北京市育才学校2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

1 2024-2025 学年度第一学期 北京市育才学校八年级数学学科期中考试试卷 班级： 学号： 姓名： 一、选择题（每题 2分，共 16 分） 1．下面四个图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D． 2. 下列运算正确的是（ ） A. x3+x3=x6 B. 1052 xxx  C. 3666 )( xx  D. (2x2)2=2x4 3. 如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画了一个与书上 完全一样的三角形，那么亮亮画图的依据是（ ） A. SSS B. ASA C. SAS D. AAS 第 3题图 第 5题图 第 7 题图 第 8 题图 4. 下列说法错误．．的是（ ） A. 直角三角形两锐角互余 B. 直角边，斜边分别相等的两个直角三角形全等 C. 如果两个三角形全等，则它们一定是关于某条直线成轴对称 D. 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 5. 如图，已知△ABC≌△DEF，若∠A＝40°,∠DEF＝65°,则∠ACB的度数（ ）． A．105° B．95° C．75° D．115° 6．若一个多边形的内角和等于 720°，则这个多边形的边数是( ) A．5 B．6 C．7 D．8 7. 如图，战斗机在空中展示的轴对称队形. 以飞机所在直线为 x轴，队形的对称轴为 y轴， 建立平面直角坐标系. 若飞机 E的坐标为(40, a)，则飞机 D的坐标为（ ） 2 A.( 40,-a ) B. ( a,-40 ) C. (-40,-a ) D．(-40, a ) 8. 如图，以长方形 ABCD的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案. 若四个正 方形的周长之和为 24，面积之和为 12，则长方形 ABCD的面积为（ ） A．1 B．2 C． 3 2 D． 8 3 二、填空题（每题 2 分，共 16 分） 9. 在△ABC中，若∠A︰∠B︰∠C＝1︰2︰3，则∠A＝ ，∠B＝ . 10. 等腰三角形的一边长是 8，另一边长是 5，则周长为 ________________. 11．如图，已知 AB⊥BD，AB∥DE，AB=ED，要说明ΔABC≌ΔEDC，若以“SAS”为依据， 还要添加的条件为______________；若添加条件 AC=EC，则可以用_______公理（或定理）判 定全等. 第 11 题图 第 13 题图 第 15 题图 12．如果 qpxxxx  2)3)(2( ，那么 p= ,q= ． 13. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝58°，将∠A折叠，使点 A落在边 CB上 A’处， 折痕为 CD，则∠A’DB＝ . 14. 如果 kxx 8-2 是完全平方式，则 k的值是________. 15.如图所示的四边形均为长方形，请写出一个可以用图中图形的面积关系说明的正确等 式 ． 16. 如图，已知 MON ，在边ON 上顺次取点 1P ， 3P ， 5P …，在边OM上顺次取点 2P ， 4P ， 6P …，使得 1 1 2 2 3 3 4 4 5= = =OP P P P P P P P P …，得到等腰△ 1 2OP P ，△ 1 2 3P P P ，△ 2 3 4P P P ，△ 3 4 5P P P … （1）若 MON =30°，可以得到的最后一个等腰三角形是△ ； （2）若按照上述方式操作，得到的最后一个等腰三角形是△ 3 4 5P P P ，则 MON 的度数 的取值 范围是 ． E DCB A 3 三、解答题（共 68 分） 17. 计算 ：（每题５分，共 10 分） （1）  24232 )2( mmm  （2） )13)(2()4)(32(  xxxx 18. 因式分解：（每题５分，共 10 分） （1） 33 xyyx  （2） babba 32162 2  19.（本题 6 分）先化简，再求值：    22 3 (2 ) 2x y x y x y    ，其中 1 , 1 3 x y   . 20.（本题 6分）已知：如图，点 A、E、F、C在同一条直线上，DF=BE，∠B=∠D，AD∥BC． 求证：AE=FC． 21. （本题 9 分）如图，已知∠AOB和线段 MN，点 M，N在射线 OA，OB上. （1）尺规作图：作∠AOB的角平分线和线段 MN的垂直平分线，交于点 P，保留作图痕迹， 不写作图步骤； （2）连接 MP、NP，过 P作 PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为点 C和点 D，求证：MC=ND. 请 补全下列证明. 证明：P在线段 MN的垂直平分线上， NPMP  .（______________________________________） P在∠AOB的角平分线上，PC⊥OA，PD⊥OB， PDPC  .（______________________________________） 请补全后续证明. 4 22.（本题 7分） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（1，2），B（4，1）． （1）在图中标出点 A，点 B关于 x轴的对称点 A1，B1 的位置， （2）写出 A1，B1的坐标：A1 ，B1 ； （3）已知点 C在坐标轴上，且满足△ABC是等腰三角 形，则所有符合条件的点 C有 个， 并写出任意两 个符合条件的点 C的坐标：C1 ，C2 ． 23.（本题 8分）如图，已知：△OAB，△EOF都是等腰直角三角形，∠AOB=90°中，∠EOF=90°， 连接 AE、BF． 求证：（1）AE=BF； （2）AE⊥BF． 24. （本题 4 分）如图，在 44 的网格中有格点三角形，请在下面的图中画出与它成轴对称的 格点三角形，至少画出四个不同的方案，并画出对称轴．．．．．． 25. （本题 8分） （1）如图 1，在△ABC中，点 D为 BC的中点，若 AB=5，AC=3，求 AD的取值范围； （2）如图 2，在△ABC中，AB=AC，AB⊥AC，点 D是线段 BC上一动点，点 F为 BD的中点， AD=AE且 AD⊥AE，求 AF与 EC的数量关系，并说明理由； （3）如图 3，在△ABC中，AB=AC，点 D是△ABC内一点，点 E是 BD的中点，连 AE，作 AE⊥EF，若 DF=CF，直接写出∠BAC与∠DFC之间的关系是 . 5 图 1 图 2 图 3 四、选做题（共 10 分） 26. （本题 4分）观察下列等式： ① 1 11 1 2 1 2      ； ② 1 1 1 1 2 3 4 3 4      ； ③ 1 1 1 1 3 5 6 5 6      ； ④ 1 1 1 1 4 7 8 7 8      ； …… 根据上述规律回答下列问题： （1）第⑤个等式是 ； （2）第 n个等式是 （用含 n的式子表示，n为正整数）． 27. （本题 6分）在平面直角坐标系 xOy中，点 P,Q分别在线段 OA,OB上．如果存在点 M 使得 MP=MQ ，∠MPQ=∠AOB（M，P，Q逆时针排列），则称点 M是线段 PQ的“关联点”． 如图１，点 M是线段 PQ的“关联点”． （1）如图２，已知点 A（4，4），B（8,0），点 P与点 A重合． ① 当点 Q是线段 OB中点时，在 1M （4,2）， 2M （6,2）中，其中是线段 PQ的“关联点” 的是 ； ② 已知点 M（8,4）是线段 PQ的“关联点”，则点 Q的坐标是 ． （2）如图 3，已知 OA=OB=4，∠AOB=60°． ①当点 P与点 A重合，点 Q在线段 OB上运动时（点 Q不与点 O重合），若点 M是线段 PQ的“关联点”，求证：BM∥OA； 6 ②当点 P，Q分别在线段 OA，OB上运动时，直接写出线段 PQ的“关联点” M形成 的区域的周长． 8 2024-2025 学年度第一学期 北京市育才学校八年级数学学科期中考试参考答案 一、选择题（每题 2 分，共 16 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C B C C B D C 二、填空题（每题 2 分，共 16 分） 题号 9 10 11 12 13 答案 30°；60° 18 或 21 BC=DC；HL 1；-6 26° 题号 14 15 16 答案 16 答案不唯一 如： 22 32)2)( babababa （ 18°≤α＜22.5° 321 PPP 三、解答题（共 68 分） 17.（每题５分，共 10 分） 解：原式 8268 mmm  ...............................................2分 888 mm  ...............................................4分 ...............................................5分 （2） )13)(2()4)(32(  xxxx 解：原式  26312832 22  xxxxxx ...............................................2分  25312112 22  xxxx ...............................................3分 25312112 22  xxxx ...............................................4分 14162  xx ...............................................5分 18. （每题５分，共 10 分） （1)解：原式 )( 22 yxxy  ...............................................2分 ))(( yxyxxy  ...............................................5分 （2）解：原式 )168(2 2  aab ...............................................2分 2)4(2  ab ...............................................5分 19.（本题 6 分） 解：    22 3 (2 ) 2x y x y x y    = 2 2 2 24 12 9 (4 )x xy y x y    ………………………2分 = 2 2 2 24 12 9 4x xy y x y    ………………………3分 = 212 10xy y ………………………-4分 当 1 , 1 3 x y   时 原式= 2 112 ( 1) 10 ( 1) 3       ………………………5分 =6………………………6分 20.（本题 6 分） 证明：∵AD∥BC ∴∠A =∠C………………………1分 在△ADF和△CBE中 A C D B DF BE        ∴△ADF≌△CB（AAS）………………………4分 ∴AF=CE …………………5分 ∴ AE=CF …………………6分 21. （本题 9 分） （1） ................................................................4分 （2）如图所示， 证明：P在线段 MN的垂直平分线上， NPMP  .（垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等）........................................5分 P在∠AOB的角平分线上，PC⊥OA，PD⊥OB， PDPC  .（角平分线上的点到角的两边的距离相等） ........................................................6分 补全证明如下： PC⊥OA，PD⊥OB， .90 PDNPCM ...............................................................7分 在 Rt△PCM和 Rt△PDN中，      , , PDPC PNPM Rt△PCM≌Rt△PDN（HL）....................................................8分 MC =ND. ....................................................9分 22.（本题 7分） （1）画出 A1， B1....................................................2分 （2）（1，-2） （4，-1）....................................................4分 （3）7；（0，5）、（1，0）（答案不唯一）....................................................7分 23.（本题 8分） （1）证明： ∵△OAB，△EOF都是等腰直角三角形 ∴OE=OF,OA=OB,∠AOB=∠EOF=90°...................................2分 ∴∠AOB-∠EOB=∠EOF-∠EOB 即：∠AOE=∠BOF..................................3分 在△OAE与△OBF中         OFOE BOFAOE BOA 0 ∴△OAE≌△OBF（SAS） ..................................4分 ∴AE=BF ..................................5分 （2）∵△OAE≌△OBF（SAS） ∴∠EAO=∠OBF ∵∠MNO=∠OBF+∠BMN=∠EAO+∠AOB..................................6分 ∴∠BMN=∠AOB=90°..................................7分 ∴AE⊥BF..................................8分 MN         BDCD EDBADC EDAD         BFDF GFBAFD GFAF 24. （本题 4 分）答案不唯一，如： 25. （本题 8分） （1）图 1 解： 延长 AD至点 E，使 DE=DA，连接 BE ∵点 D为 BD的中点 ∴BD=CD 在△ADC和△EBD中， ∴△ADC≌△EBD（SAS） 图 1 ∴EB=AC=3 在△ABE中， BEABAEBEAB  ∴2＜2AD＜8 ∴1＜AD＜4................................................................................3分 （2）图 2,延长 AF至点 G，使 GF=FA，连接 BG ∵F是 BD中点 ∴BF=DF 在△AFD和△GFB中 ∴△AFD≌△GFB（SAS） 图 2         CAAB CAEABG BGAE ∴∠GBD=∠ADB，AD=BG ∵AB=AC且 AB⊥AC ∴△ABC是等腰直角三角形 ∴∠ABC=∠ACB=45° ∵∠ADB=∠DAC+∠ACB=∠DAC+45° ∴∠ABG=∠ABC+∠GBD=∠DAC+90° ∵AE⊥AD ∴∠EAD=90° ∴∠EAC=∠DAC+90° ∴∠ABG=∠EAC 在△ABG和△CAE中， ∴△ABG≌△CAE（SAS） ∴AG=CE ∴2AF=CE....................................................................................6分 （3）∠BAC+∠DFC=180° ......................................................8分 四、选做题（共 10 分，其中 26 题 4 分，27 题 6 分） 26. （本题 4 分） （1） 109 1 10 1 9 1 5 1   .............................................2 分 （2） )12(2 1 2 1 12 11     nnnnn .....................................4分 27.（本题 6分） 解：（1） ① 2M ...........................................................1分 ② (8,0) ....................................................................................2分 （2）①证明：如图 3中， 4AO OB  ， 60AOB  ， AOB 是等边三角形， MA MQ ， 60AQM  ， AQM 是等边三角形， AO AB  ， AQ AM ， 60OAB QAM    ， OAQ BAM   ， ( )OAQ BAM SAS   ， 60AOQ ABM     ， 60OAB ABM     ， / /BM OA ；...................................................................5分 ②线段 PQ的“关联点” M 形成的区域的周长为 16．.....................................................6分