊥x轴，BE⊥x轴，证明△AEB≌△CFA（AAS），得到AF＝BE＝b，即可解题． 【详解】解：如图，作CF⊥x轴于F，BE⊥x轴于E， ∵点A（2，0），B（3，b）（b＞0）， ∴OA＝2，BE＝b， 由旋转的性质可知，∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠CAF+∠BAE＝90°， ∵∠CAF+∠C＝90°， ∴∠C＝∠BAE， ∵∠AEB＝∠CFA＝90°， ∴△AEB≌△CFA（AAS）， ∴AF＝BE＝b， ∴C的横坐标为2﹣b． 故选：C． 【拔尖】（2024秋•中山区校级月考）如图，点A（m，0），B（0，5），D（5，0），将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到BC，连接CD与y轴交于点E，求点E的坐标．（用含有m的式子表示） 【分析】过点C作CG⊥y轴，垂足为点G，证明△BCG≌△ABO（AAS），得到CG＝OB，BG＝OA，进而得到点C的坐标，求出直线CD的解析式，即可详解． 【详解】解：过点C作CG⊥y轴，垂足为点G， 由旋转的性质得：∠ABC＝90°，BC＝AB， ∴∠ABO+∠CBG＝∠ABO+∠BAO＝90°， ∴∠CBG＝∠BAO， ∵∠AOB＝∠BGC＝90°， ∴△BCG≌△ABO（AAS）， ∴CG＝OB，BG＝OA， ∵A（m，0），B（0，5），D（5，0）， ∴CG＝OB＝5，BG＝OA＝﹣m， ∴OG＝BG+OB＝5﹣m， ∴点C的坐标为（﹣5，5﹣m）， 设直线CD的解析式为 y＝kx+b（k≠0）， 则， 解得：， ∴直线CD的解析式为， 令x＝0，则， ∴直线CD与y轴交点坐标为， 即． 专题5-1 平面直角坐标系中点的坐标规律（基础篇） 1．（2024秋•银川期中）我国神舟十七号载人飞船在太空飞行了187天，并于2024年4月30日成功着陆，下列描述能确定飞船着陆位置的是（　　） A．内蒙古西部 B．酒泉卫星发射中心东南方向 C．东经100°03′08″，北纬41°39′12″ D．东经100°03′08″ 【分析】根据点的坐标的定义，确定一个位置需要两个数据详解即可． 【详解】解：A、B、D描述的并非具体位置，C能够准确表示飞船着陆位置的是：东经100°03′08″，北纬41°39′12″，描述的是具体位置， 故选：C． 2．（2024秋•太原期中）对于平面内任意一点P，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数分别为3和﹣4，则点P的坐标为（　　） A．（3，﹣4） B．（﹣3，﹣4） C．（4，﹣3） D．（﹣4，3） 【分析】根据点的坐标的定义详解即可． 【详解】解：对于平面内任意一点P，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数分别为3和﹣4，则点P的坐标为（3，﹣4）． 故选：A． 3．（2024秋•庐江县期中）在平面直角坐标系中，点P（1，﹣5）关于y轴对称的点的坐标为（　　） A．（﹣1，﹣5） B．（5，1） C．（﹣1，5） D．（1，5） 【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，进而得出答案． 【详解】解：点P（1，﹣5）关于y轴对称的点的坐标为（﹣1，﹣5）， 故选：A． 4．点A（1，﹣2）经过某种图形变化后得到点A′（2，1），这种图形变化可以是（　　） A．绕原点逆时针旋转90° B．绕原点顺时针旋转90° C．关于x轴对称 D．关于y轴对称 【分析】根据题意，画出示意图，结合所画图形即可解决问题． 【详解】解：点A和点A′如图所示， 显然点A和点A′既不关于x轴对称，也不关于y轴对称， 分别过点A和点A′作y轴的垂线，垂足分别为M和N， 根据点A和点A′坐标可证明出△A′NO≌△OMA（SAS）， 所以∠A′ON＝∠A， 又因为∠A+∠AOM＝90°， 所以∠A′ON+∠AOM＝90°， 所以∠A′OA＝90°， 则将点A绕原点逆时针旋转90°可得点A′． 故选：A． 5．（2024秋•福田区校级期中）点P（﹣3，﹣2）在平面直角坐标系中所在的象限是第 　 　象限． 【分析】根据各象限内点的坐标特点详解即可． 【详解】解：∵点P（﹣3，﹣2），﹣3＜0，﹣2＜0， ∴点P（﹣3，﹣2）在第三象限． 故答案为：三． 6．（2024秋•天桥区校级月考）如果用有序数对（1，4）表示第一单元4号的住户，那么第二单元8号的住户用有序数对表示为 　 　． 【分析】根据有序数对（1，4）表示第一单元4号的住户，得出数字对应情况，进而得出答案 【详解】解：∵第一单元4号的住户用有序数对（1，4）表示， ∴第二单元8号的住户用有序数对表示为（2，8）， 故答案为：（2，8）． 7．（2024秋•鄠邑区期中）已知坐标平面内点A（m，n）在第四象限，那么点B（﹣m，﹣n）在第 　象限． 【分析】根据点在平面直角坐标系中各象限的坐标特点详解即可． 【详解】解：∵点A（m，n）在第四象限， ∴m＞0，n＜0， ∴﹣m＜0，﹣n＞0， ∴点B（﹣m，﹣n）在第二象限． 故答案为：二． 8．（2024秋•河西区期中）点M（1，﹣6）关于y轴对称的点的坐标为 　 　． 【分析】关于y轴的对称点的坐标特点为：横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此求解即可． 【详解】解：点M（1，﹣6）关于y轴对称的点的坐标为（﹣1，﹣6）． 故答案为：（﹣1，﹣6）． 9．（2024秋•庐阳区校级月考）将点P先向左平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度后与点Q（0，1）重合，则点P的坐标是 　 　． 【分析】根据点（x，y）向左平移a个单位长度，得（x﹣a，y）；将点（x，y）向上平移b个单位长度，得（x，y+b），即可． 【详解】解：设点P（x，y）， ∴点P（x，y）向左平移5个单位长度，得P（x﹣5，y）；点P（x﹣5，y）向上平移4个单位长度，得P（x﹣5，y+4）， ∵平移后点P′（0，1）， ∴x﹣5＝0，y+4＝1， 解得x＝5，y＝﹣3 ∴点P的坐标为（5，﹣3）， 故答案为：（5，﹣3）． 10．（2024秋•大观区校级期中）已知点A（m﹣1，2m+3），根据下列条件，求出点A的坐标． （1）点A在y轴上； （2）点A到x轴的距离为3． 【分析】（1）根据y上点的横坐标为0列方程求出m的值，再求解即可； （2）根据点A到x轴的距离列出绝对值方程求解m的值，再求解即可． 【详解】解：（1）∵点A（m﹣1，2m+3）在y轴上， ∴m﹣1＝0， 解得m＝1， ∴2m+3＝2×1+3＝5． 则点A的坐标为（0，5）； （2）∵点A到x轴的距离为3， ∴|2m+3|＝3， ∴2m+3＝3或2m+3＝﹣3 解得m＝0或m＝﹣3， ∴当m＝0时，m﹣1＝﹣1； 当m＝﹣3时，m﹣1＝﹣4， ∴点A的坐标为（﹣1，3）或（﹣4，﹣3）． 专题5-1 平面直角坐标系中点的坐标规律（培优篇） 11．（2024秋•高陵区期中）已知点A（a﹣1，2b﹣4）在y轴上，点B（3a﹣6，b+4）在x轴上，则点C（a，b）的坐标为（　　） A．（1，﹣4） B．（﹣1，4） C．（﹣2，2） D．（﹣4，﹣2） 【分析】在y轴上的点横坐标为0，在x轴上的点的纵坐标是0，据此进行详解即可． 【详解】解：由条件可知：a﹣1＝0，b+4＝0， 解得a＝1，b＝﹣4， ∴C（1，﹣4）， 故选：A． 12．（2024秋•历下区期中）下列说法不正确的是（　　） A．若x+y＝0，则点P（x，y）一定在第二、四象限的角平分线上 B．若点P（x，y）的坐标满足xy＝0，则点P在x轴上 C．已知点P（2，3），Q（﹣5，3），则PQ∥x轴 D．点A（﹣a2﹣1，|b|+1）一定在第二象限 【分析】根据第二、四象限角平分线、x轴及平行于x轴的直线上点的坐标特征，对所给选项依次进行判断即可． 【详解】解：因为x+y＝0， 即y＝﹣x， 所以点P（x，y）一定在第二、四象限的角平分线上． 故A选项不符合题意． 因为xy＝0， 所以x＝0或y＝0， 则点P（x，y）一定在坐标轴上． 故B选项符合题意． 因为点P（2，3），Q（﹣5，3）， 则点P与点Q的纵坐标相等，且横坐标不相等， 所以PQ∥x轴． 故C选项不符合题意． 因为A（﹣a2﹣1，|b|+1）， 则﹣a2﹣1≤﹣1＜0，|b|+1≥1＞0， 所以点A一定在第二象限． 故D选项不符合题意． 故选：B． 13．△AOB关于x轴对称的图形是△A′OB，若△AOB内任意一点P的坐标是（a，b），则点P在△A′OB内的对应点Q的坐标是（　　） A．（a，b） B．（﹣a，b） C．（﹣a，﹣b） D．（a，﹣b） 【分析】根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数详解即可． 【详解】解：∵△AOB与△A'OB关于x轴对称， ∴点P（a，b）关于x轴的对称点为（a，﹣b）， ∴点P的对应点Q的坐标是（a，﹣b）． 故选：D． 14．（2024秋•南宁校级期中）如图，△OAB中，∠AOB＝60°，OA＝6，点B的坐标为（8，0），将△OAB绕点A逆时针旋转得到△CAD，当点O的对应点C落在OB上时，点D的坐标为（　　） A． B．（10，4） C． D． 【分析】证明△AOC是等边三角形，则OC＝OA＝6，∠ACO＝60°，∠DCB＝180°﹣∠ACO﹣∠ACD＝60°，如图，过D作DE⊥x轴于E，则∠DEC＝90°，∠CDE＝180°﹣∠DCB﹣∠DEC＝30°，则，OE＝OC+CE＝10，由勾股定理得，，进而可求点D的坐标． 【详解】解：由旋转的性质可知，∠ACD＝∠AOB＝60°，AC＝AO＝6，CD＝OB＝8， ∴△AOC是等边三角形， ∴OC＝OA＝6，∠ACO＝60°， ∴∠DCB＝180°﹣∠ACO﹣∠ACD＝60°， 过D作DE垂直于x轴，垂足为E， ∵∠DEC＝90°， ∴∠CDE＝180°﹣∠DCB﹣∠DEC＝30°， ∴，OE＝OC+CE＝10， 在Rt△DCE中，， ∴点D的坐标为， 故选：A． 15．（2024秋•西安期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（x+1，x﹣1），已知点A在第一象限且与x轴的距离为2，则点A的坐标为 　 　． 【分析】根据题意及平面直角坐标系第一象限中坐标的特征列方程求出x的值，从而求出点A的坐标． 【详解】解：∵点A的坐标为（x+1，x﹣1），点A在第一象限且与x轴的距离为2， ∴x﹣1＝2， ∴x＝3， ∴x+1＝4， ∴点A的坐标为（4，2）． 故答案为：（4，2）． 16．（2024春•马尾区校级期中）平面直角坐标系中，有A（﹣2，a+1），B（a﹣1，3）两点，当AB∥x轴时，则A，B两点间的距离是 　 　． 【分析】根据AB∥x轴，列式求出a的值，得出A、B完整坐标，再计算距离即可， 【详解】解：∵有A（﹣2，a+1），B（a﹣1，3）两点，当AB∥x轴时， ∴a+1＝3， ∴a＝2， ∴a﹣1＝2﹣1＝1， ∴A（﹣2，3），B（1，3）， ∴A，B两点间的距离＝1﹣（﹣2）＝3， 故答案为：3． 17．（2024•湖南模拟）如图，点A的坐标是（2，4），点B的坐标是（6，0），将△OAB沿x轴向右平移得到△DCE，若OE＝8，则点C的坐标为 　 　． 【分析】由点B的坐标是（6，0），OE＝8，将△OAB沿x轴向右平移得到△DCE，得AC＝BE＝8﹣6＝2，由点A的坐标是（2，4），即可得点C的坐标为（4，4）． 【详解】解：由点B的坐标是（6，0），OE＝8，将△OAB沿x轴向右平移得到△DCE， 得AC＝BE＝8﹣6＝2， 由点A的坐标是（2，4）， 则点C的坐标为（4，4）． 故答案为：（4，4）． 18．（2024秋•碑林区校级期中）如图，A（4，0），B（2，0），C（﹣2，0）是平面直角坐标系中三点，P为y轴正半轴上一个动点，将线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ，点B的对应点为Q，QC交y轴于D，则△ACD的周长为 　 　． 【分析】连接PC．想办法证明∠DCO＝45°，求出CD，AD可得结论． 【详解】解：连接PC． ∵A（4，0），B（2，0），C（﹣2，0）， ∴OA＝4，OC＝OB＝2， ∵PO⊥CB， ∴PC＝PB， ∴∠CPO＝∠BPO，设∠CPO＝∠BPO＝x，则有∠PCB＝90°﹣x， ∵PQ＝PB， ∴PC＝PB， ∵∠CPQ＝90°+2x， ∴∠PCQ＝∠Q＝（180°﹣90°﹣2x）＝45°﹣x， ∴∠DCO＝∠PCO﹣∠PCQ＝90°﹣x﹣（45°﹣x）＝45°， ∴OC＝OD＝2， ∴CD＝＝2，AD＝＝2， ∴△ACD的周长＝2+2+6． 故答案为：2+2+6． 19．（2024秋•宁波期中）已知点P（a﹣2，2a+8），分别根据下列条件求出点P的坐标． （1）点P在x轴上； （2）点P在第二象限内且a为正整数． 【分析】（1）根据坐标轴上坐标的特征求出a，从而求出点P的坐标； （2）根据第二象限坐标的特征求出a的取值范围，再由a为正整数确定a的值，从而求出点P的坐标． 【详解】解：（1）∵点P（a﹣2，2a+8）在x轴上， ∴2a+8＝0， ∴a＝﹣4， ∴a﹣2＝﹣4﹣2＝﹣6， ∴P（﹣6，0）． （2）∵P（a﹣2，2a+8）在第二象限， ∴， ∴﹣4＜a＜2， ∵a为正整数， ∴a＝1， ∴a﹣2＝1﹣2＝﹣1，2a+8＝2+8＝10， ∴P（﹣1，10）． 20．（2023秋•吉林期中）如图，在平面直角坐标系中，点A（6，0），∠OBA＝30°．把△AOB绕原点O逆时针旋转，得到△COD，点CD分别为点A、B旋转后的对应点．旋转角记为α（0°＜α＜360°）： （1）当α＝45°时，求点C的坐标； （2）当CD∥x轴时，直接写出α的值． 【分析】（1）如图，过点C作CE⊥OA于E．解直角三角形求出OE，CE即可． （2）分两种情形：CD在x轴上方时，求出旋转角a；CD在x轴下方时，求出旋转角a即可． 【详解】解：（1）如图，过点C作CE⊥OA于E． ∵A（6，0）， ∵OA＝OC＝6， ∵∠COE＝45°， ∴EC＝OE＝3， ∴C（3，3）． （2）如图，CD在x轴上方时， ∵∠OBA＝30°， ∴∠BAO＝∠OCD＝60°， ∵CD∥x轴， ∴∠OCD＝∠AOC＝a＝60°， 当CD在x轴下方时，a＝60°+180°＝240°． 综上所述，满足条件的旋转角a为60°或240°． 专题5-1 平面直角坐标系中点的坐标规律（拔尖篇） 21．（2024春•汉川市期末）如图，是5×5的网格，一只蚂蚁在网格左下角（0，0）位置，每次能向上走一格或者向右走一格，要到达右上角（5，5）的位置，且不能经过点（1，1），（1，4），（4，1）和（4，4），则不同的走法共有 　 　种． 【分析】如图所示，采用格点法，每点的走法都一一标出，左侧边和下边各个点都是只有一种走法，从下向上，第二行，C点不经过，它右边第一点有1种走法，第二点有2种走法，F点不走，它右边的点，只有1种走法；向上第三行，第二个点，只有左边来的1种走法，向右第三点，可以从左边和从下边走1+1＝2，第四点，从左走2种加上从下边走的2种2+2＝4种走法；因为F点不走，F上边的点只有从左边来的4种，再向右，右边第六点有左边的4种加上下边的1种，4+1＝5种走法；向上的第四行，从左向右各点的走法依次1，1+1＝2，2+2＝4，4+4＝8，8+4＝12，12+5＝17；继续向上的第五行，D点不经过，后面点依次有4，4+8＝12，E点不经过，最右边的点只有从下边来的17种；最上一行，从左向右，依次有1，1，1+4＝5，5+12＝17，17；到达B的方法就是从左来的17种方法加上从下边来的17种方法，即可得解 【详解】解：如图所示： 17+17＝34； 即有不同的走法共有34种； 故答案为：34． 22．（2024春•门头沟区期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）给出如下定义，当|x|≤|y|时，我们称点P为“纵高点”．例如点（1，2），（﹣2，﹣3），（1，﹣1）都是“纵高点”． （1）在点A（2，2），B（﹣3，2），C（3.14，π），D（﹣1，）中，其中“纵高点”有 　 　； （2）将点M（m，n）先向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点M′． ①当点M在y轴上时，如果点M′是纵高点，那么n的取值范围是 　 　； ②当n＝2时，连接MM′，若线段MM′上任意一点都是“纵高点”，直接写出m的取值范围． 【分析】（1）由“纵高点”的定义依次判断，即可求解； （2）①由平移的性质可得M'（2，n+2），由“纵高点”的定义列出不等式可求解； ②由平移的性质可得M'（m+2，4），由“纵高点”的定义列出不等式组可求解． 【详解】解：（1）∵A（2，2）， ∴|2|＝|2|， ∴点A是“纵高点”； ∵B（﹣3，2）， ∴|﹣3|＞|2|， ∴点B不是“纵高点”； ∵C（3.14，π）， ∴|3.14|＜|π|， ∴点C是“纵高点”； ∵D（﹣1，）， ∴|﹣1|＜|﹣|， ∴点D是“纵高点”； 故答案为：A，C，D； （2）①∵当点M（m，n）在y轴上时， ∴m＝0， ∵将点M（m，n）先向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点M′， ∴M'（2，n+2）， ∵点M′是纵高点， ∴|n+2|≥|2|， ∴n+2≥2或n+2≤﹣2， ∴n≥0或n≤﹣4； 故答案为：n≥0或n≤﹣4； ②∵n＝2， ∴M（m，2）， ∵将点M（m，2）先向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点M′． ∴M'（m+2，4）， ∵线段MM′上任意一点都是“纵高点”， ∴， ∴， ∴﹣2≤m≤2． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$