精品解析：湖北省部分高中联考协作体2024-2025学年高二上学期11月期中数学试题

2024年秋季湖北省部分高中联考协作体期中考试 高二数学试卷 命题学校：广水市实验高级中学 命题教师：肖永汉 审题学校：崇阳众望高中 审题教师：谭红光 考试时间：2024年11月16日8：00-10：00 试卷满分：150分 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的学校、考号、班级、姓名等填写在答题卡上. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷、草稿纸上无效. 3.填空题和解答题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知向量，则＝（　　） A. 6 B. 7 C. 9 D. 13 2. 椭圆的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 3. 直线与直线平行，那么的值是（　　） A. B. C. 或 D. 或 4. 在空间直角坐标系中，已知，，，则点A到直线BC的距离为（ ） A. B. C. 3 D. 5 5. 如图，在平行六面体中，M为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A. B. C. D. 6. 过点的圆与直线相切于点，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 8. 如图，椭圆的中心在坐标原点顶点分别是，焦点分别为，延长与交于点，若为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或未选的得0分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 过，两点的直线方程为 B. 点关于直线的对称点为 C. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 10. 已知椭圆C：内一点，直线l与椭圆C交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则下列结论不正确的是（ ） A. C的焦点坐标为， B. C的长轴长为 C. 直线l的方程为 D. 11. 如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中不正确的是（ ） A. B. 平面 C. 向量与的夹角是60° D. 直线与AC所成角的余弦值为 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知两平面的法向量分别为，，则两平面所成的二面角为____________. 13. 已知圆：与圆：有四条公共切线，则实数的取值可能是___________.（填序号） ①；②；③；④. 14. 已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为A（2，1），B（-2，3），C（-3，0）． （1）求BC边所在直线的方程； （2）求BC边上的高AD所在直线的方程． 16. 已知空间三点，设． （1）若，，求； （2）求与的夹角的余弦值； （3）若与互相垂直，求k． 17. 已知圆和点. （1）过点M向圆O引切线，求切线的方程； （2）求以点M为圆心，且被直线截得的弦长为8的圆M的方程； 18. 如图，在三棱锥中， ，为的中点，. （1）证明：平面平面; （2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，三棱锥的体积为，求平面BCD与平面BCE的夹角的余弦值. 19. 已知椭圆过点，且右焦点为. （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，交y轴于点P. 若，，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋季湖北省部分高中联考协作体期中考试 高二数学试卷 命题学校：广水市实验高级中学 命题教师：肖永汉 审题学校：崇阳众望高中 审题教师：谭红光 考试时间：2024年11月16日8：00-10：00 试卷满分：150分 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的学校、考号、班级、姓名等填写在答题卡上. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷、草稿纸上无效. 3.填空题和解答题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知向量，则＝（　　） A. 6 B. 7 C. 9 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量加法与数量积的坐标运算即可. 【详解】因为 所以. 故选：C. 2. 椭圆的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先将方程化为标准方程，再求出长轴和短轴，再由已知列方程可求出m的值 【详解】由，得， 因为椭圆的焦点在轴上， 所以， 因为长轴长是短轴长的两倍， 所以，即，得， 故选：D 3. 直线与直线平行，那么的值是（　　） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行的等价条件列方程组，解方程组即可求解. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得：， 故选：B. 4. 在空间直角坐标系中，已知，，，则点A到直线BC的距离为（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】先利用空间两点间距离公式，把，，的长度求出来，再利用余弦定理，面积公式等求出点A到直线BC的距离 【详解】利用空间两点间距离公式，，， 所以 所以 设点A到直线BC的距离为 则 故选：A 5. 如图，在平行六面体中，M为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的线性运算求解即可. 【详解】因为M为与的交点，所以M是与的中点， 所以. 故选：D. 6. 过点的圆与直线相切于点，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求得圆心和半径，由此求得圆的方程. 【详解】设圆心为，半径为， 则， 解得，所以圆心为， 半径. 所以圆的方程为. 故选：A 7. 已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间四点共面的充要条件代入即可解决. 【详解】，即 整理得 由、、、四点共面，且其中任意三点均不共线， 可得 ，解之得 故选：B 8. 如图，椭圆的中心在坐标原点顶点分别是，焦点分别为，延长与交于点，若为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，就是与的夹角，所以与的夹角为钝角，从而有，结合即可求椭圆离心率的取值范围． 【详解】解：由题意，设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为，，，则，， 因为就是与的夹角，所以与的夹角为钝角， 所以，即，又， 所以，两边同时除以，得，即， 解得或，又， 所以， 所以椭圆离心率的取值范围为， 故选：D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或未选的得0分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 过，两点的直线方程为 B. 点关于直线的对称点为 C. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 【答案】BC 【解析】 【分析】 运用直线的两点式方程判断A 的正误；利用对称知识判断B的正误；求出直线在两坐标轴上的截距可得到三角形的面积判断C的正误；利用直线的截距相等可判断D 的正误． 【详解】对于A：当，时，过，两点的直线方程为，故A不正确； 对于B：点 (0,2) 与 (1,1) 的中点坐标， 满足直线方程, 并且两点的斜率为： −1, 所以点 (0,2) 关于直线 y=x+1 的对称点为 (1,1) ，所以 B 正确； 对于C：直线在两坐标轴上的截距分别为： 2,−2, 直线与坐标轴围成的三角形的面积是，所以C  正确；  对于D：经过点 (1,1) 且在 x 轴和 y 轴上截距都相等的直线方程为 x+y−2=0 或 y=x ，所以 D 不正确； 故选：BC. 【点睛】本题考查直线的方程，直线与坐标轴的截距，点关于直线的对称点，注意在考虑截距相等的时候，不漏掉截距为的情况，属于基础题． 10. 已知椭圆C：内一点，直线l与椭圆C交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则下列结论不正确的是（ ） A. C的焦点坐标为， B. C的长轴长为 C. 直线l的方程为 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由椭圆标准方程确定，即可得到选项A，B错误；利用点差法可求直线方程，得到选项C正确；联立直线和椭圆方程，利用弦长公式可得选项D正确. 【详解】由，得椭圆焦点在轴上，且，， 则，，， 所以椭圆的焦点坐标为，，长轴长为，故选项A、B错误； 设，，则，， 两式作差得， 因为为线段的中点，所以，， 所以， 所以直线的方程为，即，所以选项C正确； 由，得，则，， 所以，所以选项D正确． 故选：AB． 11. 如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中不正确的是（ ） A. B. 平面 C. 向量与的夹角是60° D. 直线与AC所成角的余弦值为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对选项中的命题分析，判断正误即可． 【详解】解：对于， ， 所以，选项错误； 对于 ，所以，即， ，所以，即，因为，平面，所以平面，选项正确； 对于：向量与 的夹角是，所以向量与的夹角也是，选项错误； 对于， 所以， ， 同理，可得 ， 所以，所以选项正确． 故选：AC． 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知两平面的法向量分别为，，则两平面所成的二面角为____________. 【答案】45°或135° 【解析】 【分析】根据二面角夹角与法向量的关系，结合夹角公式求解即可. 【详解】因为两平面的法向量分别为，， 则两平面所成的二面角与相等或互补， 因为，且，故. 故两平面所成的二面角为45°或135°. 故答案为：45°或135° 13. 已知圆：与圆：有四条公共切线，则实数的取值可能是___________.（填序号） ①；②；③；④. 【答案】①④##④① 【解析】 【分析】两圆有四条公共切线可知两圆相离，然后两圆心的距离与半径之和作比较计算即可. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 因为两圆有四条公切线，所以两圆外离， 又两圆圆心距，即，解得或， 故答案为：①④. 14. 已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知可得，设，利用勾股定理结合，求出，四边形面积等于，即可求解. 【详解】因为为上关于坐标原点对称的两点， 且，所以四边形为矩形， 设，则， 所以， ，即四边形面积等于. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为A（2，1），B（-2，3），C（-3，0）． （1）求BC边所在直线的方程； （2）求BC边上的高AD所在直线的方程． 【答案】（1）3x-y+9=0 （2）x+3y-5=0 【解析】 【分析】（1）由题意可设直线BC的直线方程为y=kx+b，将B，C的坐标代入即可求解； （2）由题意可知，设直线AD的方程为，将点A（2，1）代入，即可求解 【小问1详解】 设直线BC的直线方程为y=kx+b， 将点B（-2，3），C（-3，0）代入，可得， 解得， ∴直线BC方程为y=3x+9，即3x-y+9=0． 【小问2详解】 ∵AD为直线BC的高， ∴AD⊥BC， ∴， 设直线AD的方程为，将点A（2，1）代入， 解得， ∴直线AD的方程为，即x+3y-5=0． 16. 已知空间三点，设． （1）若，，求； （2）求与的夹角的余弦值； （3）若与互相垂直，求k． 【答案】（1）或 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据向量共线设出向量的坐标，由模长公式列出方程，求解即可； （2）利用向量的坐标公式和向量的夹角公式即可得出； （3）根据向量垂直时数量积为0，结合向量的平方即为模的平方，计算即可得到k． 【小问1详解】 因为， 所以，又因为， 所以，又因为， 所以， 因此或； 【小问2详解】 因为 所以与的夹角的余弦值为； 【小问3详解】 因为与互相垂直， 所以 或. 17. 已知圆和点. （1）过点M向圆O引切线，求切线的方程； （2）求以点M为圆心，且被直线截得的弦长为8的圆M的方程； 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】(1)分斜率不存在和斜率存在两种情况求解； （2）根据垂径定理和弦长公式求解即可. 【小问1详解】 （1）当切线的斜率不存在，直线方程为，为圆的切线； 当切线的斜率存在时，设直线方程为，即， ∴圆心到切线的距离为，解得，∴直线方程为 综上切线的方程为或. 【小问2详解】 点到直线的距离为， ∵圆被直线截得的弦长为8，∴， ∴圆的方程为. 18. 如图，在三棱锥中， ，为的中点，. （1）证明：平面平面; （2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，三棱锥的体积为，求平面BCD与平面BCE的夹角的余弦值. 【答案】（1） 因为，为的中点， 所以，又且， 所以平面BCD，又平面ABD， 所以平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理先证明平面BCD，又平面ABD，从而由面面垂直的判定定理即可得证； （2）取的中点，因为为正三角形，所以，过作与交于点，则，又由（1）知平面BCD，所以，，两两垂直，以点为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，然后求出所需点的坐标，进而求出平面的法向量，最后根据向量法即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意，，所以， 由（1）知平面BCD， 所以，所以OA=2， 取的中点，因为为正三角形，所以， 过作与交于点，则，所以，，两两垂直， 以点为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，，，1，，A（0，0，2），， 因为平面，所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，又， 所以由，得，令，则，， 所以， 所以， 所以平面BCD与平面BCE的夹角的余弦值为. 19. 已知椭圆过点，且右焦点为. （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，交y轴于点P. 若，，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题干所给条件及椭圆简单的几何性质可求； （2）设直线的方程为，联立椭圆方程，消可得关于的二次方程，再由韦达定理可得两交点纵坐标关系，再根据题意和两交点纵坐标关系求出. 【小问1详解】 由题意可得，，故椭圆的方程为 【小问2详解】 1、若直线垂直轴，根据椭圆简单的几何性质可知A，B两点的坐标，如，则，，，，， 又∵，求得 ， ∴ 2、若直线不垂直轴，则设直线的方程为，联立椭圆方程，消可得 ，设，则 由可得，∴， 由同理可得 ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $