精品解析：吉林省长春市南湖实验中学2021-2022学年上学期八年级期末数学复习试卷（2）

2021-2022学年吉林省长春市南湖实验中学八年级（上） 期末数学复习试卷（2） 1. 下列各数中是无理数的是 （ ） A. B. C. D. 2. 可以表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组数中不能作为直角三角形三边长的是( ) A. 7，9，12 B. 5，12，13 C. 1，， D. 3，4，5 4. 因式分解x﹣4x3的最后结果是（　　） A. x（1﹣2x）2 B. x（2x﹣1）（2x+1） C. x（1﹣2x）（2x+1） D. x（1﹣4x2） 5. 如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数是（　　） A. 20° B. 35° C. 40° D. 70° 6. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为　　 A. 9 B. 6 C. 4 D. 3 7. 如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交边AC于点D，交边BC于点E，连结AE．若AB=6，BC=9，则△ABE的周长为（　　　） A. 24 B. 21 C. 18 D. 15 8. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（　　　） A. B. C. D. 9. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______． 10. 比较大小：_____3．（填“＞”、“=”或“＜”） 11. 如图，在边长为a的正方形中减去一个边长为b的小正方形，把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分面积，验证了公式________． 12. 若，，则_________． 13. 如图，直线l经过正方形的顶点C，点B，D到直线l的距离分别是2，1，则正方形的边长为______． 14. 《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，中，，，，求的长，如果设，则可列方程为______． 15. 计算： （1）． （2）． （3）． （4） 16. 计算： （1）． （2）． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 下面是小丽化简的过程，仔细阅读后解答所提出的问题． 解：a（a+2b）﹣（a﹣1）2﹣2a ＝a2+2ab﹣a2﹣2a﹣1﹣2a 第一步 ＝2ab﹣4a﹣1．第二步 （1）小丽的化简过程从第　 　步开始出现错误； （2）请对原整式进行化简，并求当a＝，b＝﹣6时原整式的值． 19. 问题背景：在中，三边的长分别为，，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点．（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需要求的高，而借用网格就能计算出它的面积． （1）请你将的面积直接填写在横线上． （2）在图2中画三边的长分别为，判断三角形的形状，并说明理由． 20. 如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点O，点E、F分别在边AB，BC上，连接EO、FO，使∠EOF＝60°，连接EF． （1）求∠BOC的度数． （2）求证：CF＝BE+EF． 21. 如图，长方形为一个花园，其中米，米，在花园内修一条长米的笔直小路，小路出口一端选在边上距点3米处，另一端出口应选在边上距点几米处？ 22. 如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且m＞n．（以上长度单位：cm） （1）观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为　 　； （2）若每块小矩形的面积为10cm2，两个大正方形和两个小正方形的面积和为58cm2，试求m+n的值 （3）②图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为　 　cm．（直接写出结果） 23. 问题原型：如图①，在锐角中，，AD⊥BC于D，在AD上取点E，使，连结BE.求证：.问题拓展：如图②，在问题原型的条件下，为的中点，连结并延长至点，使，连结. （1）判断线段与的大小关系，并说明理由.（2）若，直接写出、两点之间的距离. 24. 已知，如图1，正方形和正方形，三点、、在同一直线上，连接和． （1）线段和线段的数量关系为______； （2）将正方形，绕点顺时针旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立？请说明理由； （3）若在图2中连接和，且，，求______．(直接写出结果)． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021-2022学年吉林省长春市南湖实验中学八年级（上） 期末数学复习试卷（2） 1. 下列各数中是无理数的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了立方根，算术平方根，无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，根据无理数的定义进行求解即可． 【详解】解： ，，，是有理数，是无理数， 故选：D． 2. 可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：、，不符合题意； 、，不符合题意； 、，符合题意； 、，不符合题意． 故选C． 3. 下列各组数中不能作为直角三角形三边长的是( ) A. 7，9，12 B. 5，12，13 C. 1，， D. 3，4，5 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理即可求解. 【详解】∵72+92≠122， 所以A组不能作为直角三角形三边长 故选A. 【点睛】此题主要考查勾股定理，解题的关键是熟知勾股定理的逆定理进行判断. 4. 因式分解x﹣4x3的最后结果是（　　） A. x（1﹣2x）2 B. x（2x﹣1）（2x+1） C. x（1﹣2x）（2x+1） D. x（1﹣4x2） 【答案】C 【解析】 【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【详解】原式=x（1﹣4x2）=x（1+2x）（1﹣2x）． 故选C． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键． 5. 如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数是（　　） A. 20° B. 35° C. 40° D. 70° 【答案】B 【解析】 【分析】先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=（180°－∠CAB）=70°．再利用角平分线定义即可得出∠ACE=∠ACB=35°． 【详解】∵AD是△ABC的中线，AB=AC，∠CAD=20°， ∴∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=（180°－∠CAB）=70°． ∵CE是△ABC的角平分线， ∴∠ACE=∠ACB=35°． 故选B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出∠ACB=70°是解题的关键． 6. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为　　 A. 9 B. 6 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长． 【详解】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：， 每一个直角三角形的面积为：， ， ， 或（舍去）， 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型． 7. 如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交边AC于点D，交边BC于点E，连结AE．若AB=6，BC=9，则△ABE的周长为（　　　） A. 24 B. 21 C. 18 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】根据中垂线的性质可得AE=CE，从而对周长进行转换求解即可． 【详解】由中垂线的性质可得：AE=CE， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查中垂线的性质，理解基本性质是解题关键． 8. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（　　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考勾股定理与折叠问题，勾股定理求出的长，折叠，得到，设，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴，， 设，则：， 由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 故选C． 9. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴x-1≥0， 解得x≥1． 故答案为：x≥1． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0． 10. 比较大小：_____3．（填“＞”、“=”或“＜”） 【答案】＞． 【解析】 【分析】先求出3=，再比较即可． 【详解】∵32=9＜10， ∴＞3， 故答案为＞． 【点睛】本题考查了实数的大小比较和算术平方根的应用，用了把根号外的因式移入根号内的方法． 11. 如图，在边长为a的正方形中减去一个边长为b的小正方形，把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分面积，验证了公式________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键，先根据左图和右图分别表示出阴影部分的面积，然后根据面积相等即可解答． 【详解】解：由作图可得：阴影部分的面积为； 由右图可得：阴影部分的面积为：； 所以． 故答案为 12. 若，，则_________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题主要考查的是同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法的逆运算解答即可； 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：15． 13. 如图，直线l经过正方形的顶点C，点B，D到直线l的距离分别是2，1，则正方形的边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了直角三角形全等的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找三角形全等的条件，根据正方形的性质得出，利用证明和全等，再利用全等三角形的性质和勾股定理解答即可． 【详解】解：在正方形中，，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ∴（）， ∴，， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：． 14. 《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，中，，，，求的长，如果设，则可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的运用，根据，设，可得，由勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：∵，设， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故答案为： ． 15. 计算： （1）． （2）． （3）． （4） 【答案】（1）； （2）； （3）； （4） 【解析】 【分析】（1）先分别计算立方根、平方根、零指数幂、有理数的乘方，再依次进行加减运算； （2）先计算平方根、绝对值、立方根，其中绝对值的化简需根据判断符号，再进行加减运算； （3）先利用完全平方公式和平方差公式展开整式，再合并同类项得到结果； （4）根据多项式除以单项式的法则，将多项式的每一项分别除以单项式，再将所得的商相加即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解： ． 【小问4详解】 解： ． 16. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2）50 【解析】 【分析】（1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）按照从左至右的顺序进行二次根式的乘除计算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 【点睛】本题考查的是二次根式的加减运算，二次根式的乘除混合运算，掌握“二次根式的加减乘除运算的运算法则与运算顺序”是解本题的关键． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查的是分式的混合运算，化简求值，先计算括号内分式的加减运算，再计算分式的除法运算得到化简的结果，最后把代入计算即可． 【详解】解： ； 当时， 原式． 18. 下面是小丽化简的过程，仔细阅读后解答所提出的问题． 解：a（a+2b）﹣（a﹣1）2﹣2a ＝a2+2ab﹣a2﹣2a﹣1﹣2a 第一步 ＝2ab﹣4a﹣1．第二步 （1）小丽的化简过程从第　 　步开始出现错误； （2）请对原整式进行化简，并求当a＝，b＝﹣6时原整式的值． 【答案】(1)一;(2)-4. 【解析】 【分析】（1）首先计算完全平方，然后再去括号，注意符号的变化； （2）首先计算完全平方，然后再去括号合并同类项，化简后再代入a、b的值即可． 【详解】(1) 小丽的化简过程从第一步开始出现错误， 故答案为一； (2)a（a+2b）﹣（a﹣1）2﹣2a， =a2+2ab﹣a2+2a﹣1﹣2a， =2ab﹣1， 当a=，b=﹣6时， 原式=2××（﹣6）﹣1=﹣3﹣1=﹣4． 【点睛】考查了单项式乘以多项式，以及完全平方公式，关键是掌握单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 19. 问题背景：在中，三边的长分别为，，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点．（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需要求的高，而借用网格就能计算出它的面积． （1）请你将的面积直接填写在横线上． （2）在图2中画三边的长分别为，判断三角形的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2）见解析，是直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用“割补法”即可求出的面积； （2）根据三边长可作出，利用勾股定理的逆定理即可判断三角形的形状． 【小问1详解】 解： 故答案为：． 【小问2详解】 解：如图所示： 是直角三角形，理由如下： ∴是直角三角形． 【点睛】本题考查网格作图及勾股定理的逆定理．掌握相关结论即可． 20. 如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点O，点E、F分别在边AB，BC上，连接EO、FO，使∠EOF＝60°，连接EF． （1）求∠BOC的度数． （2）求证：CF＝BE+EF． 【答案】（1）∠BOC＝120°；（2）见解析． 【解析】 【分析】（1）利用等边三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB＝，由角平分线的性质可得到∠OBC＝∠OCB＝，再利用三角形的内角和为列式计算即可； （2）以点O为顶点，OF为一边，作∠FOG＝，交BC于点G，通过证明△BOE≌△COG得到OG＝OE，BE＝CG，从而得到，即可通过线段的等量代换证明结论． 【详解】（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝， ∵∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点O， ∴∠OBC＝∠OCB＝， ∴∠BOC＝∠OBC∠OCB＝； （2）以点O为顶点，OF为一边，作∠FOG＝，交BC于点G， ∵∠BOC＝， ∴∠BOF+∠COG＝， ∵∠EOF＝， ∴∠EOB+∠BOF＝， ∴∠COG＝∠EOB， ∵∠ABO＝∠ABC＝， ∴∠EBO＝∠OCG， 在BOE与COG中， ， ∴， ∴OG＝OE，BE＝CG， 在OEF与OGF中， ， ∴， ∴EF＝FG， ∵CF＝FG+CG， ∴CF＝EF+BE． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，合理作出辅助线以及灵活寻找全等三角形判定的条件是解题的关键． 21. 如图，长方形为一个花园，其中米，米，在花园内修一条长米的笔直小路，小路出口一端选在边上距点3米处，另一端出口应选在边上距点几米处？ 【答案】3米 【解析】 【分析】先根据长方形对边相等的性质求出的长度，结合点的位置计算出的长度；再利用长方形的直角构造直角三角形，通过勾股定理求出的长度；最后用的长度减去的长度，得到点到点的距离． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，米． ∵在边上且距点3米，即米， ∴(米)． 在中，，米，米， 根据勾股定理：(米)， ∴米． 答：另一端出口应选在边上距点3米处． 22. 如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且m＞n．（以上长度单位：cm） （1）观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为　 　； （2）若每块小矩形的面积为10cm2，两个大正方形和两个小正方形的面积和为58cm2，试求m+n的值 （3）②图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为　 　cm．（直接写出结果） 【答案】（1）（2m+n）（m+2n）；（2）7；（3）42 【解析】 【分析】（1）根据图象由长方形面积公式将代数式 2m2+5mn+2n2因式分解即可； （2）根据正方形的面积得出正方形的边长，再利用每块小矩形的面积为10平方厘米，得出等式求出m+n， （3）根据m+n的值，进一步得到图中所有裁剪线（虚线部分）长之和即可． 【详解】解：（1）由图形可知，2m2+5mn+2n2＝（2m+n）（m+2n）， 故答案为（2m+n）（m+2n）； （2）依题意得，2m2+2n2＝58，mn＝10， ∴m2+n2＝29， ∴（m+n）2＝m2+n2+2mn＝29+20＝49， ∴m+n＝7， 故答案为7． （3）图中所有裁剪线段之和为7×6＝42（cm）． 故答案为42． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，正确用两种方法表示图形面积是解题的关键． 23. 问题原型：如图①，在锐角中，，AD⊥BC于D，在AD上取点E，使，连结BE.求证：.问题拓展：如图②，在问题原型的条件下，为的中点，连结并延长至点，使，连结. （1）判断线段与的大小关系，并说明理由.（2）若，直接写出、两点之间的距离. 【答案】问题原型：见解析；（1），见解析；（2）. 【解析】 【分析】问题原型：由AD⊥BC可得∠ADB=∠ADC=90°，又∠ABC=45°可得∠ABC=∠BAD，可得AD=BD，根据SAS定理可得△BDE≌△ADC； 问题拓展：（1）利用SAS判断出△BEF≌△CMF，得出BE=CM，即可得出结论； （2）借助问题原型与问题延伸的结论判断出△ACM是等腰直角三角形，即可得出结论． 【详解】解：问题原型：∵， ∴. ∴. ∴. ∴. ∴. ∵， ∴. ∴； 问题拓展：（1）. 理由：∵为的中点， ∴. ∵，， ∴. ∴. ∵， ∴； （2）如图②， 连接AM，由（1）知，△BDE≌△ADC， ∴∠BED=∠ACD， 由（2）知，△BEF≌△CMF， ∴∠EBF=∠BCM， ∴∠ACM=∠ACD+∠BCM=∠BED+∠EBF=90°， ∵AC=CM， ∴AM=AC=4． 故答案为（1），见解析；（2）. 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是判断出两对三角形全等． 24. 已知，如图1，正方形和正方形，三点、、在同一直线上，连接和． （1）线段和线段的数量关系为______； （2）将正方形，绕点顺时针旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立？请说明理由； （3）若在图2中连接和，且，，求______．(直接写出结果)． 【答案】（1）； （2）成立，理由见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）利用正方形四边相等、四角为直角的性质，得到、，且，通过判定，再根据全等三角形对应边相等，直接得出． （2）旋转后正方形的边长与直角性质不变，仍有、，通过角的和差推导得到，再次用证明，故的结论依然成立． （3）先由全等三角形对应角相等，推出，结合直角三角形的角度关系，证明；再对四个直角三角形分别应用勾股定理，将与的表达式相加，转化为，最后代入、，计算得． 【小问1详解】 解：∵四边形和四边形是正方形， ∴，，， 在和中，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：结论成立，理由如下： ∵四边形和四边形是正方形， ∴，，， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴，即（1）中的结论成立． 【小问3详解】 解：如图，连接、，设、交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， ∵，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $