精品解析：黑龙江省哈尔滨市第九中学校2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

哈尔滨市第九中学校2024—2025学年度上学期 期中学业阶段性评价考试高二数学学科考试试卷 （考试时间：120分钟，满分150分） 第I卷（选择题共58分） 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，每小题只有一项是符合题目要求的） 1. 已知直线过点且与直线平行，则直线的一般式方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】直线的斜截式方程为，则其斜率为， 因为直线过点，且与直线平行，所以， 则直线的点斜式方程为，即为． 故选：B. 2. “”是“直线与直线垂直”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线垂直解得或，根据包含关系分析充分、必要条件. 【详解】若两直线垂直，则，解得：或， 显然集合是集合的真子集， 所以 “”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 已知，为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的定义可得，，可得为直角三角形，进而可得解. 【详解】由，得，， 即，， 又， 则，， 所以为直角三角形，， 所以， 故选：B. 4. 正方体的棱长为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量数量积的运算律，结合垂直关系即可求解. 【详解】因为正方体的棱长为， 所以， 故选：D. 5. 已知点F，A分别是椭圆的左焦点、右顶点，满足，则椭圆的离心率等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据推断出，进而根据勾股定理可知，把进而整理关于a和c的方程求得即离心率e的值. 【详解】 ，， ，即， 整理得，即， 等号两边同时除以得，即，求得， ，， 故选：B. 6. 已知 ，是椭圆上的动点，是线段上的点，且满足，则动点的轨迹方程是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求轨迹方程可设动点，，再利用求出关于的坐标关系式，再将坐标表达式代入椭圆方程即可． 【详解】设动点，，因为，故 ，化简得，又在椭圆上，故，化简得，故选B． 【点睛】求轨迹方程可直接设所求点坐标为，再根据题目所给信息，用含有的表达式表达已知方程上的动点，再带入满足的方程化简即可． 7. 已知平面的一个法向量为，点在外，点在内，且，则点到平面的距离（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由空间向量法可得出，即可得解. 【详解】因为平面的一个法向量为，点在外，点在内， 且，则点到平面的距离. 故选：C. 8. 若圆上恰有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出与直线平行且到直线的距离为1的直线的方程为和，数形结合可知，圆与直线相交，与直线相离，利用点到直线的距离公式可求得的取值范围. 【详解】如图所示. 设与直线平行且与直线之间的距离为1的直线方程为， 则，解得或， 圆心到直线的距离为， 圆到直线的距离为， 由图可知，圆与直线相交，与直线相离， 所以，即. 故选：C 二､多选题（共3小题，每小题有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则 B. 若空间中任意一点O，有，则四点共面 C. 若空间向量，满足，则与夹角为钝角 D. 若空间向量，，则在上的投影向量为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，由平面法向量的定义分析A，由空间向量基本定理分析B，由向量平行的性质分析C，由投影向量分析D． 【详解】对于A：若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，易得，即，则有，A正确； 对于B：在中，由于，故四点共面，B正确； 对于C：当， 反向共线时， 也成立，但与夹角不为钝角，C错误； 对于D，在上的投影向量为，D正确． 故选：ABD． 10. 已知直线和圆，则下列选项正确的是（ ） A. 直线恒过点 B. 圆与圆公共弦所在直线方程为 C. 直线被圆截得的最短弦长为 D. 当时，圆上存在无数对关于直线对称的点 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A，将直线转化成斜截式，即可求解；选项B，利用求两相交圆公共弦的求法，直接求出公共弦，即可求解；选项C，利用圆性质知直线和直线垂直时，此时截得的弦长最短，即可求解；选项D，根据条件可得直线过圆心，即可求解. 【详解】对于选项A，直线，即，所以直线恒过定点，故选项A错误， 对于选项B，因为的方程为①，圆的方程为②， 由①②得，所以圆与圆公共弦所在直线方程为，故选项B正确， 对于选项C，因为圆的圆心为，半径为， 根据圆的性质，可得当直线和直线垂直时，此时截得的弦长最短， 又，所以最短弦长为，故选项C正确， 对于选项D，当时，直线，因为，所以直线过圆心， 故上存在无数对关于直线对称的点，所以选项D正确， 故选：BCD. 11. 2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”．如图，在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与轴交于点．若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点，则下列说法正确的有（ ） A. 椭圆的长轴长为 B. 线段长度的取值范围是 C. 面积的最小值是4 D. 的周长为 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合圆的半径长可求得，结合椭圆焦点坐标可求得，由此可判断A；根据，结合的范围可判断B；设，利用结合面积公式可求得，取可判断C；结合椭圆定义可判断D. 【详解】对于A，∵半圆所在圆过点，∴半圆的半径， 又椭圆短轴为半圆的直径，∴，即， 又，∴，即， ∴椭圆长轴长为，故A正确； 对于B，∵，， ∴，故B正确； 对于C，设，则， 当时，，故C错误； 对于D，由题意知：，则为椭圆的下焦点， 由椭圆定义知：， 又，∴的周长为，故D正确. 故选：ABD. 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题（共3小题，每小题5分，请将答案写在答题纸指定位置上） 12. 已知椭圆（）的一个焦点是（，0），则椭圆的长轴长是______. 【答案】6 【解析】 【分析】依题意可得，即可求出参数，从而求出长轴长； 【详解】解：因为椭圆（）的一个焦点是（，0），所以，即 所以椭圆的长轴长 故答案为： 【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，属于基础题. 13. 已知点，点是圆上任意一点，则到直线距离的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出直线的方程，再求出圆心到直线的距离，然后减去半径，即可求解. 【详解】因为，所以直线的方程为，即， 又圆的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 故到直线距离的最小值为. 故答案为：. 14. 关于的方程有实数解，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】考虑直线与曲线相切，且切点位于第二象限时，利用点到直线的距离公式求出的值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】由可得，即曲线表示圆的上半圆， 由题意可知直线与曲线有公共点，如下图所示： 当直线与半圆相切且切点位于第二象限时， 则有，解得. 由图可知，当时，直线与半圆有公共点， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 四､解答题（共5小题，满分77分，解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知直线和圆． （1）若直线交圆于，两点，求弦的长； （2）求过点且与圆相切的直线方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先由圆的方程得到圆心和半径，根据几何法求弦长，即可得出结果； （2）当直线斜率不存在时，可直接得出切线方程；当直线斜率存在时，先设切线方程为，由圆心到直线的距离等于半径列方程，得出的值即可求出直线方程． 【小问1详解】 将圆：化成标准方程：， 所以的圆心为，半径， 所以到直线：的距离， 所以； 【小问2详解】 ①当直线斜率不存在时，过点的直线为，是圆的一条切线； ②当直线的斜率存在时，设圆的切线方程为，即， 所以圆心到直线的距离为， 即，解得：， 所以此时切线方程为，化简得． 综上所述，所求的直线方程为：或． 16. 已知椭圆长轴长为4，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为． （1）求椭圆的方程； （2）设斜率为且过的直线与椭圆交于两点，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由椭圆的基本性质得到椭圆的值，写出椭圆方程. （2）写出直线方程，联立方程组，由韦达定理得到和，用交点弦长公式得到线段长，由点到直线距离得到三角形高，从而算出三角形面积. 【小问1详解】 由题意可知：，则， ∵，∴， ∴， ∴椭圆 【小问2详解】 ，∴直线：， 联立方程组得, 设， 则， 点到直线的距离 ∴ 17. 如图，在以为顶点，母线长为的圆锥中，底面圆的直径长为，是圆所在平面内一点，且是圆的切线，连接交圆于点，连接. （1）求证：平面平面； （2）若是的中点，连接，当时，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 因为是圆的直径，与圆切于点，所以， 又底面圆，底面圆， ，又，平面， 平面，又平面，， 在中，，，则，， 因为，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先证明平面，即可得到，再证明，即可得到平面，从而得证； （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为底面圆，如图以为原点，在底面圆内过点作的垂线为轴，分别为轴，轴建立空间直角坐标系， 易得，，，，，， 由（1）知，为平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为， 因为，， 由，得到，令，得，， 所以平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 18. 如图，已知椭圆过点，焦距为，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的两点，且直线均不与轴垂直. （1）求椭圆的方程； （2）求中点E的轨迹方程； （3）记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值. 【答案】（1） （2） （3） 由直线的斜率存在且异于点得，，故且， ∴ ， ∴为定值. 【解析】 【分析】（1）根据条件列的关系式求解即可. （2）设直线方程，与椭圆联立可表示点，根据点横、纵坐标之间的关系可得轨迹方程. （3）根据韦达定理代入中即可得到定值. 【小问1详解】 由题意得，， 又∵，∴， ∴椭圆的方程为. 【小问2详解】 设直线方程为，， 由得，， 由得，， 则， ∴， ∵E为中点，∴，即， 设，则， 由得， 故中点E的轨迹方程为. 【小问3详解】 略 19. 如图，在四棱锥中，面，且，分别为的中点. （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值是？若存在，求出的值，若不存在，说明理由； （3）在平面内是否存在点，满足，若不存在，请简单说明理由；若存在，请写出点的轨迹图形形状. 【答案】（1） 如图， 过E作交于点G,连接, 面，面，则， 又面，面，且不共线，故， 因为为的中点，所以也为中点，又为的中点，所以， 而平面，平面，所以平面，同理平面， 又因为，平面， 所以平面平面，而平面, 所以平面； （2） 存在，, 理由如下： 设如图, 以点A为原点建立空间直角坐标系, 则， 故， 则， 设平面的法向量 ,则有 ,取 , 整理得 , 解得 或(舍去)， 所以当时, 直线与平面所成角的正弦值是. （3） 存在， 由（2）知，平面的一个法向量， 点中点，则, 则中点到平面的距离为， 由，即故在以中点为球心，半径为的球面上， 而，故在面上的轨迹是半径为的圆， 故存在符合题意的， 此时轨迹是半径为 的圆. 【解析】 【分析】（1）过E作交于点G,连接,由线线平面证明面面平行，再由面面平行的性质即可得出线面平行的证明； （2）先求出面的法向量，设 , 利用向量法结合线面角得正弦值求解即可; （3）由 点在空间内轨迹为以中点为球心, 为半径的球,而 中点到平面的距离为 , 即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：第三问，根据题设有则在以中点为球心，半径为的球面上，再求中点到面距离，结合直观想象及计算确定在面上的轨迹. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈尔滨市第九中学校2024—2025学年度上学期 期中学业阶段性评价考试高二数学学科考试试卷 （考试时间：120分钟，满分150分） 第I卷（选择题共58分） 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，每小题只有一项是符合题目要求的） 1. 已知直线过点且与直线平行，则直线的一般式方程为（ ） A. B. C. D. 2. “”是“直线与直线垂直”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 正方体的棱长为，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知点F，A分别是椭圆的左焦点、右顶点，满足，则椭圆的离心率等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知 ，是椭圆上的动点，是线段上的点，且满足，则动点的轨迹方程是 A. B. C. D. 7. 已知平面的一个法向量为，点在外，点在内，且，则点到平面的距离（ ） A. B. C. D. 8. 若圆上恰有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（共3小题，每小题有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则 B. 若空间中任意一点O，有，则四点共面 C. 若空间向量，满足，则与夹角为钝角 D. 若空间向量，，则在上的投影向量为 10. 已知直线和圆，则下列选项正确的是（ ） A. 直线恒过点 B. 圆与圆公共弦所在直线方程为 C. 直线被圆截得的最短弦长为 D. 当时，圆上存在无数对关于直线对称的点 11. 2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”．如图，在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与轴交于点．若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点，则下列说法正确的有（ ） A. 椭圆的长轴长为 B. 线段长度的取值范围是 C. 面积的最小值是4 D. 的周长为 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题（共3小题，每小题5分，请将答案写在答题纸指定位置上） 12. 已知椭圆（）的一个焦点是（，0），则椭圆的长轴长是______. 13. 已知点，点是圆上任意一点，则到直线距离的最小值为__________. 14. 关于的方程有实数解，则实数的取值范围是___________. 四､解答题（共5小题，满分77分，解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知直线和圆． （1）若直线交圆于，两点，求弦的长； （2）求过点且与圆相切的直线方程． 16. 已知椭圆长轴长为4，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为． （1）求椭圆的方程； （2）设斜率为且过的直线与椭圆交于两点，求的面积． 17. 如图，在以为顶点，母线长为的圆锥中，底面圆的直径长为，是圆所在平面内一点，且是圆的切线，连接交圆于点，连接. （1）求证：平面平面； （2）若是的中点，连接，当时，求平面与平面夹角的余弦值. 18. 如图，已知椭圆过点，焦距为，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的两点，且直线均不与轴垂直. （1）求椭圆的方程； （2）求中点E的轨迹方程； （3）记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值. 19. 如图，在四棱锥中，面，且，分别为的中点. （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值是？若存在，求出的值，若不存在，说明理由； （3）在平面内是否存在点，满足，若不存在，请简单说明理由；若存在，请写出点的轨迹图形形状. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $