广东省广州第六中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

2023级高二上学期数学期中考试答案 一、单选题： 1.C 2.C 3.A 4.C 5.A 6 .C 7.【答案】B 【详解】 如图，取的中点，连接，则，又，所以， 故，因为是边长为2的等边三角形，所以， 因为，平面， 所以平面，因为平面，所以平面平面， 设ABC和PAB的外心分别为，则分别在线段上， 且，设外接球的球心为O，连接， 在正方形中，由勾股定理得，由勾股定理得， 故，故B正确. 故选：B 8.【答案】C 【详解】根据周期性，画出的部分图象如上图所示，由图可知，选项A，D正确，C不正确； 根据周期为，当时，，故B正确. 故选：C. 二、多选题： 9.【答案】AD 10 .【答案】ABD【详解】在选项A中，∵，，， 且平面，∴平面，平面， ∴，同理，，∵，且平面， ∴直线平面，故A正确； 在选项B中，∵，平面，平面，∴平面， ∵点在线段上运动，∴到平面的距离为定值，又的面积是定值， ∴三棱锥的体积为定值，故B正确； 在选项C中，∵，∴异面直线与所成角为直线与直线的夹角. 易知为等边三角形，当为中点时，； 当与点或重合时，直线与直线夹角为. 故异面直线与所成角的取值范围是，故C错误； 在选项D中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图， 设正方体的棱长为1，则，，，， 所以，. 由A选项正确：可知是平面的一个法向量， ∴直线与平面所成角的正弦值为：， ∴当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故D正确. 故选：ABD 11.【答案】ACD 【详解】设是曲线上任意一点，根据双纽线的定义得：， 整理可得曲线的方程为， 对于A，，因为，所以， 所以，即，故A正确； 对于B：整理可得：，由可得， 即，解得，故B错误； 对于C：， 令，则，所以， 所以当时，，所以面积的最大值为，故C正确； 对于D：， 当且仅当，即时取等号， ， 所以，所以的取值范围是，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题： 12.【答案】75 13.【答案】 【详解】设点，有，解得，，，，结合图可知，. 故答案为： 14.【答案】9【详解】令，则． 由题意可得圆是关于点，的阿波罗尼斯圆，且， 设点坐标为，则，整理得， 由题意得该圆的方程为，即所以，解得， 所以点的坐标为，所以，当时，此时最小，最小值为，因此当时，的值最小为，故答案为：9 四、解答题: 15.【详解】（1）因为，，为的内角，所以， 因为，所以可化为：，…………2 即，即，…………4 因为，解得：，即．…………6 （2）由三角形面积公式得， 代入得：，所以，…………8 由余弦定理得，， 解得：或（舍去），…………11 所以，…………12 所以的周长为.…………13 16.【详解】（1）∵圆，∴圆M的半径，圆心，…………1 设，…………2 ∵PA是圆M的一条切线，∴，∵切线PA的长度为， ∴，…………4 解得或， ∴或．…………6 （2）法一：∵以PM为直径的圆N方程为， 即，…① …………8 圆，即，…② ②﹣①得圆M方程与圆N相交弦AB所在直线方程为：，…………10 点M到直线AB的距离，…………11 相交弦长即：，…………13 ∴当时，线段AB长度取最小值．…………15 法二：且|PA|=|PB| PM垂直平分弦AB ， ==4…………11 故求的最小值，即求的最小值， 的最小值是点M到直线OP的距离为=…………13 长度的最小值为.…………15 17.【详解】（1）记甲在第i场比赛获胜的事件为，，2，3，4，则，， 且不同对阵结果相互独立，…………1 （I）甲连胜三场获得冠军的概率为：.…………3 （Ⅱ）甲在“双败淘汰制”下获得冠军的情况有：胜胜胜、胜败胜胜、败胜胜胜， 故概率为：…………7 （2）“双败淘汰制”下甲夺冠的概率为： .…………10 “单败淘汰制”下甲夺冠的概率为：.…………12 令得，解得：. 所以当时，“双败淘汰制”比“单败淘汰制”更利于甲在此次邀请赛中夺冠. …………15 18.【详解】（1）如图，设，连接， 由于为等边三角形，为等腰三角形，根据对称性可得为中点，…………1 所以，…………2 因为平面平面，平面平面，所以，…………4 所以．…………6 （2）因为，所以，所以， 又点为中点，所以，…………7 设，由，得，解得，所以，……8 又，，则，所以，…………9 因为，，，平面，所以平面， 如图，以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，…………10 则，…………11 设平面的法向量为， 所以，则，令，得，…………13 设平面的法向量为， 所以，则，令，得，…………15 所以，…………16 所以平面与平面夹角的余弦值为．…………17 19.【详解】（1），…………2 ，，…………3 当，即时，，当，即时，， 当时，的最大值为2. …………5 （2）由，得，即，，…………6 设，则当，，，…………7 ，…………9 设，由题意，是当时，函数的值域的子集. …………10 ①当，即时，函数在上单调递增， 则解得.…………12 ②当，即时，函数在上单调递减，则不等式组无解. …………14 ③当，即时，函数在上单调递减，上单调递增， 则函数的最大值是与的较大者. 令，得，令，得，均不合题意. …………16 综上所述，实数的值为.…………17 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023级高二上学期数学期中考试 本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.已知全集，集合,集合，那么=（ ） A. B. C. D. 2.已知为虚数单位，若是纯虚数，则实数的值为（ ） A. B. C.2 D. 3．“”是“方程表示椭圆”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4.若直线l：ax+by＝1（a＞0，b＞0）平分圆x2+y2x2y＝0，则的最小值为（ ） A. B.2 C. D. 5.已知，则（ ） A. B. C. D. 6．已知函数，且满足，则实数的取值范围是（ ） A. B． C． D． 7.在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8.是定义在上周期为4的函数，且，则下列说法中不正确的是（ ） A.的值域为 B.当时， C.图象的对称轴为直线 D.方程恰有5个实数解 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9.下列命题是真命题的有（ ） A.直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直 B.直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C.平面，的法向量分别为，，则 D.平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则 10.如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（ ） A.直线平面 B.三棱锥的体积为定值 C.异面直线与所成角的取值范围是 D.直线与平面所成角的正弦值的最大值为 11.中国结是一种手工编制工艺品，它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原成单纯的二维线条，其中的数字“8”对应着数学曲线中的双纽线.在平面上，把与定点，距离之积等于的动点的轨迹称为双纽线.若是该双纽线上的一个动点，则下列结论正确的是（ ） A.的最大值是 B.点的横坐标的取值范围是 C.面积的最大值为 D.的取值范围是 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.第33届夏季奥林匹克运动会女子10米跳台跳水决赛中，全红禅以425.60分的高分拿下冠军.下面统计某社团一位运动员10次跳台跳水的训练成绩：68，80，74，63，66，84，78，66，70，76，则这组数据的60%分位数为 . 13．已知点关于直线的对称点为，经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为 . 14.古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点，为直线上的动点，为圆上的动点，则的最小值为 . 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．(13分）设三角形的内角、、的对边分别为、、且． (1)求角的大小； (2)若，边上的高为，求三角形的周长． 16．（15分）已知圆M：，点P是直线l：上的一动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B． (1)当切线PA的长度为时，求点P的坐标； (2)求线段AB长度的最小值． 17．（15分）“中式八球”是受群众欢迎的台球运动项目之一.在一场“中式八球”邀请赛中，甲、乙、丙、丁4人角逐最后的冠军，本次邀请赛采取“双败淘汰制”.具体赛制如下： 首先，4人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”； 接下来，“胜区”的2人对阵，胜者进入最后的决赛，“败区”的2人对阵，败者直接淘汰出局，获得第四名； 紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获得第三名；最后，剩下的2人进行最后的冠亚军决赛，胜者获得冠军，败者获得第二名. 现假定甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为，且不同对阵的结果相互独立. (1)经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁.若. （I）求甲连胜三场获得冠军的概率； （Ⅱ）求甲在“双败淘汰制”下获得冠军的概率； (2) 除“双败淘汰制”外，“中式八球”也经常采用传统的“单败淘汰制”；抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军.问当p满足什么条件时，“双败淘汰制”比“单败淘汰制”更利于甲在此次邀请赛中夺冠? 18．（17分）如图，在四棱锥中，底面是由等边三角形和等腰三角形构成，其中为棱上一点，平面． (1)求的值； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 19．（17分）已知函数，. (1)求函数的最大值； (2)设不等式的解集为，若对任意，存在，使得，求实数的值. 第1页共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$