精品解析：广东省广州市第六中学2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

2024学年初三上学期期中考联考试卷数学 本试卷共4页，25小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、座位号填写在答题卡上．用2B铅笔把考号填涂在答题卡相应位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 将方程化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 5，7， B. ，7，1 C. 5，， D. 5，，0 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，首先要把方程化成一般形式即可求解，解题的关键是理解，一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：∵方程化成一般形式是， ∴二次项系数、一次项系数和常数项分别为、、， 故选：D． 2. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．据此判断即可． 【详解】解：选项A、B、C不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项D能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：D． 3. 已知二次函数，若随着的增大而增大，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象的性质，熟练掌握二次函数的图象的性质是解题关键．先判定二次函数的开口方向和对称轴，利用开口方向即可得出二次函数的图象的增减性，即可解答． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴在对称轴右侧随着的增大而增大， ∴的取值范围是， 故选：B． 4. 如图，圆心角，则圆周角的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．欲求圆周角，又已知一圆心角，可利用圆周角与圆心角的关系求解． 【详解】解：，， ； 故选：B． 5. 将二次函数图象向左平移个单位，再向下平移个单位后，所得图象的函数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移规律，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标． 抛物线平移不改变的值，由抛物线的顶点坐标即可得出结果． 【详解】解：原抛物线的顶点为，向左平移个单位，再向下平移个单位，那么新抛物线的顶点为， 可设新抛物线的解析式为：， 代入得：， 所得图象的解析式为：， 故选：C． 6. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（　　） A. 2025 B. 2024 C. 2023 D. 2022 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，本题的关键是明确两根之和为．先根据一元二次方程根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根， ， ， 故选：A． 7. 如图，在中，，，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点B之间的距离为（ ） A. 2 B. 4 C. 2 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据已知条件以及旋转的性质可得，进而可得是等边三角形，可得旋转角为60°，即可得是等边三角形，即可求解． 【详解】如图，连接 将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上， ，， 又， 是等边三角形， 旋转角， ， 是等边三角形， ， 在中，，，， ， ， ， 点与点B之间的距离为， 故选：C 【点睛】本题考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，找到旋转角是解题的关键． 8. 观察表格，估算一元二次方程的近似解： x 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.19 0.44 由此可确定一元二次方程.的一个近似解x的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的估算，解题的关键是根据表格数据找出位于哪两个数之间即可． 【详解】解：由表格可知， 当时，与时， ∴时，， 故选C． 9. 在同一平面直角坐标系中，函数和（是常数，且）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，掌握二次函数与一次函数的图象与性质是关键． 首先观察各选项中的一次函数的图象，得到字母系数的正负性，然后再将字母系数的正负性与二次函数的开口方向相比较，看是否一致，不能判断的需同时结合二次函数的对称轴进行验证，由此即可作出判断. 【详解】解：A、由一次函数的图象可得，此时二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，故该选项错误； B、由一次函数的图象可得，此时二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，故该选项正确； C、由一次函数的图象可得，此时二次函数的图象应该开口向下，故该选项错误； D、由一次函数的图象可得，此时二次函数的图象应该开口向上，故该选项错误； 故选：B． 10. 如图，为直径，，C、D为圆上两个动点，N为中点，于M，当C、D在圆上运动时保持，则的长（　　） A. 随C、D的运动位置而变化，且最大值为4 B. 随C、D的运动位置而变化，且最小值为2 C. 随C、D的运动位置长度保持不变，等于2 D. 随C、D的运动位置而变化，没有最值 【答案】C 【解析】 【分析】连接：、、，证明O、N、C、M四点共圆，求得，再根据等边三角形的性质可得． 【详解】解；连接：、、． ∵N是的中点， ∴，． 又∵， ∴． ∴O、N、C、M四点共圆． ∴． ∴． 又∵， ∴为等边三角形． ∴． 故选：C． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质，圆的性质，解题的关键是是作辅助线并运用圆的性质以及等边三角形的性质解答． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的根，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程得到待定系数的方程即可求得代数式的值． 将代入到中求得的值，然后求代数式的值即可． 【详解】解：将代入方程，得， ， ． 故答案为1. 12. 如图，将一个含角的直角三角板绕点 A顺时针旋转至，使得B，A，三点在同一条直线上，则旋转角的度数是______． 【答案】##150度 【解析】 【分析】本题考查旋转性质，根据旋转性质得旋转角，然后利用邻补角定义求解即可． 【详解】解：由题意，旋转角， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 用反证法证明“已知，，则”时，应假设：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反证法，掌握反证法的步骤是解题的关键．反证法的步骤先假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立，据此解答即可． 【详解】解：原命题的结论是，其反面为，因此应假设． 故答案为：． 14. 以原点为位似中心，作的位似图形，与相似比为，若点的坐标为，点的对应点为，则点的坐标为___． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．根据位似变换的性质计算即可． 【详解】解：与相似比为3，若点的坐标为， 点的坐标为或， 点的坐标为或， 故答案为：或． 15. 如图，小量角器的0°刻度线在大量角器的0°刻度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上．如果它们外缘边上的公共点P在大量角器上对应的度数为40°，那么在小量角器上对应的度数为______．（只考虑小于90°的角度） 【答案】70° 【解析】 【分析】设大量角器的左端点为A，小量角器的圆心为B．利用三角形的内角和定理求出∠PBA的度数．然后根据圆的知识可求出小量角器上对应的度数． 【详解】解：设大量角器的左端点是A，小量角器的圆心是B，连接AP，BP，则∠APB=90°，∠PAB=20°，因而∠PBA=90°-20°=70°，在小量角器中弧PB所对的圆心角是70°，因而P在小量角器上对应的度数为70°． 故答案为70°； 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角是90度．能把实际问题转化为数学问题是解决本题的关键． 16. 已知抛物线（，，是常数，） ①若抛物线的顶点在第二象限，且，，则当时，随的增大而增大； ②若抛物线开口向下，顶点在第二象限，且，对称轴是，方程有整数根，则对应的值有个； ③若对任意实数都有，则； ④若，在抛物线上，则当时，． 上述结论中，一定正确的是___． 【答案】②④ 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关键，关键是要牢记抛物线图象和系数的关系，牢记判别式的性质．根据抛物线的顶点在第二象限，可得抛物线的对称轴在轴的左侧，再根据，可得抛物线的与轴的一个交点为，得出，设抛物线与轴的另一个交点为，根据根与系数的关系得出，进而得出抛物线对称轴在的左边，即可判断①，由，可得抛物线的与轴的一个交点为，再由对称轴是，可得抛物线的与轴的另一个交点为，再由方程有整数根，可得抛物线与交点横坐标为整数，即可判断②，由对任意实数都有，即，可得且，即，可得，即可判断③，由，在抛物线上，可得抛物线对称轴为，即，可得当时，．，即可判断④， 【详解】解：①抛物线的顶点在第二象限， 抛物线的对称轴在轴的左侧， ， 抛物线的与轴的一个交点为，则得出，抛物线开口向下， 设抛物线与轴的另一个交点为 ∴，即 ∴抛物线的对称轴为直线，即抛物线对称轴在的左边， 故①错误 ②， 抛物线的与轴的一个交点为， 对称轴是， 抛物线的与轴的另一个交点为， 方程有整数根， 抛物线与交点横坐标为整数， 与交点横坐标为和，或者与交点横坐标为， 对应的值有个， 故②正确； ③对任意实数都有，即， 且， 即， 可得， 故③错误； ④，在抛物线上， 抛物线对称轴为，即， 当时，． 故④正确； 故答案为：②④． 三、解答题（共72分） 17. 解一元二次方程：x2+4x﹣5＝0． 【答案】x1＝﹣5，x2＝1 【解析】 【分析】利用因式分解法解方程． 【详解】(x+5)(x﹣1)＝0， x+5＝0或x﹣1＝0， 所以x1＝﹣5，x2＝1． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 18. 如图，在中，，． 将绕点B按逆时针方向旋转得，使点C落在AB边上，点A的对应点为点D，连接AD，求的度数． 【答案】25度 【解析】 【分析】此题主要考查了旋转的性质，同时也利用了等腰三角形的性质，解题的关键是会确定旋转角．由旋转得，通过等腰三角形及直角三角形可求度数，进而求的度数． 【详解】证明：是由旋转得到 ，， ， 19. 已知关于的一元二次方程有实数根，是否存在实数，使方程的两个实数根的平方和等于？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】 【解析】 【分析】本题综合考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，若一元二次方程的两个根为，，则；若一元二次方程有实数根，则．先根据根与系数的关系得到，解出方程，再根据根的判别式判断即可． 【详解】解：设方程的两个实数根为，， 则， ， 令，即， 解得：，， 方程有实数根， ， 即：， 综上所述：． 20. 如图，点，，，在在中，若，求证：． 【答案】 证明： ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了弧与弦之间的关系，根据同圆中，等弧所对的弦相等，反之亦然，先证明，进而证明，则． 【详解】略 21. 如图，已知坐标系中． （1）画出关于原点O对称的； （2）直接写出各顶点的坐标． 【答案】（1） 解：如图所示：即为所求： （2） 【解析】 【分析】本题考查了中心对称的相关知识点，熟记相关结论是即可． （1）确定各顶点关于原点O的对称点即可完成作图； （2）关于原点O对称的两点，其横、纵坐标均互为相反数，据此即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）中图可得： 22. 某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．建立如图所示的平面直角坐标系，设距水枪水平距离为x米，水柱距离湖面高度为y米．现测量得到如下数据，喷泉最高点距离湖面的高度为5.6米． x（米） 0 1 2 3 4 y（米） 2.0 4.0 5.2 5.6 5.2 请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： （1）求该抛物线的函数表达式； （2）求喷泉的落水点距水枪的水平距离． 【答案】（1）抛物线的表达式为 （2）喷泉的落水点距水枪的水平距离为米 【解析】 【分析】（1）由表格中的数据可知抛物线的顶点，利用待定系数法求出二次函数的关系式即可； （2）把代入解方程即可． 【小问1详解】 解：由题可知喷泉最高点距离湖面的高度为5.6米； 可设抛物线的函数表达式为． 将代入， 得， ∴抛物线的表达式为． 【小问2详解】 由题可知，当喷泉落水时．即， 解得，（舍去）． 所以喷泉的落水点距水枪的水平距离为米． 23. 如图，△ABC的边AB为⊙O的直径，BC与圆交于点D，D为BC的中点，过D作DE⊥AC于E． （1）求证：DE为⊙O的切线； （2）若AB＝13，CD＝5，求CE的长． 【答案】（1）证明：连接OD； ∵D为BC的中点，O为AB的中点， ∴ODAC； ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∴DE是圆O的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）如图，作辅助线；证明ODAC；由DE⊥AC，得到DE⊥AC，即可解决问题． （2）如图，作辅助线；证明AC＝AB＝13；证明△CDE∽△CAD，得到，求出CE的长即可解决问题． 【详解】解：（1）略 （2）∵AB是直径， ∴AD⊥BC； ∵D为BC的中点， ∴AD是BC的垂直平分线， ∴AC＝AB＝13； ∵∠C＝∠C，∠DEC＝∠ADC＝90°， ∴△CDE∽△CAD， ∴，而AC＝AB＝13，CD＝5， ∴CE＝． 【点睛】此题主要考查圆的切线的判定与性质综合，解题的关键是熟知相似三角形的判定与性质、圆的切线的判定定理． 24. 【模型提出】如图①，已知线段的长度为4，在线段所在直线外有一点C，且．想确定满足条件的点C的位置，可以以为底边构造一个等腰直角三角形，再以点O为圆心，长为半径画圆，则点C在的优弧上．即：若线段的长度．已知的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型． 【模型应用】如图②，在正方形中，，点E、F分别是边上的动点，，连接，与交于点G． （1）求证：； （2）点E从点B到点C的运动过程中，点G经过的路径长为______； （3）若点I是的内心，连接，则线段的最小值为______． 【答案】（1） 证明：在正方形中，，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，可得，从而得到，即可求证； （2）根据，可得点G在以为直径的圆上运动，取的中点O，则，以点O为圆心，以2为半径画，连接相交于点，连接，则，连接，则，进而得到点在上，继而得到点G的路径为，求出的长度，即可求解； （3）根据点I是的内心，可得，作的外接圆，连接，过点O作的延长线于点M，则点I在上运动，再证得是等腰直角三角形，可得，进而得到是等腰直角三角形，可得到，连接，与交于点，当点I与点重合时，此时线段最短，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图②，由（1）得， 点G在以为直径的圆上运动，取的中点O，则， 以点O为圆心，以2为半径画，连接相交于点，连接，则，连接，则， ∴点在上， 当E与B重合时，F与C重合，则G与B重合， 当E与C重合时，F与D重合，则G与重合， ∴点G的路径为， ∵，O为的中点， ∴， ∴， ∴的长度为， 即点G经过的路径为； 故答案为： 【小问3详解】 解：如图，连接， ∵点I是的内心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 作的外接圆，连接，过点O作的延长线于点M，则点I在上运动， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 连接，与交于点， 当点I与点重合时，此时线段最短， ∵， ∴， 即线段最小值为． 故答案为： 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直的定义，圆周角定理，弧长公式，三角形出内心及外接圆，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 25. 如图1，经过原点的抛物线（、为常数，）与轴相交于另一点．直线：在第一象限内和此抛物线相交于点，与抛物线的对称轴相交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）直线沿着轴向右平移得到直线，与线段相交于点，与轴下方的抛物线相交于点，过点作轴于点．把沿直线折叠，当点恰好落在抛物线上时（图2），求直线的解析式； （3）如图3，连接，把绕点顺时针旋转得到，在抛物线对称轴上是否存在点，使是为以为腰的等腰三角形，若存在，请直接写出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或或或 【解析】 【分析】（1）根据一次函数上点的特征求得点的坐标，再根据待定系数法求抛物线解析式即可； （2）根据抛物线的解析式求得抛物线的对称轴为，设直线的解析式为，可得点，根据点的坐标可推得为等腰直角三角形，结合对称的性质和正方形的判定可得四边形是正方形，根据正方形的性质可求得点的坐标，结合二次函数的性质可得，列一元二次方程求解即可得到的值，即可得出答案； （3）根据旋转可得，求得，，根据等腰三角形的顶点分情况讨论，结合勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：∵直线：在第一象限内和此抛物线相交于点， 把代入得，， ∴； ∵抛物线与轴相交于另一点，与直线相交于点， ∴把，代入，得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：如图，过点作轴交于点，交直线于点， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设直线的解析式为， ∵直线与轴相交于点， 将代入得， ∴点， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， 即直线与轴和轴的夹角是， ∵直线沿着轴向右平移得到直线，且轴， ∴，， 根据题意可知，是沿直线折叠得到的， ∴，，，， ∵，， ∴四边形是正方形， ∴， 故点的横坐标为， ∵点在抛物线上， 则，即， ∵四边形是正方形， ∴轴， ∴点与点关于抛物线的对称轴对称， 即， 故， 整理得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴直线的解析式为． 【小问3详解】 解：如图，直线交轴于点，作于点，则， 由旋转得，， ∴，， 若点为等腰三角形的顶点，则存在两个满足条件的点： 当时，在中，， ∴； 当时，在中，， ∴； 若点为等腰三角形的顶点，则存在两个满足条件的点： 当时，在中，， 则 ∴； 当时，在中，， 则 ∴； 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数上点的特征，待定系数法求二次函数解析式，平移的性质，旋转的性质，轴对称的特征，正方形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理等，能够根据等腰三角形的定义进行分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年初三上学期期中考联考试卷数学 本试卷共4页，25小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、座位号填写在答题卡上．用2B铅笔把考号填涂在答题卡相应位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 将方程化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 5，7， B. ，7，1 C. 5，， D. 5，，0 2. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 已知二次函数，若随着的增大而增大，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，圆心角，则圆周角的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 将二次函数图象向左平移个单位，再向下平移个单位后，所得图象的函数是（　　） A. B. C. D. 6. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（　　） A. 2025 B. 2024 C. 2023 D. 2022 7. 如图，在中，，，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点B之间的距离为（ ） A. 2 B. 4 C. 2 D. 2 8. 观察表格，估算一元二次方程的近似解： x 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.19 0.44 由此可确定一元二次方程.的一个近似解x的范围是（ ） A. B. C. D. 9. 在同一平面直角坐标系中，函数和（是常数，且）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，为直径，，C、D为圆上两个动点，N为中点，于M，当C、D在圆上运动时保持，则的长（　　） A. 随C、D的运动位置而变化，且最大值为4 B. 随C、D的运动位置而变化，且最小值为2 C. 随C、D的运动位置长度保持不变，等于2 D. 随C、D的运动位置而变化，没有最值 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为______． 12. 如图，将一个含角的直角三角板绕点 A顺时针旋转至，使得B，A，三点在同一条直线上，则旋转角的度数是______． 13. 用反证法证明“已知，，则”时，应假设：______． 14. 以原点为位似中心，作的位似图形，与相似比为，若点的坐标为，点的对应点为，则点的坐标为___． 15. 如图，小量角器的0°刻度线在大量角器的0°刻度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上．如果它们外缘边上的公共点P在大量角器上对应的度数为40°，那么在小量角器上对应的度数为______．（只考虑小于90°的角度） 16. 已知抛物线（，，是常数，） ①若抛物线的顶点在第二象限，且，，则当时，随的增大而增大； ②若抛物线开口向下，顶点在第二象限，且，对称轴是，方程有整数根，则对应的值有个； ③若对任意实数都有，则； ④若，在抛物线上，则当时，． 上述结论中，一定正确的是___． 三、解答题（共72分） 17. 解一元二次方程：x2+4x﹣5＝0． 18. 如图，在中，，． 将绕点B按逆时针方向旋转得，使点C落在AB边上，点A的对应点为点D，连接AD，求的度数． 19. 已知关于的一元二次方程有实数根，是否存在实数，使方程的两个实数根的平方和等于？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 20. 如图，点，，，在在中，若，求证：． 21. 如图，已知坐标系中． （1）画出关于原点O对称的； （2）直接写出各顶点的坐标． 22. 某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．建立如图所示的平面直角坐标系，设距水枪水平距离为x米，水柱距离湖面高度为y米．现测量得到如下数据，喷泉最高点距离湖面的高度为5.6米． x（米） 0 1 2 3 4 y（米） 2.0 4.0 5.2 5.6 5.2 请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： （1）求该抛物线的函数表达式； （2）求喷泉的落水点距水枪的水平距离． 23. 如图，△ABC的边AB为⊙O的直径，BC与圆交于点D，D为BC的中点，过D作DE⊥AC于E． （1）求证：DE为⊙O的切线； （2）若AB＝13，CD＝5，求CE的长． 24. 【模型提出】如图①，已知线段的长度为4，在线段所在直线外有一点C，且．想确定满足条件的点C的位置，可以以为底边构造一个等腰直角三角形，再以点O为圆心，长为半径画圆，则点C在的优弧上．即：若线段的长度．已知的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型． 【模型应用】如图②，在正方形中，，点E、F分别是边上的动点，，连接，与交于点G． （1）求证：； （2）点E从点B到点C的运动过程中，点G经过的路径长为______； （3）若点I是的内心，连接，则线段的最小值为______． 25. 如图1，经过原点的抛物线（、为常数，）与轴相交于另一点．直线：在第一象限内和此抛物线相交于点，与抛物线的对称轴相交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）直线沿着轴向右平移得到直线，与线段相交于点，与轴下方的抛物线相交于点，过点作轴于点．把沿直线折叠，当点恰好落在抛物线上时（图2），求直线的解析式； （3）如图3，连接，把绕点顺时针旋转得到，在抛物线对称轴上是否存在点，使是为以为腰的等腰三角形，若存在，请直接写出点坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $