专题5.2 平面直角坐标系中新定义、最值等（导学+5大题型+3篇专项练习）-2024-2025学年八年级数学重难点专项训练（苏科版）

专题5-2 平面直角坐标系中新定义、最值等 【学科专题——导学+题型+多维专项练习目录】 【1】学科专题——关键知识导学 【2】题型1——含参数两点之间距离问题的探究 【3】题型2——最大值问题的探究 【4】题型3——全等视角下点的坐标的探究 【5】题型4——最小值问题的探究 【6】题型5——新定义问题的探究 【7】专题5-2专项练习——基础篇 【8】专题5-2专项练习——培优篇 【9】专题5-2专项练习——拔尖篇 【学科专题——关键知识导学】 导学一、牢记两点间的距离公式 两点间的距离公式： 设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB＝． 导学二、再认全等三角形的判定与性质的注意点 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 导学三、再认三角形三边关系相关知识 （1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． （2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． （3）三角形的两边差小于第三边． （4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验， 【题型1 含参数两点之间距离问题的探究】 【例1】（（2024•新会区校级开学）在直角坐标平面中，已知A（﹣2，a），B（1，a），那么AB＝　 　． 【基础】（（2024秋•雁塔区校级期中）在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为（5，﹣1），（5，2），则A，B两点间的距离为 　 　． 【培优】（2024春•马尾区校级期中）平面直角坐标系中，有A（﹣2，a+1），B（a﹣1，3）两点，当AB∥x轴时，则A，B两点间的距离是 　 　． 【拔尖】（2023秋•东西湖区期末）“数缺形时少直观，形无数时难入微”是我国著名数学家华罗庚教授的名言．说明数形结合是解决许多数学问题的有效思想．如图，在平面直角坐标系内，以点C（2，1）为圆心，以1为半径的圆上有一动点P（m，n），A，B两点均在y轴上，且A（0，1），B（0，﹣1），则PA2+PB2为 　 　（用含m、n的代数式表示），PA2+PB2的最大值为 　 　． 【题型2 最大值问题的探究】 【例2】（（2024秋•南昌期中）如图，将一块等腰直角三角尺按如图所示放置在平面直角坐标系中，已知直角顶点C的坐标为（1，2），点A（a，b）在第二象限，则点B的坐标为（　　） A．（3﹣b，a+1） B．（b﹣3，a+1） C．（2﹣a，3﹣b） D．（2+a，b﹣3） 【基础】（2024秋•天门校级月考）在平面直角坐标系中，将点P（2，3）绕原点O逆时针旋转90°得到点P′，则P′的坐标为　 　． 【培优】（2023秋•宿城区月考）如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个动点，点C是y轴正半轴上的点，BC⊥AC于点C，已知AC＝16，BC＝6，则点B到原点的最大距离为 　 　． 【拔尖】（2024秋•碑林区校级期中）如图，A（4，0），B（2，0），C（﹣2，0）是平面直角坐标系中三点，P为y轴正半轴上一个动点，将线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ，点B的对应点为Q，QC交y轴于D，则△ACD的周长为 　 　． 【题型3 全等视角下点的坐标的探究】 【例3】（（2024秋•东西湖区期中）如图，已知点A（4，0），点B在y轴正半轴上，将线段AB绕点A顺时针旋转120° 到线段AC，若点C的坐标为（9，h），则h＝ 　 　． 【基础】已知点A（1，5），B（3，1），点M在x轴上，当AM﹣BM最大时，点M的坐标为　 　． 【培优】（2023春•河东区期中）如图，在直角坐标系中，△ABC是边长为a的等边三角形，点B始终落在y轴上，点A始终落在x轴上，则OC的最大值是　 　． 【拔尖】如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为1的半圆O上有一动点B，点A（3，0），△ABC为等腰直角三角形，A为直角顶点，且C在第一象限，则线段OC长度的最大值为 　 　． 【题型4 最小值问题的探究】 【例4】（（2024秋•辽阳月考）平面直角坐标系中，点A（﹣1，4），B（3，1），经过点A的直线a∥x轴，点C是直线a上的一个动点，当线段BC的长度最短时，点C的坐标为（　　） A．（﹣1，1） B．（4，3） C．（3，4） D．（3，﹣1） 【基础】（2024春•江汉区期末）在平面直角坐标系中，点A（﹣3，2），B（3，4），过点A作直线l∥x轴，点C是直线l上的一个动点，当线段BC长度最小时，点C的坐标是（　　） A．（﹣3，4） B．（3，2） C．（3，0） D．（4，2） 【培优】（2023春•雨花区校级期末）在平面直角坐标系中，点A（﹣2，﹣1），B（1，4），C（x，y），若AC∥x轴，则线段BC的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【拔尖】（2024春•福清市期末）在平面直角坐标系中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S＝ah．例如：三点坐标分别为A（1，2）、B（3，1）、C（﹣2，﹣2），则“水平底”a＝5，“铅垂高”h＝4，“矩面积”S＝ah＝20．若D（1，2）、E（﹣2，1）、F（0，t）三点的矩面积不小于21，则t的取值范围为（　　） A．t≥9或t≤﹣6 B．﹣6≤t≤9 C．t≥8或t≤﹣5 D．﹣5≤t≤8 【题型5 新定义问题的探究】 【例5】（（2023秋•荣昌区校级期末）在平面直角坐标系xOy中有两点A，B若在y轴上有一点P，连接PA，PB，当∠APB＝45°时，则称点P为线段AB关于y轴的“半直点”；例：如图点A（﹣3，1），B（﹣3，﹣2）；则点P（0，1）就是线段AB关于y轴的一个“半直点”；若点C（3，3），点D（6，﹣1），则线段CD关于y轴的“半直点”个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【基础】（2024春•铜官区校级期中）在平面直角坐标系中，对于点A（x，y），若点B的坐标为（x+ay，ax+y），则称点B是点A的a级亲密点．例如：点A（﹣2，6）的级亲密点为，即点B的坐标为（1，5）． （1）已知点C（﹣1，5）的3级亲密点是点D，求点D的坐标； （2）已知点M（m﹣1，2m）的﹣3级亲密点M1位于y轴上，求点M1的坐标． 【培优】（2024秋•天长市月考）在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2），若x2﹣x1＝y2﹣y1≠0，则称点A与点B互为“对角点”．例如：A（﹣1，3），B（2，6），因为2﹣（﹣1）＝6﹣3≠0，所以点A与点B互为“对角点”． （1）若点A的坐标是（4，﹣2），分别判断点B1（2，0），B2（﹣1，﹣7），B3（0，﹣6）是否为点A的“对角点”，并说明理由； （2）若点A的坐标是（﹣2，4），其“对角点”B在坐标轴上，求点B的坐标． 【拔尖】（2024秋•大兴区期中）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若点Q坐标为（﹣x，y+2x），则称点Q为点P的“关联点”．例如，点P（1，2），则点Q（﹣1，4）是点P的“关联点”． （1）若点Q1是点P1（2，3）的“关联点”，则点Q1的坐标为 　 　； （2）若点Q2是点P2（﹣1，t﹣1）的“关联点”，且点Q2在x轴上，求t的值； （3）若点Q3是点P3（t，﹣t﹣3）的“关联点”，且线段P3Q3与x轴有交点，直接写出t的取值范围． 专题5-2 平面直角坐标系中新定义、最值等（基础篇） 1．（2024秋•市南区校级期中）在平面直角坐标系中，第四象限内的点P（a+5，a）到y轴的距离是4，则a的值为（　　） A．﹣4 B．﹣1或4 C．﹣1 D．4 2．（2024春•惠东县期中）点P（3，﹣4）到原点的距离为（　　） A．5 B．4 C．3 D．﹣3 3．（2023春•辛集市期末）在平面直角坐标系中，点A（3，2），B（﹣5，m），当线段AB长度最短时，m的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（2023秋•七星关区校级月考）点M（3，﹣5）到原点的距离是 　 　． 5．（2022春•阳东区期中）已知在平面直角坐标系中有两点A（1，2）和B（4，2），则A、B两点间的距离为 　 　． 6．（2024•阜宁县三模）在直角坐标系中，已知点A的坐标为（2，3）．若将OA绕原点O逆时针旋转90°得到OA1，则点A1的坐标为 　 　． 7．（2024秋•天长市月考）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（3a﹣5，a+1）． （1）若点A在y轴上，求点A的坐标； （2）若点A在第二象限，且点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，求a的值． 8．（2024春•巴彦县校级月考）若点A（x，0）与B（2，0）的距离为5，则x＝　 　． 9．（2024春•赛罕区校级期中）平面直角坐标系中，点A（﹣2，﹣1），B（1，3），C（x，y），若AC∥y轴，则线段BC的最小值为 　 　． 10．（2024春•惠城区校级期中）已知点P（a﹣2，2a+8），根据下列条件，分别求出点P坐标． （1）点Q的坐标为（1，﹣2），直线PQ∥y轴． （2）点P到x轴的距离为4． 专题5-2 平面直角坐标系中新定义、最值等（培优篇） 11．（2024秋•历下区期中）下列说法不正确的是（　　） A．若x+y＝0，则点P（x，y）一定在第二、四象限的角平分线上 B．若点P（x，y）的坐标满足xy＝0，则点P在x轴上 C．已知点P（2，3），Q（﹣5，3），则PQ∥x轴 D．点A（﹣a2﹣1，|b|+1）一定在第二象限 12．（2024•漳州模拟）已知点P（m，m﹣1），Q（2，1），则线段PQ的长的最小值为（　　） A． B． C． D． 13．（2024春•桃源县期末）在平面直角坐标系中，点A（﹣3，2），B（3，5），C（x，y），若AC∥x轴，则线段BC的最小值及此时点C的坐标分别为（　　） A．6，（﹣3，5） B．10，（3，﹣5） C．1，（3，4） D．3，（3，2） 14．（2024•咸安区模拟）如图，在平面直角坐标系中，OA＝AB，且∠OAB＝90°，A（﹣1，3）则点B的坐标是（　　） A．（1，4） B．（2，4） C．（3，4 ） D．（4，4） 15．（2024秋•成都期中）已知平面直角坐标系xOy中，直线AB⊥x轴，且A（3，4），B（2k+1，8﹣k），则|AB|＝　 　． 16．（2024秋•沈河区校级期中）在平面直角坐标系中，若两点A（x1，y1）、B（x2，y2），线段AB的中点是C，则点C的坐标为），例如：点A（2，4）、点B（3，﹣1），则线段AB的中点C的坐标为，即．请利用上面的结论解决问题：在平面直角坐标系中，若点M（a，b），N（a+2，a+b），线段MN的中点P恰好位于y轴上，且到x轴的距离是3，则a﹣2b的值等于 　 　． 17．在平面直角坐标系中，点A（x1，y1），B（x2，y2）之间的距离，由此可求得代数式的最小值为 　 　． 18．（2024春•朝阳区校级月考）规定以下变换：，如f（2，1）＝（﹣2，1）；f（1，3）＝（﹣3，1）．按照以上变换，那么f[f（﹣3，﹣2）]等于 　 　． 19．（2024春•文峰区校级期中）阅读理解，解答下列问题． 在平面直角坐标系中，对于点A（x，y），若点B的坐标为（kx+y，x﹣ky），则称点B为A的“k级牵挂点”，如点A（2，5）的“2级牵挂点”为B（2×2+5，2﹣2×5），即B（9，﹣8）． （1）已知点P（﹣5，1）的“﹣3级牵挂点”为P1，求点P1的坐标，并写出点P1到x轴的距离； （2）已知点Q的“4级牵挂点”为Q1（5，﹣3），求Q点的坐标及所在象限． 20．（2024•奉贤区三模）国际象棋玩过么？国王走一步能够移动到相邻的8个方格中的随意一个，那么国王从格子 （x1，y1） 走到格子 （x2，y2） 的最少步数就是数学的一种距离，叫“切比雪夫距离”．在平面直角坐标系中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2） 的“切比雪夫距离”，给出如下定义：若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1（x1，y1） 与P2（x2，y2）的“切比雪夫距离”为|x1﹣x2|；若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点P1（x1，y1） 与P2（x2，y2） 的“切比雪夫距离”为|y1﹣y2|； （1）已知A（0，2）， ①若B的坐标为（3，1），则点A与B的“切比雪夫距离”为 　 　； ②若C为x轴上的动点，那么点A与 C“切比雪夫距离”的最小值为 　 　； （2）已知，N（1，﹣1），设点M与N的“切比雪夫距离”为d，若a≥0，求d（用含a的式子表示）． 专题5-2 平面直角坐标系中新定义、最值等（拔尖篇） 21．（2024秋•越秀区校级月考）平面直角坐标系中，C（0，4），K（2，0），A为x轴上一动点，连接AC，将AC绕A点顺时针旋转90°得到AB，当点A在x轴上运动，BK取最小值时，点B的坐标为 　 　． 22．（2023秋•薛城区月考）在平面直角坐标系xOy中，对于点A（x1，y1），B（x2，y2），记dx＝|x1﹣x2|，dy＝|y1﹣y2|，将|dx﹣dy|称为点A，B的横纵偏差，记为μ（A，B），即μ（A，B）＝|dx﹣dy|．例如：点A（2，5），点B（3，1），dx＝|2﹣3|＝1，dy＝|5﹣1|＝4，μ（A，B）＝|dx﹣dy|＝|1﹣4|＝3， （1）若点A（0，3），点B在x轴的正半轴上，μ（A，B）＝1，求点B的坐标； （2）若点A（0，3），点P，Q在x轴上，且点P在点Q的左侧，点B在线段PQ上，将μ（A，B）的最大值称为线段PQ关于点A的横纵偏差，记为μ（A，PQ）． ①若点P（2，0），PQ＝4，求μ（A，PQ）的值； ②若点P（4﹣a，0），点Q（a，0），μ（A，PQ）＝3，直接写出a的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5-2 平面直角坐标系中新定义、最值等 【学科专题——导学+题型+多维专项练习目录】 【1】学科专题——关键知识导学 【2】题型1——含参数两点之间距离问题的探究 【3】题型2——最大值问题的探究 【4】题型3——全等视角下点的坐标的探究 【5】题型4——最小值问题的探究 【6】题型5——新定义问题的探究 【7】专题5-2专项练习——基础篇 【8】专题5-2专项练习——培优篇 【9】专题5-2专项练习——拔尖篇 【学科专题——关键知识导学】 导学一、牢记两点间的距离公式 两点间的距离公式： 设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB＝． 导学二、再认全等三角形的判定与性质的注意点 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 导学三、再认三角形三边关系相关知识 （1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． （2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． （3）三角形的两边差小于第三边． （4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验， 【题型1 含参数两点之间距离问题的探究】 【例1】（2024•新会区校级开学）在直角坐标平面中，已知A（﹣2，a），B（1，a），那么AB＝　 　． 【分析】根据平面直角坐标系中两点间的距离公式，直接求解即可． 【详解】解：∵A（﹣2，a），B（1，a）， ∴． 故答案为：3． 【基础】（2024秋•雁塔区校级期中）在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为（5，﹣1），（5，2），则A，B两点间的距离为 　 　． 【分析】由已知条件可得，AB∥y轴，AB两点的距离为两点纵坐标差的绝对值． 【详解】解：AB＝2﹣（﹣1）＝3． 故答案为：3． 【培优】（2024春•马尾区校级期中）平面直角坐标系中，有A（﹣2，a+1），B（a﹣1，3）两点，当AB∥x轴时，则A，B两点间的距离是 　 　． 【分析】根据AB∥x轴，列式求出a的值，得出A、B完整坐标，再计算距离即可， 【详解】解：∵有A（﹣2，a+1），B（a﹣1，3）两点，当AB∥x轴时， ∴a+1＝3， ∴a＝2， ∴a﹣1＝2﹣1＝1， ∴A（﹣2，3），B（1，3）， ∴A，B两点间的距离＝1﹣（﹣2）＝3， 故答案为：3． 【拔尖】（2023秋•东西湖区期末）“数缺形时少直观，形无数时难入微”是我国著名数学家华罗庚教授的名言．说明数形结合是解决许多数学问题的有效思想．如图，在平面直角坐标系内，以点C（2，1）为圆心，以1为半径的圆上有一动点P（m，n），A，B两点均在y轴上，且A（0，1），B（0，﹣1），则PA2+PB2为 　 　（用含m、n的代数式表示），PA2+PB2的最大值为 　 　． 【分析】由两点的距离公式即可求出PA2+PB2＝2（m2+n2）+2，PA2+PB2＝2OP2+2，当P在OC延长线上时，PO最大，此时PA2+PB2最大，求出PO的长，即可求出PA2+PB2最大值． 【详解】解：∵PA2＝m2+（n﹣1）2，PB2＝m2+（n+1）2， ∴PA2+PB2＝2（m2+n2）+2； ∵PO2＝m2+n2， ∴PA2+PB2＝2OP2+2， ∴当OP最大时，PA2+PB2最大，当P在OC延长线上时，PO最大， ∵C的坐标是（2，1）， ∴OC＝＝3， ∴PO＝3+1＝4， ∴PA2+PB2＝2×42+2＝34， ∴PA2+PB2最大值是34． 故答案为：2（m2+n2）+2，34． 【题型2 最大值问题的探究】 【例2】（2024秋•南昌期中）如图，将一块等腰直角三角尺按如图所示放置在平面直角坐标系中，已知直角顶点C的坐标为（1，2），点A（a，b）在第二象限，则点B的坐标为（　　） A．（3﹣b，a+1） B．（b﹣3，a+1） C．（2﹣a，3﹣b） D．（2+a，b﹣3） 【分析】过点C作x轴的平行线，再分别过点A作此直线的垂线，最后根据全等三角形的判定与性质即可解决问题． 【详解】解：过点C作x轴的平行线，再分别过点A和点B作此直线的垂线，垂足分别为M，N， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴CA＝CB，∠ACB＝90°． ∵AM⊥MN，BN⊥MN， ∴∠AMC＝∠CNB＝90°， ∴∠MAC+∠MCA＝∠NCB+∠MCA， ∴∠MAC＝∠NCB． 在△AMC和△CNB中， ， ∴△AMC≌△CNB（AAS）， ∴NC＝MA，NB＝MC． ∵点C坐标为（1，2），点A坐标为（a，b）， ∴NC＝MA＝2﹣b，NB＝MC＝1﹣a， ∴1+2﹣b＝3﹣b，2﹣（1﹣a）＝a+1， ∴点B的坐标为（3﹣b，a+1）． 故选：A． 【基础】（2024秋•天门校级月考）在平面直角坐标系中，将点P（2，3）绕原点O逆时针旋转90°得到点P′，则P′的坐标为　 　． 【分析】如图，过点P作PA⊥x轴于点D，过点P′A′⊥y轴于点A′，构造全等三角形，然后根据全等三角形的性质即可详解． 【详解】解：过点P作PA⊥x轴于点D，过点P′A′⊥y轴于点A′， ∵P（2，3）， ∴OA＝2，PA＝3， ∵∠A′OP′+∠OP′A′＝90°，∠A′OP+∠POA＝90°， ∴∠P′OA′＝∠POA， ∠PAO＝∠P′A′O，OA＝OA′，∠POA＝∠P′OA′， ∴△PAO≌△P′A′O（AAS）， ∴OA′＝OA＝2，A′P′＝AP＝3， ∴P′（﹣3，2）． 故答案为：（﹣3，2）． 【培优】（2023秋•宿城区月考）如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个动点，点C是y轴正半轴上的点，BC⊥AC于点C，已知AC＝16，BC＝6，则点B到原点的最大距离为 　 　． 【分析】利用当O，D，B三点在一条直线上时，点B到原点的距离取得最大值详解是解题的关键．取AC的中点D，连接OD，BD，OB，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得OD，利用勾股定理求得BD，利用三角形两边之和大于第三边，可知当O，D，B三点在一条直线上时，点B到原点的距离取得最大值，结论可求． 【详解】解：取AC的中点D，连接OD，BD，OB，如图， ∵D为AC的中点，∠AOC＝90°， ∴． ∵∠ACB＝90°， ∴． 当O，D，B三点不在一条直线上时，OB＜OD+BD＝8+10＝18， 当O，D，B三点在一条直线上时，OB＝OD+BD＝8+10＝18， ∴当O，D，B三点在一条直线上时，点B到原点的最大距离为18． 故答案为：18． 【拔尖】（2024秋•碑林区校级期中）如图，A（4，0），B（2，0），C（﹣2，0）是平面直角坐标系中三点，P为y轴正半轴上一个动点，将线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ，点B的对应点为Q，QC交y轴于D，则△ACD的周长为 　 　． 【分析】连接PC．想办法证明∠DCO＝45°，求出CD，AD可得结论． 【详解】解：连接PC． ∵A（4，0），B（2，0），C（﹣2，0）， ∴OA＝4，OC＝OB＝2， ∵PO⊥CB， ∴PC＝PB， ∴∠CPO＝∠BPO，设∠CPO＝∠BPO＝x，则有∠PCB＝90°﹣x， ∵PQ＝PB， ∴PC＝PB， ∵∠CPQ＝90°+2x， ∴∠PCQ＝∠Q＝（180°﹣90°﹣2x）＝45°﹣x， ∴∠DCO＝∠PCO﹣∠PCQ＝90°﹣x﹣（45°﹣x）＝45°， ∴OC＝OD＝2， ∴CD＝＝2，AD＝＝2， ∴△ACD的周长＝2+2+6． 故答案为：2+2+6． 【题型3 全等视角下点的坐标的探究】 【例3】（2024秋•东西湖区期中）如图，已知点A（4，0），点B在y轴正半轴上，将线段AB绕点A顺时针旋转120° 到线段AC，若点C的坐标为（9，h），则h＝ 　 　． 【分析】在x轴上取点D和点E，使得∠ADB＝∠AEC＝120°，过点C作CF⊥x于点F，在Rt△CEF中，解直角三角形可得，，再证明△CAE≌△ABD（AAS），则，AE＝BD，求得，在Rt△BOD中，得，，得到，解方程即可求得答案． 【详解】解：在x轴上取点D和点E，使得∠ADB＝∠AEC＝120°，过点C作CF⊥x于点F， ∵点C的坐标为（9，h）， ∴OF＝9，CF＝h， 在Rt△CEF中，∠CEF＝180°﹣∠AEC＝60°，CF＝h， ∴∠ECF＝30°， ∴， ∵∠BAC＝120°， ∴∠BAD+∠CAE＝∠BAD+∠ABD＝120°， ∴∠CAE＝∠ABD， ∵AB＝CA（旋转的性质）， ∴△CAE≌△ABD（AAS）， ∴，AE＝BD， ∵A（4，0）， ∴OA＝4， ∴， 在Rt△BOD中，∠BDO＝180°﹣∠ADB＝60°， ∴∠OBD＝30° ∴， ∴， ∵OA+AE+EF＝OF， ∴， 解得， 故答案为：． 【基础】已知点A（1，5），B（3，1），点M在x轴上，当AM﹣BM最大时，点M的坐标为　 　． 【分析】连接AB并延长与x轴的交点M，即为所求的点．求出直线AB的解析式，求出直线AB和x轴的交点坐标即可． 【详解】解：设直线AB的解析式是y＝kx+b， 把A（1，5），B（3，1）代入得：， 解得：k＝﹣2，b＝7， 即直线AB的解析式是y＝﹣2x+7， 把y＝0代入得：﹣2x+7＝0， x＝， 即M的坐标是（，0）， 故答案为（，0）． 【培优】（2023春•河东区期中）如图，在直角坐标系中，△ABC是边长为a的等边三角形，点B始终落在y轴上，点A始终落在x轴上，则OC的最大值是　 　． 【分析】取AB的中点D，连接OD、CD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OD的长度，再根据等边三角形的性质可以求出CD的长度，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得点O、D、C三点共线时，OC的长度最大，然后计算即可得解． 【详解】解：如图，取AB的中点D，连接OD、CD， 则OD＝AB＝a， CD＝a， 在△OCD中，OD+CD＞OC， 所以，当点O、D、C三点共线时，OC的长度最大， 最大值为a+a＝a． 故答案为：a． 【拔尖】如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为1的半圆O上有一动点B，点A（3，0），△ABC为等腰直角三角形，A为直角顶点，且C在第一象限，则线段OC长度的最大值为 　 　． 【分析】根据△ABC为等腰直角三角形，A为直角顶点，所以想到在点A处构造手拉手模型的全等，过点A作DA⊥AO，并截取AD＝AO，连接OD，CD，OB，可得OB＝CD＝1，然后利用三角形的三边关系即可详解． 【详解】解：过点A作DA⊥AO，并截取AD＝AO，连接OD，CD，OB， ∵△ABC为等腰直角三角形，A为直角顶点， ∴AB＝AC，∠BAC＝90°， ∵DA⊥AO， ∴∠DAO＝90°， ∴∠DAO﹣∠DAB＝∠BAC﹣∠BAD， ∴∠BAO＝∠DAC， ∴△BAO≌△CAD（SAS）， ∴OB＝CD＝1， ∵A（3，0）， ∴OA＝3， ∴OA＝DA＝3， ∴OD＝＝＝3， ∵OD+CD≥OC， ∴当O，D，C三点在同一条直线上时，OC的最大值为OD+CD， ∴OC的最大值为：3+1， 故答案为：3+1． 【题型4 最小值问题的探究】 【例4】（2024秋•辽阳月考）平面直角坐标系中，点A（﹣1，4），B（3，1），经过点A的直线a∥x轴，点C是直线a上的一个动点，当线段BC的长度最短时，点C的坐标为（　　） A．（﹣1，1） B．（4，3） C．（3，4） D．（3，﹣1） 【分析】由垂线段最短可知，当BC⊥直线a时，线段BC的长度最短，过点B作BC⊥直线a于点C，以此即可确定点C的坐标． 【详解】解：由垂线段最短可知，当BC⊥直线a时，线段BC的长度最短， 如图，过点B作BC⊥直线a于点C， ∵过点A（﹣1，4）的直线a∥x轴，点C是直线a上的一个动点， ∴点C的纵坐标为4， ∵BC⊥直线a，直线a∥x轴， ∴点C的横坐标为3， ∴C（3，4）． 故选：C． 【基础】（2024春•江汉区期末）在平面直角坐标系中，点A（﹣3，2），B（3，4），过点A作直线l∥x轴，点C是直线l上的一个动点，当线段BC长度最小时，点C的坐标是（　　） A．（﹣3，4） B．（3，2） C．（3，0） D．（4，2） 【分析】根据题意画出示意图，结合所画图形即可解决问题． 【详解】解：如图所示， 过点B作直线l的垂线，垂足为M， 根据垂线段最短可知， 当点C在点M处时，线段BC长度最小， 此时点C的坐标为（3，2）． 故选：B． 【培优】（2023春•雨花区校级期末）在平面直角坐标系中，点A（﹣2，﹣1），B（1，4），C（x，y），若AC∥x轴，则线段BC的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】先根据AC∥x轴得出y的值，再由垂线段最短即可得出x的值，进而得出结论． 【详解】解：∵点A（﹣2，﹣1），B（1，4），C（x，y），AC∥x轴， ∴y＝﹣1； ∵当AC⊥BC时，线段BC最短， ∴x＝1， ∴C（1，﹣1）， ∴BC最短＝4﹣（﹣1）＝5． 故选：D． 【拔尖】（2024春•福清市期末）在平面直角坐标系中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S＝ah．例如：三点坐标分别为A（1，2）、B（3，1）、C（﹣2，﹣2），则“水平底”a＝5，“铅垂高”h＝4，“矩面积”S＝ah＝20．若D（1，2）、E（﹣2，1）、F（0，t）三点的矩面积不小于21，则t的取值范围为（　　） A．t≥9或t≤﹣6 B．﹣6≤t≤9 C．t≥8或t≤﹣5 D．﹣5≤t≤8 【分析】根据题中所给“矩面积”的定义，再对t的取值范围进行分类讨论，进而可表示出D，E，F三点的“矩面积”，建立不等式即可解决问题． 【详解】解：由题知， ∵D（1，2）、E（﹣2，1）、F（0，t）， ∴“水平底”为：1﹣（﹣2）＝3． 当t≤1时， “铅垂高”为：2﹣t， ∴3（2﹣t）≥21， 解得t≤﹣5， ∴t≤﹣5． 当1＜t≤2时， “铅垂高”为：2﹣1＝1， ∴3×1＝3＜21， 故此情况不存在． 当t＞2时， “铅垂高”为：t﹣1， ∴3（t﹣1）≥21， 解得t≥8， ∴t≥8， 综上所述，t的取值范围是：t≥8或t≤﹣5． 故选：C． 【题型5 新定义问题的探究】 【例5】（2023秋•荣昌区校级期末）在平面直角坐标系xOy中有两点A，B若在y轴上有一点P，连接PA，PB，当∠APB＝45°时，则称点P为线段AB关于y轴的“半直点”；例：如图点A（﹣3，1），B（﹣3，﹣2）；则点P（0，1）就是线段AB关于y轴的一个“半直点”；若点C（3，3），点D（6，﹣1），则线段CD关于y轴的“半直点”个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】以CD为斜边，在CD左侧作等腰直角三角形CDE，过E作GF∥y轴，过C作CG⊥GF于G，过D作DF⊥GF于F，设E（m，n），由△DEF≌△ECG（AAS），可得E坐标，以E为圆心，CE的长为半径作⊙E，判断与y轴交点个数即可求解． 【详解】解：以CD为斜边，在CD左侧作等腰直角三角形CDE，过E作GF∥y轴，过C作CG⊥GF于G，过D作DF⊥GF于F，如图： 设E（m，n）， ∵∠CED＝90°， ∴∠DEF＝90°﹣∠CEG＝∠GCE， 又∵∠F＝∠G＝90°，DE＝CE， ∴△DEF≌△ECG（AAS）， ∴EF＝CG，DF＝GE， ∵点C（3，3），点D（6，﹣1）， ∴， 解得， ∴， ∴E（，﹣）， 以E为圆心，CE的长为半径作⊙E，过E作EH⊥y轴于H，如图： ∵EC＝＝＞，EH＝， ∴⊙E与y轴有两个交点M、N 此时∠CND＝∠CMD＝∠CED＝45°， ∴线段CD关于y轴的“半直点”个数有2个，为M、N， 故选：C． 【基础】（2024春•铜官区校级期中）在平面直角坐标系中，对于点A（x，y），若点B的坐标为（x+ay，ax+y），则称点B是点A的a级亲密点．例如：点A（﹣2，6）的级亲密点为，即点B的坐标为（1，5）． （1）已知点C（﹣1，5）的3级亲密点是点D，求点D的坐标； （2）已知点M（m﹣1，2m）的﹣3级亲密点M1位于y轴上，求点M1的坐标． 【分析】（1）根据题意，应用新定义进行计算即可得出答案； （2）根据新定义进行计算可得点M（m﹣1，2m）的﹣3级亲密点是点M1[m﹣1+（﹣3）×2m，﹣1×（m﹣1）+2m]，根据y轴上点的坐标特征进行求解即可得出答案． 【详解】解：（1）根据题意可得，点C（﹣1，5）的3级亲密点是点D（﹣1+3×5，﹣1×3+5）， 即点D的坐标为（14，2）； 故答案为：（14，2）； （2）根据题意可得，点M（m﹣1，2m）的﹣3级亲密点是点M1[m﹣1+（﹣3）×2m，﹣3×（m﹣1）+2m]，即点M1的坐标为（﹣5m﹣1，﹣m+3）， ∵M1位于y轴上， ∴﹣5m﹣1＝0， ∴， ∴． 【培优】（2024秋•天长市月考）在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2），若x2﹣x1＝y2﹣y1≠0，则称点A与点B互为“对角点”．例如：A（﹣1，3），B（2，6），因为2﹣（﹣1）＝6﹣3≠0，所以点A与点B互为“对角点”． （1）若点A的坐标是（4，﹣2），分别判断点B1（2，0），B2（﹣1，﹣7），B3（0，﹣6）是否为点A的“对角点”，并说明理由； （2）若点A的坐标是（﹣2，4），其“对角点”B在坐标轴上，求点B的坐标． 【分析】（1）根据“对角点”的定义判断即可； （2）分B点在x轴和y轴两种情况讨论，根据“对角点”的定义即可求解． 【详解】解：（1）点B1（2，0）不是点A的“对角点”，B2（﹣1，﹣7），B3（0，﹣6）是点A的“对角点”， 理由： ∵2﹣4≠0﹣（﹣2）， ∴点B1（2，0）不是点A的“对角点”； ∵﹣1﹣4＝﹣7﹣（﹣2）＝﹣5≠0， ∴点B2（﹣1，﹣7）是点A的“对角点”； ∵0﹣4＝﹣6﹣（﹣2）＝﹣4≠0， ∴点B3（0，﹣6）是点A的“对角点”； （2）①当点B在x轴上时， 设B（x，0），由题意得，x﹣（﹣2）＝0﹣4， 解得x＝﹣6， ∴B（﹣6，0）； ②当点B在y轴上时， 设B（0，y），由题意得，0﹣（﹣2）＝y﹣4， 解得y＝6， ∴B（0，6）， 综上所述，点B的坐标为（﹣6，0）或（0，6）． 【拔尖】（2024秋•大兴区期中）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若点Q坐标为（﹣x，y+2x），则称点Q为点P的“关联点”．例如，点P（1，2），则点Q（﹣1，4）是点P的“关联点”． （1）若点Q1是点P1（2，3）的“关联点”，则点Q1的坐标为 　 　； （2）若点Q2是点P2（﹣1，t﹣1）的“关联点”，且点Q2在x轴上，求t的值； （3）若点Q3是点P3（t，﹣t﹣3）的“关联点”，且线段P3Q3与x轴有交点，直接写出t的取值范围． 【分析】（1）根据新定义求解即可得到结果； （2）根据新定义求Q2的坐标，再根据在x轴上的点的特点解题即可； （3）根据新定义求出Q3的坐标，再根据线段P3Q3与x轴有交点，则P3Q3的纵坐标异号或至少一个为0，解题即可得到结果． 【详解】解：（1）∵点P（x，y），点P的“关联点”Q坐标为（﹣x，y+2x）， ∴P1（2，3）的关联点Q1的坐标为（﹣2，3+2×2）， 即Q1（﹣2，7）， 故答案为：（﹣2，7）； （2）P2（﹣1，t﹣1）的关联点Q2的坐标为（1，t﹣1﹣2），即（1，t﹣3）， ∵点Q2在x轴上， ∴t﹣3＝0， ∴t＝3， ∴t的值为3； （3）P3（和，﹣t﹣3）的关联点Q3的坐标为（﹣t，﹣t﹣3+2t），即（﹣t，t﹣3）， ∵线段P3Q3与x轴有交点， ∴P3Q3的纵坐标异号或至少一个为0， ∴或， ∴解得：t≥3或t≤﹣3， ∴t的取值范围为t≥3或t≤﹣3． 专题5-2 平面直角坐标系中新定义、最值等（基础篇） 1．（2024秋•市南区校级期中）在平面直角坐标系中，第四象限内的点P（a+5，a）到y轴的距离是4，则a的值为（　　） A．﹣4 B．﹣1或4 C．﹣1 D．4 【分析】根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值详解即可． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，第四象限内的点P（a+5，a）到y轴的距离是4， ∴a+5＝4， 解得a＝﹣1， 故选：C． 2．（2024春•惠东县期中）点P（3，﹣4）到原点的距离为（　　） A．5 B．4 C．3 D．﹣3 【分析】直接根据两点间的距离公式求解． 【详解】解：OP＝＝5， 即点P（3，﹣4）到原点的距离为5． 故选：A． 3．（2023春•辛集市期末）在平面直角坐标系中，点A（3，2），B（﹣5，m），当线段AB长度最短时，m的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】根据垂线段最短即可解决问题．平面直角坐标系中，A（1，6），B（3，m），其中m为任意实数，则线段AB长度的最小值为 【详解】解：∵B（﹣5，m）， ∴点B在直线x＝﹣5上， 要使AB最小， 根据“垂线段最短”，可知： 过A作直线x＝﹣5的垂线，垂足为B， ∴当线段AB长度最短时，m的值为2． 故选：C． 4．（2023秋•七星关区校级月考）点M（3，﹣5）到原点的距离是 　 　． 【分析】利用两点间的距离公式即可详解． 【详解】解：点M（3，﹣5）到原点的距离是， 故答案为：． 5．已知在平面直角坐标系中有两点A（1，2）和B（4，2），则A、B两点间的距离为 　 　． 【分析】根据两点间的距离公式进行计算即可求解． 【详解】解：在平面直角坐标系中有两点A（1，2），B（4，2）， ∴A、B两点间的距离为＝3． 故答案为：3． 6．（2024•阜宁县三模）在直角坐标系中，已知点A的坐标为（2，3）．若将OA绕原点O逆时针旋转90°得到OA1，则点A1的坐标为 　 　． 【分析】作出图形，然后写出点A1的坐标即可． 【详解】解：如图，点A1的坐标为（﹣3，2）． 故答案为：（﹣3，2）． 7．（2024秋•天长市月考）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（3a﹣5，a+1）． （1）若点A在y轴上，求点A的坐标； （2）若点A在第二象限，且点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，求a的值． 【分析】（1）根据点在y轴上，横坐标为0，求出a的值，即可详解； （2）根据点A在第二象限，点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，得到3a﹣5＜0，a+1＞0，|3a﹣5|＝|a+1|，即可详解． 【详解】解：（1）∵点A在y轴上， ∴3a﹣5＝0， 解得， ∴a+1＝+1＝， ∴A； （2）∵点A在第二象限，且点A到x轴的距离与到y轴的距离相等， ∴3a﹣5＜0，a+1＞0，|3a﹣5|＝|a+1|， ∴|3a﹣5|＝﹣（3a﹣5），|a+1|＝a+1， ∴﹣（3a﹣5）＝a+1， 解得a＝1． 8．（2024春•巴彦县校级月考）若点A（x，0）与B（2，0）的距离为5，则x＝　 　． 【分析】根据两点间的距离公式便可直接详解． 【详解】解：∵点A（x，0）与B（2，0）的距离为5， ∴AB＝＝5， 解得x＝﹣3或x＝7． 故答案填：﹣3或7． 9．（2024春•赛罕区校级期中）平面直角坐标系中，点A（﹣2，﹣1），B（1，3），C（x，y），若AC∥y轴，则线段BC的最小值为 　 　． 【分析】本题通过AC∥y轴，可知点A，点C的横坐标相同，则点的范围为x＝﹣2的一条直线，要求出BC的最小值，即为点B到x＝﹣2这条直线的垂线段的长度，即为最小值． 【详解】解：∵AC∥y轴， ∴点A和点C的横坐标相同， ∴x＝﹣2， ∴点C在x＝﹣2这条直线上， ∵B到直线x＝﹣2的最短距离为点B到直线的垂线段， ∴BC⊥AC， ∴BC⊥y轴， ∴点B和点C的纵坐标相同， ∴y＝3， ∴点C（﹣2，3）， ∴BC的最小值为1﹣（﹣2）＝3， 故答案为：3． 10．（2024春•惠城区校级期中）已知点P（a﹣2，2a+8），根据下列条件，分别求出点P坐标． （1）点Q的坐标为（1，﹣2），直线PQ∥y轴． （2）点P到x轴的距离为4． 【分析】（1）根据平行y轴上的点的横坐标相同，列方程求出a的值，代入点P的坐标即可求解； （2）根据P到x轴的距离为4，列方程，可求得a的值，代入点P的坐标即可求解． 【详解】解：（1）∵P（a﹣2，2a+8），Q的坐标为（1，﹣2），直线PQ∥y轴， ∴a﹣2＝1， ∴a＝3， ∴P点的坐标为（1，14）； （2）∵P到x轴的距离为4． ∴|2a+8|＝4， ∴a＝﹣2或﹣6． ∴P点的坐标为（﹣4，4）或（﹣8，﹣4）． 专题5-2 平面直角坐标系中新定义、最值等（培优篇） 11．（2024秋•历下区期中）下列说法不正确的是（　　） A．若x+y＝0，则点P（x，y）一定在第二、四象限的角平分线上 B．若点P（x，y）的坐标满足xy＝0，则点P在x轴上 C．已知点P（2，3），Q（﹣5，3），则PQ∥x轴 D．点A（﹣a2﹣1，|b|+1）一定在第二象限 【分析】根据第二、四象限角平分线、x轴及平行于x轴的直线上点的坐标特征，对所给选项依次进行判断即可． 【详解】解：因为x+y＝0， 即y＝﹣x， 所以点P（x，y）一定在第二、四象限的角平分线上． 故A选项不符合题意． 因为xy＝0， 所以x＝0或y＝0， 则点P（x，y）一定在坐标轴上． 故B选项符合题意． 因为点P（2，3），Q（﹣5，3）， 则点P与点Q的纵坐标相等，且横坐标不相等， 所以PQ∥x轴． 故C选项不符合题意． 因为A（﹣a2﹣1，|b|+1）， 则﹣a2﹣1≤﹣1＜0，|b|+1≥1＞0， 所以点A一定在第二象限． 故D选项不符合题意． 故选：B． 12．（2024•漳州模拟）已知点P（m，m﹣1），Q（2，1），则线段PQ的长的最小值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据两点间距离公式得到PQ，利用二次函数的最值即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴当时，有最小值，即PQ有最小值， ∴线段PQ的长的最小值为， 故选：B． 13．（2024春•桃源县期末）在平面直角坐标系中，点A（﹣3，2），B（3，5），C（x，y），若AC∥x轴，则线段BC的最小值及此时点C的坐标分别为（　　） A．6，（﹣3，5） B．10，（3，﹣5） C．1，（3，4） D．3，（3，2） 【分析】根据坐标的定义可求得y值，根据线段BC最小，确定BC⊥AC，垂足为点C，进一步求得BC的最小值和点C的坐标． 【详解】解：依题意可得： ∵AC∥x轴，A（﹣3，2） ∴y＝2， 根据垂线段最短，当BC⊥AC于点C时， 点B到AC的距离最短，即 BC的最小值＝5﹣2＝3， 此时点C的坐标为（3，2）， 故选：D． 14．（2024•咸安区模拟）如图，在平面直角坐标系中，OA＝AB，且∠OAB＝90°，A（﹣1，3）则点B的坐标是（　　） A．（1，4） B．（2，4） C．（3，4 ） D．（4，4） 【分析】过点A作CD∥y轴，过点B作BC∥x轴，与CD相交于点C，交y轴于点E，证明△ADO≌△BCA得到AD＝BC＝3，AC＝OD＝1，BE＝BC﹣CE＝1，继而得到点B坐标． 【详解】解：过点A作CD∥y轴，过点B作BC∥x轴，与CD相交于点C，交y轴于点E， ∵∠OAB＝90°， ∴∠DAO＝∠CBA＝90°﹣∠CAB， 在△ADO和△BCA中， ， ∴△ADO≌△BCA（AAS）， ∴AD＝BC，AC＝OD， ∵A（﹣1，3）， ∴AD＝BC＝3，AC＝OD＝1， ∴C（﹣1，4），BE＝BC﹣CE＝1， ∴B（2，4）． 故选：B． 15．（2024秋•成都期中）已知平面直角坐标系xOy中，直线AB⊥x轴，且A（3，4），B（2k+1，8﹣k），则|AB|＝　 　． 【分析】根据垂直于x轴的直线上点的坐标特征，得出关于k的等式，进而可出k的值，最后求出AB的长度即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为直线AB⊥x轴，且A（3，4），B（2k+1，8﹣k）， 所以2k+1＝3， 解得k＝1， 所以8﹣k＝7， 所以点B的坐标为（3，7）， 所以|AB|＝7﹣4＝3． 故答案为：3． 16．（2024秋•沈河区校级期中）在平面直角坐标系中，若两点A（x1，y1）、B（x2，y2），线段AB的中点是C，则点C的坐标为），例如：点A（2，4）、点B（3，﹣1），则线段AB的中点C的坐标为，即．请利用上面的结论解决问题：在平面直角坐标系中，若点M（a，b），N（a+2，a+b），线段MN的中点P恰好位于y轴上，且到x轴的距离是3，则a﹣2b的值等于 　 　． 【分析】先求出MN的中点P的坐标，再根据点P满足的条件列出方程求出a、b的值，最后代入代数式计算即可． 【详解】解：根据题意可得：点M（a，b），N（a+2，a+b），线段MN的中点P（a+1，）， ∵点P恰好位于y轴上， ∴a+1＝0，解得a＝﹣1， ∵点P到x轴的距离是3， ∴＝3或＝﹣3， ∴或， ∴b＝或b＝﹣， ∴a﹣2b＝﹣1﹣×2＝﹣8或a﹣2b＝﹣1﹣2×＝4． 综上分析，a﹣2b的值为﹣8或4． 故答案为：﹣8或4． 17．在平面直角坐标系中，点A（x1，y1），B（x2，y2）之间的距离，由此可求得代数式的最小值为 　 　． 【分析】根据原式表示的几何意义是点（x，0）到点（1，1）和（4，﹣3）的距离之和，当点（x，0）在以（1，1）和（4，﹣3）为端点的线段上时其距离之和最小，进而求出即可． 【详解】解：＝+， 故原式表示点（x，0）到（1，1）和（4，﹣3）的距离之和．由两点之间线段最短，点（x，0）在以（1，1）和（4，﹣3）为端点的线段上时，原式值最小．利用公式，原式＝5． 故答案为：5． 18．（2024春•朝阳区校级月考）规定以下变换：，如f（2，1）＝（﹣2，1）；f（1，3）＝（﹣3，1）．按照以上变换，那么f[f（﹣3，﹣2）]等于 　 　． 【分析】直接利用新定义：f（﹣3，﹣2）＝（2，﹣3），进而化简得出答案． 【详解】解：∵f（﹣3，﹣2）＝（2，﹣3）， ∴f[f（﹣3，﹣2）]＝f（2，﹣3）＝（﹣2，﹣3）． 故答案为：（﹣2，﹣3）． 19．（2024春•文峰区校级期中）阅读理解，详解下列问题． 在平面直角坐标系中，对于点A（x，y），若点B的坐标为（kx+y，x﹣ky），则称点B为A的“k级牵挂点”，如点A（2，5）的“2级牵挂点”为B（2×2+5，2﹣2×5），即B（9，﹣8）． （1）已知点P（﹣5，1）的“﹣3级牵挂点”为P1，求点P1的坐标，并写出点P1到x轴的距离； （2）已知点Q的“4级牵挂点”为Q1（5，﹣3），求Q点的坐标及所在象限． 【分析】（1）根据“k级牵挂点”的定义判定结论； （2）设Q（x，y），根据点Q的“4级牵挂点”为Q1（5，﹣3）可得关于x、y的二元一次方程组，解方程组求出x、y的值即可． 【详解】解：（1）∵点P（﹣5，1）的“﹣3级牵挂点”为P1， ∴﹣5×（﹣3）+1＝16，﹣5﹣（﹣3）×1＝﹣2， 即P1（16，﹣2）， 点P1到x轴的距离为2； （2）∵点Q的“4级牵挂点”为Q1（5，﹣3）， 设Q（x，y）． 则有， 解得， ∴Q（1，1），点Q在第一象限． 20．（2024•奉贤区三模）国际象棋玩过么？国王走一步能够移动到相邻的8个方格中的随意一个，那么国王从格子 （x1，y1） 走到格子 （x2，y2） 的最少步数就是数学的一种距离，叫“切比雪夫距离”．在平面直角坐标系中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2） 的“切比雪夫距离”，给出如下定义：若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1（x1，y1） 与P2（x2，y2）的“切比雪夫距离”为|x1﹣x2|；若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点P1（x1，y1） 与P2（x2，y2） 的“切比雪夫距离”为|y1﹣y2|； （1）已知A（0，2）， ①若B的坐标为（3，1），则点A与B的“切比雪夫距离”为 　 　； ②若C为x轴上的动点，那么点A与 C“切比雪夫距离”的最小值为 　 　； （2）已知，N（1，﹣1），设点M与N的“切比雪夫距离”为d，若a≥0，求d（用含a的式子表示）． 【分析】（1）①结合题意，根据“切比雪夫距离”的定义求解即可；②设点C（m，0），分|m|＞2和|m|≤2两种情况讨论，即可获得答案； （2）结合已知条件，分两种情况讨论：当0≤a≤1时，由|2﹣a﹣1|＝1﹣a≤1，|+1|＝+1≥1，可确定此时点M与N的“切比雪夫距离”；当a＞1时，易得|2﹣a﹣1|＝a﹣1，|+1|＝+1，令a﹣1≤+1，解得a≤3，即当1＜a≤3时，点M与N的“切比雪夫距离”d＝+1；当a＞3时，可有a﹣1＞+1，此时点M与N的“切比雪夫距离”d＝a﹣1．即可获得答案． 【详解】解：（1）①∵A（0，2），B（3，1）， 又∵|0﹣3|＝3，|2﹣1|＝1， ∴|0﹣3|＞|2﹣1|， ∴根据“切比雪夫距离”的定义，点A与B的“切比雪夫距离”为3． ②若C为x轴上的动点，则可设点C（m，0）， 当|m|＞2时，|0﹣m|＝|m|＞2， 又∵|2﹣0|＝2， ∴|0﹣m|＞|2﹣0|， ∴此时点A与C“切比雪夫距离”的值为|m|＞2； 当|m|≤2时，|0﹣m|＝|m|≤2， 又∵|2﹣0|＝2， ∴|0﹣m|≤|2﹣0|， ∴此时点A与C“切比雪夫距离”的值为2． 综上所述，若C为x轴上的动点，那么点A与C“切比雪夫距离”的最小值为2． （2）根据已知条件，M（2﹣a，），N（1，﹣1）， 则当0≤a≤1时， |2﹣a﹣1|＝|1﹣a|＝1﹣a≤1， |+1|＝+1≥1， ∴此时点M与N的“切比雪夫距离”d＝+1； 当a＞1时， 可有|2﹣a﹣1|＝|1﹣a|＝a﹣1，|+1|＝+1， 令a﹣1≤+1，解得a≤3， 即当1＜a≤3时，可有a﹣1≤+1，此时点M与N的“切比雪夫距离”d＝+1， 当a＞3时，可有a﹣1＞+1，此时点M与N的“切比雪夫距离”d＝a﹣1． 综上所述，点M与N的“切比雪夫距离”． 专题5-2 平面直角坐标系中新定义、最值等（拔尖篇） 21．（2024秋•越秀区校级月考）平面直角坐标系中，C（0，4），K（2，0），A为x轴上一动点，连接AC，将AC绕A点顺时针旋转90°得到AB，当点A在x轴上运动，BK取最小值时，点B的坐标为 　 　． 【分析】如图，作BH⊥x轴于H．由△ACO≌△BAH（AAS），推出BH＝OA＝m，AH＝OC＝4，可得B（m+4，m），令x＝m+4，y＝m，推出y＝x﹣4，推出点B在直线y＝x﹣4上运动，设直线y＝x﹣4交x轴于E，交y轴于F，作KM⊥EF于M，根据垂线段最短可知，当点B与点M重合时，BK的值最小，构建方程组确定交点M坐标即可解决问题． 【详解】解：如图，作BH⊥x轴于H． ∵C（0，4），K（2，0）， ∴OC＝4，OK＝2， ∵AC＝AB，∵∠AOC＝∠CAB＝∠AHB＝90°， ∴∠CAO+∠OCA＝90°，∠BAH+∠CAO＝90°， ∴∠ACO＝∠BAH， ∴△ACO≌△BAH（AAS）， ∴BH＝OA＝m，AH＝OC＝4， ∴B（m+4，m）， 令x＝m+4，y＝m， ∴y＝x﹣4， ∴点B在直线y＝x﹣4上运动，设直线y＝x﹣4交x轴于E，交y轴于F， 作KM⊥EF于M，则直线KM的解析式为y＝﹣x+2， 由，解得， ∴M（3，﹣1）， 根据垂线段最短可知，当点B与点M重合时，BK的值最小，此时B（3，﹣1）， 故答案为：（3，﹣1） 22．（2023秋•薛城区月考）在平面直角坐标系xOy中，对于点A（x1，y1），B（x2，y2），记dx＝|x1﹣x2|，dy＝|y1﹣y2|，将|dx﹣dy|称为点A，B的横纵偏差，记为μ（A，B），即μ（A，B）＝|dx﹣dy|．例如：点A（2，5），点B（3，1），dx＝|2﹣3|＝1，dy＝|5﹣1|＝4，μ（A，B）＝|dx﹣dy|＝|1﹣4|＝3， （1）若点A（0，3），点B在x轴的正半轴上，μ（A，B）＝1，求点B的坐标； （2）若点A（0，3），点P，Q在x轴上，且点P在点Q的左侧，点B在线段PQ上，将μ（A，B）的最大值称为线段PQ关于点A的横纵偏差，记为μ（A，PQ）． ①若点P（2，0），PQ＝4，求μ（A，PQ）的值； ②若点P（4﹣a，0），点Q（a，0），μ（A，PQ）＝3，直接写出a的取值范围． 【分析】（1）根据题意并结合具体的点的坐标，即可解决问题； （2）根据（1）中的运算过程，类比即可求出①，②． 【详解】解：（1）设B（x，0），x＞0， ∵A（0，3），μ（A，B）＝1， ∴dx＝|x1﹣x2|＝|0﹣x|＝|x|，dy＝|y1﹣y2|＝|3﹣0|＝3， 则μ（A，B）＝|dx﹣dy|＝||x|﹣3|＝1， ∴x＝±2或x＝±4， ∵x＞0， ∴B（2，0）或（4，0）； （2）①A（0.3），P（2.0），PQ＝4， ∵点P在点Q的左侧， ∴Q（6.0）， 当点B在点P时， dx＝|x1﹣x2|＝|0﹣2|＝2，dy＝|y1﹣y2|＝|3﹣0|＝3， ∴μ（A，P））＝|dx﹣dy|＝|2﹣3|＝1， 同理可得：点B在点Q时， μ（A，Q）＝3， 综上所述：μ（A，PQ）＝3； ②依据题意可知：A（0.3），P（4﹣a，0），Q（a.0），μ（A，PQ）＝3， ∵点P在点Q的左侧， ∴4﹣a＜a， ∴a＞2， 依据①，可知点A与点Q的横纵偏差较大， ∴dx＝|0﹣a|＝|a|，dy＝|3﹣0|＝3，μ（A，PQ）＝||a|﹣3|＝3， ∴a＝±6或0， 或者4﹣a＝0， ∴a＝4， ∵点B在PQ线段上，PQ只能在﹣6与6之间， 不能大于6，不能小于﹣6， 不然最大值会超过3， 但是线段PQ只要在这个范围内，包括了±6，0即可满足条件， 点P在点Q左侧4﹣a＜a， 解得a＞2， 只要0在PQ上即可， ∴﹣6≤4﹣a≤0，0＜a≤6， 解得4≤a≤6． ∴a的取值范围是4≤a≤6． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$