精品解析：湖北省华中师范大学东湖开发区第一附属中学2025届高三上学期第一次调研测试数学试题

2025届湖北省华中师范大学东湖开发区第一附属中学 高中毕业班第一次调研测试数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上.用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上.将条形码粘贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑； 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试题卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案； 不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设a，b都是不等于1的正数，则“”是“”的（　　） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数以及指数函数的性质求解a,b的范围，再利用充分必要条件的定义判断即可． 【详解】由“”，得， 得或或， 即或或， 由，得， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选C． 【点睛】本题考查必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法，考查指数，对数不等式的解法，是基础题． 2. 已知四棱锥中，平面，底面是边长为2的正方形，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意建立空间直角坐标系，表示出各点坐标后，利用即可得解. 【详解】平面，底面是边长为2的正方形， 如图建立空间直角坐标系，由题意： ，，，，， 为的中点，. ，， ， 异面直线与所成角的余弦值为即为. 故选：B. 【点睛】本题考查了空间向量的应用，考查了空间想象能力，属于基础题. 3. 总体由编号01，,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A. 08 B. 07 C. 02 D. 01 【答案】D 【解析】 【详解】从第一行的第5列和第6列起由左向右读数划去大于20的数分别为：08,02,14,07,01，所以第5个个体是01，选D. 考点：此题主要考查抽样方法的概念、抽样方法中随机数表法，考查学习能力和运用能力. 4. 已知函数若关于的方程有六个不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，则，由图象分析可知在上有两个不同的根，再利用一元二次方程根的分布即可解决. 【详解】令，则，如图 与顶多只有3个不同交点，要使关于的方程有 六个不相等的实数根，则有两个不同的根， 设由根的分布可知， ，解得. 故选：B. 【点睛】本题考查复合方程根的个数问题，涉及到一元二次方程根的分布，考查学生转化与化归和数形结合的思想，是一道中档题. 5. 已知与函数和都相切，则不等式组所确定的平面区域在内的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据直线与和都相切，求得的值，由此画出不等式组所表示的平面区域以及圆，由此求得正确选项. 【详解】.设直线与相切于点，斜率为，所以切线方程为，化简得①.令，解得，，所以切线方程为，化简得②.由①②对比系数得，化简得③.构造函数，，所以在上递减，在上递增，所以在处取得极小值也即是最小值，而，所以有唯一解.也即方程③有唯一解.所以切线方程为.即.不等式组即，画出其对应的区域如下图所示.圆可化为，圆心为.而方程组的解也是.画出图像如下图所示，不等式组所确定的平面区域在内的部分如下图阴影部分所示.直线的斜率为，直线的斜率为.所以，所以，而圆的半径为，所以阴影部分的面积是. 故选：B 【点睛】本小题主要考查根据公共切线求参数，考查不等式组表示区域的画法，考查圆的方程，考查两条直线夹角的计算，考查扇形面积公式，考查数形结合的数学思想方法，考查分析思考与解决问题的能力，属于难题. 6. 已知，满足约束条件，则的最大值为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合即可得到结论． 【详解】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示， 等价于，作直线，向上平移， 易知当直线经过点时最大，所以，故选D． 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法． 7. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】D 【解析】 【分析】根据解析式确定的图象平移过程即可. 【详解】由，则可由的图象向右平移个单位得到. 故选：D 8. 在的展开式中，含的项的系数是（ ） A. 74 B. 121 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，利用通项公式得到含的项为：，进而得到其系数， 【详解】因为在， 所以含的项为：， 所以含的项的系数是的系数是， ， 故选：D 【点睛】本题主要考查二项展开式及通项公式和项的系数，还考查了运算求解的能力，属于基础题， 9. 已知双曲线C的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线C的方程不可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 判断出已知条件中双曲线的渐近线方程，求得四个选项中双曲线的渐近线方程，由此确定选项. 【详解】两条渐近线的夹角转化为双曲渐近线与轴的夹角时要分为两种情况．依题意，双曲渐近线与轴的夹角为30°或60°，双曲线的渐近线方程为或.A选项渐近线为，B选项渐近线为，C选项渐近线为，D选项渐近线为.所以双曲线的方程不可能为. 故选：C 【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程，属于基础题. 10. 设命题：，，则为 A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可. 【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题：，，则为：，. 故本题答案为D. 【点睛】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题. 11. 已知等差数列的前项和为，若，则等差数列公差（　　） A. 2 B. C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的求和公式即可得出． 【详解】∵a1=12，S5=90， ∴5×12+ d=90， 解得d=3． 故选C． 【点睛】本题主要考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 12. 在声学中，声强级（单位：）由公式给出，其中为声强（单位：）.，，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由得，分别算出和的值，从而得到的值. 【详解】∵， ∴， ∴， 当时，，∴， 当时，，∴， ∴， 故选：D. 【点睛】本小题主要考查对数运算，属于基础题. 二、填空题：本题共4 小题，每小题5分，共20分. 13. 记等差数列和的前项和分别为和，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】结合等差数列的前项和公式,可得,求解即可. 【详解】由题意,,, 因为,所以. 故答案为:. 【点睛】本题考查了等差数列的前项和公式及等差中项的应用,考查了学生的计算求解能力,属于基础题. 14. 已知函数，若恒成立，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】 求导得到，讨论和两种情况，计算时，函数在上单调递减，故，不符合，排除，得到答案。 【详解】因为，所以，因为，所以. 当，即时，，则在上单调递增，从而，故符合题意； 当，即时，因为在上单调递增，且，所以存在唯一的，使得. 令，得，则在上单调递减，从而，故不符合题意.综上，的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，转化为函数的最值问题是解题的关键. 15. 已知向量满足，则向量与的夹角为_________. 【答案】 【解析】 【分析】由两边平方得，利用数量积的定义可求向量与的夹角. 【详解】∵，∴， 由得，，∴， ∴，∴， 由得，，即向量与的夹角为. 故答案为：. 16. 设α、β为互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出下列四个命题： ①若m∥n，则m∥α； ②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β； ③若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n； ④若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，m⊥n，则n⊥β； 其中正确命题的序号为_____． 【答案】④ 【解析】 【分析】 根据直线和平面，平面和平面的位置关系依次判断每个选项得到答案. 【详解】对于①，当m∥n时，由直线与平面平行的定义和判定定理，不能得出m∥α，①错误； 对于②，当m⊂α，n⊂α，且m∥β，n∥β时，由两平面平行的判定定理，不能得出α∥β，②错误； 对于③，当α∥β，且m⊂α，n⊂β时，由两平面平行的性质定理，不能得出m∥n，③错误； 对于④，当α⊥β，且α∩β＝m，n⊂α，m⊥n时，由两平面垂直的性质定理，能够得出n⊥β，④正确； 综上知，正确命题的序号是④． 故答案为：④． 【点睛】本题考查了直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力和推断能力. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是(为参数)，以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为. (Ⅰ)求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程； (Ⅱ)已知直线与曲线交于，两点，与轴交于点，求. 【答案】（1）(x－1)2＋y2＝4,直线l的直角坐标方程为x－y－2＝0；（2）3. 【解析】 【分析】(1)消参得到曲线的普通方程，利用极坐标和直角坐标方程的互化公式求得直线的直角坐标方程；(2)先得到直线的参数方程，将直线的参数方程代入到圆的方程，得到关于的一元二次方程，由根与系数的关系、参数的几何意义进行求解. 【详解】(1)由曲线C的参数方程 (α为参数) (α为参数)， 两式平方相加，得曲线C的普通方程为(x－1)2＋y2＝4； 由直线l的极坐标方程可得ρcosθcos－ρsinθsin＝ρcosθ－ρsinθ＝2， 即直线l的直角坐标方程为x－y－2＝0. (2)由题意可得P(2，0)，则直线l的参数方程为 (t为参数)． 设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则|PA|·|PB|＝|t1|·|t2|， 将 (t为参数)代入(x－1)2＋y2＝4，得t2＋t－3＝0， 则Δ>0，由韦达定理可得t1·t2＝－3，所以|PA|·|PB|＝|－3|＝3. 18. 已知数列的前项和和通项满足. （1）求数列的通项公式； （2）已知数列中，，，求数列的前项和. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）当时，利用可得，故可利用等比数列的通项公式求出的通项. （2）利用分组求和法可求数列的前项和. 【详解】（1）当时，，所以， 当时，，① ，② 所以， 即，又因为，故，所以， 所以是首项，公比为的等比数列， 故. （2）由得：数列为等差数列，公差， ，， . 【点睛】本题考查数列的通项与求和，注意数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法. 19. 已知数列满足，且. （1）求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）证明：因为，所以，即， 所以数列是等差数列，且公差，其首项 所以，解得； （2）. 【解析】 【分析】（1）将等式变形为，进而可证明出是等差数列，确定数列的首项和公差，可求得的表达式，进而可得出数列的通项公式； （2）利用错位相减法可求得数列的前项和. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，① ，② ①②，得， 所以. 【点睛】本题考查利用递推公式证明等差数列，同时也考查了错位相减法求和，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 20. 根据国家统计局数据，1978年至2018年我国GDP总量从0.37万亿元跃升至90万亿元，实际增长了242倍多，综合国力大幅提升. 将年份1978，1988，1998，2008，2018分别用1，2，3，4，5代替，并表示为；表示全国GDP总量，表中，. 3 26.474 1.903 10 209.76 14.05 （1）根据数据及统计图表，判断与（其中为自然对数的底数）哪一个更适宜作为全国GDP总量关于的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由），并求出关于的回归方程. （2）使用参考数据，估计2020年的全国GDP总量. 线性回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： ，. 参考数据： 4 5 6 7 8 的近似值 55 148 403 1097 2981 【答案】（1），；（2）148万亿元. 【解析】 【分析】 （1）由散点图知更适宜，对两边取自然对数得，令，，，则，再利用线性回归方程的计算公式计算即可； （2）将代入所求的回归方程中计算即可. 【详解】（1）根据数据及图表可以判断， 更适宜作为全国GDP总量关于的回归方程. 对两边取自然对数得，令，，，得. 因为， 所以， 所以关于的线性回归方程为， 所以关于的回归方程为. （2）将代入，其中， 于是2020年的全国GDP总量约为：万亿元. 【点睛】本题考查非线性回归方程的应用，在处理非线性回归方程时，先作变换，转化成线性回归直线方程来处理，是一道中档题. 21. 某广告商租用了一块如图所示的半圆形封闭区域用于产品展示,该封闭区域由以为圆心的半圆及直径围成．在此区域内原有一个以为直径、为圆心的半圆形展示区,该广告商欲在此基础上,将其改建成一个凸四边形的展示区,其中、分别在半圆与半圆的圆弧上,且与半圆相切于点．已知长为40米,设为．（上述图形均视作在同一平面内） （1）记四边形的周长为,求的表达式; （2）要使改建成的展示区的面积最大,求的值． 【答案】（1）,．（2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理的,然后根据直线与圆相切的性质求出,从而求出; （2）求得的表达式,通过求导研究函数的单调性求得最大值. 【详解】解：（1）连．由条件得． 在三角形中,,,,由余弦定理,得 , 因为与半圆相切于,所以, 所以,所以． 所以四边形的周长为 ,． （2）设四边形的面积为,则 ,． 所以,． 令,得 列表： + 0 - 增 最大值 减 答：要使改建成的展示区的面积最大,的值为． 【点睛】本题考查余弦定理、直线与圆的位置关系、导数与函数最值的关系,考查考生的逻辑思维能力,运算求解能力,以及函数与方程的思想. 22. 已知的内角的对边分别为，且. （Ⅰ）求； （Ⅱ）若的周长是否有最大值？如果有，求出这个最大值，如果没有，请说明理由. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）有最大值，最大值为3. 【解析】 【分析】 （Ⅰ）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得； （Ⅱ）由正弦定理可得，则，再根据正弦函数的性质计算可得； 【详解】（Ⅰ）由得 再由正弦定理得 因此， 又因为，所以. （Ⅱ）当时，的周长有最大值，且最大值为3， 理由如下： 由正弦定理得， 所以， 所以. 因为，所以， 所以当即时，取到最大值2， 所以的周长有最大值，最大值为3. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，以及三角函数的性质的应用，属于中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届湖北省华中师范大学东湖开发区第一附属中学 高中毕业班第一次调研测试数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上.用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上.将条形码粘贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑； 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试题卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案； 不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设a，b都是不等于1的正数，则“”是“”的（　　） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知四棱锥中，平面，底面是边长为2的正方形，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 3. 总体由编号01，,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A. 08 B. 07 C. 02 D. 01 4. 已知函数若关于的方程有六个不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知与函数和都相切，则不等式组所确定的平面区域在内的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，满足约束条件，则的最大值为 A. B. C. D. 7. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位 8. 在的展开式中，含的项的系数是（ ） A. 74 B. 121 C. D. 9. 已知双曲线C的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线C的方程不可能为（ ） A. B. C. D. 10. 设命题：，，则为 A. ， B. ， C. ， D. ， 11. 已知等差数列的前项和为，若，则等差数列公差（　　） A. 2 B. C. 3 D. 4 12. 在声学中，声强级（单位：）由公式给出，其中为声强（单位：）.，，那么（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4 小题，每小题5分，共20分. 13. 记等差数列和的前项和分别为和，若，则______. 14. 已知函数，若恒成立，则的取值范围是___________. 15. 已知向量满足，则向量与的夹角为_________. 16. 设α、β为互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出下列四个命题： ①若m∥n，则m∥α； ②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β； ③若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n； ④若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，m⊥n，则n⊥β； 其中正确命题的序号为_____． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是(为参数)，以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为. (Ⅰ)求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程； (Ⅱ)已知直线与曲线交于，两点，与轴交于点，求. 18. 已知数列的前项和和通项满足. （1）求数列的通项公式； （2）已知数列中，，，求数列的前项和. 19. 已知数列满足，且. （1）求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 20. 根据国家统计局数据，1978年至2018年我国GDP总量从0.37万亿元跃升至90万亿元，实际增长了242倍多，综合国力大幅提升. 将年份1978，1988，1998，2008，2018分别用1，2，3，4，5代替，并表示为；表示全国GDP总量，表中，. 3 26.474 1.903 10 209.76 14.05 （1）根据数据及统计图表，判断与（其中为自然对数的底数）哪一个更适宜作为全国GDP总量关于的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由），并求出关于的回归方程. （2）使用参考数据，估计2020年的全国GDP总量. 线性回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： ，. 参考数据： 4 5 6 7 8 的近似值 55 148 403 1097 2981 21. 某广告商租用了一块如图所示的半圆形封闭区域用于产品展示,该封闭区域由以为圆心的半圆及直径围成．在此区域内原有一个以为直径、为圆心的半圆形展示区,该广告商欲在此基础上,将其改建成一个凸四边形的展示区,其中、分别在半圆与半圆的圆弧上,且与半圆相切于点．已知长为40米,设为．（上述图形均视作在同一平面内） （1）记四边形的周长为,求的表达式; （2）要使改建成的展示区的面积最大,求的值． 22. 已知的内角的对边分别为，且. （Ⅰ）求； （Ⅱ）若的周长是否有最大值？如果有，求出这个最大值，如果没有，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $