精品解析：北京市中关村中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

北京市中关村中学2024-2025学年高一上学期期中考试 数学 本试卷满分150分.考试时间 120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列函数中，在定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知为正数，则（ ） A. 有最小值，为2 B. 有最小值，为 C. 有最小值，为4 D. 不一定有最小值 5. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） ① 与 ② 与 ③ 与 ④ 与 A. ①② B. ③④ C. ②④ D. ①④ 6. 关于方程的解集T说法正确的是（ ）． A. T一定为单元素集 B. T一定为空集 C. T为空集当且仅当 D. T可能有无穷多个元素 7. 是的（ ）条件. A. 充分必要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 既不充分也不必要 8. 已知函数的部分图象如下图所示，则 （ ） A. 3 B. C. 15 D. 9 9. 已知函数，若对任意恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 已知集合，集合A，B，C满足：①每个集合恰有6个元素②，集合中元素最大值与最小值之和称为的特征数，记作. 则的最大值与最小值之和（ ）． A. 116 B. 132 C. 126 D. 114 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 11. 函数的定义域是__． 12. 关于x的方程两根的平方和为________. 13. 设函数的定义域为，则函数的定义域为____________． 14. 除函数以外，再写出一个定义域和值域均为的函数：________ 15. 函数在R上单调递增，则a的取值范围是__________ 16. 已知定义在R上的偶函数在上单调，且，，给出下列四个结论： ①在上单调递减； ②存在使 ③不等式的解集为 ④关于x的方程的解集所有元素之和为4 其中所有正确结论的序号是________. 三、解答题：本题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 写出下列不等式的解集 （1）； （2）； （3）. 18. 请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答. ①；②；③；若集合A={x|-2x-3＞0}，B={x|a-1＜x＜2a+3}设全集为. （1）若a=-1，求； （2）若 ，求实数a的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计 19. 设函数 （1）求函数的图象与直线交点的坐标； （2）当，求函数的最小值； （3）判断在上的单调性，并用定义证明. 20. 一公司垄断了S市某商品的生产与销售市场.已经调研发现，在一个销售周期内该商品的销量由定价x（单位：百元）决定（正常定价范围为300至700元），函数关系近似为（单位：万件）.公司根据调研结果先决定售价再进行等同于预期销量的生产.将销量×售价称为“销售额”（记作B）；已知每件商品的生产成本为200元，每个生产周期需要投入的固定成本约为1200万元，以上两项构成总成本（记作C）.定义“净收益”（记作）为：净收益=销售额-总成本. （1）请用函数表示净收益是如何决定的 （2）在正常定价范围内，公司如何制定销售策略能使净收益最大？并求出最大净收益 （3）公司现有机会额外投入420万元租用高科技生产设备，使本销售周期内的商品生产成本减半.公司是否应选择租用高科技设备？为什么？ 21. 定义在上的函数满足：①对任意，都有；②当时，都有. （1）求证是奇函数； （2）求证在上单调递减； （3）若且对所有恒成立，求实数t的范围. 22. 对于正数，，，，求证 （1） （2） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市中关村中学2024-2025学年高一上学期期中考试 数学 本试卷满分150分.考试时间 120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由交集的定义求解即可. 【详解】由已知可得，， 所以. 故选：. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，即可求解. 【详解】命题“，”的否定是，. 故选：. 3. 下列函数中，在定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据单调性和奇偶性分析判断即可. 【详解】对于选项A：因为在定义域内为增函数，故A错误； 对于选项B：因为在定义域内不单调，故B错误； 对于C：因为的定义域为，且，故为奇函数， 当时，在上单调递减； 当时，在单调递减； 所以故C在定义域内既是奇函数又是减函数，故C正确； 对于选项D：因为，可知在定义域内不单调，故D错误； 故选：C. 4. 已知为正数，则（ ） A. 有最小值，为2 B. 有最小值，为 C. 有最小值，为4 D. 不一定有最小值 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式计算可得. 【详解】因为为正数，所以，， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以有最小值. 故选：B 5. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） ① 与 ② 与 ③ 与 ④ 与 A. ①② B. ③④ C. ②④ D. ①④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的“三要素”判断是否为同一个函数即可. 【详解】对于①，的定义域为且， 的定义域为，所以定义域不同，不是同一函数，故①不正确； 对于②，，所以函数的对应关系一样， 又函数的定义域都是，所以是同一函数，故②正确； 对于③，的定义域为，的定义域为， 所以定义域不同，不是同一函数，故③不正确； 对于④，，所以函数的对应关系一样， 又函数的定义域都是， 所以是同一函数，故④正确. 故选：. 6. 关于方程的解集T说法正确的是（ ）． A. T一定为单元素集 B. T一定为空集 C. T为空集当且仅当 D. T可能有无穷多个元素 【答案】C 【解析】 【分析】分类讨论的值，即可得方程组解的情况. 【详解】由题意可知，即， 当时，不成立，方程组无解， 当时，，方程组有唯一解. 故选：. 7. 是的（ ）条件. A. 充分必要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 既不充分也不必要 【答案】D 【解析】 【分析】解出两不等式，再根据其解集的关系即可得到答案. 【详解】即，即，解得， 而，解得或，两不等式所表示的集合不具备包含关系， 则是的既不充分也不必要条件. 故选：D. 8. 已知函数的部分图象如下图所示，则 （ ） A. 3 B. C. 15 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】令，结合图象可知且，从而求得，，的值，即可求解. 【详解】令，所以， 由图可知方程的两个根为和，则， 又由图象可知，所以，则， 所以，解得， 所以， 所以，， 所以. 故选：. 9. 已知函数，若对任意恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据将问题转化为，根据函数在上单调递减，即可由求解. 【详解】当时，， 当时，， 故， 由可得 当时，， 当时，， 因此对任意的都有为奇函数， 且当时，单调递减，且，故在上单调递减， 故由得， 故对任意的成立， 故，解得或. 故选：B 10. 已知集合，集合A，B，C满足：①每个集合恰有6个元素②，集合中元素最大值与最小值之和称为的特征数，记作. 则的最大值与最小值之和（ ）． A. 116 B. 132 C. 126 D. 114 【答案】D 【解析】 【分析】判断集合中元素的最小值与最大值的可能情况，然后按照特征数定义求解即可. 【详解】因为满足:①每个集合都恰有个元素；②， 所以一定各包含个不同数值， 集合中元素的最小值分别是1，2，3，最大值是18，13，8， 特征数的和最小，如：，特征数为； ，特征数为； ，特征数为； 则最小，最小值为； 当集合中元素的最小值分别是1，6，11，最大值是18，17，16时， 特征数的和最大， 如：，特征数为； ，特征数为； ，特征数为； 则最大，最大值为， 故的最大值与最小值的和为. 故选：D. 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 11. 函数的定义域是__． 【答案】 【解析】 【分析】根据分母不等于零及开偶数次方根号里的数大于等于零求解即可. 【详解】由， 得，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 12. 关于x的方程两根的平方和为________. 【答案】 【解析】 【分析】解一元二次方程得到两根即可求解. 【详解】解方程，得或， 所以. 故答案为：. 13. 设函数的定义域为，则函数的定义域为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据的定义域可知的范围，从而求出的定义域. 【详解】因为的定义域为， 所以，解得， 所以函数的定义域为， 故答案为：. 14. 除函数以外，再写出一个定义域和值域均为的函数：________ 【答案】（答案不唯一，符合题意即可） 【解析】 【分析】举例，根据解析式求值域即可. 【详解】例如，则， 即定义域和值域均为，符合题意. 故答案为：（答案不唯一，符合题意即可）. 15. 函数在R上单调递增，则a的取值范围是__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分段函数单调性列式求解即得. 【详解】由函数在R上单调递增，得，解得， 所以a的取值范围是. 故答案为： 16. 已知定义在R上的偶函数在上单调，且，，给出下列四个结论： ①在上单调递减； ②存在使 ③不等式的解集为 ④关于x的方程的解集所有元素之和为4 其中所有正确结论的序号是________. 【答案】③④ 【解析】 【分析】根据偶函数和单调函数的性质，逐项判断即可. 【详解】因为是定义在上的偶函数，所以. 又，所以，且在上单调，所以在上单调递增，故①错误； 当时，，又函数为偶函数，图象关于轴对称，所以当时，必有，故②错误； 当时，因为在上单调递增，且，，所以由；又为偶函数，所以当时，由，所以的解集为：，故③正确； 由或， 由或，即或； 由或，即或. 又，故④正确. 故答案为：③④ 三、解答题：本题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 写出下列不等式的解集 （1）； （2）； （3）. 【答案】（1） （2） （3） 当时，原不等式解集为：； 当时，原不等式解集为：； 当时，原不等式解集为：； 当时，原不等式解集为：； 当时，原不等式解集为：. 【解析】 【分析】（1）根据绝对值不等式的解法求解. （2）根据分式不等式的解法求解. （3）分类讨论，解含有参数的一元二次不等式. 【小问1详解】 由， 所以原不等式的解集为：. 【小问2详解】 由 所以. 所以原不等式的解集为：. 【小问3详解】 （I）当时，原不等式可化为：； （II）当时，原不等式可化为：，因为，所以. （III）当时，原不等式可化为：. （i）时，即时，可得：或； （ii）时，即时，可得：或； （iii），即时，可得：. 综上可知：当时，原不等式解集为：； 当时，原不等式解集为：； 当时，原不等式解集为：； 当时，原不等式解集为：； 当时，原不等式解集为：. 18. 请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答. ①；②；③；若集合A={x|-2x-3＞0}，B={x|a-1＜x＜2a+3}设全集为. （1）若a=-1，求； （2）若 ，求实数a的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由集合的交集和补集运算求解即可； （2）①②③均等价于，讨论，两种情况，结合集合的包含关系得出实数a的取值范围. 【小问1详解】 或 当时，， 所以 【小问2详解】 ①②③均等价于 当时，，解得； 当时，有或 解得或 综上，实数a的取值范围或. 19. 设函数 （1）求函数的图象与直线交点的坐标； （2）当，求函数的最小值； （3）判断在上的单调性，并用定义证明. 【答案】（1）和 （2）7 （3） 在上单调递增. 证明：对任意，若，则 ， 因为，所以，所以， 又因为，所以. 因此在上单调递增. 【解析】 【分析】（1）联立解方程组求解； （2）利用基本不等式求最小值； （3）利用单调性的定义判断并证明. 【小问1详解】 与相交处有， ∴，即，解得或， 因此交点为和. 【小问2详解】 当时，，当且仅当时取等号. 因此函数的最小值为7. 【小问3详解】 略 20. 一公司垄断了S市某商品的生产与销售市场.已经调研发现，在一个销售周期内该商品的销量由定价x（单位：百元）决定（正常定价范围为300至700元），函数关系近似为（单位：万件）.公司根据调研结果先决定售价再进行等同于预期销量的生产.将销量×售价称为“销售额”（记作B）；已知每件商品的生产成本为200元，每个生产周期需要投入的固定成本约为1200万元，以上两项构成总成本（记作C）.定义“净收益”（记作）为：净收益=销售额-总成本. （1）请用函数表示净收益是如何决定的 （2）在正常定价范围内，公司如何制定销售策略能使净收益最大？并求出最大净收益 （3）公司现有机会额外投入420万元租用高科技生产设备，使本销售周期内的商品生产成本减半.公司是否应选择租用高科技设备？为什么？ 【答案】（1）， （2）定价600元时净收益最大，400万元 （3） 若租用高科技设备，则净收益变为 ， 当且仅当，即时等号成立， 在时取到最大值，经检验，在正常定价范围内， 因此最大净收益为万元，高于不租用高科技设备的最大净收益， 因此租用高科技设备是值得的. 【解析】 【分析】（1）根据已知题意列式即可求解； （2）由（1）可知，利用基本不等式求解即可； （3）根据题意可得租用高科技生产设备时净收益，结合基本不等式可得最值，即可求解. 【小问1详解】 ，； 【小问2详解】 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以在时取到最大值，经检验，在正常定价范围内， 因此，定价600元时净收益最大，净收益最大值为400万元； 【小问3详解】 略 21. 定义在上的函数满足：①对任意，都有；②当时，都有. （1）求证是奇函数； （2）求证在上单调递减； （3）若且对所有恒成立，求实数t的范围. 【答案】（1） 令，则有，所以； 对任意，令，则. 所以是奇函数. （2） 对任意，若，则 ， 由于，所以， 又因为，所以. 因此， 所以函数在上单调递减. （3） 【解析】 【分析】（1）利用赋值法及奇函数的定义证明； （2）由已知条件及函数单调性的定义证明； （3）由条件得在上最大值为1，从而对所有恒成立，令，，由题意得且，解不等式即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由于在上单调递减且为奇函数， 所以在上单调递减，最大值为. 由于对所有恒成立， 所以对所有恒成立， 即对所有恒成立， 令，， 由题意得且， 即且， 解得. 即实数t的范围是. 22. 对于正数，，，，求证 （1） （2） 【答案】（1） ， 当且仅当时取等号， （2） 解法一：注意到因式分解 ， 当且仅当时取到， 所以， 令，则有. 解法二：由第一问可知， ， 不等式两边同除可得， 两边同时取次方即可得， 令，则有. 方法3：不妨设，取， ①若，则（将其设为）， 因此有， ②若，不妨设，则有， 否则，因中前两项之和小于或等于，第三项等于，其计算结果不可能等于，与矛盾. 下面证明，只需证. 显然. 不妨设，则， ， 由于，所以，即. 因此有，所以. 而， 所以由①可得.证毕. 【解析】 【分析】（1）变形，利用基本不等式证明； （2）解法一：利用作差法证明，得，令，即得结论； 解法二：利用第一问结论证明，令，即得结论； 解法三：不妨设，取，分为，两种情况讨论证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $