精品解析：湖南省长沙市南雅中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题

2024－2025学年湖南省长沙市南雅中学高一（上）月考 数学试卷（10月份） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，且，则（ ） A. 10或13 B. 13 C. 4或7 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】利用元素与集合的关系计算即可. 【详解】当，即时，，此时与4重复，则. 当，即时，. 故选：B 2. “”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件，必要条件的定义即可解出． 【详解】因为，但是，所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 3. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合间的关系，以及交并补运算的定义，结合选项即可逐一求解. 【详解】集合 ，，故选项A错误； 显然且，故选项B错误； ，故选项C正确； ，选项D错误. 故选：C 4. 下列不等式中成立的是（ ） A. 若，则 B. 已知，，，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等性质分别判断各选项. 【详解】A选项：当时，，A选项错误； B选项：因为，，， 所以， 所以，则，B选项正确； C选项：若，则，C选项错误； D选项：当，时，，D选项错误． 故选：B. 5. 已知南雅中学高一班有55名学生，在秋季运动会上，有17名学生参加了田赛项目，有22名学生参加了径赛项目，田赛和径赛都参加的有9名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为（ ） A. 25 B. 30 C. 24 D. 23 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意画出Venn图，再进行求解即可． 【详解】根据题意，画出Venn图如下： 所以该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为. 故选：A. 6. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由集合的定义求出，结合交集与补集运算即可求解. 【详解】因为，所以， 则， 故选：D 7. 已知集合，，用符号表示非空集合A中元素的个数.定义，若，则实数的所有可能取值构成的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中元素个数及新定义得或.分类讨论，根据元素个数研究方程的根即可求解的取值集合. 【详解】因为，，所以或.当时，或. 当时，关于x的方程有3个实数解， 所以关于x的方程只有一个解且不为1和， 则，解得. 当时，的解为1，不符合题意； 当时，的解为，符合题意. 综上，a的所有可能取值为0，1，，即所求集合为. 故答案为： 8. 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x(单位m)的取值范围是 A. [15,20] B. [12,25] C. [10,30] D. [20,30] 【答案】C 【解析】 【详解】 如图△ADE∽△ABC，设矩形的另一边长为y，则，所以，又，所以，即，解得. 【考点定位】本题考查平面几何知识和一元二次不等式的解法，对考生的阅读理解能力、分析问题和解决问题的能力以及探究创新能力都有一定的要求.属于中档题. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知命题p：，：命题q：，，则（ ） A. 是， B. 是真命题 C. p和都是假命题 D. 和q都是真命题 【答案】BCD 【解析】 【分析】结合命题否定的定义，找出对应反例的取值并依次判断命题p，q的真假，即可求解 【详解】命题q：，，则是，，故A错误； 当时，，故命题p为假命题，则是真命题，故B正确； 是，，当时，， 故是假命题，q为真命题，故CD正确． 故选：BCD. 10. 使成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】解分式不等式结合充分不必要条件的定义即可求解. 【详解】由得，解不等式得， 使成立的一个充分不必要条件是或者. 故选：AB. 11. 已知集合有且仅有两个子集，则下面正确的是（ ） A. B. C. 若不等式的解集为，则 D. 若不等式的解集为，且，则 【答案】BC 【解析】 【分析】由题意可得，即，由消元法计算可得A；结合基本不等式计算可得B；结合韦达定理计算即可得C、D. 【详解】A项，由于集合有且仅有两个子集，所以方程只有一个实数解， 所以，所以，由于，所以. ，当，时等号成立，故A项错误； B项，，当且仅当， 即，时，等号成立，故B项正确； C项，可得方程的两根分别为，，所以，故C项正确； D项，可得方程的两根分别为，，且， 则，， 则，所以，故D项错误． 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，若，则实数b的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】由可得，进而列出不等式，求出a的取值范围． 【详解】解：集合，， 由可得，， 所以， 即实数b的取值范围是. 故答案为：. 13. 一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站处建仓库，则和分别为万元和万元.这家公司应该把仓库建在距离车站________千米处，才能使两项费用之和最小为________. 【答案】 ①. ②. 万元 【解析】 【分析】由已知可得与分别与的关系，结合基本不等式可得最值. 【详解】依题意，设，，其中，是比例系数， 由题意可知，，， 解得，， 所以，，其中， 所以两项费用之和， 当且仅当，即时，等号成立， 所以这家公司应该把仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小值为万元． 故答案为：；万元． 14. 已知不等式对任意恒成立，则正实数a的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定不等式分离参数，再利用基本不等式求出最大值即可. 【详解】依题意，对任意，不等式恒成立， 当时，，当且仅当时取等号， 因此，所以正实数a的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设函数． （1）若关于的不等式的解集为，求实数的值； （2）若对于一切实数，恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式和一元二次方程之间的关系，求解即可； （2）根据二次函数恒成立，结合对参数的分类讨论，即可求得结果. 【小问1详解】 根据题意可得为方程的两根， 则，，解得. 【小问2详解】 根据题意，对任意的恒成立， 当时，恒成立，满足题意； 当时，要满足题意，则，解得； 综上所述，. 16. 已知全集，集合，. （1）求； （2）已知集合，若，求实数a的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）化简集合，根据集合的交并补运算求解； （2）要分M等于空集和不等于空集两种情况讨论．再根据已知求出a的取值范围． 【小问1详解】 ， 集合，故或， 则. 【小问2详解】 或， 当时，，，合题意； 当时，或， 所以， 综上可得，的取值范围为. 17. 某单位决定投资元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每长造价元，两侧墙砌砖，每长造价元， （1）求该仓库面积的最大值； （2）若为了使仓库防雨，需要为仓库做屋顶.顶部每造价元，求仓库面积的最大值，并求出此时正面铁栅应设计为多长？ 【答案】（1）.（2）的最大值是平方米，此时铁栅的长是米 【解析】 【分析】 设铁栅长为米，一侧砖墙长为米， （1）根据总投资额列方程，由此利用基本不等式求得的取值范围，进而求得仓库面积的最大值. （2）根据总投资额列方程，然后利用基本不等式进行化简，求得关于的不等式，解不等式求得的取值范围，并根据基本不等式等号成立的条件，求得此时正面铁栅的长. 【详解】设铁栅长为米，一侧砖墙长为米，仓库面积. （1） （2）依题设，得， 由基本不等式得， 则，即，故，从而， 所以的最大允许值是平方米.取得此最大值的条件是且，解得，即铁栅的长是米. 【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求解实际应用问题，属于中档题. 18. 已知二次函数． （1）若点在该二次函数的图象上，求的解集； （2）若点在该二次函数的图象上，且，求的最小值． 【答案】（1） 当时不等式的解集为； 当时不等式的解集为； 当时不等式的解集为； 当时不等式的解集为. （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，即，讨论，，，时，结合二次不等式的解法，不等式的解集，可得所求解集； （2）依题意可得，，可得，运用基本不等式和讨论，，可得所求最小值． 【小问1详解】 因为点在函数上， 所以，即， 所以不等式，即，即， ①当时，解得，即不等式的解集为； ②当时，原不等式即为，则不等式的解集为； ③当时，解得或，即不等式的解集为； ④当时，解得或，即不等式的解集为； 综上可得，当时不等式的解集为； 当时不等式的解集为； 当时不等式的解集为； 当时不等式的解集为. 【小问2详解】 解：因为点在函数上， 所以，即， 因为，所以， 所以， 当时，，可得的最小值为，当且仅当，时等号成立； 当时，，可得的最小值为，当且仅当，时等号成立． 所以的最小值为． 19. 已知集合，且，，其中，且．若，且对集合中的任意两个元素都有，则称集合有性质． （1）判断集合是否具有性质； （2）若集合具有性质． ①求证：的最大值大于等于； ②求的元素个数的最大值． 【答案】（1）该集合不具有性质 （2）10 【解析】 【分析】（1）由即可求解. （2）①设中元素，由，即可解决；②要使的元素个数的最大，由中的元素满足，根据①中结论得，然后逐个讨论的值即可解决. 【小问1详解】 由题知，集合， ， 该集合不具有性质. 【小问2详解】 ①证明：，不妨设 ，则， 故， 故的最大值大于等于. ②对任意正整数，，与①类似可得， 又显然，， 所以， 故， 所以， 又，且k为正整数，当或5时，， 所以的最小值为11， 所以，即． 又集合符合性质P， 且A中含10个元素，所以n的最大值为10． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年湖南省长沙市南雅中学高一（上）月考 数学试卷（10月份） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，且，则（ ） A. 10或13 B. 13 C. 4或7 D. 7 2. “”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列不等式中成立的是（ ） A. 若，则 B. 已知，，，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知南雅中学高一班有55名学生，在秋季运动会上，有17名学生参加了田赛项目，有22名学生参加了径赛项目，田赛和径赛都参加的有9名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为（ ） A. 25 B. 30 C. 24 D. 23 6. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知集合，，用符号表示非空集合A中元素的个数.定义，若，则实数的所有可能取值构成的集合为（ ） A. B. C. D. 8. 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x(单位m)的取值范围是 A. [15,20] B. [12,25] C. [10,30] D. [20,30] 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知命题p：，：命题q：，，则（ ） A. 是， B. 是真命题 C. p和都是假命题 D. 和q都是真命题 10. 使成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 11. 已知集合有且仅有两个子集，则下面正确的是（ ） A. B. C. 若不等式的解集为，则 D. 若不等式的解集为，且，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，若，则实数b的取值范围是________. 13. 一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站处建仓库，则和分别为万元和万元.这家公司应该把仓库建在距离车站________千米处，才能使两项费用之和最小为________. 14. 已知不等式对任意恒成立，则正实数a的取值范围是_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设函数． （1）若关于的不等式的解集为，求实数的值； （2）若对于一切实数，恒成立，求的取值范围. 16. 已知全集，集合，. （1）求； （2）已知集合，若，求实数a的取值范围. 17. 某单位决定投资元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每长造价元，两侧墙砌砖，每长造价元， （1）求该仓库面积的最大值； （2）若为了使仓库防雨，需要为仓库做屋顶.顶部每造价元，求仓库面积的最大值，并求出此时正面铁栅应设计为多长？ 18. 已知二次函数． （1）若点在该二次函数的图象上，求的解集； （2）若点在该二次函数的图象上，且，求的最小值． 19. 已知集合，且，，其中，且．若，且对集合中的任意两个元素都有，则称集合有性质． （1）判断集合是否具有性质； （2）若集合具有性质． ①求证：的最大值大于等于； ②求的元素个数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $