基础知识必备手册之高三数学《选修系列》：柯西不等式

柯西不等式 (1)二维形式：若a，b，c，d都是实数，则 (a2＋b2)(c2＋d2)≥____________，当且仅当__________时，等号成立．[来源:学科网ZXXK] (2)向量形式：设α、β是平面上的两个向量，则__________________≥|α，β|，当且仅当α，β共线时等号成立． 3．三角形不等式[来源:学+科+网] 设x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R，那么 . ≥＋ 典型例题 例1．已知x, y, R，且 ，则 的最小值是（ ） A．20 B．25 C．36 D．47 【答案】C 例2.已知a，b，c∈R，则2a2+3b2+6c2=1是a+b+c∈[﹣1，1]的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由柯西不等式得：|a+b+c|≤|a|+|b|+|c| = =1，（2a2+3b2+6c2=1） 所以﹣1≤a+b+c≤1， 反之，当﹣1≤a+b+c≤1时，不妨令a=0.9，b=0，c=0.1；2a2+3b2+6c2=1.68＞1， 所以2a2+3b2+6c2=1是a+b+c∈[﹣1，1]的充分不必要条件，故选A． 例3.设a，b，c，x，y，z是正数，且a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 例4．已知 R, ， ，则M的最大值是 ．[来源:Z|xx|k.Com] 【答案】 ． 【解析】由柯西不等式式易知 ，所以 即是 ，故应填入 ． 例5．已知 （1）求 的最小值及取最小值时 的值。 （2）若 ，求 的取值范围。[来源:学.科.网Z.X.X.K] 【答案】（1） ， ；（2） 。 【解析】（1）根据柯西不等式得： EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ， 即 ，∴ ，等号成立的条件是 ， [来源:学科网] ∴当 时， 。 （2）根据条件可得 ，根据柯西不等式得： 即 ，∴ ，解之得 。 例6.求函数： 最大值． 【答案】 例8.在 中，内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c，证明： （1