精品解析：四川省内江市隆昌市第一中学2024—2025学年上学期初中八年级第二次月考数学试题

隆昌一中2024—2025学年度第一学期初中八年级第二次月考 数学试题 本试卷三个大题共28个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟 A卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．以下每小题都给出了A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目的） 1. 的平方根是（ ） A. 9 B. 3 C. D. 2. 下列各数：0.456，，3.14，0.80108，0.1010010001…（邻两个1之间0的个数逐次加1），，．其中是无理数的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，若，四个点B、E、C、F在同一直线上，，，则的长是（　　） A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 5. 下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）． A. B. C. D. 6. 一种长方体零件体积为，底面积为，则零件的高为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知，则下列条件中，不能使成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 若是完全平方式，则的值为（ ） A. B. 3或1 C. D. 或 9. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 10. 若三边满足，判断的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 11. 已知，那么的值为（ ） A. B. 4044 C. 4045 D. 12. 如图，在长方形中放入一个边长为的大正方形和两个边长为的小正方形（正方形和正方形），其中个阴影部分的面积满足，则长方形的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分） 13. 将命题“平行于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式为_____________________. 14. 已知，，，为正整数，则________．（用，表示）． 15. 如果，则的值为 _____． 16. 两位同学将一个二次三项式分解因式时，其中一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成,则原来的多项式为 _____ 三、解答题（本大题共56分．解答应写出必要的文字说明或演算步骤．） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 因式分解 （1）； （2）； （3）． 19. （1）化简求值：，其中； （2）已知的三边长为a、b、c都是正整数，且满足，求的周长． 20. 已知一个正数的平方根分别是和，的立方根为． （1）求的算术平方根； （2）若是的整数部分，求的平方根． 21. 如图，点在同一条直线上，点分别在直线的两侧，且，．求证：． 22. 若的积中不含项和项．求： （1）p、q的值； （2）代数式的值． 23. 数学教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形．先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式； 例如求代数式的最小值．可知当时，有最小值，最小值是，根据阅读材料，利用配方法解决下列问题： （1）分解因式：； （2）当a为何值时，多项式有最值，并求出这个最值； （3）当a，b为何值时，多项式有最值，并求出这个最值． B卷 一、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分．） 24. 已知，则的值为__________． 25. 已知，那么的值为_______． 26. 下列说法：①立方根等于本身的数是，0，1；②没有平方根；③两个无理数的和还是无理数；④若，，则；⑤若，则；⑥，则是负数，其中正确的序号是________________． 27. 我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了（，2，3，…）的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序） 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 …… 请根据上述规律，写出展开式中含项的系数是____________． 二、解答题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分．） 28. 对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到，请解答下列问题： （1）根据图2的结论，解决问题：若，，求的值； （2）根据图3的结论，解决问题：若两正方形的边长满足，，求阴影部分的面积； （3）根据图4的结论，解决问题：若，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 隆昌一中2024—2025学年度第一学期初中八年级第二次月考 数学试题 本试卷三个大题共28个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟 A卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．以下每小题都给出了A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目的） 1. 的平方根是（ ） A. 9 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查算术平方根和平方根，解答的关键是熟知一个正数的平方根有两个，且互为相反数． 先将原式化简，然后求其平方根． 【详解】解：，3的平方根是， 故选：C． 2. 下列各数：0.456，，3.14，0.80108，0.1010010001…（邻两个1之间0的个数逐次加1），，．其中是无理数的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】先将二次根式化简，再根据无理数的定义，即可求解． 【详解】解：∵，． 无理数有，0.1010010001…（邻两个1之间0的个数逐次加1），，共有3个． 故选：B 【点睛】本题主要考查了无理数的定义，二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质，无限不循环小数是无理数是解题的关键． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据同底数幂的乘法和除法，积的乘方，合并同类项的运算法则计算即可． 【详解】解：A、，故选项A错误，不符合题意； B、，故选项B正确，符合题意； C、，故选项C错误，不符合题意； D、和不是同类项，不能合并，故选项D错误，不符合题意； 故选：B． 4. 如图，若，四个点B、E、C、F在同一直线上，，，则的长是（　　） A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等解题即可． 【详解】解：∵， ∴， 又， ∴， ∵， ∵． 故选：A． 5. 下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解概念进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、是因式分解，不是因式分解，故该选项是错误的； B、这个多项式没办法进行因式分解，不是因式分解，故该选项是错误的； C、是因式分解，故该选项是正确的； D、这个多项式没办法进行因式分解，不是因式分解，故该选项是错误的； 故选：C 【点睛】本题考查了因式分解的概念，一个多项式化为几个整式的积的过程叫因式分解；难度较小． 6. 一种长方体零件体积为，底面积为，则零件的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了单项式与单项式除法的应用，用体积除以单项式即可求解． 【详解】解： 故选D 7. 如图，已知，则下列条件中，不能使成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理．根据题意可得，，据此根据全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、添加条件，结合，，不可利用证明，故此选项符合题意； B、添加条件，结合，，可利用证明，故此选项不符合题意； C、添加条件，结合，，可利用证明，故此选项不符合题意； D、添加条件，结合，，可利用证明，故此选项不符合题意； 故选：A． 8. 若是完全平方式，则的值为（ ） A. B. 3或1 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据完全平方公式的形式可得，求解即可． 【详解】解：是完全平方式，则， 解得或， 故选：B 【点睛】此题考查了完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． 9. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，积的乘方的逆运算，先把原式变形为，进一步变形得到，据此求解即可． 【详解】解： ， 故选：C． 10. 若三边满足，判断的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，三角形三边关系，等腰三角形的判定，由已知等式可得，根据三角形的三边关系可得，据此即可判断求解，正确对等式左边进行因式分解是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵为三边， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， 故选：． 11. 已知，那么的值为（ ） A. B. 4044 C. 4045 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，需要通过设未知数，将原式转化为含有完全平方公式的形式进行计算，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：设， ∴ 故选：C． 12. 如图，在长方形中放入一个边长为的大正方形和两个边长为的小正方形（正方形和正方形），其中个阴影部分的面积满足，则长方形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，设长方形的长为，宽为，则由已知及图形可得，，的长、宽及面积，根据，可整体求得的值，即长方形的面积，根据所给图形，数形结合，正确表示出相关图形的长度和面积是解题的关键． 【详解】解：设长方形的长为，宽为，则由已知及图形可得： 的长为，宽为， ∴； 的长为，宽为， ∴； 的长为，宽为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴长方形的面积为， 故选：． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分） 13. 将命题“平行于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式为_____________________. 【答案】如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行 【解析】 【分析】命题由题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论． 【详解】命题可以改写为：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行． 故答案为：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行 【点睛】任何一个命题都可以写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．在改写过程中，不能简单地把题设部分、结论部分分别塞在“如果”、“那么”后面，要适当增减词语，保证句子通顺而不改变原意． 14. 已知，，，为正整数，则________．（用，表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查幂的乘方的逆运算和同底数幂的乘法的逆运算，由得出，将变形为，再结合题干的条件即可解题． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 15. 如果，则的值为 _____． 【答案】7 【解析】 【分析】此题考查的是分式运算和利用完全平方公式的变形求值，掌握完全平方公式的变形是解题关键． 先将等式两边同时除以，并整理可得，然后利用完全平方公式的变形即可求出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为7． 16. 两位同学将一个二次三项式分解因式时，其中一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成,则原来的多项式为 _____ 【答案】 【解析】 【分析】由于看错了一次项系数即值看错而与的值正确，根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，可将运用多项式的乘法法则展开求出与的值；同样，看错了常数项即值看错而与的值正确，可将运用多项式的乘法法则展开求出的值，进而得出答案．本题考查的是因式分解的应用，掌握求解的方法是解题的关键． 【详解】解： ， ，； 又， ． ∵二次三项式为： 原多项式为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共56分．解答应写出必要的文字说明或演算步骤．） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算和整式的乘除运算，熟练地掌握相应的运算法则是解决此题的关键． （1）先计算乘方、立方根及绝对值，再进行加减即可； （2）先运用平方差公式及多项式乘多项式法则进行计算，再合并即可． 【小问1详解】 解：原式， ； 【小问2详解】 解：原式， ， ． 18. 因式分解 （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练地掌握因式分解的提公因式法、运用公式法等是解决本题的关键． （1）先提公因式，再运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． （2）先提公因式，再运用十字相乘法进行因式分解，即可作答． （3）先提公因式，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 19. （1）化简求值：，其中； （2）已知的三边长为a、b、c都是正整数，且满足，求的周长． 【答案】（1），4；（2）9． 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，三角形三边关系及因式分解的应用，熟练地掌握乘除法则和乘法公式是解决本题的关键所在． （1）直接利用乘法公式以及多项式除以单项式化简，进而合并同类项，再结合非负数的性质得出x，y的值，即可得出答案； （2）先运用乘法公式进行因式分解，再根据平方的非负性质求出a、b的值，进而求得c的值，最后求出的周长． 【详解】解：（1）原式 ∵ ∴， 原式； （2）解： ∴， ∵， 的三边长为a、b、c都是正整数 ∴， ∴的周长是9． 20. 已知一个正数的平方根分别是和，的立方根为． （1）求的算术平方根； （2）若是的整数部分，求的平方根． 【答案】（1）7 （2） 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，平方根，立方根，熟练掌握估算无理数的大小，以及平方根与立方根的意义是解题的关键． （1）根据平方根与立方根的意义可得，，从而求出，，然后代入式子中进行计算即可解答； （2）先估算出的值的范围，从而求出的值，然后代入式子中进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：根据题意，得，， ，， ， 的算术平方根为7． 【小问2详解】 解：， . 的整数部分是3， ， ， 的平方根是． 21. 如图，点在同一条直线上，点分别在直线的两侧，且，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定，平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等，判定三角形全等的方法有．先根据得出，即可根据证明． 【详解】略 22. 若的积中不含项和项．求： （1）p、q的值； （2）代数式的值． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的法则，注意不要漏项、漏字母、有同类项的合并同类项，解题的关键是正确求出p、q的值． （1）利用条件中积不含项和项，将积算出来后，令相应的项系数为0即可求解； （2）先化简，再利用第（1）问中的结果，代入求值． 【小问1详解】 解：原式， ， ∵的积中不含项和项， ∴，， ∴，； 【小问2详解】 ， ， ， ， ∵，， ∴原式 23. 数学教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形．先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式； 例如求代数式的最小值．可知当时，有最小值，最小值是，根据阅读材料，利用配方法解决下列问题： （1）分解因式：； （2）当a为何值时，多项式有最值，并求出这个最值； （3）当a，b为何值时，多项式有最值，并求出这个最值． 【答案】（1）； （2）时，多项式有最大值为20； （3），时，多项式有最小值为13． 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用、非负数的性质、配方法等知识点，熟练掌握配方法、因式分解的方法是解本题的关键． （1）根据阅读材料，先将变形为，再根据完全平方公式写成，然后利用平方差公式分解即可解答； （2）利用分解因式将多项式转化为，然后利用非负数的性质即可解答； （3）利用分解因式将多项式转化为，然后利用非负数的性质即可解答． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 ∵， ， ， ∵， ∴当时，多项式有最大值为20； 【小问3详解】 ， ， ， ， ， ∵， ∴当，时，多项式有最小值为13 B卷 一、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分．） 24. 已知，则的值为__________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查多项式乘多项式的乘法法则、代数式求值，将已知等式化为，，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． 25. 已知，那么的值为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】由题意易得，进而可得，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴，即， ∴， ∴； 故答案为1． 【点睛】本题主要考查幂的乘方及积的乘方的逆用，熟练掌握幂的乘方及积的乘方是解题的关键． 26. 下列说法：①立方根等于本身的数是，0，1；②没有平方根；③两个无理数的和还是无理数；④若，，则；⑤若，则；⑥，则是负数，其中正确的序号是________________． 【答案】①④##④① 【解析】 【分析】本题主要考查了立方根，实数的性质以及运算法则，根据实数的性质，加减乘法法则逐一判断即可． 【详解】解：立方根等于本身的数是，0，1，故①说法正确； 时，，此时没有平方根， 时，，此时有平方根，故②说法错误； ，，两个均是无理数，它们的和为0，是有理数，故③说法错误； 若，，即，，则，故④说法正确； 若，即，则，即，故⑤说法错误； 若，则不一定是负数，例如，满足，但是是正数，故⑥说法错误； 故答案为：①④． 27. 我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了（，2，3，…）的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序） 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 …… 请根据上述规律，写出展开式中含项的系数是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，学生的观察分析逻辑推理能力，读懂题意并根据所给的式子寻找规律是解题的关键．首先确定是展开式中第几项，根据杨辉三角即可解决问题． 【详解】解：由 可知，展开式中第二项为， 展开式中含项的系数是， 故答案为：． 二、解答题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分．） 28. 对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到，请解答下列问题： （1）根据图2的结论，解决问题：若，，求的值； （2）根据图3的结论，解决问题：若两正方形的边长满足，，求阴影部分的面积； （3）根据图4的结论，解决问题：若，，求的值． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是注意图形的分割与拼合，会用不同的方法表示同一图形的面积． （1）利用（1）中的乘法公式，进行变形得出答案即可； （2）利用正方形的面积正方形的面积三角形的面积三角形的面积求解． （3）利用图形可得关系式，进行变换，最终求出答案． 【小问1详解】 解：由图可知：， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：由图可知：， ∴， ∴， ∵，， ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $