3.5 认识二元一次方程组 课时作业 2026-2027学年湘教版数学 七年级上册

**基本信息** 该同步练习通过A、B、C三层设计，以概念理解为起点，逐步过渡到综合应用与创新拓展，构建“基础巩固-能力提升-拓展创新”的知识巩固路径，适配新授课教学，培养抽象能力、推理意识与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|二元一次方程（组）概念、解的判断与表示|选择填空为主，强化符号意识，如方程类型辨析、解的检验| |B组|含参数方程（组）、有限解求解、实际问题建模|解答题形式，突出推理能力，如参数值计算、正整数解探究| |C组|跨情境综合应用、新运算与整体思想|创新题型设计，发展模型意识，如购物方案列举、整体代入求值|

湘教版七年级数学上册　第3章　一次方程与方程组　3.5　认识二元一次方程组 第3章　一次方程与方程组 3.5　认识二元一次方程组　课时作业 班级：__________　　姓名：__________　　学号：__________　　得分：__________ 一、学习目标 1．理解二元一次方程、二元一次方程组的概念，能判断一个方程（组）是不是二元一次方程（组）。 2．理解二元一次方程的解、二元一次方程组的解的含义，会检验一对数值是不是方程（组）的解。 3．会求二元一次方程的正整数解（或非负整数解），知道二元一次方程有无数个解。 4．能根据简单实际问题中的两个等量关系列出二元一次方程组，体会方程组是刻画现实世界数量关系的有效模型。 二、知识梳理 知识点1　二元一次方程 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫作二元一次方程。 判断一个方程是不是二元一次方程，要同时满足三个条件：①方程两边都是整式（分母中不含未知数）；②含有且只含有两个未知数；③含未知数的项的次数都是1（未知数的系数不能为0）。 方程 是否为二元一次方程 理由 x+2y=5 是 满足三个条件 xy=6 否 含未知数的项xy的次数是2 x²+y=1 否 含未知数的项x²的次数是2 3x−2=7 否 只含一个未知数 x+y+z=4 否 含三个未知数 +y=3 否 分母中含有未知数，不是整式方程 −=1 是 分母中不含未知数，满足三个条件 一般地，二元一次方程可以化成ax+by=c（a≠0，b≠0）的形式。 知识点2　二元一次方程的解 适合一个二元一次方程的一对未知数的值，叫作这个二元一次方程的一个解。二元一次方程的解通常记作的形式。 例如，把x=1，y=2代入方程x+2y=5，左边=1+2×2=5=右边，所以是方程x+2y=5的一个解。 一个二元一次方程有无数个解。例如方程x+y=4，当x分别取0，1，2，3，4，…时，y的值如下表： x 0 1 2 3 4 5 −1 … y 4 3 2 1 0 −1 5 … 若对未知数的取值加以限制（如取正整数），则解的个数可能是有限的。例如方程x+y=4的正整数解只有3个：，，。 求二元一次方程的整数解的方法：先用含一个未知数的式子表示另一个未知数，再对其中一个未知数依次取值，求出另一个未知数的值，并检验是否符合要求。 知识点3　二元一次方程组 由两个一次方程组成并且含有两个未知数的方程组叫作二元一次方程组。书写时用大括号把两个方程合在一起，如。 注意：①方程组中的每个方程不一定都含有两个未知数，如也是二元一次方程组；②方程组中一共只能含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1。 知识点4　二元一次方程组的解 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫作这个二元一次方程组的解。 检验一对数值是不是方程组的解，要把它分别代入方程组中的每一个方程，只有两个方程都成立时，它才是方程组的解。 例如：把x=23，y=12代入方程组，第一个方程左边=23+12=35=右边，第二个方程左边=2×23+4×12=46+48=94=右边，所以是这个方程组的解。 知识点5　根据实际问题列二元一次方程组 列二元一次方程组的一般步骤：①审：弄清题意，找出题中的两个未知量和两个等量关系；②设：用两个字母分别表示两个未知量；③列：根据两个等量关系列出两个方程，组成方程组。 如图1，天平甲、乙都保持平衡，设每个“x”块的质量为x g，每个“y”块的质量为y g，根据天平甲可得2x+y=50，根据天平乙可得x+2y=40，所以可列方程组。 图1 知识点6　一元一次方程与二元一次方程（组）的比较 比较项目 一元一次方程 二元一次方程 二元一次方程组 未知数个数 1个 2个 共2个 未知数的次数 1 1 1 一般形式 ax=b（a≠0） ax+by=c（a≠0，b≠0） 由两个一次方程组成 解的个数 1个 无数个 一般只有1个 解的形式 x=a 说明：列一元一次方程解应用题时，只设一个未知数，要用含这个未知数的式子表示其他未知量；而列二元一次方程组时，可以设两个未知数，只需分别找出两个等量关系，列式往往更直接、更容易。 易错提醒 ① 判断二元一次方程时，要先化简再判断，如x(x+y)=x²+2y化简后为xy−2y=0，不是二元一次方程。 ② 形如(m−1)x|m|+y=3的方程是二元一次方程，要同时满足|m|=1和m−1≠0。 ③ 二元一次方程组的解必须同时满足方程组中的每一个方程，只满足其中一个方程的不是方程组的解。 ④ 书写方程的解时，要用大括号把x，y的值合在一起，表示它们是“一对”值。 ⑤ 列方程组时，设未知数要写清单位，两个方程要分别对应两个不同的等量关系。 知识结构 内容 要点 二元一次方程 两个未知数，含未知数的项次数都是1，整式方程 方程的解 使方程两边相等的一对未知数的值，有无数个 二元一次方程组 两个一次方程，共含两个未知数 方程组的解 方程组中各个方程的公共解 列方程组 审→设→列，找两个等量关系 三、典型例题精析 【例1】下列方程中，是二元一次方程的有（　　） ①x+y=6；②xy=3；③2x−=1；④x+=5；⑤3x=2y；⑥x²−y=0。 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【解析】①③⑤满足二元一次方程的三个条件；②中xy的次数是2；④中分母含有未知数；⑥中x²的次数是2。所以二元一次方程有3个。 【答案】B 【例2】若(m−1)x|m|+3y=5是关于x，y的二元一次方程，求m的值。 【解析】由二元一次方程的定义得|m|=1，且m−1≠0。 由|m|=1得m=1或m=−1；由m−1≠0得m≠1。所以m=−1。 【答案】m=−1 【例3】检验是不是方程组的解。 【解析】把x=2，y=−1代入方程x+y=1，左边=2+(−1)=1=右边； 代入方程2x−y=5，左边=2×2−(−1)=4+1=5=右边。 两个方程都成立，所以是方程组的解。 【例4】已知是方程组的解，求a，b的值。 【解析】方程组的解满足方程组中的每一个方程。 把x=1，y=2代入ax+y=5，得a+2=5，解得a=3； 把x=1，y=2代入x+by=7，得1+2b=7，解得b=3。 【答案】a=3，b=3 【例5】求方程x+2y=7的所有正整数解。 【解析】由x+2y=7得x=7−2y。 ∵x，y都是正整数，∴7−2y>0，y只能取1，2，3。 当y=1时，x=5；当y=2时，x=3；当y=3时，x=1。 【答案】正整数解为，，。 【例6】如图2，钢笔和笔记本的价格都是整数元。根据两张购物小票中的信息，设每支钢笔x元，每本笔记本y元，列出方程组，并检验是不是方程组的解。 图2 【解析】由小票①得3x+2y=34，由小票②得x+y=13，列方程组为。 把x=8，y=5代入：3×8+2×5=24+10=34，8+5=13，两个方程都成立。 所以是方程组的解，即每支钢笔8元，每本笔记本5元。 【例7】已知关于x，y的方程组的解中，x=5，求m的值和y的值。 【解析】把x=5代入第二个方程x−y=4，得5−y=4，解得y=1。 再把x=5，y=1代入第一个方程x+y=m，得m=5+1=6。 【答案】m=6，y=1 方法归纳 ① 判断二元一次方程：一看是否为整式方程，二看未知数个数，三看含未知数项的次数，必要时先化简。 ② 已知方程（组）的解，求字母系数：把解代入方程（组），得到关于字母系数的一元一次方程，再求解。 ③ 求二元一次方程的正整数解：先用一个未知数表示另一个未知数，再根据取值范围逐一试验。 ④ 列方程组：找准两个等量关系，常见的有“总数关系”“总价（总量）关系”“倍数或差值关系”。 ⑤ 整体代入：当不能求出字母的具体值时，考虑把某个式子看作整体代入求值。 四、课时作业 A组　基础巩固 一、选择题 1．下列方程中，是二元一次方程的是（　　） A．xy=3 B．x+=2 C．2x−3y=1 D．x²+y=0 2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 3．是下列哪个方程的解（　　） A．x+y=2 B．2x−y=0 C．x−y=1 D．x+2y=3 4．方程2x+y=5的正整数解有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 5．若3xm−1+2yn+1=7是关于x，y的二元一次方程，则m+n的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 6．已知是方程kx−y=3的解，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 7．下列各组数中，是方程组的解的是（　　） A． B． C． D． 8．某班有40名学生，男生比女生多4人。设男生有x人，女生有y人，则下列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 9．下列说法中，正确的是（　　） A．二元一次方程只有一个解 B．二元一次方程有无数个解 C．二元一次方程组有无数个解 D．方程组的解只需满足其中一个方程 10．用1元和5角的硬币共10枚，合计7元。设1元硬币有x枚，5角硬币有y枚，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知方程2x−y=3，用含x的式子表示y为________；用含y的式子表示x为________。 12．若是方程mx+2y=6的一个解，则m=________。 13．方程x+y=4的非负整数解共有________个。 14．若是方程2x−y=3的一个解，则4a−2b+1=________。 15．请写出一个解为的二元一次方程组：________________。 16．在方程2x+3y=12中，当x=3时，y=________；当y=0时，x=________。 17．甲、乙两数的和为20，甲数比乙数的2倍少1。设甲数为x，乙数为y，可列方程组为________________。 18．如图3，长方形的周长为24 cm，长比宽多2 cm，设长为x cm，宽为y cm，可列方程组为________________。 图3 B组　能力提升 三、解答题 19．已知(m−3)x+y|m|−2=1是关于x，y的二元一次方程，求m的值。 20．已知是方程3x+ay=8的一个解。 （1）求a的值； （2）再写出这个方程的两个整数解。 21．求方程x+3y=10的所有正整数解，并把结果填在表格中。 22．某景点的门票价格为：成人票每张30元，学生票每张15元。某旅游团共20人，买门票共花费450元。 （1）设成人有x人，学生有y人，列出方程组； （2）检验和是否为方程组的解，并说明旅游团中成人和学生各有多少人。 23．根据图1中的两个天平， （1）写出二元一次方程组； （2）小明认为“x”块的质量是20 g，“y”块的质量是10 g，他的说法对吗？请检验。 C组　拓展创新 24．求方程3x+2y=20的所有正整数解。 25．小华用100元钱购买单价为5元和10元的两种笔记本（两种都要买），钱恰好用完。设买5元的笔记本x本，买10元的笔记本y本。 （1）列出关于x，y的二元一次方程； （2）共有几种购买方案？请列举出来。 26．规定一种新运算“※”：x※y=ax+by（a，b是常数）。已知1※2=5，求3※6的值。 27．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y=3，小明发现：把两个方程的左边、右边分别相加，可以得到3x+3y=k−1。 （1）请利用这个发现求k的值； （2）当k=11时，检验是否为方程组的解。 五、参考答案与解析 A组　基础巩固 1．C　解析：A中xy的次数是2；B中分母含未知数；D中x²的次数是2。 2．C　解析：A中含三个未知数；B中xy的次数是2；D中分母含未知数。 3．B　解析：把x=1，y=2代入2x−y，得2×1−2=0，方程成立。 4．B　解析：y=5−2x，x=1时y=3；x=2时y=1；x=3时y=−1（舍去）。共2个。 5．C　解析：由m−1=1得m=2，由n+1=1得n=0，所以m+n=2。 6．B　解析：把x=2，y=1代入得2k−1=3，解得k=2。 7．B　解析：把x=1，y=2代入两个方程：1+2=3，2×1−2=0，都成立。 8．B 9．B 10．B　解析：5角=0.5元，硬币总数为10枚，总钱数为7元。 11．y=2x−3；x= 12．2　解析：2m+2=6，m=2。 13．5　解析：，，，，，共5个。 14．7　解析：由题意得2a−b=3，所以4a−2b+1=2(2a−b)+1=2×3+1=7。 15．答案不唯一，如 16．2；6 17． 18． B组　能力提升 19．解：由题意得|m|−2=1，且m−3≠0。 由|m|−2=1得|m|=3，m=3或m=−3；又m≠3，所以m=−3。 20．解：（1）把x=2，y=−1代入3x+ay=8，得6−a=8，解得a=−2。 （2）方程为3x−2y=8，即y=。当x=0时，y=−4；当x=4时，y=2。 所以方程的两个整数解可以是，（答案不唯一）。 21．解：由x+3y=10得x=10−3y。∵x，y都是正整数，∴y可以取1，2，3。 y 1 2 3 x 7 4 1 所以方程的正整数解为，，。 22．解：（1）由人数关系得x+y=20，由钱数关系得30x+15y=450，方程组为。 （2）把x=10，y=10代入：10+10=20，30×10+15×10=450，两个方程都成立，是方程组的解。 把x=12，y=8代入：12+8=20，30×12+15×8=360+120=480≠450，不是方程组的解。 所以旅游团中有成人10人，学生10人。 23．解：（1）由天平甲得2x+y=50，由天平乙得x+2y=40，方程组为。 （2）对。把x=20，y=10代入：2×20+10=50，第一个方程成立；20+2×10=40，第二个方程也成立。 所以是方程组的解，小明的说法是对的。 C组　拓展创新 24．解：由3x+2y=20得y=。∵y是正整数，∴20−3x是正偶数，x应取正偶数，且3x<20。 当x=2时，y=7；当x=4时，y=4；当x=6时，y=1。 所以正整数解为，，。 25．解：（1）5x+10y=100，即x+2y=20。 （2）由x+2y=20得x=20−2y。∵x，y都是正整数，∴20−2y≥1，y可以取1，2，3，…，9。 对应的x分别为18，16，14，12，10，8，6，4，2。 所以共有9种购买方案：5元笔记本18本、10元笔记本1本；16本、2本；14本、3本；12本、4本；10本、5本；8本、6本；6本、7本；4本、8本；2本、9本。 26．解：由1※2=5得a+2b=5。 3※6=3a+6b=3(a+2b)=3×5=15。 方法点拨：本题虽然不能求出a，b的具体值，但可以把a+2b看作一个整体，整体代入求值。 27．解：（1）两个方程左右两边分别相加，得3x+3y=k−1，即3(x+y)=k−1。 ∵x+y=3，∴3×3=k−1，解得k=10。 （2）当k=11时，方程组为。 把x=5，y=−3代入：2×5+(−3)=7≠11，第一个方程不成立，所以不是方程组的解。 说明：由（1）可知，只有当k=10时方程组的解才满足x+y=3，而满足x+y=2，与k=11时3(x+y)=10矛盾，也可说明它不是方程组的解。 第 页　共 页 学科网（北京）股份有限公司 $