第七章第01讲 为什么要证明、定义与命题（3考点+5题型+过关检测）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（北师大版）

第01讲 为什么要证明、定义与命题 课程标准 学习目标 ①了解命题、推理 ②体会命题证明的必要性 1.了解推理的意义，知道要判断一个数学结论是否正确，必须进行推理； 2.会用实验验证、举出反例、推理等方法简单地验证一个数学结论是否正确； 3.理解定义、命题的概念，能区分命题的条件和结论，并把命题写成“如果..--那么”的形式； 4.了解真命题和假命题的概念，能判断一个命题的真假性，并会对假命题举反例； 5.了解公理、定理与证明的概念并了解本套教材所采用的公理； 6.体会命题证明的必要性,体验数学思维的严谨性. 知识点01 定义与命题 1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义. 要点诠释： （1）定义实际上就是一种规定. （2）定义的条件和结论互换后的命题仍是真命题. 2.命题：判断一件事情的句子叫做命题. 真命题：正确的命题叫做真命题. 假命题：不正确的命题叫做假命题. 要点诠释： （1）命题的结构：命题通常由条件（或题设）和结论两部分组成.条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一般地，命题都可以写成”如果……那么……”的形式,其中“如果”开始的部分是条件,“那么”后面是结论. （2）命题的真假：对于真命题来说，当条件成立时，结论一定成立；对于假命题来说，当条件成立时，不能保证结论正确，即结论不成立. 【即学即练1】 1．命题“同位角相等，两直线平行”的题设是 ，结论是 ，此命题是 命题（填“真”或“假”） 【答案】 同位角相等 两直线平行 真 【分析】根据命题的构成特点解答即可． 【详解】解：命题“同位角相等，两直线平行”的题设是同位角相等，结论是两直线平行，此命题是真命题， 故答案为：同位角相等，两直线平行，真． 【点睛】此题考查了命题的构成特点，判断命题的真假，正确理解命题由题设和结论两部分构成是解题的关键． 2．命题“如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数”的逆命题是 ．它是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】 如果两个实数的积是正数，那么这两个实数（它们）都是正数 假 【分析】逆命题就是将命题的题设和结论颠倒顺序，即可写出逆命题．根据逆命题判断真假命题． 【详解】解：逆命题就是将命题的题设和结论颠倒顺序， 故“如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数”的逆命题是“如果两个实数的积是正数，那么这两个实数（它们）都是正数”， 根据两个负数的乘积也是正数可以判断该命题为假命题， 故答案为：如果两个实数的积是正数，那么这两个实数（它们）都是正数，假． 【点睛】本题考查写出命题的逆命题，熟练掌握命题的逆命题是解题的关键． 知识点02 证明的必要性 要判断一个命题是不是真命题，仅仅依靠经验、观察、实验和猜想是不够的，必须一步一步、有根有据地进行推理. 推理的过程叫做证明. 知识点03 公理与定理 1.公理：通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理. 要点诠释：欧几里得将“两点确定一条直线”等基本事实作为公理. 2.定理：通过推理得到证实的真命题叫做定理. 要点诠释：证明一个命题的正确性要按已知、求证、证明的顺序和格式写出.其中“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，而“证明”则是由条件（已知）出发，根据已给出的定义、公理、已经证明的定理，经过一步一步的推理，最后证实结论（求证）的过程. 【即学即练2】 1．用反证法证明： (1)已知：，求证：a必为负数． (2)求证：形如的整数k（n为整数）不能化为两个整数的平方和． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）首先假设，则，与已知矛盾，因此a必为负数． （2）假设的整数部分k能化成两个整数的平方和，设这两个整数为，则有，因为，可得前后矛盾，因此假设结论不成立，进而得出答案． 【详解】（1）证明：假设，则，这与已知相矛盾， ∴假设不成立， ∴a必为负数； （2）证明：假设的整数部分k能化成两个整数的平方和，不妨设这两个整数为， 则， ∵， ∴假设不成立， ∴的整数k不能化为两个整数的平方和． 【点睛】本题考查了反证法，注意逆命题的与原命题的关系是解题关键． 题型01 判断是否是命题 【典例1】（24-25八年级上·吉林长春·期中）下列语句是命题的是（   ） A．延长线段到C B．用量角器画 C．三角形的内角和是 D．任意数的平方都不小于0吗？ 【答案】C 【知识点】判断是否是命题 【分析】本题考查的是命题的概念，判断一件事情的语句，叫做命题．根据命题的概念判断即可． 【详解】解：A、延长线段到，没有做出判断，不是命题； B、用量角器画，没有做出判断，不是命题； C、三角形的内角和是，做出了判断，是命题； D、任意数的平方都不小于0吗？没有做出判断，不是命题； 故选：C． 【变式1】（23-24七年级下·全国·单元测试）下列句子中不是命题的是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．直线和直线不一定垂直 C．若，则 D．同角的补角相等 【答案】B 【知识点】判断是否是命题 【分析】本题主要考查了命题的概念．判断一件事情的语句叫做命题．判断一件事情的语句叫做命题，据此判断． 【详解】解：A、是命题，故不合题意； B、直线和直线不一定垂直，不是可以判断真假的陈述句，不是命题，故符合题意； C、是命题，故不合题意； D、是命题，故不合题意； 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）下列语句不是命题的有（   ） ①全等三角形对应边相等；②过一点画已知直线的平行线；③同角的余角相等；④内错角相等吗？ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】判断是否是命题 【分析】本题考查命题的定义：判断一件事情的语句称为命题，据此逐个判断即可解答． 【详解】解：①全等三角形对应边相等，是命题； ②过一点画已知直线的平行线，不是命题； ③同角的余角相等，是命题； ④内错角相等吗？不是命题． 综上，不是命题的是②④，共2个． 故选：B 题型02 判断命题真假 【典例2】（24-25八年级上·四川泸州·开学考试）下列命题为假命题的是（　　） A．对顶角相等 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．垂线段最短 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】B 【知识点】垂线段最短、对顶角相等、平行公理的应用、判断命题真假 【分析】本题考查命题真假的判断，平行线与相交线的相关性质，掌握平行线与相交线的相关性质是解题的关键．根据平行线与相交线的相关性质进行判断即可． 【详解】解：命题：对顶角相等；垂线段最短；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，都是真命题；而命题：两条直线被第三条直线所截，同位角相等，则是假命题； 故选：B． 【变式1】（24-25八年级上·海南海口·期中）下列命题是假命题的有（    ） ①若，则；②若a，b是有理数，则；③两点确定一条直线；④如果，那与是对顶角． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】绝对值的意义、两点确定一条直线、对顶角的定义、判断命题真假 【分析】本题考查了真假命题的判断，根据平方根、两点确定一条直线、绝对值、对顶角的性质，逐个判断，即可得到答案． 【详解】若，则或，故①是假命题； 当，是有理数，且，符号相同时可以得到，故②是假命题； 两点确定一条直线，故③是真命题； ，和与不一定是对顶角，故④是假命题； ∴假命题有①②④ 故选：C． 【变式2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列语句中：①如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行；②直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④同位角相等；⑤两条直线相交，若邻补角相等，则这两条直线互相垂直；⑥过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，其中是真命题的个数有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】判断命题真假、两直线平行同位角相等、平行公理的应用、垂线的定义理解 【分析】本题考查判断命题的真假，根据垂直的定义和性质、平行公理、平行线的性质、邻补角的定义等逐项判断即可求解． 【详解】解：同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行， 故①是假命题； 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离， 故②是假命题； 在同一平面内，经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行， 故③是假命题； 两直线平行，同位角相等， 故④是假命题； 两条直线相交，若邻补角相等，则邻补角均为90度，即这两条直线互相垂直， 故⑤是真命题； 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直‌， 故⑥是假命题； 综上可知，真命题的个数有1个， 故选A． 题型03 写出命题的题设与结论 【典例3】（2024八年级上·广西·专题练习）把命题“等角的补角相等”改写成“如果……，那么……”的形式： ． 【答案】如果两个角相等，那么这两个角的补角相等 【知识点】写出命题的题设与结论 【分析】本题考查了命题的改写，理解命题的构成成为解题的关键． 根据命题的条件与结论即可改写即可． 【详解】解：命题“等角的补角相等”改写成“如果……，那么……”的形式为：如果两个角相等，那么这两个角的补角相等． 故答案为：如果两个角相等，那么这两个角的补角相等． 【变式1】（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）把命题“两直线平行，同位角相等”改写成“如果…那么…”的形式：如果 ，那么 ． 【答案】 两直线平行 同位角相等 【知识点】写出命题的题设与结论 【分析】本题考查命题的改写．掌握命题是由题设和结论两部分组成是解题的关键． 根据命题是由根据命题是由题设和结论两部分组成，如果后面是题设，那么后面是结论改写即可． 【详解】解：把命题“两直线平行，内错角相等”表示成“如果…那么…”的形式是：如果两条直线平行，那么同位角相等． 故答案为：两条直线平行，同位角相等． 【变式2】（23-24八年级下·全国·单元测试）“如果，那么与都不为零”这个命题的条件是 ，结论是 ，利用反证法证明该命题时，我们要假设 ． 【答案】 与都不为零 和至少有一个等于0 【知识点】写出命题的题设与结论、反证法证明中的假设 【分析】本题考查了命题和反证法，根据命题的结构特征和反证法的定义解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键 【详解】解：“如果，那么与都不为零”这个命题的条件是，结论是与都不为零，利用反证法证明该命题时，我们要假设和至少有一个等于， 故答案为：，与都不为零，和至少有一个等于． 【变式3】（22-23八年级上·全国·单元测试）命题“等角的余角相等”的条件为 ，结论为 它的逆命题为 ，逆命题是 命题（填“真”或“假”）． 【答案】 如果两个角与另外两个相等的角互余 这两个角相等 如果两个角相等，那么这两个角与另外两个相等的角互余 假 【知识点】判断命题真假、写出命题的逆命题 【分析】本题考查了逆命题，判断一个命题的逆命题的真假，根据互逆命题的定义先写出原命题的逆命题，然后判断真假即可，正确写出原命题的逆命题是解题的关键． 【详解】解：“等角的余角相等” 的条件为为如果两个角与另外两个相等的角互余， 结论为那么这两个角相等， 它的逆命题为如果两个角相等，那么这两个角与另外两个相等的角互余，逆命题是这是一个假命题， 故答案为：如果两个角与另外两个相等的角互余，这两个角相等；如果两个角相等，那么这两个角与另外两个相等的角互余，假． 题型04 写出命题的逆命题 【典例4】（23-24八年级下·福建厦门·期末）命题“如果一个四边形是菱形，那么它的对角线互相垂直”的逆命题是 ，该逆命题是 ．（填“真命题”或“假命题”） 【答案】 如果一个四边形的对角线互相垂直，那么这个四边形是菱形 假命题 【知识点】写出命题的逆命题、判断命题真假 【分析】本题考查了逆命题，以及命题的真假，将原命题的结论变为条件，原命题的条件变为结论可得逆命题，然后再判断真假即可． 【详解】解：命题“如果一个四边形是菱形，那么它的对角线互相垂直”的逆命题是：如果一个四边形的对角线互相垂直，那么这个四边形是菱形；这个命题是假命题，如：筝形的对角线互相垂直，但不一定是菱形． 故答案为：如果一个四边形的对角线互相垂直，那么这个四边形是菱形；假命题． 【变式1】（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）命题“偶数一定能被整除”的逆命题是 ． 【答案】能被整除的数一定是偶数 【知识点】写出命题的逆命题 【分析】本题考查了写出命题的逆命题，熟练掌握逆命题的定义是解题的关键：一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆的命题，我们称其中的一个命题为原命题，另一个则为逆命题． 由逆命题的定义即可得出答案． 【详解】解：命题“偶数一定能被整除”的题设是“偶数”，结论是“能被整除”， 由逆命题的定义即可得出原命题的逆命题为：能被整除的数一定是偶数， 故答案为：能被整除的数一定是偶数． 【变式2】（24-25八年级上·江苏南通·开学考试）命题“线段的中点到这条线段两端的距离相等”的逆命题是 ． 【答案】如果这个点到线段两端的距离相等，那么这个点是线段的中点 【知识点】写出命题的逆命题 【分析】本题考查写原命题的逆命题．根据题意将原命题的结论作为新命题的条件，原命题的条件作为新命题的结论，写成“如果．．．那么．．．”的形式即为原命题的逆命题． 【详解】解：∵线段的中点到这条线段两端的距离相等， ∴原命题为：如果这个点是线段的中点，那么这个点到线段两端的距离相等， ∴逆命题为：如果这个点到线段两端的距离相等，那么这个点是线段的中点， 故答案为：如果这个点到线段两端的距离相等，那么这个点是线段的中点． 【变式3】（22-23八年级上·全国·单元测试）在命题“同位角相等，两直线平行”中，条件是 ，结论是 如果把条件作为结论，结论作为条件，我们就可以得到它的逆命题： ． 【答案】 同位角相等 两直线平行 两直线平行， 同位角相等 【知识点】写出命题的题设与结论、写出命题的逆命题 【分析】本题考查命题的基本概念与组成、逆命题，命题是由题设和结论构成．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质和定理． 【详解】解：∵题设是条件，结论是结果， ∴在命题“同位角相等，两直线平行”中，条件是同位角相等，结论是两直线平行， ∴如果把条件作为结论，结论作为条件，我们就可以得到它的逆命题：两直线平行，同位角相等． 故答案为：两直线平行，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 题型05 用反证法证明命题 【典例5】（23-24九年级下·江苏南京·自主招生）对一个正整数n，我们进行如下操作：若它是奇数，则乘以3再加1；若是偶数，则除以2． (1)对于，进行若干次上述操作后，是否有一数是4的倍数． (2)求证对任意正整数n，进行有限次上述操作后，必有一数是4的倍数． 【答案】(1)和，进行一次上述操作后，都有一数是4的倍数； (2)证明见解析 【知识点】用反证法证明命题 【分析】本题主要考查了反证法和有理数的四则运算： （1）根据定义进行判断即可； （2）奇数经过一次操作后一定会变为偶数，因此只需要证明偶数经过操作后有一数是4的倍数即可；若偶数为4的倍数，则问题得证，若偶数不是4的倍数时，则该偶数可以表示为（m为整数），当（k为整数），则，经过操作后可变为，问题得证；当（k为整数），则经过操作后可得，对于，要使不是4的倍数，那么k一定要是奇数，则可推出要一直成立，即对于任意的k的结果都是整数，显然这是不可能的，据此问题得证． 【详解】（1）解：∵，且52是4的倍数， ∴进行一次上述操作后，有一数是4的倍数； ∵，且112是4的倍数， ∴进行一次上述操作后，有一数是4的倍数； （2）解：∵奇数乘以3再加1后一定会变为偶数，而偶数除以一定数量的2之后一定会变为奇数， ∴经过有限步后奇数一定会变为偶数， 若偶数为4的倍数，则问题得证， 若偶数不是4的倍数时，则该偶数可以表示为（m为整数）， 当（k为整数），则， ，， ∴一定是4的倍数，故当m为偶数时，满足题意； 当（k为整数），则， ，，， ，， 对于，要使不是4的倍数，那么k一定要是奇数， 设（p为整数），则， ，，， 同理要使不是4的倍数，则p一定是奇数， 如此反复，在此过程中，若有一个环节中出现了偶数，那么环节中必有4的倍数， ∴假设不存在4的倍数，那么要一直成立，即对于任意的k的结果都是整数，显然这是不可能的， ∴假设不成立， ∴原结论正确． 【变式1】（23-24八年级下·陕西西安·期中）用反证法证明：一个三角形中，至少有一个角不小于． 【答案】证明见解析 【知识点】用反证法证明命题 【分析】本题考查了反证法的知识，根据反证法的步骤，先假设都小于，可得，与三角形的内角和定理矛盾，即假设错误，进而得到三角形中至少有一个角不小于，掌握反证法的步骤：（）假设结论不成立；（）从假设出发推出矛盾；（）假设不成立，则结论成立；是解题的关键． 【详解】证明：假设都小于，则， 即，这与三角形的内角和定理矛盾， 故都小于不成立， 所以三角形中至少有一个角不小于． 【变式2】（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）小明在解答“已知中，，求证”这道题时，写出了下面用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤： （1）所以，这与三角形内角和定理相矛盾． （2）所以． （3）假设． （4）那么，由，得，即，即． 请你写出这四个步骤正确的顺序 ． 【答案】（3）（4）（1）（2） 【知识点】用反证法证明命题 【分析】本题考查的是反证法，解题的关键是掌握反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．根据反证法的一般步骤解答即可． 【详解】证明：假设， 那么，由，得，即， 所以，这与三角形内角和定理相矛盾， 所以， 所以这四个步骤正确的顺序是（3）（4）（1）（2）， 故答案为：（3）（4）（1）（2）． 一、单选题 1．（24-25八年级上·河南南阳·期中）下列命题中是真命题的是（    ） A．内错角相等 B．若， 那么a=b C．两边和一角分别对应相等的两个三角形全等 D．对顶角相等 【答案】D 【知识点】绝对值的意义、对顶角相等、全等的性质和SAS综合（SAS）、判断命题真假 【分析】本题考查的判断命题真假，全等三角形的判定．根据平行线的性质、对顶角相等、全等三角形的判定进行判断即可． 【详解】A．内错角不一定相等，则“内错角相等”是假命题，因此选项不符合题意； B．如果，那么或，故如果那么，是假命题，因此选项不符合题意； C．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，而两边及其一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，原命题是假命题，因此选项不符合题意； D．对顶角相等，原命题是真命题，因此选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】举例说明假（真）命题 【分析】本题考查了举例说明假命题．熟练掌握举例说明假命题是解题的关键． 由 ，，可知是说明命题“若，则”是假命题的反例，然后作答即可． 【详解】解：∵ ，， ∴是说明命题“若，则”是假命题的反例， 故选：D． 3．（24-25八年级上·全国·期末）如果a、b表示两个实数，那么下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【知识点】判断命题真假、求一个数的立方根、求一个数的算术平方根、绝对值的意义 【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，以及一个数的平方根、立方根的含义和求法，要熟练掌握它们的意义是解题的关键． 根据乘方的意义和平方根及立方根意义判断，判断一个命题是假命题只需要举一个反例即可． 【详解】， 或，如则； 故选项A不正确， 若，且a，b互为相反数，则，，如，则 故选项B说法不正确， 若， 则， 当，，无意义， 故选项C不正确， 若， ， ， 故选项D正确， 故选：D． 4．（23-24八年级上·全国·课后作业）给出下列语句：不许大声讲话；鸟是动物；连结A、B两点；无论为怎样的自然数，式子的值都是质数．其中不是命题的有（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【知识点】判断是否是命题 【分析】本题主要考查了命题．命题是对一件事物做出判断的语句，要想判断一个语句是不是命题就要看这个语句是否对一件事物做出了判断． 【详解】解：：不许大声讲话，这个语句没有对一件事物做出判断，所以不是命题； 鸟是动物，这个语句对鸟做出了判断，所以是命题； 连结A、B两点，这个语句没有对一件事物做出判断，所以不是命题； 无论为怎样的自然数，式子的值都是质数，这个语句对式子的值做出判断，所以是命题． 这四个语句中有两个不是命题． 故选：B． 5．（23-24八年级上·全国·课后作业）下列命题中原命题和逆命题都是真命题的是（　　） A．如果一个整数的个位数是5，那么这个整数能被5整除 B．如果，那么 C．如果一个三角形被一条线平分成两个面积相等的三角形，那么这条线为这个三角形的中线 D．三角形的一个外角大于任何一个内角 【答案】C 【知识点】根据三角形中线求面积、三角形的外角的定义及性质、判断命题真假、写出命题的逆命题 【分析】本题考查了整除、绝对值、三角形中线的性质及三角形的外角的性质，命题与定理的知识，解题的关键是掌握以上知识点. 利用整除、绝对值、三角形中线的性质及三角形的外角的性质分别判断即可． 【详解】解：A、如果一个整数的个位数是5，那么这个整数能被5整除，是真命题， 逆命题为如果一个整数能被5整除，那么这个整数的个位数是5，是假命题，，不符合题意； B、如果，那么，是假命题，不符合题意； C、如果一个三角形被一条线平分成两个面积相等的三角形，那么这条线为这个三角形的中线，是真命题， 逆命题为如果一条线是三角形的中线，那么这条线把这个三角形平分成两个面积相等的三角形，是真命题，符合题意； D、三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，故原命题错误，是假命题，不符合题意． 故选：C． 二、填空题 6．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）三角形的外角大于该三角形的任一内角是 （填“真”或“假”）命题． 【答案】假 【知识点】判断命题真假、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查了命题的真假、三角形外角的性质等知识点，熟练掌握三角形的一个外角大于与它不相邻的任一内角成为解题的关键． 直接根据三角形外角的性质即可解答． 【详解】解：∵三角形的一个外角大于与它不相邻的任一内角， ∴“三角形的一个外角大于任何一个内角”是假命题． 故答案为：假． 7．（24-25八年级上·湖南常德·期中）将命题“对顶角相等”改写为如果 ，那么 ． 【答案】 两个角是对顶角 这两个角相等 【知识点】对顶角相等、写出命题的题设与结论 【分析】本题考查了命题与定理的知识，将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，命题中的条件是两个角是对顶角，放在“如果”的后面，结论是这两个角相等，应放在“那么”的后面． 【详解】解：题设为：对顶角，结论为：相等， 故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等； 故答案为：两个角是对顶角，这两个角相等． 8．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）“直角三角形的两锐角互余．”的逆命题是 ，它是 命题（填“真”或“假”） 【答案】 如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形 真 【知识点】写出命题的逆命题、判断命题真假 【分析】本题主要考查命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．先根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，再根据直角三角形的判定判断即可． 【详解】解：“直角三角形的两锐角互余．”的逆命题是如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形，是真命题， 故答案为：如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形；真． 9．（2024八年级上·全国·专题练习）下列命题中，其逆命题成立的是 （填序号）． ①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们度数相等；③如果两个数相等，那么它们的平方相等． 【答案】① 【知识点】写出命题的逆命题、判断命题真假 【分析】本题考查了互逆命题及真假命题的定义，熟练掌握它们的概念是解题的关键 把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．判断事物的语句叫命题，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；先根据互逆命题的定义写出逆命题，再判断真假即可． 【详解】①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是：两直线平行，同旁内角互补，是真命题； ②如果两个角是直角，那么它们相等，它的逆命题是：如果两个角相等，那么它们是直角，是假命题； ③如果两个实数相等，那么它们的平方相等，它的逆命题是：如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，是假命题． 所以，逆命题成立的是① ； 故答案为：① 10．（24-25八年级上·全国·期末）下列命题： ①相等的两个角是对顶角； ②在同一平面内，若，则； ③若，则与互为邻补角； ④互为邻补角的两角的平分线互相垂直； ⑤直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到这条直线的距离； ⑥过一点有且只有一条直线与这条直线平行．其中真命题有_______（填序号） ． 【答案】②④/④② 【知识点】判断命题真假、平行公理的应用、邻补角的定义理解、对顶角的定义 【分析】本题主要考查了命题与定理，熟练掌握相关概念是解题关键． 根据正确的命题是真命题，错误的命题是假命题，再结合相关知识对各个命题逐一分析判断即可． 【详解】解：①相等的两个角不一定是对顶角，故本选项不符合题意； ②在同一平面内，若，则，故本选项符合题意； ③若，则与互为补角，不一定互为邻补角，故本选项不符合题意； ④如图，互为邻补角，分别平分， ， ，则互为邻补角的两角的平分线互相垂直，故本选项符合题意； ⑤直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这点到这条直线的距离，故本选项不符合题意； ⑥过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故本选项不符合题意； 综上所述，真命题有②④， 故答案为：②④． 三、解答题 11．（21-22八年级下·全国·课后作业）求证：四边形中至少有一个角是钝角或直角． 【答案】见解析 【知识点】用反证法证明命题 【分析】先假设结论不成立，反面成立，从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾即可． 【详解】已知：四边形． 求证：四边形中至少有一个角是钝角或直角． 证明：假设四边形中没有一个角是钝角或直角，即， 于是． 这与“四边形的内角和为”矛盾， 所以四边形中至少有一个角是钝角或直角． 【点睛】此题考查了反证法，解题关键要掌握反证法的步骤，在假设结论不成立时要注意考虑结的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 12．（22-23八年级上·福建龙岩·阶段练习）证明：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等。（要求：将文字命题改为几何命题、画图、写出已知求证，再写出证明过程） 【答案】见解析 【知识点】全等三角形综合问题、写出一个命题的已知、求证及证明过程 【分析】根据题意，写出几何命题，并画出图形，先证明得到，即可求证． 【详解】已知：在和中，，，、分别是、的中线，且， 求证： 画图如下： 证明：∵、分别是、的中线 ∴， 又∵ ∴， 在和中， ∴， ∴ 在和中 ∴ 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，正确写出几何命题，掌握全等三角形的判定方法和性质． 13．（23-24八年级上·全国·课后作业）按要求解答下列各小题． (1)请写出以下命题的逆命题： ①相等的角是内错角； ②如果，那么； (2)判断（1）中①的原命题和逆命题是否互为逆定理． 【答案】(1)①如果两个角是内错角，那么这两个角相等；②如果，那么 (2)不是 【知识点】判断命题真假、写出命题的逆命题、互逆定理 【分析】本题考查原命题和逆命题的相关知识，关键是明确逆命题的概念． （1）逆命题就是把原命题的题设和结论换成逆命题的结论和题设，进而求解即可； （2）根据逆定理的性质求解即可． 【详解】（1）解：①“相等的角是内错角”的逆命题；如果两个角是内错角，那么这两个角相等． ②“如果，那么”的逆命题；如果，那么． （2）解：因为定理首先是真命题，而（1）中①的原命题与逆命题都是假命题， 故（1）中①的原命题和逆命题不是互为逆定理． 14．（21-22八年级上·全国·课后作业）八（1）班有39位同学，他们每人将自己的学号作为n的取值（）代入式子，结果发现式子的值都是质数，于是他们猜想：“对于所有的自然数，式子的值都是质数．”你认为这个猜想正确吗?验证一下的情形． 【答案】这个猜想不正确，验证见解析． 【知识点】猜想与证明 【分析】将代入，发现猜想不正确，即可得出结论． 【详解】解：这个猜想不正确，当时，式子的值为，是一个合数． 【点睛】本题考查猜想与证明．要说明一个猜想是正确的需要证明它，要说明是错误的只需要举一个反例即可． 15．（23-24八年级上·全国·单元测试）（1） 当 3时，分别求出代数式 与 的值； （2）判断下列命题是真命题还是假命题，若是真命题，给出证明；若是假命题，举出反例． 命题1．对任何正整数n， 的值都是自然数； 命题 2．对任何正整数n， 的值都是自然数． 【答案】（1）当时，，；当时，，；当时，，；（2）命题1是假命题，命题2是真命题，证明见解析 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、判断命题真假、举例说明假（真）命题 【分析】本题主要考查了代数式求值，证明命题的真假： （1）直接代值计算即可； （2）利用完全平方公式得到，，再根据的非负数求解即可． 【详解】解：（1）当时，，； 当时，，； 当时，，； （2）命题1是假命题，命题2是真命题，证明如下： ∵， ∴当时，，此时不是自然数，故命题1是假命题； ∵， ∴当n为自然数时，为大于等于1的整数，即此时也为自然数，故命题2是真命题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 为什么要证明、定义与命题 课程标准 学习目标 ①了解命题、推理 ②体会命题证明的必要性 1.了解推理的意义，知道要判断一个数学结论是否正确，必须进行推理； 2.会用实验验证、举出反例、推理等方法简单地验证一个数学结论是否正确； 3.理解定义、命题的概念，能区分命题的条件和结论，并把命题写成“如果..--那么”的形式； 4.了解真命题和假命题的概念，能判断一个命题的真假性，并会对假命题举反例； 5.了解公理、定理与证明的概念并了解本套教材所采用的公理； 6.体会命题证明的必要性,体验数学思维的严谨性. 知识点01 定义与命题 1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义. 要点诠释： （1）定义实际上就是一种规定. （2）定义的条件和结论互换后的命题仍是真命题. 2.命题：判断一件事情的句子叫做命题. 真命题：正确的命题叫做真命题. 假命题：不正确的命题叫做假命题. 要点诠释： （1）命题的结构：命题通常由条件（或题设）和结论两部分组成.条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一般地，命题都可以写成”如果……那么……”的形式,其中“如果”开始的部分是条件,“那么”后面是结论. （2）命题的真假：对于真命题来说，当条件成立时，结论一定成立；对于假命题来说，当条件成立时，不能保证结论正确，即结论不成立. 【即学即练1】 1．命题“同位角相等，两直线平行”的题设是 ，结论是 ，此命题是 命题（填“真”或“假”） 2．命题“如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数”的逆命题是 ．它是 命题．（填“真”或“假”） 知识点02 证明的必要性 要判断一个命题是不是真命题，仅仅依靠经验、观察、实验和猜想是不够的，必须一步一步、有根有据地进行推理. 推理的过程叫做证明. 知识点03 公理与定理 1.公理：通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理. 要点诠释：欧几里得将“两点确定一条直线”等基本事实作为公理. 2.定理：通过推理得到证实的真命题叫做定理. 要点诠释：证明一个命题的正确性要按已知、求证、证明的顺序和格式写出.其中“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，而“证明”则是由条件（已知）出发，根据已给出的定义、公理、已经证明的定理，经过一步一步的推理，最后证实结论（求证）的过程. 【即学即练2】 1．用反证法证明： (1)已知：，求证：a必为负数． (2)求证：形如的整数k（n为整数）不能化为两个整数的平方和． 题型01 判断是否是命题 【典例1】（24-25八年级上·吉林长春·期中）下列语句是命题的是（   ） A．延长线段到C B．用量角器画 C．三角形的内角和是 D．任意数的平方都不小于0吗？ 【变式1】（23-24七年级下·全国·单元测试）下列句子中不是命题的是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．直线和直线不一定垂直 C．若，则 D．同角的补角相等 【变式2】（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）下列语句不是命题的有（   ） ①全等三角形对应边相等；②过一点画已知直线的平行线；③同角的余角相等；④内错角相等吗？ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型02 判断命题真假 【典例2】（24-25八年级上·四川泸州·开学考试）下列命题为假命题的是（　　） A．对顶角相等 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．垂线段最短 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【变式1】（24-25八年级上·海南海口·期中）下列命题是假命题的有（    ） ①若，则；②若a，b是有理数，则；③两点确定一条直线；④如果，那与是对顶角． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列语句中：①如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行；②直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④同位角相等；⑤两条直线相交，若邻补角相等，则这两条直线互相垂直；⑥过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，其中是真命题的个数有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型03 写出命题的题设与结论 【典例3】（2024八年级上·广西·专题练习）把命题“等角的补角相等”改写成“如果……，那么……”的形式： ． 【变式1】（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）把命题“两直线平行，同位角相等”改写成“如果…那么…”的形式：如果 ，那么 ． 【变式2】（23-24八年级下·全国·单元测试）“如果，那么与都不为零”这个命题的条件是 ，结论是 ，利用反证法证明该命题时，我们要假设 ． 【变式3】（22-23八年级上·全国·单元测试）命题“等角的余角相等”的条件为 ，结论为 它的逆命题为 ，逆命题是 命题（填“真”或“假”）． 题型04 写出命题的逆命题 【典例4】（23-24八年级下·福建厦门·期末）命题“如果一个四边形是菱形，那么它的对角线互相垂直”的逆命题是 ，该逆命题是 ．（填“真命题”或“假命题”） 【变式1】（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）命题“偶数一定能被整除”的逆命题是 ． 【变式2】（24-25八年级上·江苏南通·开学考试）命题“线段的中点到这条线段两端的距离相等”的逆命题是 ． 【变式3】（22-23八年级上·全国·单元测试）在命题“同位角相等，两直线平行”中，条件是 ，结论是 如果把条件作为结论，结论作为条件，我们就可以得到它的逆命题： ． 题型05 用反证法证明命题 【典例5】（23-24九年级下·江苏南京·自主招生）对一个正整数n，我们进行如下操作：若它是奇数，则乘以3再加1；若是偶数，则除以2． (1)对于，进行若干次上述操作后，是否有一数是4的倍数． (2)求证对任意正整数n，进行有限次上述操作后，必有一数是4的倍数． 【变式1】（23-24八年级下·陕西西安·期中）用反证法证明：一个三角形中，至少有一个角不小于． 【变式2】（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）小明在解答“已知中，，求证”这道题时，写出了下面用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤： （1）所以，这与三角形内角和定理相矛盾． （2）所以． （3）假设． （4）那么，由，得，即，即． 请你写出这四个步骤正确的顺序 ． 一、单选题 1．（24-25八年级上·河南南阳·期中）下列命题中是真命题的是（    ） A．内错角相等 B．若， 那么a=b C．两边和一角分别对应相等的两个三角形全等 D．对顶角相等 2．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（ ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·全国·期末）如果a、b表示两个实数，那么下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（23-24八年级上·全国·课后作业）给出下列语句：不许大声讲话；鸟是动物；连结A、B两点；无论为怎样的自然数，式子的值都是质数．其中不是命题的有（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 5．（23-24八年级上·全国·课后作业）下列命题中原命题和逆命题都是真命题的是（　　） A．如果一个整数的个位数是5，那么这个整数能被5整除 B．如果，那么 C．如果一个三角形被一条线平分成两个面积相等的三角形，那么这条线为这个三角形的中线 D．三角形的一个外角大于任何一个内角 二、填空题 6．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）三角形的外角大于该三角形的任一内角是 （填“真”或“假”）命题． 7．（24-25八年级上·湖南常德·期中）将命题“对顶角相等”改写为如果 ，那么 ． 8．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）“直角三角形的两锐角互余．”的逆命题是 ，它是 命题（填“真”或“假”） 9．（2024八年级上·全国·专题练习）下列命题中，其逆命题成立的是 （填序号）． ①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们度数相等；③如果两个数相等，那么它们的平方相等． 10．（24-25八年级上·全国·期末）下列命题： ①相等的两个角是对顶角； ②在同一平面内，若，则； ③若，则与互为邻补角； ④互为邻补角的两角的平分线互相垂直； ⑤直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到这条直线的距离； ⑥过一点有且只有一条直线与这条直线平行．其中真命题有_______（填序号） ． 三、解答题 11．（21-22八年级下·全国·课后作业）求证：四边形中至少有一个角是钝角或直角． 12．（22-23八年级上·福建龙岩·阶段练习）证明：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等。（要求：将文字命题改为几何命题、画图、写出已知求证，再写出证明过程） 13．（23-24八年级上·全国·课后作业）按要求解答下列各小题． (1)请写出以下命题的逆命题： ①相等的角是内错角； ②如果，那么； (2)判断（1）中①的原命题和逆命题是否互为逆定理． 14．（21-22八年级上·全国·课后作业）八（1）班有39位同学，他们每人将自己的学号作为n的取值（）代入式子，结果发现式子的值都是质数，于是他们猜想：“对于所有的自然数，式子的值都是质数．”你认为这个猜想正确吗?验证一下的情形． 15．（23-24八年级上·全国·单元测试）（1） 当 3时，分别求出代数式 与 的值； （2）判断下列命题是真命题还是假命题，若是真命题，给出证明；若是假命题，举出反例． 命题1．对任何正整数n， 的值都是自然数； 命题 2．对任何正整数n， 的值都是自然数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$