3.5 认识二元一次方程组（教学课件）-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（湘教版2024）

湘教版（2024）七年级数学上册 第三章 一次方程（组） 3.5 认识二元一次方程组 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1. 了解二元一次方程、二元一次方程组和它的一个解的含义. 2. 能根据简单的实际问题列二元一次方程组，会检验一对数是不是某个二元一次方程 (组) 的解. 3. 通过问题情境得出二元一次方程 (组)，体会方程 (组)是刻画现实世界的一个有效模型，同时培养学生探究创新的精神，增强合作交流的意识. 情景导入 前面我们已经知道本章3. 1节的“鸡兔同笼”趣题中存在两个等量关 系，并运用一元一次方程知识予以解决 . 若设兔有x只，鸡有y只，你能 根据两个等量关系列出两个方程吗？列出的方程还是一元一次方程吗？ 思 考 情景导入 该“鸡兔同笼”趣题中存在以下两个等量关系： 兔的只数＋鸡的只数＝35； (2) 兔的脚数＋鸡的脚数＝94. 设兔有x只，鸡有y只，则根据上述两个等量关系可列出以下两个方程： x + y = 35， 4x + 2y = 94. 新知探究 上述两个方程都含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1，这样的方程叫作二元一次方程. 要解决上述“鸡兔同笼”问题，(1)(2)两个等量关系需要同时成立，也即未知数x，y必须同时满足上述两个方程. 于是将两个方程联立，得 x + y = 35 ，① 4x + 2y = 94. ② 像这样，只含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程组叫作二元一次方程组. 做一做 x y (1) 把满足方程①，且符合问题的实际意义的x，y的值填入下表： 1 34 2 33 3 32 4 31 5 30 6 29 7 28 8 27 ··· ··· 9 26 10 25 11 24 12 23 13 22 (2)上表中存在哪对x，y的值满足方程②吗？若有，请指出. x=12，y=23既满足满足方程①，又满足方程②. x+y= 35两边的值相等，因而它们都是方程x+y=35的解 . 要注意的是， 如果不考虑方程x+y=35与前面实际问题的联系，那么x=-1，y=36/x=0. 5，y=34. 5/…也都是方程x+y=35的解. 一般地，使二元一次方程左右两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解. 一般地，一个二元一次方程有无数组解. 我们还发现，x=12，y=23既满足方程①，又满足方程②. 也就是说，x=12，y=23是方程①与方程②的公共解 . 于是，将这两个数写成（12，23）的形式，它就是由方程①和②组成的方程组的一个解. 一般地，对于未知数为 x，y 的二元一次方程组，若 x，y 分别用数 c1，c2 代入，能使每个方程左右两边的值相等，则把 (c1，c2) 叫作这个方程组的一个解. x＝c1， y＝c2， 习惯上记作 求方程组的解的过程叫作解方程组. 课本例题 例 小玲在文具店买了 3 本练习本，2 支圆珠笔，共花去 17 元，其中购买练习本比圆珠笔多花 1 元. (1) 设练习本的单价是 x 元，圆珠笔的单价是 y 元，试列出相应的二元一次方程组. x＝3 y＝4 (2) 是列出的二元一次方程组的一个解吗？ ∠1 = ∠2 分析：本题中等量关系如下： 购买练习本所花的钱＋购买圆珠笔所花的钱＝17 元， 购买练习本所花的钱－购买圆珠笔所花的钱＝1 元. 解：(1) 根据等量关系，得 3x＋2y＝17，① 3x－2y＝1. ② (2) 把 x 用 3，y 用 4 分别代入方程 ①② 可得： 方程 ① 左边的值是 3×3＋2×4＝17，方程①右边的值也是 17； 方程 ② 左边的值为 3×3－2×4＝1，方程②右边的值也是 1. x＝3 y＝4 因此， 是列出的二元一次方程组的一个解 课堂练习 1. 一艘轮船顺流航行的速度为24km/h，逆流航行的速度为18 km/h. 它在静水中的速度为x km/h，水的流速为y km/h，请列出相应的二元一次方程组. 解：根据题意，得 分析： 静水中的速度+水流的速度=顺流航行的速度； 静水中的速度－水流的速度=逆流航行的速度. 2. 若一个二元一次方程组的解为则这个方程 组可以是_________ （只要求写一个）. 3. 是二元一次方程组的解吗？ 解： 方程①左边的值是3×2-4×1=2，方程①右边的值也是2； 方程②左边的值是4×2-3×1=5，方程②右边的值是 6. 因此，该二元一次方程组的一个解. 把x用2，y用1分别代入方程①②可得： ① ② 左边=右边. 左边≠右边. 1.《九章算术》在《方程》一章里叙述一次方程组是由算筹布置而成的，书中算筹为竖排. 为了看图方便，我们改为横排，如图所示. 其中图(1)所示的算筹图表示方程组 则图(2) 所示的算筹图可以表示（ ） (A) (B) (C) (D) (1) (2) C 习题 3.5 2.《孙子算经》中记载有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问木长几何？”意思是：用绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木有多长？设长木长x尺，绳子长y尺，试根据题意列出相应的二元一次方程组. 解：根据题意，得 绳子长-长木长=4.5 长木长-绳子长的一半=1 等量关系： 分层练习-基础 知识点1　 二元一次方程的定义 1. 若 xa＋2＋ yb－1＝－3是关于 x ， y 的二元一次方程，则 a ， b 应满足(　C　) A. a ＝1， b ＝1 B. a ＝－1， b ＝1 C. a ＝－1， b ＝2 D. a ＝1， b ＝2 C 知识点2　 二元一次方程组的定义 2. 下列方程组中，是二元一次方程组的是(　D　) A. B. C. D. D 3. [母题教材P119习题T1] 《九章算术》中，一次方程组是由算筹布置而成的.如图①所示的算筹图，表示的方程组就是 类似的，图②所示的算筹图表示的方程组为(　C　) A. B. 答案：C C. D. 知识点3　 二元一次方程的解 4. [2023无锡]下列4组数中，不是二元一次方程2 x ＋ y ＝4的 解的是(　D　) A. B. C. D. D 5. [2024湘潭四中模拟]为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为150 cm的导线，将其全部截成10 cm和20 cm两种长度的导线用于实验操作(每种长度的导线至少一根)，则截取方案共有(　C　) A. 5种 B. 6种 C. 7种 D. 8种 　　设截成10 cm的导线 x 根，截成20 cm的导线 y 根. 根据题意，得10 x ＋20 y ＝150. 所以 x ＝15－2 y . 因为15－2 y ＞0，所以 y ＜7.5. 因为 y 是正整数， 所以 y 的值为1，2，3，4，5，6，7. 即截取方案共有7种. 【点拨】 C 【答案】 6. 已知是方程 ax ＋ by ＝3的解，则式子2 a ＋4 b －5的值为 ⁠. 【点拨】 　　将代入方程 ax ＋ by ＝3可得 a ＋2 b ＝3， 则2 a ＋4 b －5＝2( a ＋2 b )－5＝2×3－5＝1. 1　 知识点4　 二元一次方程组的解 7. 方程组的解是(　A　) A. B. C. D. A 8. 已知 x ， y 满足的方程组是则 x ＋ y 的值 为 ⁠. 【点拨】 　　 ②－①得 x ＋ y ＝5. 5　 易错点 对二元一次方程组的解理解不透彻，导致在说明解的意义时出错 9. 已知二元一次方程组下面说法正确的是(　A　) A. 同时满足方程①和方程②的 x ， y 的值是方程组的解 B. 满足方程①的 x ， y 的值是方程组的解 C. 满足方程②的 x ， y 的值是方程组的解 D. 满足方程①或方程②的 x ， y 的值一定是方程组的解 【点拨】 　　方程组的解一定同时满足方程①和方程②，方程①或 方程②的解不一定满足方程组.此题易错之处是认为满足 方程①或方程②的 x ， y 的值也满足方程组. A 【答案】 分层练习-巩固 利用二元一次方程的定义求字母的值 10. 若方程( m2－9) x2＋ x －( m ＋3) y ＝0是关于 x ， y 的二元 一次方程，则 m 的值为(　B　) A. ±3 B. 3 C. －3 D. 9 【点拨】 　　由题知 m2－9＝0，且 m ＋3≠0，解得 m ＝3.此题易 错之处在于求 m 的值时，忽略题目中的隐含条件 m ＋ 3≠0，从而导致取值出现±3两种结果. B 11. [2024株洲二中模拟]已知关于 x ， y 的方程( m2－4) x2＋( m ＋2) x ＋( m ＋1) y ＝ m ＋5. (1)当 m 为何值时，它是一元一次方程？ 当 m ＝－2时， m ＋2＝0， m ＋1≠0， 此时方程为一元一次方程； (2)当 m 为何值时，它是二元一次方程？ 【解】由题意得 m2－4＝0，解得 m ＝2或 m ＝－2. 当 m ＝2时，原方程可化为4 x ＋3 y ＝7， 此时方程为二元一次方程. 利用二元一次方程的解求解中字母的值 12. 若是二元一次方程4 x －3 y ＝10的一个 解，则 m ＝ ⁠. 【点拨】 　　将代入方程4 x －3 y ＝10中， 得4(3 m ＋1)－3(2 m －2)＝10，解得 m ＝0. 0　 13. 小明是一名爱动脑筋的同学，他经常利用课余时间钻研一些数学问题.有一次，他发现：对于任意有理数 m ，都是方程3 x －5 y ＋4＝0的解.你认为小明发现的结论正确吗？请说明理由. 【解】小明发现的结论正确.理由如下： 把代入方程3 x －5 y ＋4＝0的左边，得15 m ＋6－15 m －10＋4＝0，而方程右边＝0，所以左边＝右边，即小明发现的结论正确. 利用方程组解的定义探求二元一次方程组的解 14. 已知方程组 (1) x 分别取－3，－1，0，2，填写下表： 方程3 x ＋ y ＝－1的解 x －3 －1 0 2 y 8 2 －1 －7 8 2 －1 －7 方程2 x －3 y ＝－8的解 x －3 －1 0 2 y ​ 2 ​ 4 (2)根据(1)中的数据写出方程组的解. 【解】方程组的解为 ​ 2 ​ 4 分层练习-拓展 利用二元一次方程组的解探求整式的值 15. [新考法·情境辨析法]甲、乙两人共同解关于 x ， y 的方程 组解完以后有下面一段对话，请认 真阅读对话内容，然后求出 a2 025＋ 的值. 【解】把代入②，得－12＋ b ＝－2，解得 b ＝10. 把代入①，得5 a ＋20＝15， 解得 a ＝－1. 所以 a2 025＋ ＝(－1)2 025＋(－1)2 026＝0. 课堂小结 二元一次方程 ①每个方程含有__个未知数； ②含有未知数的项的次数______ 使二元一次方程左右两边的值 的两个 的值 二元一次方程组 ①含有__个未知数； ②含有未知数的项的次数______； ③一共有__个方程 二元一次方程组的两个方程的______ 两 都是 1 两 都是 1 两 相等 公共解 未知数 解 解 $$