精品解析：江苏省扬州中学教育集团树人学校2022-2023学年八年级上学期数学期末考试试题

2022-2023学年八上数学期末模拟试卷 考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上． 2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号． 3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 尺规作图作的平分线方法如下：以为圆心，任意长为半径画弧交、于、，再分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线由作法得的根据是（ ） A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS 2. 为祝福祖国70周年华诞，兴义市中等职业学校全体师生开展了以“我和我的祖国、牢记初心和使命”为主题的演讲比骞，为奖励获奖学生，学校购买了一些钢笔和毛笔，钢笔单价是毛笔单价的1.5倍，购买钢笔用了1200元，购买毛笔用了1500元，购买的钢笔数比毛笔少35支，钢笔、毛笔的单价分别是多少元？如果设毛笔的单价为x元/支，那么下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列判定直角三角形全等的方法，错误的是（ ） A. 两条直角边对应相等 B. 斜边和一锐角对应相等 C. 斜边和一直角边对应相等 D. 两锐角对应相等 4. 下面是某同学在一次作业中的所做的部分试题：①3m+2n=5mn；②；③； ④； ⑤ ⑥，其中正确的有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 5. 如图，在正方形中，为对角线，为上一点，过点作，与、分别交于点、，为的中点，连接、、、．下列结论：①；②；③；④若，则，其中结论正确的有（ 　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 下列语句是命题的是( ) (1)两点之间，线段最短． (2)如果，那么吗? (3)如果两个角的和是90度，那么这两个角互余． (4)过直线外一点作已知直线的垂线． A. (1)(2) B. (3)(4) C. (1)(3) D. (2)(4) 7. 随着电子技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占有面积0.00000065mm2，0.00000065用科学记数法表示为 A. 6.5×107 B. 6.5×10－6 C. 6.5×10－8 D. 6.5×10－7 8. 已知一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形是（　　） A. 九边形 B. 八边形 C. 七边形 D. 六边形 9. 下列命题中，属于真命题的是（ ） A. 三角形的一个外角大于内角 B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C. 无理数与数轴上的点是一一对应的 D. 对顶角相等 10. 将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板的一条直角边在同一条直线上，则图中∠的度数是（ ） A. 75° B. 65° C. 55° D. 45° 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 若多项式分解因式的结果为，则的值为__________． 12. 如图，一架长25m的云梯，斜靠在墙上，云梯底端在点A处离墙7米，如果云梯的底部在水平方向左滑动8米到点B处，那么云梯的顶端向下滑了_____m． 13. 如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α=________°． 14. 在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“”作为一个六位数的密码．对于多项式，取，时，用上述方法产生的密码是：______写出一个即可． 15. 已知，则代数式的值为_________． 16. 在学校文艺节文艺汇演中，甲、乙两个舞蹈队队员的身高的方差分别是，，那么身高更整齐的是________填甲或乙队． 17. 如图，已知， 平分，为上任意一点，∥，交OB于D，于E．如果，则PE的长为______cm． 18. 分解因式：_________． 三、解答题（共66分） 19. 过正方形（四边都相等，四个角都是直角）的顶点A作一条直线． （1）当不与正方形任何一边相交时，过点B作于点E，过点作于点F，如图（1），请写出，，之间的数量关系，并证明你的结论． （2）若改变直线的位置，使与边相交如图（2），其它条件不变，，，的关系会发生变化，请直接写出，，的数量关系，不必证明； （3）若继续改变直线的位置，使与边相交如图（3），其它条件不变，，，的关系又会发生变化，请直接写出，，的数量关系，不必证明． 20. （1）计算： （2）计算： 21. 张康和李健两名运动爱好者周末相约到丹江环库绿道进行跑步锻炼. （1）周日早上点，张康和李健同时从家出发，分别骑自行车和步行到离家距离分别为千米和千米的绿道环库路入口汇合，结果同时到达，且张康每分钟比李健每分钟多行米，求张康和李健的速度分别是多少米分？ （2）两人到达绿道后约定先跑千米再休息，李健的跑步速度是张康跑步速度的倍，两人在同起点，同时出发，结果李健先到目的地分钟. ①当，时，求李健跑了多少分钟？ ②求张康的跑步速度多少米分？（直接用含，的式子表示） 22. 第7届世界军人运动会于2019年10月18日在武汉开幕，为备战本届军运会，某运动员进行了多次打靶训练，现随机抽取该运动员部分打靶成绩进行整理分析，共分成四组：(优秀)、(良好)、(合格)、(不合格)，绘制了如下不完整的统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)直接写出本次统计成绩的总次数和图中的值. (2)求扇形统计图中(合格)所对应圆心角的度数. (3)请补全条形统计图. 23. 如图，在矩形中，，垂足分别为，连接． 求证：四边形是平行四边形． 24. 甲、乙两车从A地出发，沿同一路线驶向B地，甲车先出发匀速驶向B地，后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时．由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了，结果与甲车同时到达B地，甲乙两车距A地的路程y与乙车行驶时间之间的函数图象如图所示 （1）　 　，甲的速度是　 　； （2）求线段对应的函数表达式，并求乙刚到达货站时，甲距B地还有多远？ （3）乙车出发　 　追上甲车？ （4）直接写出甲出发多长时间，甲乙两车相距． 25. 如图，点，，在同一条直线上，，是等边三角形，若，， （1）求的度数； （2）求长． 26. 现定义运算，对于任意实数，都有，请按上述的运算求出的值，其中满足． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022-2023学年八上数学期末模拟试卷 考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上． 2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号． 3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 尺规作图作的平分线方法如下：以为圆心，任意长为半径画弧交、于、，再分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线由作法得的根据是（ ） A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS 【答案】D 【解析】 【详解】解：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，即OC=OD； 以点C，D为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点P，即CP=DP； 再有公共边OP，根据“SSS”即得△OCP≌△ODP． 故选D． 2. 为祝福祖国70周年华诞，兴义市中等职业学校全体师生开展了以“我和我的祖国、牢记初心和使命”为主题的演讲比骞，为奖励获奖学生，学校购买了一些钢笔和毛笔，钢笔单价是毛笔单价的1.5倍，购买钢笔用了1200元，购买毛笔用了1500元，购买的钢笔数比毛笔少35支，钢笔、毛笔的单价分别是多少元？如果设毛笔的单价为x元/支，那么下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得：1500元购买的毛笔数量-1200元购买的钢笔数量=20支，根据等量关系列出方程，再解即可． 【详解】解：设毛笔单价x元/支，由题意得：， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． 3. 下列判定直角三角形全等的方法，错误的是（ ） A. 两条直角边对应相等 B. 斜边和一锐角对应相等 C. 斜边和一直角边对应相等 D. 两锐角对应相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，直角三角形全等的判定．根据全等三角形的判定及直角三角形全等的判定逐一判断即可． 【详解】解：A、两条直角边对应相等，再加上夹角都等于，根据“边角边”可判断两直角三角形全等，该选项不符合题意； B、斜边和一锐角对应相等，再加上一对直角相等，根据“角角边”可判断两直角三角形全等，该选项不符合题意； C、斜边和一直角边对应相等，根据“斜边直角边”可判断两直角三角形全等，该选项不符合题意； D、两锐角相等和直角对应相等，没有边相等，不能证明两直角三角形全等，该选项符合题意． 故选：D． 4. 下面是某同学在一次作业中的所做的部分试题：①3m+2n=5mn；②；③； ④； ⑤ ⑥，其中正确的有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项，整式的乘除法法则，幂的乘方，同底数幂除法，依次运算判断即可． 【详解】①3m+2n=3m+2n，不是同类项不能合并，故错误； ②，不是同类项不能合并，故错误； ③，故正确； ④，故正确； ⑤ ，故正确； ⑥，故错误； ∴正确的有③④⑤ 故选：C 【点睛】本题主要考查了同类项的合并，同底数幂的乘除，幂的乘方，熟悉掌握运算的法则进行运算是解题的关键． 5. 如图，在正方形中，为对角线，为上一点，过点作，与、分别交于点、，为的中点，连接、、、．下列结论：①；②；③；④若，则，其中结论正确的有（ 　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的性质得出和的关系，再根据和的关系即可判断①，先证明，再证明，从而得出，然后根据四边形的内角和可判断②，根据全等三角形的判定定理，即可判断③；若，则，过点作于点，设，则，，，求出，即可判断④． 【详解】解：是正方形的对角线， ，， ∵， ∴，四边形是矩形， ，， ， 故①正确， ，， ， 又是的中点， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 又， ， ， ， 故②正确， ∵， ， 在和中， ， ∴， 故③正确； ∵，， 为等腰直角三角形， ， ，， 过点作于点，如图所示： 设，则，，，，， 则，， ，故④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积的计算等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 6. 下列语句是命题的是( ) (1)两点之间，线段最短． (2)如果，那么吗? (3)如果两个角的和是90度，那么这两个角互余． (4)过直线外一点作已知直线的垂线． A. (1)(2) B. (3)(4) C. (1)(3) D. (2)(4) 【答案】C 【解析】 【分析】根据命题的定义对四句话进行判断即可． 【详解】（1）两点之间，线段最短，它是命题；(2)如果，那么吗?不是命题；（3）如果两个角的和是90度，那么这两个角互余，它是命题；(4)过直线外一点作已知直线的垂线，是作法不是命题．故选C． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 7. 随着电子技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占有面积0.00000065mm2，0.00000065用科学记数法表示为 A. 6.5×107 B. 6.5×10－6 C. 6.5×10－8 D. 6.5×10－7 【答案】D 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：． 故答案为D． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 8. 已知一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形是（　　） A. 九边形 B. 八边形 C. 七边形 D. 六边形 【答案】B 【解析】 【分析】n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数． 【详解】根据n边形的内角和公式，得 （n﹣2）•180=1080， 解得n=8， ∴这个多边形的边数是8， 故选B． 【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决． 9. 下列命题中，属于真命题的是（ ） A. 三角形的一个外角大于内角 B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C. 无理数与数轴上的点是一一对应的 D. 对顶角相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形外角性质、平行线的性质、无理数和对顶角进行判断即可． 【详解】解：A、三角形的一个外角大于与它不相邻的内角，原命题是假命题，不符合题意； B、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，原命题是假命题，不符合题意； C、实数与数轴上的点是一一对应的，原命题是假命题，不符合题意； D、对顶角相等，是真命题，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 10. 将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板的一条直角边在同一条直线上，则图中∠的度数是（ ） A. 75° B. 65° C. 55° D. 45° 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的内角和定理、对顶角相等和三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】解:如下图所示 ∠1=180°－90°－45°=45° ∴∠2=∠1=45° ∴∠=∠2＋30°=75° 故选A． 【点睛】此题考查的是三角形的内角和定理、三角形外角的性质和对顶角的性质，掌握三角形的内角和定理、三角形外角的性质和对顶角相等是解决此题的关键． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 若多项式分解因式的结果为，则的值为__________． 【答案】-1 【解析】 【分析】根据多项式的乘法法则计算，与比较求出a和b的值，然后代入a+b计算． 【详解】∵=x2+x-2， ∴=x2+x-2， ∴a=1，b=-2， ∴a+b=-1. 故答案为：-1. 【点睛】本题考查了多项式与多项式的乘法运算，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 12. 如图，一架长25m的云梯，斜靠在墙上，云梯底端在点A处离墙7米，如果云梯的底部在水平方向左滑动8米到点B处，那么云梯的顶端向下滑了_____m． 【答案】4 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出OC的长度，然后再利用勾股定理求出OD的长度，最后利用CD=OC-OD即可得出答案． 【详解】解：如图 由题意可得：AC＝BD=25m，AO＝7m，AB=8 m，CD即为所求 则OC＝＝24（m）， 当云梯的底端向左滑了8米，则OB＝7+8＝15（m）， 故OD＝＝20（m）， 则CD＝OC-OD=24-20＝4m． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 13. 如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α=________°． 【答案】56 【解析】 【分析】先根据矩形的性质得出AD∥BC，故可得出∠DAC的度数，由角平分线的定义求出∠EAF的度数，再由EF是线段AC的垂直平分线得出∠AEF的度数，根据三角形内角和定理得出∠AFE的度数，进而可得出结论． 【详解】如图， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠DAC=∠ACB=68°． ∵由作法可知，AF是∠DAC的平分线， ∴∠EAF=∠DAC=34°． ∵由作法可知，EF是线段AC的垂直平分线， ∴∠AEF=90°， ∴∠AFE=90°-34°=56°， ∴∠α=56°． 故答案为：56． 14. 在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“”作为一个六位数的密码．对于多项式，取，时，用上述方法产生的密码是：______写出一个即可． 【答案】或或 【解析】 【分析】把所求的代数式分解因式后整理成条件中所给出的代数式的形式，然后整体代入即可． 【详解】解：， 当，时，；；， 用上述方法产生的密码是：或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，读懂题目信息，正确进行因式分解是解题的关键，还考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力． 15. 已知，则代数式的值为_________． 【答案】18 【解析】 【分析】先因式分解再代入数据解题即可． 【详解】解： ， 当时，原式 故答案为：18． 【点睛】本题主要考查整式的因式分解，能够熟练运用提公因式以及完全平方公式是解题关键． 16. 在学校文艺节文艺汇演中，甲、乙两个舞蹈队队员的身高的方差分别是，，那么身高更整齐的是________填甲或乙队． 【答案】甲 【解析】 【分析】根据方差的大小关系判断波动大小即可得解，方差越大，波动越大，方差越小，波动越小. 【详解】因为，所以甲队身高更整齐， 故答案为：甲. 【点睛】本题主要考查了方差的相关概念，熟练掌握方差与数据波动大小之间的关系是解决本题的关键. 17. 如图，已知， 平分，为上任意一点，∥，交OB于D，于E．如果，则PE的长为______cm． 【答案】 【解析】 【分析】过作于，根据角平分线的定义可得，根据平行线的性质可得，从而可得，再根据30度所对的边是斜边的一半可求得的长，最后根据角平分线的性质即可求得的长． 【详解】解：过作于， ，平分， ， ∥， ， ， ， ，∥， ， 在中，， 为角平分线，，， ， ． 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查：（1）含度的直角三角形的性质：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．（2）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，掌握相关性质是解题的关键． 18. 分解因式：_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解中的提取公因式法，解题的关键是准确找出多项式中各项的公因式，并将其提取出来完成因式分解． 先观察多项式的两项，找出它们共有的因式（公因式），其中含因式和，含因式和，公因式为；再用公因式分别去除两项，得到和，最后将公因式与所得结果用乘号连接，完成分解． 【详解】解：观察多项式，两项均含有公因式， 将公因式提取出来，得：， 故答案为：． 三、解答题（共66分） 19. 过正方形（四边都相等，四个角都是直角）的顶点A作一条直线． （1）当不与正方形任何一边相交时，过点B作于点E，过点作于点F，如图（1），请写出，，之间的数量关系，并证明你的结论． （2）若改变直线的位置，使与边相交如图（2），其它条件不变，，，的关系会发生变化，请直接写出，，的数量关系，不必证明； （3）若继续改变直线的位置，使与边相交如图（3），其它条件不变，，，的关系又会发生变化，请直接写出，，的数量关系，不必证明． 【答案】（1） ； 证明：四边形是正方形， ，， ， 又，， ， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出，证明，可得，，进而可得； （2）求出，证明，可得，，进而可得； （3）求出，证明，可得，，进而可得； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ； 证明：四边形是正方形， ，， ， 又，， ， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴； 【小问3详解】 ； 证明：四边形是正方形， ，， ， 又，， ， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，根据同角的余角相等证明是解题的关键． 20. （1）计算： （2）计算： 【答案】（1）；（2）0 【解析】 【分析】（1）依次将各式化成最简二次根式，合并即可； （2）按照二次根式性质进行化简，再计算即可. 【详解】解：（1）原式＝+2﹣ ＝； （2）原式＝2×﹣3+×3 ＝1﹣3+2 ＝0． 【点睛】本题考查了二次根式的混合加减运算以及实数的混合计算，解答关键是根据法则进行计算. 21. 张康和李健两名运动爱好者周末相约到丹江环库绿道进行跑步锻炼. （1）周日早上点，张康和李健同时从家出发，分别骑自行车和步行到离家距离分别为千米和千米的绿道环库路入口汇合，结果同时到达，且张康每分钟比李健每分钟多行米，求张康和李健的速度分别是多少米分？ （2）两人到达绿道后约定先跑千米再休息，李健的跑步速度是张康跑步速度的倍，两人在同起点，同时出发，结果李健先到目的地分钟. ①当，时，求李健跑了多少分钟？ ②求张康的跑步速度多少米分？（直接用含，的式子表示） 【答案】（1）李康的速度为米分，张健的速度为米分.（2）①李健跑了分钟，② 【解析】 【分析】（1）设李康的速度为米分，则张健的速度为米分，根据两人所用的时间相等列出方程求解即可得出答案； （2）①李健跑的时间=，将，代入计算即可得解； ②先用含有a,b的代数式表示出张康的跑步时间，再用路程除以时间即可得到他的速度. 【详解】（1）设李康的速度为米分，则张健的速度为米分， 根据题意得： 解得：， 经检验，是原方程的根，且符合题意， . 答：李康的速度为米分，张健的速度为米分. （2）①，， （分钟）. 故李健跑了分钟； ②李健跑了的时间：分钟， 张康跑了的时间：分钟， 张康的跑步速度为：米分. 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，行程问题里通常的等量关系是列出表示时间的代数式，然后根据时间相等或多少的关系列出方程并求解，要注意两个层面上的检验. 22. 第7届世界军人运动会于2019年10月18日在武汉开幕，为备战本届军运会，某运动员进行了多次打靶训练，现随机抽取该运动员部分打靶成绩进行整理分析，共分成四组：(优秀)、(良好)、(合格)、(不合格)，绘制了如下不完整的统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)直接写出本次统计成绩的总次数和图中的值. (2)求扇形统计图中(合格)所对应圆心角的度数. (3)请补全条形统计图. 【答案】（1）本次统计成绩的总次数是20次，；（2）126°；（3）见解析． 【解析】 【分析】（1）用D等级的次数除以D等级所占百分比即得本次统计成绩的总次数；用总次数减去其它三个等级的次数可得B等级的次数，然后用B等级的次数除以总次数即得m的值； （2）用C等级的次数除以总次数再乘以360°即得结果； （3）由（1）题知B等级的次数即可补全条形统计图． 【详解】解：（1）本次成绩的总次数=3÷15%=20次，B等级的次数是：，8÷20=40%，所以m=40； （2），所以扇形统计图中(合格)所对应圆心角的度数是126°； （3）补全条形统计图如图所示． 【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的相关知识，属于基本题型，难度不大，熟练掌握条形统计图和扇形统计图的基本知识是解题关键． 23. 如图，在矩形中，，垂足分别为，连接． 求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】AC，BD的交点记为点O，根据矩形的性质得出BC=DA，OD=OB，OA=OC，根据HL证出Rt△AED≌Rt△CFB，从而得出AE=CF，从而得出OE=OF，再结合BO=DO即可证得四边形BEDF是平行四边形． 【详解】证明：AC，BD的交点记为点O， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AD=BC，OD=OB，OA=OC． 又∵DE⊥AC，BF⊥AC且DE=BF， ∴Rt△AED ≌ Rt△CFB， ∴AE=CF， ∴OE=OF． ∴四边形DEBF为平行四边形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，熟练掌握基本性质与判定方法并准确识图是解题的关键． 24. 甲、乙两车从A地出发，沿同一路线驶向B地，甲车先出发匀速驶向B地，后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时．由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了，结果与甲车同时到达B地，甲乙两车距A地的路程y与乙车行驶时间之间的函数图象如图所示 （1）　 　，甲的速度是　 　； （2）求线段对应的函数表达式，并求乙刚到达货站时，甲距B地还有多远？ （3）乙车出发　 　追上甲车？ （4）直接写出甲出发多长时间，甲乙两车相距． 【答案】（1）4.5， 60；（2），180；（3）80；（4）甲出发小时或小时或小时后，甲乙两车相距． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，求一次函数的解析式，一元一次方程的行程问题，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）由乙在途中的货站装货耗时半小时易得，甲从A到B共用了小时，然后利用速度公式计算甲的速度； （2）根据甲的速度可求出甲乙出发时甲所走的路程，即可得出线段对应的函数表达式；再根据“路程、速度与时间”的关系解答即可； （3）根据题意列方程求出乙的速度，再列式计算解答即可； （4）分别求出线段所在的直线的解析式为，直线的解析式为，然后利用函数值相差40列方程解答即可． 【详解】解：（1）∵线段代表乙车在途中的货站装货耗时半小时， ∴（小时）， 甲车的速度（千米/小时）； 故答案为：4.5；60； （2）乙出发时甲所走的路程为：，即， 由（1）得甲车的速度为60千米/小时 ∴线段对应的函数表达式为：； 乙刚到达货站时，甲距B地的路程为： （3）设乙车刚出发时的速度为x千米/时，则装满货后的速度为千米/时， 根据题意可知：， 解得：． 乙车追上甲车的时间为（小时），小时分钟， 故答案为：80； （4）在点E处时，两车距离为 ∴相距应在段 设线段的解析式为 则 解得 ∴线段所在的直线的解析式为， 由（3）得乙车刚出发时的速度为90千米/时， ∴直线的解析式为， 根据题意得 ， 解得， 则（小时）； 或， 解得， 则（小时）； 或， 解得， 则（小时）； 答：甲出发小时或小时或小时后，甲乙两车相距． 25. 如图，点，，在同一条直线上，，是等边三角形，若，， （1）求的度数； （2）求长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形判定和性质，等边三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定和性质解决问题是本题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，，，可证，可得，可得的度数； （2）由全等三角形的性质和等边三角形的性质可求的长． 【小问1详解】 解：，是等边三角形 ，，， ，且，， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， 26. 现定义运算，对于任意实数，都有，请按上述的运算求出的值，其中满足． 【答案】49 【解析】 【分析】首先解出x的值，再根据题中的运算法则，将中的a，b替换成与运算即可． 【详解】解：去分母得 ， 解得：． 经检验，是原方程的解． 又， ， 当时，． 【点睛】本题考查了解分式方程及新定义类求解问题，理解题中的新定义运算的法则是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $