上海市上海大学附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

2024学年第一学期上大附中期中考试 高一年级 数学试卷 一. 填空题(第1-6题每小题3分, 第7-10题每小题4分, 共34分) 1. 已知全集U={1.2,3,4,5,6}集合A={1,3,4,6},则= . 2. 已知,且函数在R上是严格减函数，则的取值范围是 . 3. 不等式 的解集为 . 4. 已知 用表示= . 5. 已知幂函数 的图像不经过第二象限，并且函数 (a>0且a≠1)恒过定点的纵坐标为，则 6. 若不等式 对一切实数都成立，则实数的取值范围是 . 7. 设∈R, 方程|3-2|+|1-|=|2-1|的解集是 . 8. 已知, 若, 则的最小值为 . 9. 命题:“的充要条件是 是 命题. 10. 定义一种集合运算 nand为: AnandB={}, 设全集为U , 给定集合A与B，则仅使用 nand运算和A、B、U，可以表示下列集合中的 (填序号) ①A∪B; ②A∩B; ③A. 二. 单选题(每小题4分，共16分) 成立”是“成立”的( ) 条件. A.充分非必要 B.必要非充分 C.既非充分也非必要 D.充要 12.若 下列不等式中： ① ②;③;④, 成立的有( )个. A.1 B.2 G.3 D.4 13. 若函数 的图像经过第一、三、四象限，则必有( ) A. B. C. D. 1 学科网（北京）股份有限公司 14. 某食品的保鲜时间(单位：小时) 与储存温度 (单位：℃) 满足函数关系 为自然对数的底数，为常数)，若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是( )小时 A.22 B.23 C.24 D.33 三.解答题(第15题6分,第16题10分,第17题10分,第18题12分,第19题12分,共50分) 15. 已知全集为R, 集合A=(2,7), 集合B=(-∞,3]∪[5,+∞). (1) 求A∩B; (2) 若C={}, 且C∪A=A, 求实数的取值范围. 16. 已知 . (1)当时, 求的取值范围; (2)求证: 中至少有一个不小于1. 17. 为宣传2024年进博会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD，如图)上设计四个等高的宣传栏(栏面分别为两个等腰三角形(GH为底边) 和两个全等的直角三角形 (EF为底边) 且GH=2EF)，宣传栏(图中阴影部分) 的面积之和为36000cm². 为了美观，要求海报上所有水平方向 (包括各阴影部分之间的间隙) 和竖直方向的留空宽度均为10cm, 设EF= cm. (1) 当=100cm时, 求海报纸的面积; (2) 为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少(即矩形ABCD 的面积最小)? 18. 已知是关于的一元二次方程 的两个实根. (1) 求实数的取值范围； (2) 是否存在实数，使 成立? 若存在，求出的值，若不存在，说明理由； (3) 若 求整数的值. 19. 已知集合 中的元素都是正整数，且 。若对任意∈A, 且, 都有 成立，则称集合A具有性质M. (1) 判断集合{1,2,3}是否具有性质 M; (2) 已知集合{2,3,,10}具有性质 M, 且正整数 求证： 且 并求出的值； (3) 已知集合A具有性质M，求证： 并写出的最大值(猜想即可，无需证明). $$ 2024学年第一学期上大附中期中考试 高一年级 数学试卷 一. 填空题(第1-6题每小题3分, 第7-10题每小题4分, 共34分) 1. 已知全集U={1.2,3,4,5,6}集合A={1,3,4,6},则= . 【答案】 2. 已知,且函数在R上是严格减函数，则的取值范围是 . 【答案】 3. 不等式 的解集为 . 【答案】 4. 已知 用表示= . 【答案】 5. 已知幂函数 的图像不经过第二象限，并且函数 (a>0且a≠1)恒过定点的纵坐标为，则 【答案】8 6. 若不等式 对一切实数都成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 7. 设∈R, 方程|3-2|+|1-|=|2-1|的解集是 . 【答案】 8. 已知, 若, 则的最小值为 . 【答案】 9. 命题:“的充要条件是 是 命题. 【答案】真 10. 定义一种集合运算 nand为: AnandB={}, 设全集为U , 给定集合A与B，则仅使用 nand运算和A、B、U，可以表示下列集合中的 (填序号) ①A∪B; ②A∩B; ③. 【答案】①②③ 二. 单选题(每小题4分，共16分) 成立”是“成立”的( ) 条件. A.充分非必要 B.必要非充分 C.既非充分也非必要 D.充要 【答案】 12.若 下列不等式中： ① ②;③;④, 成立的有( )个. A.1 B.2 .3 D.4 【答案】 13. 若函数 的图像经过第一、三、四象限，则必有( ) A. B. C. D. 【答案】 14. 某食品的保鲜时间(单位：小时) 与储存温度 (单位：℃) 满足函数关系 为自然对数的底数，为常数)，若该食品在0℃的保鲜时间是192小 时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是( )小时 A.22 B.23 C.24 D.33 【答案】 1 学科网（北京）股份有限公司 三.解答题(第15题6分,第16题10分,第17题10分,第18题12分,第19题12分,共50分) 15. 已知全集为R, 集合A=(2,7), 集合B=(-∞,3]∪[5,+∞). (1) 求A∩B; (2) 若C={}, 且C∪A=A, 求实数的取值范围. 【解析】 (1) 或 , 所以 或 , 即 ; (2)因为 , 所以 , ①若 , 此时 ; ②若 , 此时需满足 , 不等式无解, 综上可知 . 16. 已知 . (1)当时, 求的取值范围; (2)求证: 中至少有一个不小于1. 【解析】 (1) 解 (2) 证明： 假设 都小于 1 , 即 交集为∅ 这与假设所得结论矛盾. 故假设不成立, ，c中至少有一个大于或等于 1 . 17. 为宣传2024年进博会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD，如图)上设计四个等高的宣传栏(栏面分别为两个等腰三角形(GH为底边) 和两个全等的直角三角形 (EF为底边) 且GH=2EF)，宣传栏(图中阴影部分) 的面积之和为36000cm². 为了美观，要求海报上所有水平方向 (包括各阴影部分之间的间隙) 和竖直方向的留空宽度均为10cm, 设EF= cm. (1) 当=100cm时, 求海报纸的面积; (2) 为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少(即矩形ABCD 的面积最小)? 【解析】 (1) 设阴影部分直角三角形的高为 , 所以阴影部分的面积: , 所以 , 即: , 由图像知: , (2)由 (1) 知: , 则 , 当且仅当 , 即 ,即 , 综上, 选择长宽分别为 的海报纸. 18. 已知是关于的一元二次方程 的两个实根. (1) 求实数的取值范围； (2) 是否存在实数，使 成立? 若存在，求出的值，若不存在，说明理由； (3) 若 求整数的值. 【解析】 (1) —元二次方程 有两个实数根, (2) 假设存在实数 , 使 成立. 但 , 所以不存在实数 , 使 成立. (3) , 要使其值是整数，只需 能被 4 整除即可，故 . 注意到 , 所以使 的值为整数的实数 的整数值为 . 19. 已知集合 中的元素都是正整数，且 。若对任意∈A, 且, 都有 成立，则称集合A具有性质M. (1) 判断集合{1,2,3}是否具有性质 M; (2) 已知集合{2,3,,10}具有性质 M, 且正整数 求证： 且 并求出的值； (3) 已知集合A具有性质M，求证： 并写出的最大值(猜想即可，无需证明). 【解析】： （1）由题意可得： 所以集合 具有性质 ; (2)证明: 因为 {2,3,,10}， 则有: 所以 , 可得: ,所以 所以10- , 可得: ，所以 即 又因为 （3）证明: 因为 , 则有: 当 时, , 符合题意; 当 时, 因为 且 , 所以 , 可得: , 所以 即 ; 综上所述: . $$