精品解析： 浙江省杭州市萧山区高桥教育集团2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年浙江省杭州市萧山区高桥教育集团八年级（上）期中 数学试卷 一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分．下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．） 1. 下面所给的交通标志中，轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列长度四根木棒中，能与、长的两根木棒钉成一个三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知实数，若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C D. 4. 等腰三角形的周长为17cm，其中一边长为5cm，则该等腰三角形的底边为( ) A. 7cm B. 5cm或7cm C. 6cm或5cm D. 5cm 5. 如图，图中的两个三角形是全等三角形，其中一些角和边的大小如图所示，那么的值是（ ）． A. B. C. D. 6. 下列条件中，能构成直角的是（ ） A. B. C D. 7. 定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是（ ） A. 有两个角相等的三角形是等腰三角形. B. 有两个底角相等的三角形是等腰三角形. C. 有两个角不相等的三角形不是等腰三角形. D. 不是等腰三角形的两个角不相等. 8. 如果△ABC的三边分别为，，，其中为大于1的正整数，则（ ） A. △ABC是直角三角形，且斜边为 B. △ABC是直角三角形，且斜边为 C. △ABC是直角三角形，且斜边为 D. △ABC不是直角三角形 9. 如图，在中，，，的平分线与的外角的平分线交于E点，连接AE，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，按下列步骤作图： ①分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线交于点； ②以为圆心，长为半径画弧交于点． 方方探究得到以下两个结论： ①是等腰三角形；②若，则点到距离为，则（ ） A. 结论①正确，结论②正确 B. 结论①正确，结论②错误 C. 结论①错误，结论②正确 D. 结论①错误，结论②错误 二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分） 11. “x的2倍与1的差不大于3”用不等式表示为_____． 12. 若，则_______．（填“<”或“>”） 13. 是等腰三角形，，则______°． 14. 在中，，，则____． 15. 如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=_______________． 16. 如图，A，B，C，D四个点顺次在直线l上，，．以为底向下作等腰直角三角形，以为底向上作等腰三角形，且．当时，和的面积和是______．连结，，当的长度变化时，与的面积之差保持不变，则a与b需满足的条件是______． 三、全面答一答（本题有7个小题，共66分）解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．如果觉得有的题目有点困难，你们把自己能写出的解答写出一部分也可以． 17. 如图，在中，是斜边上的高线． （1）　　．（填或） （2）　　．（填或） （3）若点是线段上的一个动点，连结，则　　（填或） 18. 如图，在边长为1的小正方形所组成的网格上，每个小正方形的顶点都称为“格点”，的顶点都在格点上． （1）直接判断的形状， （2）画出关于直线的对称图形． （3）在直线上作一点P，使得最小 19. 如图，已知B、E、C、F在同一条直线上，，，，与交于点G． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 20. 如图，点在上，且，，． （1）求证：． （2）连结，若，，，求的长度 21. 如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连结．求证： （1）； （2）为等边三角形． 22. 如图，长方形纸片的长，宽，将它折叠，使点与点重合．（注：该长方形的性质：两组对边平行且相等，每个内角都是 （1）求证：等腰三角形； （2）求折痕的长． 23. 根据等式和不等式的性质，我们可以得到比较两数大小的方法： （1）①如果，那么　　； ②如果，那么　　； ③如果，那么　　． （2）如（1）中这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”，请运用这种方法尝试解决下面的问题： ①若，比较，的大小； ②比较与的大小． 24. 感知：如图①，平分，，，易知：. 探究：如图②，平分，，，求证：． 应用：如图③，四边形中，，，，则_______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年浙江省杭州市萧山区高桥教育集团八年级（上）期中 数学试卷 一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分．下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．） 1. 下面所给的交通标志中，轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】平面内，如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是这个图形的对称轴，据此解答即可． 【详解】解：A是轴对称图形，B、C、D不是轴对称图形； 故选：A． 【点睛】此题考查了轴对称图形的意义，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，看图形对折后两部分是否完全重合． 2. 在下列长度的四根木棒中，能与、长的两根木棒钉成一个三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判定三条线段能否构成三角形，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 【详解】解：设三角形第三边长为cm，则 得 当时，能与、长两根木棒钉成一个三角形； 故选：C 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系的运用，解题时注意: 三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边． 3. 已知实数，若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题关键．根据不等式的性质逐项判断即可得． 【详解】A、不等式的两边同减去一个数，不等号的方向不变，若，则正确，此项不符题意； B、不等式的两边同加上一个数，不等号的方向不变，若，则正确，此项不符题意； C、不等式的两边同乘以一个负数，不等号的方向改变，若，则，原结论错误，此项符合题意； D、不等式的两边同除以一个正数，不等号的方向不变，若，则正确，此项不符题意； 故选：C． 4. 等腰三角形的周长为17cm，其中一边长为5cm，则该等腰三角形的底边为( ) A. 7cm B. 5cm或7cm C. 6cm或5cm D. 5cm 【答案】B 【解析】 【分析】此题分为两种情况：5cm是等腰三角形的底边或5cm是等腰三角形的腰．然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形． 【详解】解：当5cm是等腰三角形的底边时，则其腰长是(17-5)÷2=6（cm），∵5+6>6，∴能够组成三角形； 当5cm是等腰三角形的腰时，则其底边是17-5×2=7（cm），∵5+5>7，∴能够组成三角形． 故该等腰三角形的底边长为：5cm或7cm． 故选：B． 【点睛】此题考查了等腰三角形的两腰相等，以及三角形的三边关系，分类讨论是解答本题的关键． 5. 如图，图中的两个三角形是全等三角形，其中一些角和边的大小如图所示，那么的值是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由三角形内角和为， 可求边长为的边所对的角为， 由全等三角形对应角相等可知， 故选C. 6. 下列条件中，能构成直角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理和直角三角形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴， 则不是直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵，， ∴，解得，则， 不能证明是直角三角形，故此选项不符合题意； C、∵，， ∴，解得， 则不是直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵， ∴，，又， ∴，解得， ∴，则是直角三角形，故此选项符合题意； 故选：D． 7. 定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是（ ） A. 有两个角相等的三角形是等腰三角形. B. 有两个底角相等的三角形是等腰三角形. C. 有两个角不相等的三角形不是等腰三角形. D. 不是等腰三角形的两个角不相等. 【答案】A 【解析】 【详解】试题解析：定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是有两个角相等的三角形是等腰三角形. 故选A． 8. 如果△ABC的三边分别为，，，其中为大于1的正整数，则（ ） A. △ABC是直角三角形，且斜边为 B. △ABC是直角三角形，且斜边为 C. △ABC是直角三角形，且斜边为 D. △ABC不是直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理：如果三角形的三边a，b，c满足a2+b2=c2，则该三角形为直角三角形，即可解题． 【详解】解：∵（m2-1）2+(2m)2=m4+2m2+1=(m2+1)2， 根据勾股定理逆定理可知，该三角形为直角三角形，且斜边为， 故本题正确答案为C． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，属于简单题，熟悉勾股定理逆定理的内容是解题关键． 9. 如图，在中，，，的平分线与的外角的平分线交于E点，连接AE，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作EF⊥AC交CA的延长线于F，EG⊥AB于G，EH⊥BC交CB的延长线于H，根据角平分线的性质和判定得到AE平分∠FAG，求出∠EAB的度数，根据角平分线的定义求出∠ABE的度数，根据三角形内角和定理计算得到答案． 【详解】作EF⊥AC交CA的延长线于F，EG⊥AB于G，EH⊥BC交CB的延长线于H， ∵CE平分∠ACB，BE平分∠ABD， ∴EF＝EH，EG＝EH， ∴EF＝EF，又EF⊥AC，EG⊥AB， ∴AE平分∠FAG， ∵∠CAB＝30°， ∴∠BAF＝150°， ∴∠EAB＝75°， ∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∴∠ABH＝120°，又BE平分∠ABD， ∴∠ABE＝60°， ∴∠AEB＝180°−∠EAB−∠ABE＝45°， 故选B． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键，注意三角形内角和定理和角平分线的定义的正确运用． 10. 如图，在中，，按下列步骤作图： ①分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线交于点； ②以为圆心，长为半径画弧交于点． 方方探究得到以下两个结论： ①是等腰三角形；②若，则点到的距离为，则（ ） A. 结论①正确，结论②正确 B. 结论①正确，结论②错误 C. 结论①错误，结论②正确 D. 结论①错误，结论②错误 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识．①错误，理由反证法判断即可；②正确．利用勾股定理和面积求解即可． 【详解】解：①错误．当时，， 由作图知，， ∴，， ∴，重合，明显不是等腰三角形； ②正确． 理由：过点作于点，过点作于点． ，，， ， ， ， 由作图可知， ， ， ， ， ，故②正确． 故选：C． 二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分） 11. “x的2倍与1的差不大于3”用不等式表示为_____． 【答案】2x﹣1≤3 【解析】 【分析】根据“的2倍与1的差不大于3”可得“的2倍与1的差小于等于3”列出不等式即可． 【详解】解：根据题意，用不等式表示这一关系式为2x-1≤3， 故答案为：2x-1≤3． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式，抓住关键词语，弄清运算先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式． 12. 若，则_______．（填“<”或“>”） 【答案】< 【解析】 【分析】此题考查了不等式的性质，不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．据此进行解答即可． 【详解】解：， 不等式两边都乘以3得， 不等式两边都加上1得， 故答案为：< 13. 是等腰三角形，，则______°． 【答案】40 【解析】 【分析】先判断出是顶角，再根据等腰三角形和三角形内角和性质，即可得到． 【详解】解：是等腰三角形，， 只能是顶角 故答案为． 【点睛】本题考查了等腰三角形和三角形内角和的性质，判断出是三角形的顶角，是解答此题的关键． 14. 在中，，，则____． 【答案】3或##或3 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理和分类讨论是解题的关键．分两种情况，①当为斜边时，②当为直角边时，分别由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：分两种情况： ①当为斜边时，由勾股定理得：； ②当为直角边时，由勾股定理得：； 综上所述，的长为3或， 故答案为：3或． 15. 如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=_______________． 【答案】50° 【解析】 【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP，即可得出答案 【详解】 解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC， 设∠PCD=x°， ∵CP平分∠ACD， ∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP=∠PBC，PF=PN， ∴PF=PM， ∵∠BPC=40°， ∴∠ABP=∠PBC=∠PCD-∠BPC=（x-40）°， ∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=2x°-（x°-40°）-（x°-40°）=80°， ∴∠CAF=100°， 在Rt△PFA和Rt△PMA中， PA=PA，PF=PM， ∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL）， ∴∠FAP=∠PAC=50°． 故答案为：50°． 【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM=PN=PF是解决问题的关键． 16. 如图，A，B，C，D四个点顺次在直线l上，，．以为底向下作等腰直角三角形，以为底向上作等腰三角形，且．当时，和的面积和是______．连结，，当的长度变化时，与的面积之差保持不变，则a与b需满足的条件是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，整式的混合运算； 过点作于点，过点作于点，先根据等腰三角形的性质求出，，再利用勾股定理求出，然后根据三角形面积公式计算和的面积和，同时表示出与的面积之差，然后根据“当的长度变化时，与的面积之差保持不变”建立等式，化简即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， 是等腰直角三角形，且， ， 是等腰三角形，且， ， ， ， ∴和是面积和是：， 与的面积之差为： ， 当的长度变化时，与的面积之差保持不变， ， ， 故答案为：，． 三、全面答一答（本题有7个小题，共66分）解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．如果觉得有的题目有点困难，你们把自己能写出的解答写出一部分也可以． 17. 如图，在中，是斜边上的高线． （1）　　．（填或） （2）　　．（填或） （3）若点是线段上的一个动点，连结，则　　（填或） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系和垂线段最短．从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言． （1）利用垂线段最短进行分析作答； （2）利用三角形的三边关系进行分析作答； （3）利用垂线段最短进行分析作答． 【小问1详解】 解：是斜边上的高线， ， ． 故答案为：； 【小问2详解】 解：由三角形的三边关系得：． 故答案为：； 【小问3详解】 解：由（1）知，， 点是线段上的一个动点， ． 故答案为：． 18. 如图，在边长为1的小正方形所组成的网格上，每个小正方形的顶点都称为“格点”，的顶点都在格点上． （1）直接判断的形状， （2）画出关于直线的对称图形． （3）在直线上作一点P，使得最小 【答案】（1）是直角三角形 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理及其逆定理，即可求解； （2）根据题意得到点A，B，C关于直线的对称点，再顺次连接，即可； （3）连接交直线于点P，此时最小，即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：， ∴， ∴，即是直角三角形； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 【小问3详解】 解：如图，连接交直线于点P，则点P即为所求． 【点睛】本题主要考查了利用轴对称变换作图，凡是涉及最短距离问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 19. 如图，已知B、E、C、F在同一条直线上，，，，与交于点G． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由得出，再利用证明即可； （2）由全等三角形的性质得出，再由三角形内角和定理计算即可得出答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：如图： ， ∵， ∴， ∴． 20. 如图，点在上，且，，． （1）求证：． （2）连结，若，，，求的长度 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件先证明，然后根据，证明； （2）勾股定理求得，进而求得，在中，勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， 在与中，， ， ∴（）， 【小问2详解】 如图， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 21. 如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连结．求证： （1）； （2）为等边三角形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质及全等三角形的判定等知识点；得到三角形全等是正确解答本题的关键． （1）根据全等三角形的判定和性质证明即可； （2）根据全等三角形的性质和等边三角形的判定证明即可． 【小问1详解】 证明：和都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 ， ， 又， ， ， 在和中， ，，， ， ，， 又， 为等边三角形． 22. 如图，长方形纸片的长，宽，将它折叠，使点与点重合．（注：该长方形的性质：两组对边平行且相等，每个内角都是 （1）求证：是等腰三角形； （2）求折痕的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题重点考查翻折变换的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）由得，由折叠得，则，所以，则是等腰三角形； （2）作于点，由，，，，得，且，则，求得，则，，所以，，则，求得． 【小问1详解】 证明：四边形是长方形， ， ， 由折叠得， ， ， 是等腰三角形． 【小问2详解】 解：作于点，则， ，，，， ，且， ， 解得， ，， ，， ，， ， ， 折痕的长为． 23. 根据等式和不等式的性质，我们可以得到比较两数大小的方法： （1）①如果，那么　　； ②如果，那么　　； ③如果，那么　　． （2）如（1）中这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”，请运用这种方法尝试解决下面的问题： ①若，比较，的大小； ②比较与的大小． 【答案】（1）①；②；③ （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用、非负数的性质、不等式的性质，解答本题的关键是明确题意，求出题目中的不等关系． （1）①根据不等式的性质，可以求得、的大小关系； ②根据不等式的性质，可以求得、的大小关系； ③根据不等式的性质，可以求得、的大小关系； （2）①根据，移项并作差，然后即可得到和的关系； ②将两个多项式作差，然后与0比较大小，即可得到与的大小． 【小问1详解】 解：①， ， ， 故答案为：； ②， ， ， 故答案为：； ③， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①， ， ， ， ， ； ② ， ． 24. 感知：如图①，平分，，，易知：. 探究：如图②，平分，，，求证：． 应用：如图③，四边形中，，，，则_______． 【答案】探究：见解析； 应用：2． 【解析】 【分析】探究：欲证明，只要证明即可． 应用：先证明，再证明，结合即可解决问题． 【详解】探究： 证明：如图②中，于，交的延长线于， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴． 应用： 解：如图③，连接、于，交的延长线于， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵，，， ∴， ∴． 故答案为2． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识；解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$