精品解析：辽宁省沈阳市浑南市2024-2025学年八年级上学期数学期中试卷

2024-2025学年辽宁省沈阳市浑南区八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列四个数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数据中能组成直角三角形的是（　　） A. 9 ，16，25 B. 2，5，6 C. 3，3，5 D. 9，12 ，15 3. 某气象台为了预报台风，首先需要确定台风中心的位置，则下列说法能确定台风中心位置的是（ ） A. 北纬 B. 距气象台海里 C. 北纬，东经 D. 北海市附近 4. 6的平方根是（  ） A. 6 B. C. D. ± 5. 在平面直角坐标系中，点落在（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 已知函数y=2x+k-1的图象经过第一、三、四象限，则k的值可以是（　　） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 7. 某校“灯谜节”的奖品是一个底面为等边三角形的灯笼（如图），在灯笼的侧面上，从顶点A到顶点缠绕一圈彩带．已知此灯笼的高为50，底面边长为40，则这圈彩带的长度至少为（　　） A. 50 B. 120 C. 130 D. 150 8. 如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，量筒量得溢出水的体积为，则该铁块棱长大小的范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，为的高，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数，例如：，，现对进行如下操作：，即对需进行次操作后变为．类似地：对只需进行次操作后变为，则的值为(　　) A 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若，则______． 12. 已知点在第一象限，且到坐标轴的距离和为4，则点P的坐标为 _____． 13. 在平面直角坐标系中，直线对应的函数表达式为，现保持直线的位置不动，将x轴沿竖直方向向上平移个单位．在新平面直角坐标系中，直线的函数表达式为 ___________． 14. 某水果店销售某种新鲜水果，出售量与销售额（元）之间的函数关系如图所示．若小强同学在该家水果店一次购买该种水果，需要付款______元． 15. 如图，在四边形中，，连接，，，点分别在边上，且，连接，若，则的最小值为_________． 三、解答题（本题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1） （2） 17. 解方程组 （1） （2） 18. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知． （1）在平面直角坐标系中画出，则的面积是___________； （2）若点与点关于轴对称，则点的坐标为___________； 19. 勾股定理是人类数学文化一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一，如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送，到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态． （1）求秋千的长度； （2）如果将秋千往前推送4米，求此时踏板离地的垂直高度为多少？ 20. 课堂上，老师新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形． （1）思考 ①根据奇异三角形的定义，请你判断等边三角形是否为奇异三角形，并简要说明理由； ②若是奇异三角形，且其两边长分别为，，求的周长． （2）运用 如图，以为斜边分别在的两侧作，，且，若四边形内存在点，使得，． ①试说明：是奇异三角形； ②当时，若，求面积． 21. 如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，以线段直角边在第一象限内作等腰，，直线经过，两点． （1）求A，B两点的坐标； （2）求直线的函数表达式； （3）若为轴正半轴上一点，的面积等于的面积，求点坐标； （4）如图2，过点作轴，垂足为，点是直线上的动点，点是直线上的动点．试探究能否成为以为直角边的等腰直角三角形（不与重合）？若能，请直接写出的长，若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年辽宁省沈阳市浑南区八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列四个数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数的定义进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、是负整数，则是有理数，该选项不符合题意； B、是开方开不尽的数，即无限不循环小数，是无理数，该选项符合题意； C、，3是有理数，该选项不符合题意； D、是分数，则是有理数，该选项不符合题意； 故选：B 【点睛】本题考查了无理数的定义，即无理数是无限不循环小数，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 2. 下列各组数据中能组成直角三角形的是（　　） A. 9 ，16，25 B. 2，5，6 C. 3，3，5 D. 9，12 ，15 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：A、， 不能构成直角三角形，故A不符合题意； B、， 不能构成直角三角形，故B不符合题意； C、， 不能构成直角三角形，故C不符合题意； D、， 能构成直角三角形，故D不符合题意； 故选：D． 3. 某气象台为了预报台风，首先需要确定台风中心的位置，则下列说法能确定台风中心位置的是（ ） A. 北纬 B. 距气象台海里 C. 北纬，东经 D. 北海市附近 【答案】C 【解析】 【分析】根据一对有序实数对才能确定点的位置判断即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，一对有序实数确定一个点的位置， 根据各选项的数据，只有北纬，东经能确定台风中心的位置． 故选：C． 【点睛】本题考查了用坐标确定地理位置，熟练掌握方向角、距离法确定点的位置是解题的关键． 4. 6的平方根是（  ） A. 6 B. C. D. ± 【答案】D 【解析】 【分析】根据平方根的定义解答即可． 【详解】6的平方根是． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平方根的判断，掌握定义是解题的关键．注意：正数有两个平方根，0有一个平方根是它本身，负数没有平方根． 5. 在平面直角坐标系中，点落在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了判断点所在象限，熟知每个象限内点的坐标特点是解题的关键：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 【详解】解：∵， ∴在平面直角坐标系中，点落在第二象限， 故选：B． 6. 已知函数y=2x+k-1的图象经过第一、三、四象限，则k的值可以是（　　） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】由一次函数图象经过的象限可得出k-1＜0，解之可得出k的取值范围，再对照四个选项即可得出结论． 【详解】∵函数y=2x+k-1的图象经过第一、三、四象限， ∴k-1＜0， 解得：k＜1． 故选D． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k＞0，b＜0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限”是解题的关键． 7. 某校“灯谜节”奖品是一个底面为等边三角形的灯笼（如图），在灯笼的侧面上，从顶点A到顶点缠绕一圈彩带．已知此灯笼的高为50，底面边长为40，则这圈彩带的长度至少为（　　） A. 50 B. 120 C. 130 D. 150 【答案】C 【解析】 【分析】将三棱柱沿展开，得到直角边分别是底面周长，棱柱的高，勾股定理计算即可． 本题考查了三棱柱的展开，勾股定理，熟练掌握三棱柱的展开，勾股定理是解题的关键． 【详解】解：将三棱柱沿展开，其展开图如图， 则（cm）， 答：这圈金属丝的长度至少为130． 故选：C． 8. 如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，量筒量得溢出水的体积为，则该铁块棱长大小的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了无理数的估算能力，运用立方根知识进行估算求解． 【详解】由题意得，该铁块棱长是， ∵ ， 该铁块棱长大小的范围是， 故选：B． 9. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，为的高，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意利用割补法求得的面积，利用勾股定理算出的长，再利用等面积法即可求得的长． 【详解】由题可得： ， ， ∴， 解得：， 故选：D． 10. 对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数，例如：，，现对进行如下操作：，即对需进行次操作后变为．类似地：对只需进行次操作后变为，则的值为(　　) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，新定义，根据新定义以及无理数的估算即可求解． 详解】解：由题意得， 即对99只需进行3次操作后变为2， 故选：B． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据非负性进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：1 【点睛】本题考查非负性．解题的关键是掌握非负数的和为0，每一个非负数均为0． 12. 已知点在第一象限，且到坐标轴的距离和为4，则点P的坐标为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，根据点在第一象限内，且到两坐标轴的距离之和为4列方程求解即可． 【详解】解：∵点在第一象限内，且到两坐标轴的距离之和为4， ∴， 解得． 故答案为： 13. 在平面直角坐标系中，直线对应的函数表达式为，现保持直线的位置不动，将x轴沿竖直方向向上平移个单位．在新平面直角坐标系中，直线的函数表达式为 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象平移，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据一次函数图象平移的规律求解即可． 【详解】解：∵将轴沿竖直方向向上平移个单位，相当于将直线沿竖直方向向下平移个单位， ∴则在新坐标系中，直线的表达式为， 即． 故答案为：． 14. 某水果店销售某种新鲜水果，出售量与销售额（元）之间的函数关系如图所示．若小强同学在该家水果店一次购买该种水果，需要付款______元． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意求出时与之间的函数关系式，再把代入计算可得答案． 【详解】解：当时，设与之间的函数关系式为， 根据题意得：， 解得：， ， 当时，， 小强同学在该家水果店一次购买该种水果，需要付款元， 故答案为：． 15. 如图，在四边形中，，连接，，，点分别在边上，且，连接，若，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】延长至点H使，连接，构造可得，即可得的最小值为，通过勾股定理即可求解． 【详解】解：延长至点H使，连接如图： ，， ， ， ， ，， ， ， ， 的最小值为， 的最小值为， 在中， ． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定及性质，平行线的判定及性质，勾股定理及其逆定理，两点之间线段最短等知识，解题关键是构造全等三角形，题目难度大，是中考常考题型． 三、解答题（本题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算： （1）利用进行计算； （2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 解方程组 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）令得：，再利用加减消元法解方程组即可． 【小问1详解】 解：， 得：， 把代入①得：， ∴方程组的解为； 【小问2详解】 解：， 得：， 得：， 把代入①得：， ∴方程组的解为：． 18. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知． （1）在平面直角坐标系中画出，则的面积是___________； （2）若点与点关于轴对称，则点的坐标为___________； 【答案】（1）见解析，面积是4 （2） 【解析】 【分析】本题考查了图形与坐标及轴对称的性质．熟练掌握图形与坐标及轴对称的性质是解题的关键． （1）在坐标系中描点，然后依次连接可得，然后利用根据，计算求解即可； （2）根据关于轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相同进行作答即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所作； ∴， ∴的面积是4； 【小问2详解】 解：由轴对称的性质可知，D点坐标为， 故答案为：． 19. 勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一，如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送，到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态． （1）求秋千的长度； （2）如果将秋千往前推送4米，求此时踏板离地的垂直高度为多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理求线段长，涉及矩形的判定与性质等知识，数形结合，熟练运用勾股定理是解决问题的关键． （1）由题中条件，得到四边形是矩形，从而得到，设秋千的长度为，则，，由勾股定理列方程求解即可得到答案； （2）设时，，构造直角三角形，由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意知， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∵， ∴， 设秋千的长度为，则，， 在中，由勾股定理得，即， 解得， 即秋千长度是； 【小问2详解】 解：设时，， ∵， ∴， 由（1）可知，，， ∴， 在中，， 由勾股定理得，则 ， 解得， 即此时踏板离地的垂直高度为． 20. 课堂上，老师新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形． （1）思考 ①根据奇异三角形的定义，请你判断等边三角形是否为奇异三角形，并简要说明理由； ②若是奇异三角形，且其两边长分别为，，求的周长． （2）运用 如图，以为斜边分别在的两侧作，，且，若四边形内存在点，使得，． ①试说明：是奇异三角形； ②当时，若，求的面积． 【答案】（1）是，理由见解析； （2）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）设等边三角形边长为，则易推出两边的平方和等于第三边平方的倍，因而可得结论；设第三边是（），则分三种情况讨论：）当时；）当时；）当时；分别求出的值，然后根据勾股定理的逆定理判断其三边是否构成直角三角形，以及是否满足三角形三边之间的关系，如是，进而可求出的周长； （2）根据勾股定理可得，，由可得，由，可得，于是结论得证；根据勾股定理可得，由得，于是可得，因而可得，设（），则，，，在中根据勾股定理可得，即，于是可求得，进而可求得和，然后利用三角形的面积公式即可求出． 【小问1详解】 解：等边三角形是奇异三角形，理由如下： 设等边三角形边长为， 则两边的平方和为， 两边的平方和等于第三边平方的倍， 等边三角形是奇异三角形； 设第三边是（）， 分三种情况： ）当时， 解得：， 但此时， 不是直角三角形，不符合题意； ）当时， 解得：， 此时， 是直角三角形，符合题意， ，符合三边关系， 的周长为：； ）当时， 此时无解， 此种情况不存在； 综上，的周长为：； 【小问2详解】 证明：， ，， ， ， ，， ， 是奇异三角形； 解：当时，根据勾股定理可得： ， 由得：， ， 整理，得：， ， 设（），则，， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 即：， 解得：， ，， ． 【点睛】本题主要考查了合并同类项，求一个数的算术平方根，勾股定理的逆定理，三角形三边之间的关系，勾股定理，等式的性质，代数式求值，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握勾股定理及其逆定理并运用分类讨论思想是解题的关键． 21. 如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，以线段为直角边在第一象限内作等腰，，直线经过，两点． （1）求A，B两点的坐标； （2）求直线的函数表达式； （3）若为轴正半轴上一点，的面积等于的面积，求点坐标； （4）如图2，过点作轴，垂足为，点是直线上的动点，点是直线上的动点．试探究能否成为以为直角边的等腰直角三角形（不与重合）？若能，请直接写出的长，若不能，请说明理由． 【答案】（1）点A、B坐标分别是和； （2）的函数表达式为； （3）点的坐标为； （4）DQ的长度为2或或8 【解析】 【分析】（1）对直线关系式，令或，即可求出、两点的坐标． （2）通过构造全等，求出点的坐标，再由、两点坐标根据待定系数法求得直线的函数表达式． （3）过点作平行线与轴交于点，根据两个三角形“同底等高”可知，再通过辅助线构造．由相似三角形对应边成比例求出长度即可． （4）是以为直角边的等腰直角三角形分为两种情况讨论：或，都通过“一线三直角”模型构造全等三角形，然后设出、两点的坐标，再根据全等三角形对应边相等建立方程求解出点的坐标即可． 【小问1详解】 解：对于直线，令，，则点坐标为； 令，，则点坐标为． 故点、坐标分别是和； 【小问2详解】 解：如图，过点向轴作垂线，为垂足． 为等腰直角三角形， ． ，， ． 在和中，，，． ． ，． ． 故点坐标为． 设函数表达式为，把、两点坐标代入得： ，解得． 直线的函数表达式为； 【小问3详解】 解：如图，过点作的平行线，交轴于点，则（同底等高）． 过点作直线的垂线交于点 ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形． ，． ，， ． 又． ． ，． ． 故点的坐标为； 【小问4详解】 解：设点的坐标为，点的坐标为． 以为直角边的△是等腰直角三角形， 分为两种情况： 时，如图．过点作轴的平行线交轴于点，交于点， 同（2）理可证得， ，， ， ，，． ，或， ， 则或（或12不合题意，舍去）． 此时等腰直角的另一种情况如图所示． 或． 时，如图，过点、向轴分别作垂线，垂足为， 同理可证得． ，， ，，，． ，或8， 当时，，（不合题意舍去）， 此时与重合，故舍去． 当时，，（不合题意舍去）． ． 故的长度为2或或8． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，涉及到三角形全等的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等，通过“一线三直角”模型构造全等三角形是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$