2023-2024学年苏科版九年级上册数学期末试卷

苏科版九年级上册数学期末试题 一、单选题 1．下列说法中，正确的是（　　） A．不可能事件发生的概率为0 B．随机事件发生的概率为 C．概率很小的事件不可能发生 D．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定为50次 2．关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线经过点 C．抛物线最低点的纵坐标是－3 D．抛物线关于直线对称 3．如图，AB是⊙O的弦，BC与⊙O相切于点B，连接OA、OB．若∠ABC=70°，则∠A等于（） A．15° B．20° C．30° D．70° 4．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点、、、、、、在小正方形的顶点上，则的重心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 5．如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A：∠C＝1：2，则∠A的度数等于（　　） A．30° B．45° C．60° D．80° 6．一组数据0、－1、3、2、1的极差是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 7．在同一坐标系内，一次函数与二次函数的图像可能是 A． B． C． D． 8．如图，BC是的直径，A，D是上的两点，连接AB，AD，BD，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 9．一元二次方程x2﹣3x＝0的两个根是（　　） A．x1＝0，x2＝﹣3 B．x1＝0，x2＝3 C．x1＝1，x2＝3 D．x1＝1，x2＝﹣3 10．已知二次函数y＝x2＋mx＋n的图象经过点（﹣1，﹣3），则代数式mn＋1有（ ） A．最小值﹣3 B．最小值3 C．最大值﹣3 D．最大值3 二、填空题 11．一元二次方程的两根是则，，则______． 12．已知⊙O的半径为5，若PO＝3，则点P与⊙O的位置关系是：点P在⊙O______． 13．二次函数的图象与y轴的交点坐标是______． 14．半径为3的圆的内接正方形的边长是______． 15．等边三角形的边长为x，此三角形的面积S表示成x的函数为______． 16．扇形的半径为6cm．圆心角为150°，用它做成圆锥的侧面，圆锥的底面圆的半径是______cm． 17．某社区青年志愿者小分队年龄情况如下表所示： 年龄（岁） 18 19 20 21 22 人数 2 5 2 2 1 则这12名队员年龄的中位数是______． 18．四条长短不同的线段长分别为10，6，x，2，用它们拼成如图所示已的两个直角三角形，且AB，CD是其中两条线段，则x可以取的有______个． 19．在中，∠AOB＝90°，OA＝8，OB＝10，以O为圆心，4为半径作圆O，交两边于点C，D，P为劣弧CD上一动点，则最小值为______． 三、解答题 20．解方程． (1)． (2)． 21．如图，在中，∠B＝90°，，若AB＝10，求BC的长． 22．已知点在二次函数的图象上，且当x＝1时，函数y有最小值2． (1)求这个二次函数的表达式． (2)如果两个不同的点，也在这个函数的图象上，则______．（直接填空） 23．如图，在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上一点．过点C作⊙O的切线，与AB的延长线交于点P． (1)若∠CAB＝25°，求∠P的大小； (2)求证：． 24．如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作一圆弧． (1)直接写出该圆弧所在圆的圆心D的坐标______． (2)求弧AC的长（结果保留）． (3)连接AC、BC，则______． 25．已知二次函数（m为常数）． (1)证明：不论m为何值，该函数图象与x轴没有公共点． (2)当自变量x的值满足时，与其对应的函数值y的最小值为4，求m的值． 26．如图，有一块长为21m、宽为10m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，且人行通道的宽度不能超过3米． (1)如果两块绿地的面积之和为90m2，求人行通道的宽度； (2)能否改变人行通道的宽度，使得每块绿地的宽与长之比等于3：5，请说明理由． 27．如图，四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，以AB为直径的⊙O交AC于E，延长DE交BC于F，∠ABC＝∠ADE＝90°． (1)证明：DF是⊙O的切线． (2)若OA＝4，CF＝3，求cos∠DAE的值． 28．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，B点的坐标为（6，0），点M为抛物线上的一个动点． （1）若该二次函数图象的对称轴为直线x＝4时： ①求二次函数的表达式； ②当点M位于x轴下方抛物线图象上时，过点M作x轴的垂线，交BC于点Q，求线段MQ的最大值； （2） 过点M作BC的平行线，交抛物线于点N，设点M、N的横坐标为m、n．在点M运动的过程中，试问m+n的值是否会发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请求出m+n的值． 参考答案 1．A 【详解】试题分析：不可能事件发生的概率为0，故A正确； 随机事件发生的概率为在0到1之间，故B错误； 概率很小的事件也可能发生，故C错误； 投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面向上的次数为50次是随机事件，D错误； 故选A． 考点：随机事件． 2．D 【分析】根据题目中的函数解析式可以判断各个选项中的结论是否正确，本题得以解决． 【详解】解：A、由题意得，所以抛物线的开口向上，故错误，不符合题意； B、当时，，所以图象经过，不经过，故错误，不符合题意； C、由题意得，所以抛物线最低点的纵坐标是，故错误，不符合题意； D、由题意得，所以抛物线的对称轴是直线，故正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 3．B 【详解】∵BC与⊙O相切于点B，∴OB⊥BC．∴∠OBC=90°． ∵∠ABC=70°，∴∠OBA=∠OBC﹣∠ABC=90°﹣70°=20°． ∵OA=OB，∴∠A=∠OBA=20°．故选B． 4．A 【分析】三角形三条中线的交点，叫做它的重心，据此解答即可． 【详解】根据题意可知，直线经过的边上的中点，直线经过的边上的中点，∴点是重心．故选A． 【点睛】本题考查三角形的重心的定义，解题的关键是熟记三角形的中心是三角形中线的交点． 5．C 【分析】设∠A、∠C分别为x、2x，然后根据圆的内接四边形的性质列出方程即可求出结论． 【详解】解：设∠A、∠C分别为x、2x， ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴x+2x＝180°， 解得，x＝60°，即∠A＝60°， 故选：C． 【点睛】此题考查的是圆的内接四边形的性质，掌握圆的内接四边形的性质是解决此题的关键． 6．A 【分析】根据极差的概念最大值减去最小值即可求解． 【详解】解：这组数据：0、－1、3、2、1的极差是：3-（-1）=4． 故选A． 【点睛】本题考查了极差的知识，极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差． 7．C 【分析】x=0，求出两个函数图像在y轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a＞0，然后确定出一次函数图像经过第一、三象限，从而得解． 【详解】x=0时，两个函数的函数值y=b， 所以，两个函数图像与y轴相交于同一点，故B、D选项错误； 由A、C选项可知，抛物线开口方向向上， 所以，a＞0， 所以，一次函数y=ax+b经过第一三象限， 所以，A选项错误，C选项正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图像，一次函数的图像，熟练掌握一次函数和二次函数图像特征和系数的关系是解题的关键． 8．A 【分析】连接AC，如图，根据圆周角定理得到，，然后利用互余计算的度数． 【详解】连接AC，如图， ∵BC是的直径， ∴， ∵， ∴． 故答案为． 故选A． 【点睛】本题考查圆周角定理和推论，解题的关键是掌握圆周角定理和推论． 9．B 【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】x2﹣3x＝0， x（x﹣3）＝0， x＝0或x﹣3＝0， x1＝0，x2＝3． 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程−因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． 10．A 【分析】把（-1，-3）代入y=x2+mx+n确定m，n之间的数量关系，代入mn+1讨论． 【详解】解：把（-1，-3）代入y=x2+mx+n得： -3=1-m+n， ∴n=m-4， ∴mn+1 =m（m-4）+1 =m2-4m+1 =（m-2）2-3， 所以mn+1有最小值-3， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的特征．根据二次函数性质确定m，n的数量关系是解答关键． 11．4 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可解答． 【详解】方程的两根是和， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系．掌握一元二次方程 的根和与系数的关系为：，是解题关键． 12．内部 【分析】通过比较半径和OP的的大小得出结果． 【详解】解：， ∴点P在⊙O内部， 故答案为：内部． 【点睛】本题考查点和圆得位置关系，当点的圆心的距离d＞r时，点在圆外；当点的圆心的距离d=r时，点在圆上；当点的圆心的距离d＜r时，点在圆内； 13． 【分析】令x=0，代入函数解析式求出y值即可． 【详解】解：当x＝0时y＝－1， ∴函数图象与y轴交点为， 故答案为：． 14． 【分析】由圆内接正四边形的性质知∠OBE＝45°，由垂径定理定理知BE＝CE，根据锐角三角函数的定义求出，从而可求出BC的值． 【详解】解：如图，∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形， ∴∠OBE＝45°， ∵， ∴BE＝CE， ∵OB＝3，，， ∴， ， ∴， 故半径为3的圆内接正方形的边长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆内接正多边形的性质，垂径定理及锐角三角函数的定义，熟练掌握圆内接正多边形的性质及垂径定理是解答本题的关键． 15． 【分析】作出三角形的高，利用直角三角形的性质及勾股定理可求得高，那么三角形的面积＝×底×高，把相关数值代入即可求解． 【详解】解：如图，为等边三角形，边长为x，作AD⊥BC于点D，则∠ADB＝90°， ∵为等边三角形 ∴BD＝CD＝BC＝x 在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AB＝x，BD＝x ∴ ∴， ∴S表示成x的函数为． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形的面积的求法，找到等边三角形一边上的高是重点． 16．2.5 【分析】根据弧长公式解答． 【详解】设这个圆锥的底面圆半径为r， 根据题意得，解得r＝2.5（cm） 故答案为：2.5． 【点睛】本题考查求圆锥底面圆半径，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 17．19 【分析】根据中位数的定义，需将这组数据按照从小到大的顺序理清，找到中间两个数的值，然后求平均即可． 【详解】12名队员的年龄数据里，第6个和第7个都是19，因而中位数是19．故填19． 18．4 【分析】过B作，延长AC交BE于点E，最长边AB＝10或x，进而分类讨论，根据勾股定理求解即可． 【详解】过B作，延长AC交BE于点E，根据题意，∠ACD＝∠D＝90°， ∴BE＝CD，CE＝BD，∠E＝90°， ∴最长边AB＝10或x，x＞0（负值舍去）， ①若AB＝x，CD＝10时，则AE＝6＋2＝8，∴，即，解之得， 同理：②若AB＝x，CD＝6时，则AE＝12， ∴，解之得， ③若AB＝x，CD＝2时，则AE＝16， ∴，解之得， ④若AB＝10，CD＝6时，则AE＝x＋2， ∴，解之得x＝6（舍去）， ⑤若AB＝10，CD＝x时，则AE＝8， ∴，解之得x＝6（舍去）， ⑥若AB＝10，CD＝2时，则AE＝6＋x， ∴，解之得． 综上所述，x值可取4个值，故答案为4． 【点睛】本题考查了勾股定理，构成三角形的条件，分类讨论是解题的关键． 19． 【分析】如图所示，连接OP，取OC中点为M，连接PM，BM，证明，得到，则，即可推出，故当点B、P、M三点共线时，最小值为BM，由此求解即可． 【详解】解：如图所示，连接OP，取OC中点为M，连接PM，BM， ∵圆O半径为4，点P为劣弧CD上一动点， ∴OC＝OP＝4， 又∵点M为OC中点， ∴， ∵，∠MOP＝∠POA， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点B、P、M三点共线时，最小值为BM， ∵∠AOB＝90°， ∴， 又OM＝2，OB＝10， ∴， ∴最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，圆的基本性质，正确作出辅助线是解题的关键． 20．(1)， (2)， 【分析】（1）先移项，再配方，然后开方得出答案； （2）先移项，再因式分解，可得答案． (1) 解：， ， 配方，得， 即． ∴，． (2) 解：   移项，得， 因式分解，得， 即， ∴，． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，灵活选择解一元二次方程的方法是解题的关键． 21． 【分析】首先根据求出AC，再根据勾股定理求出答案即可． 【详解】∵∠B＝90°， ∴． ∵AB＝10， ∴AC＝14， ∴． ∴BC的长为． 22．(1) (2)2 【分析】对于（1），根据题意确定抛物线的顶点坐标，可得顶点式，再将点（0，3）代入求出关系式即可； 对于（2），根据题意可知点C，点D关于对称轴对称，进而求出答案． (1) ∵二次函数，当x＝1时，函数y有最小值2， ∴点为抛物线的顶点， 于是可设抛物线的关系式为：，把代入得， a＋2＝3， 解得a＝1， ∴抛物线的关系式为，即． (2) ∵点，都在抛物线上， ∴点C、D关于直线x＝1对称， ∴， ∴m＋n＝2． 故答案为：2. 23．(1)40° (2)证明见解析 【分析】（1）连接OC，由三角形外角性质解得∠COP＝50°，再由圆的切线的性质解得∠OCP＝90°，最后由∠P＝180°－∠OCP－∠COP解答； （2）连接BC、OC，由切线的性质解得∠1＋∠BCP＝90°，再根据直径所对的圆周角是90°得到∠1＋∠ACO＝90°，由此解得∠BCP＝∠ACO，再证明，据此解答． (1) 解：如图所示，连接OC， ∵OA＝OC，∴∠CAB＝∠ACO， 又∵∠CAB＝25°∴∠ACO＝25°∴∠COP＝∠CAB＋∠ACO＝25°＋25°＝50°， ∵PC为圆O切线，OC为半径，∴∠OCP＝90°，∴∠P＝180°－∠OCP－∠COP＝180°－90°－50°＝40° 故∠P大小为40°． (2) 证明：如图所示，连接BC、OC， ∵PC为圆O的切线，∴∠OCP＝90°即∠1＋∠BCP＝90°， 又∵AB为直径∴∠ACB＝90°即∠1＋∠ACO＝90° ∴∠BCP＝∠ACO， 又∵∠ACO＝∠CAP  ∴∠BCP＝∠CAP， 又∵∠BPC＝∠CPA，∴， ∴，∴． 24．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心，写出圆心坐标即可； （2）根据正方形的性质和勾股定理以及弧长公式计算即可； （3）根据正弦的定义计算即可． (1) 根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，作弦AB和BC的垂直平分线，交点D即为圆心．如图1所示，则圆心D的坐标是． (2) 由图1可知，∠ADC＝90°，， ∴弧AC的长为：． (3) 如图2，由勾股定理得，由正方形的性质和格点的性质可知，∠AEC＝90°， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理、弧长的计算及三角函数的定义，掌握弦的垂直平分线经过圆心、弧长的计算公式及三角函数的定义是解题的关键． 25．(1)证明见解析 (2)m＝1或 【分析】（1）根据判别式的值得到=，然后根据判别式的意义得到结论； （2）利用配方法得到，则抛物线的对称轴为直线，讨论：当和两种情况讨论即可得到答案． (1) 解：已知函数， 令y＝0，，则， ∴方程没有实数根， ∴不论m为何值，该函数图象与x轴没有公共点． (2) ∵二次函数，∴，，， ∴图象开口向上，对称轴为直线， ∵当时，y的最小值为4， ∴当即时， 则x＝－2时，y取得最小值4，代入得，解得或（舍去）， 当，即时，则x＝2m时，y取得最小值4， 代入，得，方程无解， 当，即时，则x＝1时，y取得最小值4， 代入，得，解得m＝1或m＝0（舍去）． 综上所述，m＝1或． 【点睛】本题考查了抛物线与的交点：把二次函数（）与轴的交点坐标问题转化为一元二次方程，也考查二次函数的性质． 26．（1）2米；（2）不能改变人行横道的宽度使得每块绿地的宽与长之比等于3：5． 【分析】（1）设人行通道的宽度为x米，将两块矩形绿地的长和宽用含有x的式子表示出来，根据“两块矩形绿地的面积共为90平方米”列出关于x的一元二次方程，解之即可；（2）根据每块绿地的宽与长之比等于3：5列出方程求得人行横道的宽度后与3米比较即可得到答案． 【详解】（1）设人行通道的宽度为x米， 则两块矩形绿地的长为（21﹣3x）（米）， 宽为（10﹣2x）（米）， 根据题意得：（21﹣3x）（10﹣2x）＝90， 解得：x1＝10（舍去），x2＝2， 答：人行通道的宽度为2米； （2）设人行通道的宽为y米时，每块绿地的宽与长之比等于3：5， 根据题意得：（10﹣2y）：＝3：5， 解得：y＝， ∵＞3， ∴不能改变人行横道的宽度使得每块绿地的宽与长之比等于3：5． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是能够设出未知数并表示出矩形的长和宽，找出等量关系． 27．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）如图所示，连接OE，先证明∠DAE＝∠OEA，推出，即可得到∠ADE＝∠OEF＝90°，由此即可证明DF是⊙O的切线； （2）连接OE，OF，BE，先证明，推出∠FBE＝∠FEB，再由AB是⊙O的直径，得到∠BEC＝90°，从而推出∠FEC＝∠FCE，得到BC＝6，由勾股定理求出，则，由∠DAE＝∠BAC，即可得到． (1) 解：如图所示，连接OE， ∵AC平分∠BAD， ∴∠DAE＝∠OAE， ∵OA＝OE， ∴∠OAE＝∠OEA， ∴∠DAE＝∠OEA， ∴， ∴∠ADE＝∠OEF＝90°， ∴， ∵OE是⊙O的半径， ∴DF是⊙O的切线． (2) 解：连接OE，OF，BE， ∵∠OBF＝∠OEF＝90°， ∴在中和中， ， ∴， ∴BF＝EF， ∴∠FBE＝∠FEB， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°， ∴∠BEC＝90°， ∴∠FEB＋∠FEC＝90°， ∴∠FBE＋∠FCE＝90°， ∴∠FEC＝∠FCE， ∴EF＝FC＝BF＝3， ∴BC＝6， ∵OA＝OB＝4， ∴AB＝8， ∴在中，， ∴， ∵∠DAE＝∠BAC， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，平行线的性质与判定，勾股定理，解直角三角等等，正确作出辅助线是解题的关键． 28．（1）①y＝x2﹣8x+12；②线段MQ的最大值为9．（2）m+n的值为定值．m+n＝6． 【分析】（1）①根据点B的坐标和二次函数图象的对称轴即可求出二次函数解析式； ②设M（m，m2﹣8m+12），利用待定系数法求出直线BC的解析式，从而求出Q（m，﹣2m+12），即可求出MQ的长与m的函数关系式，然后利用二次函数求最值即可； （2）将B（6，0）代入二次函数解析式中，求出二次函数解析式即可求出点C的坐标，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，根据一次函数的性质设出直线MN的解析式，然后联立方程结合一元二次方程根与系数的关系即可得出结论． 【详解】（1）①由题意， 解得， ∴二次函数的解析式为y＝x2﹣8x+12． ②如图1中，设M（m，m2﹣8m+12）， ∵B（6，0），C（0，12）， ∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+12， ∵MQ⊥x轴， ∴Q（m，﹣2m+12）， ∴QM＝﹣2m+12﹣（m2﹣8m+12）＝﹣m2+6m＝﹣（m﹣3）2+9， ∵﹣1＜0， ∴m＝3时，QM有最大值，最大值为9． （2）结论：m+n的值为定值． 理由：如图2中， 将B（6，0）代入二次函数解析式中，得 解得： ∴二次函数解析式为 ∴C（0，﹣36﹣6b）， 设直线BC的解析式为y＝kx﹣36﹣6b， 把（6，0）代入得到：k＝6+b， ∴直线BC的解析式为y＝（6+b）x﹣36﹣6b， ∵MN∥CB， ∴可以假设直线MN的解析式为y＝（6+b）x+b′， 由，消去y得到：x2﹣6x﹣36﹣6b﹣b′＝0， ∴x1+x2＝6， ∵点M、N的横坐标为m、n， ∴m+n＝6． ∴m+n为定值，m+n＝6． 【点睛】此题考查的是二次函数与一次函数的综合题型，掌握利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式、利用二次函数求最值、一元二次方程根与系数的关系是解决此题的关键． 2 1 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