精品解析：云南省大理州大理市大理白族自治州民族中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

大理州民族中学2024-2025学年上学期期中考试 高二数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知椭圆方程为，则该椭圆的长轴长为（ ） A. 6 B. 12 C. 8 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】利用标准方程可求得，再根据长轴定义即可求出结果. 【详解】根据椭圆标准方程可知，解得； 所以该椭圆的长轴长为. 故选：D 2. 若直线l经过点A(，－1)，B(，2)，则l的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】C 【解析】 【分析】结合已知条件，利用两点求斜率和斜率与倾斜角的关系即可求解. 【详解】因为l经过点A(2－1)，B(，2)， 所以由两点求斜率和斜率与倾斜角关系得，， 故. 故选：C. 3. 在三棱柱中，D是四边形的中心，且，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量线性运算计算即可. 【详解】 . 故选：D. 4. 已知直线与直线互相垂直，则实数（ ） A. B. 2 C. 或2 D. 或-2 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线间的位置关系列出方程，解之即可求解. 【详解】因为直线与直线互相垂直， 所以，解得或. 故选：C. 5. 已知圆和，则两圆的公切线的条数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】利用两圆的位置关系判定公切线个数即可. 【详解】易知，可知，半径为1； 而，即，半径为2； 所以，即两圆相外切，有三条公切线. 故选：B 6. 在正四棱锥中，，M为棱PC的中点，则异面直线AC，BM所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，分别求出直线AC，BM的方向向量，利用向量的夹角公式，结合向量的夹角与异面直线所成角的关系即可求解. 【详解】设AC，BD交于点O，以O为原点，，，方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示， 则,，，，， 所以，， 设异面直线AC，BM所成角为，则 ． 故选：D． 7. 在平面直角坐标系中，动圆与直线相切，则其中面积最大的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用定点到动直线距离的最值及两点距离公式计算即可. 【详解】易知，而直线，其过定点， 设C到的距离为， 若动圆与直线相切，则， 所以A正确. 故选：A 8. 如图所示，椭圆中心在原点，F是左焦点，直线与BF交于点D，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设左顶点，左焦点，上顶点，下顶点，由两点间斜率公式求出直线的斜率与直线的斜率，由题意，直线的斜率与直线的斜率的积为，联立椭圆中，即可求出椭圆的离心率． 【详解】解：设左顶点，左焦点，上顶点，下顶点 则直线的斜率为，直线的斜率为， 因为，所以， 所以，即， 又，所以， 所以，解得， 因为，所以， 故选：B． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知平面过点，其法向量，则下列点在平面内的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据条件，求出平面方程，在判断点是否在平面上. 【详解】方法一：根据题意，平面的方程为：， 即. 对A：因为，所以点在平面内，故A正确； 对B：因为，所以点不在平面内，故B错误； 对C：因为，所以点不在平面内，故C错误； 对D：因为，所以点在平面内，故D正确. 方法二：对A：设，则，因为，所以在平面内，故A正确； 对B：设，则，因为，所以点不在平面内，故B错误； 对C：设，则，因为，所以点不在平面内，故C错误； 对D：设，则，因为，所以点在平面内，故D正确. 故选：AD 10. 已知圆，则下列说法正确的有（ ） A. 直线与圆C的相交弦长为 B. 圆C关于直线对称的圆的方程为 C. 若点是圆C上的动点，则的最大值为 D. 若圆C上有且仅有三个点到直线的距离等于，则或 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，求出直线到圆心距离，再利用垂径定理结合勾股定理可得答案. 对于B，相当于求以点C关于直线对称点为圆心，半径不变的圆的方程. 对于C，注意到，结合范围可得答案. 对于D，题目等价于直线到圆心距离为，进而可得答案. 【详解】圆 对于选项A，设到圆心距离为.又圆C半径为. 所以直线与圆C的相交弦长.故A正确. 对于选项B，点C关于对称点为，又关于直线对称的圆半径不变. 则圆C关于直线对称的圆的方程为.故B正确. 对于选项C，由圆C：，可得. 又，得，故C错误. 对于选项D，圆C上有且仅有三个点到直线的距离等于等价于 直线到圆心距离. 则，得或.故D正确. 故选：ABD 【点睛】结论点睛：本题A，B，C选项所涉知识较为基础，选项D涉及的结论为： 设直线l与圆O相交，l到O距离为d，圆O半径为r，圆上一点P到l距离为. （1）若，满足条件的点P有2个. （2）若，满足条件的点P有4个 （3）若，满足条件的点P有3个 （4）若，满足条件的点P有2个 （5）若，满足条件的点P有1个 11. 已知椭圆的左、右两个焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一动点，M，则下列结论正确的有（ ） A. 的周长为6 B. 的最大面积为 C. 存在点P使得 D. 的最大值为5 【答案】ABD 【解析】 【分析】对选项A，利用椭圆定义即可判断A正确；对选项B，根据，即可判断B正确；对选项C，根据以为圆心，的圆与椭圆不相交，即可判断C错误；对选项D，根据，即可判断D正确. 【详解】椭圆，，，， 对选项A，的周长， 故A正确. 对选项B，，故B正确； 对选项C，若存在点P使得，则， 即存在以为圆心，的圆与椭圆相交. 因为，即圆与椭圆不相交，所以不存在点P使得，故C错误； 对选项D，，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________. 【答案】 【解析】 【分析】通过直线平行求出，然后利用平行线之间的距离求出结果即可． 【详解】直线与直线平行， 所以， 直线与直线的距离为 ． 故答案为：． 13. 在空间直角坐标系中，已知，则点到直线的距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求在的射影，再利用勾股定理求点到直线的距离. 【详解】由题意，， 所以在的射影为：. 所以点到直线的距离为：. 故答案为：1 14. 阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近”的方法得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的左，右焦点分别是，，是上一点，，，的面积为，则的标准方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】由，，根据椭圆的定义及余弦定理可得，的关系，根据“逼近”法求椭圆的面积公式，及，即可求得，的值，迸而可得的标准方程． 【详解】由椭圆的定义可知，又， 所以，，又， 所以，所以， 所以，， 又椭圆的面积为，所以，解得，，， 所以椭圆的标准方程为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 分别求满足下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点分别是，，并且椭圆经过点； （2）经过两点、. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）法：根据焦点坐标以及点在椭圆上得到关于的方程组，由此可求的值，则椭圆标准方程可知；法：根据椭圆定义求解出的值，根据求出的值，则椭圆标准方程可知； （2）设出椭圆方程，代入点的坐标可求，则椭圆标准方程可求. 【小问1详解】 法：由题意可知椭圆的焦点在轴上，设它的标准方程为， 由已知得， 又因为，所以， 因为点在椭圆上，所以，即， 从而有，解得或（舍去）， 因此， 从而所求椭圆的标准方程为. 法：由题意可知椭圆的焦点在轴上，且， 所以， 故， 从而所求椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 设椭圆的方程为， 因为椭圆经过两点、， 所以，解得，， 即椭圆方程为， 故椭圆的标准方程为：. 16. （1）直线经过两直线与的交点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. （2）已知直线经过点，且与圆相切，求直线的方程. 【答案】（1）或；（2）或. 【解析】 【分析】（1）联立方程得交点，即可分直线有无斜率，代入坐标即可求解， （2）根据点到直线的距离，讨论直线有无斜率，即可求解. 【详解】（1）由题意可知，，解得， 所以直线与的交点坐标为， 当直线经过坐标原点时，设直线方程，代入可得，解得， 直线的方程为，即. 当直线不经过原点时，设直线的方程为，则 因为直线经过点，所以，解得， 所以直线的方程为，即. 综上，所求直线的方程为或. （2）依题知，圆心到直线的距离为3， 当直线的斜率不存在时，过点的直线方程为，满足题意； 当直线的斜率不时，设直线的方程为，即， 因为原点到直线的距离等于3，所以，解得， 所以直线的方程为，即. 综上，所求直线的方程为或. 17. 已知圆的圆心在轴上，且经过点. （1）求圆的标准方程； （2）过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程. 【答案】（1）（2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，设的中点为，求出的坐标，求出直线的斜率，由直线的点斜式方程分析可得答案，设圆的标准方程为，由圆心的位置分析可得的值，进而计算可得的值，据此分析可得答案； （2）设为的中点，结合直线与圆的位置关系，分直线的斜率是否存在两种情况讨论，综合即可得答案. 【详解】解：（1）设的中点为，则， 由圆的性质得， 所以，得， 所以线段的垂直平分线方程是， 设圆的标准方程为，其中，半径为， 由圆的性质，圆心在直线上，化简得， 所以圆心，， 所以圆的标准方程为； （2）由（1）设为中点，则，得， 圆心到直线的距离， 当直线的斜率不存在时，的方程，此时，符合题意； 当直线的斜率存在时，设的方程，即， 由题意得，解得； 故直线的方程为， 即； 综上直线的方程为或. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆方程的综合应用，属于基础题. 18. 在四棱锥中，底面是正方形，若，，. （1）证明：平面平面； （2）求平面和平面的夹角的余弦值. 【答案】（1） 取的中点为，连接. 因为，，则， 而，，故. 在正方形中，因为，故，故， 因为，故，故为直角三角形且， 因为，且平面，故平面， 因为平面，故平面平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）取的中点为，连接，由勾股定理证明为直角三角形且，再由面面垂直的判定定理证明即可； （2）建如图所示的空间坐标系，求出平面和平面的法向量，代入空间向量二面角公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在平面内，过作，交于，则， 结合（1）中的平面，故可建如图所示的空间坐标系. 则，，，故，. 设平面的法向量， 则即，取，则，， 故. 而平面的法向量为， 设平面和平面的夹角为，则 . 故平面和平面的夹角的余弦值为. 19. 如图，已知圆，圆心是点，点是圆上的动点，点的坐标为，线段的垂直平分线交线段于点，记动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）过点作一条直线与曲线相交于两点，与轴相交于点，若，试探究是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2）为定值 【解析】 【分析】（1）根据，结合椭圆的定义即可求解， （2）联立直线与椭圆方程可得韦达定理，即可根据向量的坐标运算表示，且，代入化简即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 所以，半径， 因为线段的中垂线交线段于点，所以， 所以， 所以动点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆， 所以，，， 故曲线的方程为. 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，其方程为，与轴不相交，不合题意，舍去， 当直线的斜率存在时，设所在直线方程为， 设，， 由 消去整理得，恒成立， 所以， 又因为直线与轴的交点为，所以， 所以，， ，， 又因为，所以，同理， 所以，且， 所以， 整理后得， 所以为定值，原题得证. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大理州民族中学2024-2025学年上学期期中考试 高二数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知椭圆方程为，则该椭圆的长轴长为（ ） A. 6 B. 12 C. 8 D. 16 2. 若直线l经过点A(，－1)，B(，2)，则l的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 3. 在三棱柱中，D是四边形的中心，且，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线与直线互相垂直，则实数（ ） A. B. 2 C. 或2 D. 或-2 5. 已知圆和，则两圆的公切线的条数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 在正四棱锥中，，M为棱PC的中点，则异面直线AC，BM所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，动圆与直线相切，则其中面积最大的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，椭圆中心在原点，F是左焦点，直线与BF交于点D，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知平面过点，其法向量，则下列点在平面内的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知圆，则下列说法正确的有（ ） A. 直线与圆C的相交弦长为 B. 圆C关于直线对称的圆的方程为 C. 若点是圆C上的动点，则的最大值为 D. 若圆C上有且仅有三个点到直线的距离等于，则或 11. 已知椭圆的左、右两个焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一动点，M，则下列结论正确的有（ ） A. 的周长为6 B. 的最大面积为 C. 存在点P使得 D. 的最大值为5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________. 13. 在空间直角坐标系中，已知，则点到直线的距离为__________. 14. 阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近”的方法得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的左，右焦点分别是，，是上一点，，，的面积为，则的标准方程为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 分别求满足下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点分别是，，并且椭圆经过点； （2）经过两点、. 16. （1）直线经过两直线与的交点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. （2）已知直线经过点，且与圆相切，求直线的方程. 17. 已知圆的圆心在轴上，且经过点. （1）求圆的标准方程； （2）过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程. 18. 在四棱锥中，底面是正方形，若，，. （1）证明：平面平面； （2）求平面和平面的夹角的余弦值. 19. 如图，已知圆，圆心是点，点是圆上的动点，点的坐标为，线段的垂直平分线交线段于点，记动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）过点作一条直线与曲线相交于两点，与轴相交于点，若，试探究是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $