精品解析：安徽省部分名校2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

高二数学（人教版） 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得集合，再根据集合交集的概念及运算即可求解. 【详解】，. 故选：D. 2. 复数满足，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数除法法则计算出，利用共轭复数的概念求出答案. 【详解】， 故. 故选：B 3. 若为的边的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量加法法则求解即可. 【详解】解：因为为的边的中点， 所以，根据向量加法法则得， 所以. 故选：B 4. 的充分不必要条件是（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求解的充要条件再逐个选项判断即可. 【详解】因为，则，解得或. 要求其充分不必要条件，就是找或的真子集. 可知一个充分不必要条件是. 故选：C 5. 已知，（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据和1的大小，结合的正负判断即可. 【详解】因为，故. 又，且，故，则. 故选：B 6. 如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，则塔高为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先在中，利用正弦定理求得，再在直角中，利用正切函数的定义，求得的长，即可求解． 【详解】在中，， 所以 所以， 由正弦定理， 可得， 在直角中，因为 所以， 即塔高为． 故选：C． 7. 已知，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分和两种情况，结合指数函数和对数函数单调性解不等式，求出答案. 【详解】当时，，解得， 当时，，解得， 故的解集为. 故选：A 8. 如图，在中，，，是上一点，且，将沿翻折，当动点在平面上的射影在内部及边界上时，动点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设在平面上翻折前的位置为，翻折后位于.过点作，得到动点的轨迹是以为圆心，以为半径且圆心角为的圆弧，在所在平面建立平面直角坐标系，求得直线和的方程，联立方程组，求得，得到的长，进而求得，结合弧长公式，即可求解. 【详解】设在平面上翻折前的位置为，翻折后位于. 如图（1）所示，过点作，分别交于点， 则动点在平面上的射影轨迹为线段， 设当与重合时，有；当与重合时，有， 则由为定长，可知动点的轨迹是以为圆心，以为半径且圆心角为的圆弧，如图（1）所示， 在所在平面建立如图（2）所示的平面直角坐标系， 则，，，，直线，直线， 联立方程组，解得，即，则， 又由，可得，所以，， 所以动点的轨迹长度为. 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. 为奇函数 D. 为偶函数 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，根据真数大于0得到不等式，求出定义域；B选项，根据定义域得到，B错误；CD选项，的定义域为，根据，得到为偶函数. 【详解】A选项，令，解得，故的定义域为，A正确； B选项，， 因为，所以，则，值域为，B错误； CD选项，的定义域为，， 故为偶函数，C错误，D正确. 故选：AD 10. 已知的面积为，，，则（ ） A. B. 若，则有两解 C. 若为锐角三角形，则取值范围是 D. 若是的中点，则的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，利用向量数量积和三角形面积公式得到方程，求出，得到；B选项，计算出，故B正确；C选项，求出，由正弦定理得到；D选项，由余弦定理和基本不等式求出，利用向量基本定理和数量积运算法则求出，求出的最大值. 【详解】A选项，由题意得， 即， 因为，所以，A错误； B选项，，则， 故有两解，B正确； C选项，为锐角三角形，则，， 故，所以， 由正弦定理得，即，C正确； D选项，为边的中点，则， 两边平方得， ，，由余弦定理得， 故， 由基本不等式得，解得， 所以， 当且仅当时，等号成立， 故的最大值为，D正确. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题， 常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值. 11. 在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则（ ） A. 动点的轨迹长度为2 B. 三棱锥体积的最小值为 C. 与不可能垂直 D. 三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】对A由平面，联想到存在一个过的平面与平面平行，利用正方体特征找到平面平面,进而得到的轨迹为线段，对B，根据棱锥体积公式分析即可，对C举反例即可；对D，利用勾股定理求出外接球半径即可. 【详解】对A，如图，令中点为,中点为，连接， 又正方体中，为棱中点， 可得，， 平面,平面,又， 且平面，平面平面, 又平面，且平面， 平面， 又为正方形内一个动点（包括边界）， ∴平面平面，而平面平面， ∴，即的轨迹为线段. 由棱长为2的正方体得线段的长度为，故选项A错误； 对B，由正方体侧棱底面， 所以三棱锥体积为， 所以面积最小时，体积最小， 因为，易得在处时最小， 此时，所以体积最小值为，故选项B正确； 对C，当为线段中点时， 由可得,又中点为,中点为, ，而，，故选项C不正确； 对D，如图，当在处时，三棱锥的体积最大时， 由已知得此时，所以在底面的射影为底面外心， ，，所以底面为直角三角形， 所以在底面的射影为中点，设为，如图，设外接球半径为, 由，，可得外接球半径， 外接球的表面积为，故选项D正确. 故选：BD. 【点睛】方法点睛：几何体外接球问题，通常要找到几何体的一个特殊平面，利用正弦定理或几何性质找到其外心，求出外接圆的半径，进而找到球心的位置，根据半径相等列出方程，求出半径，再求解外接球表面积或体积. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用诱导公式得到，利用正弦二倍角公式，化弦为切，代入求解. 【详解】由诱导公式得， 故， 所以. 故答案为： 13. 从长度为2、3、5、7、11的5条线段中任取3条，这三条线段能构成一个三角形的概率为___________． 【答案】##0.2 【解析】 【分析】利用列举法及古典概型概率公式求解即可. 【详解】取出3条线段的情况有， ，共10种， 能构成三角形的有，共2种， 故概率. 故答案为：. 14. 刻画空间弯曲性是几何研究的重要内容，用“曲率”刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制）．例如，正四面体的每个顶点有个面角，每个面角为，所以正四面体在各顶点的曲率为．在底面为矩形的四棱锥中，底面，，与底面所成的角为，在四棱锥中，顶点的曲率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据线面角定义可知，设，可求得所需的侧棱长和底面边长；根据长度关系和垂直关系可确定点处的三个面角的大小，根据曲率定义可求得结果. 【详解】 设，则， 平面，即为与底面所成角，即， ，， ，，； 平面，平面，， 又，，平面，平面， 平面，，即，又， 顶点的曲率为. 故答案为：. 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，． （1）求的最小正周期； （2）求的最小值，并求出取得最小值时的集合. 【答案】（1） （2）最小值为， 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积运算法则和三角恒等变换得到，根据求出最小正周期； （2）在（1）的基础上，得到时取得最小值1，并得到此时的集合. 【小问1详解】 , 故的最小正周期为； 【小问2详解】 当时，即，时， 取到最小值，最小值为， 此时的集合为. 16. 2024年1月17日，搭载天舟七号货运飞船的长征七号遥八运载火箭成功发射，我国载人航天工程2024年发射任务首战告捷．为普及航天知识，某学校开展组织学生举办了一次主题为“我爱星辰大海”的航天知识竞赛，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题： （1）求频率分布直方图中a的值．若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数； （2）用样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数； （3）若学校安排甲、乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率． 【答案】（1），2人 （2）平均数为71，中位数为 （3） 【解析】 【分析】（1）先利用频率之和为1，求出的值，再求出成绩不高于60分的人数，按分层抽样的概念，计算成绩不高于50分的人数. （2）根据频率分布直方图估计平均数和中位数 （3）根据独立事件的概率计算方法求事件的概率. 【小问1详解】 由， 解得， 因为（人），（人）． 所以不高于50分的抽取（人） 【小问2详解】 平均数． 由图可知，学生成绩在内的频率为0.4，在内的频率为0.3， 设学生成绩中位数为t，，则：，解得， 所以中位数为. 【小问3详解】 法一：记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件A， 则． 答：至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为． 法二：记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件A 答：至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为． 17. 如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可证四边形为平行四边形，则，结合线面平行的判定定理即可证明； （2）如图，易证，根据线面垂直的性质与判定定理可得平面，结合面面垂直的判定定理即可证明； （3）根据线面垂直的性质与判定定理可得为二面角的平面角，即，作，由面面垂直的性质确定为直线与平面所成的角，即可求解. 【小问1详解】 因为且，所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 由平面，平面，得， 连接，由且， 所以四边形为平行四边形，又， 所以平行四边形为正方形，所以， 又，所以，又平面， 所以平面，由平面， 所以平面平面； 【小问3详解】 由平面，平面，所以， 又，平面， 所以平面，又平面，所以， 故为二面角的平面角，即， 在中，，作，垂足为M， 由（2）知，平面平面，平面平面，平面， 所以平面，则为直线在平面上的投影， 所以为直线与平面所成的角， 在中，，所以， 在中，， 即直线与平面所成角的正弦值为. 18. 在梯形中，，满足． （1）求的大小； （2）若，且，，求的面积； （3）若，，，动点，分别在线段，上运动，且，，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和正弦和角公式，诱导公式得到，求出； （2）在（1）基础上，利用余弦定理得到，由三角形面积公式求出答案； （3）建立平面直角坐标系，设，表达出，求出，得到最小值 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 所以， 因为，所以，所以， 因为，所以； 【小问2详解】 因为，，所以，， 又，由余弦定理得， 即，解得或-1（舍去）， 所以的面积为； 【小问3详解】 以为坐标原点，所在直线为轴，垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系， 因为，，所以， 由得，，所以， 因为，，，所以设， 由得， 由得，， 所以 ， 当时，取得最小值，最小值为， 所以的最小值为. 19. 著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（1601－1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当△ABC的三个内角均小于120°时，则使得的点P即为费马点．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，且．若是的“费马点”，． （1）求角； （2）若，求的周长； （3）在（2）的条件下，设，若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合和差公式即可得； （2）设，由数量积定义可得，利用三角形面积公式，由可得，再结合余弦定理可求出可得周长； （3）在中，根据余弦定理列方程组求解可得，然后参变分离，利用对勾函数性质即可得解. 【小问1详解】 由已知，得， 由正弦定理，得， 即， 即， 由于，所以，所以. 【小问2详解】 设， 则． 所以，由得： ，即， 由余弦定理得，， 即，即， 又，联立解得． 所以的周长为. 【小问3详解】 设， 由（2）在中，由余弦定理得， 联立求解可得， 所以， 所以，， 即，令， 由对勾函数性质知上单调递减， 所以．即的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二数学（人教版） 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数满足，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 3. 若为的边的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 的充分不必要条件是（ ） A. B. 或 C. D. 5. 已知，（ ） A B. C. D. 6. 如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，则塔高为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的解集为（ ） A B. C. D. 8. 如图，在中，，，是上一点，且，将沿翻折，当动点在平面上的射影在内部及边界上时，动点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. 为奇函数 D. 为偶函数 10. 已知面积为，，，则（ ） A. B. 若，则有两解 C. 若为锐角三角形，则取值范围 D. 若是的中点，则的最大值为 11. 在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则（ ） A. 动点的轨迹长度为2 B. 三棱锥体积的最小值为 C. 与不可能垂直 D. 三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______． 13. 从长度为2、3、5、7、11的5条线段中任取3条，这三条线段能构成一个三角形的概率为___________． 14. 刻画空间弯曲性是几何研究的重要内容，用“曲率”刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制）．例如，正四面体的每个顶点有个面角，每个面角为，所以正四面体在各顶点的曲率为．在底面为矩形的四棱锥中，底面，，与底面所成的角为，在四棱锥中，顶点的曲率为______． 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，． （1）求的最小正周期； （2）求的最小值，并求出取得最小值时的集合. 16. 2024年1月17日，搭载天舟七号货运飞船的长征七号遥八运载火箭成功发射，我国载人航天工程2024年发射任务首战告捷．为普及航天知识，某学校开展组织学生举办了一次主题为“我爱星辰大海”的航天知识竞赛，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题： （1）求频率分布直方图中a的值．若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数； （2）用样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数； （3）若学校安排甲、乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率． 17. 如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 在梯形中，，满足． （1）求的大小； （2）若，且，，求的面积； （3）若，，，动点，分别在线段，上运动，且，，求的最小值． 19. 著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（1601－1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当△ABC的三个内角均小于120°时，则使得的点P即为费马点．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，且．若是的“费马点”，． （1）求角； （2）若，求的周长； （3）在（2）的条件下，设，若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$