精品解析：上海市延安中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

2024年延安中学高一年级上学期期中 一､填空题（每小题3分，共36分） 1. 已知集合，则__________. 2. 设，则不等式的解集为__________. 3. 已知，化简式子：__________. 4. 已知，则的取值范围为__________. 5. 当时，化简：______. 6. 集合与集合的关系是A___B.(用或填空) 7. 若且，则的取值范围为__________. 8. 已知，则方程的解集为__________. 9. 已知关于的一元二次方程的两个实根分别为，且，则实数__________. 10. 已知关于的不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围为__________. 11. 已知表示不大于的最大整数，如，则不等式的解集为______. 12. 若三个非零且互不相等的实数满足和，则称构成一组“有序好数对”；已知集合，则由中的三个元素组成的所有“有序好数对”的个数为__________. 二､选择题（每小题4分，共16分） 13. 若，则下列不等式中不成立的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. . 14. 设都是非零实数，方程与的解集分别为集合与，那么“”是“” 的（ ）. A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 15. 已知实数，则方程的两个实根分别属于区间（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 16. 已知两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，类比此定理，有以下结论：三个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均数，即当均为正实数时，，当且仅当时等号成立；利用上述结论，判断下列命题真假，则真命题为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 三､解答题（共48分） 17. 设为实数，比较与的值的大小； 18. 已知，集合； （1）当时，集合且，求集合； （2）已知，求实数的取值范围； 19. 已知，关于的方程； （1）若方程有两个正实数根，求实数的取值范围； （2）若方程有两个整数根，且为整数，求的值； 20. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一；规定：两个全等的矩形中心重合，且对应边互相垂直，所形成的图形称为“正十字形”；如图所示，窗花是由一张圆形纸片剪去一个“正十字形”剩下的部分，其中“正十字形”的顶点都在圆周上；已知两个矩形的宽和长都分别为（单位：分米）且宽小于长，若剪去的“正十字形”部分面积为4平方米； （1）请用表示，并写出的取值范围； （2）现为了节约纸张，需要所用圆形纸片面积最小；当取何值时，所用到的圆形纸片面积最小，并求出其最小值；（结果精确到0.01）； 21. 已知集合具有性质：对任意与至少有一个属于集合； （1）判断集合与是否具有性质，并说明理由； （2）已知具有性质，当时，求集合； （3）已知具有性质，求的值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年延安中学高一年级上学期期中 一､填空题（每小题3分，共36分） 1. 已知集合，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据交集运算求解. 【详解】因为集合， 所以， 故答案为： 2. 设，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分式不等式的解法求解即可. 【详解】由可得， 即， 解得或， 所以不等式的解集为， 故答案为： 3. 已知，化简式子：__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数幂的运算法则计算化简即可. 【详解】, 故答案为： 4. 已知，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的性质得解. 【详解】因为， 所以， 所以， 故答案为： 5. 当时，化简：______. 【答案】x 【解析】 【分析】利用根式化简计算即可. 【详解】当时，. 故答案为：x 6. 集合与集合的关系是A___B.(用或填空) 【答案】 【解析】 【分析】化简集合A，B，再根据表示所有的整数，表示所有的奇数判断. 【详解】因为集合， 集合， 所以AB. 故答案为： 【点睛】本题主要考查集合的基本关系的判断，属于基础题. 7. 若且，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式变形，然后解不等式可得． 【详解】由题意，当且仅当时等号成立， 解得，所以且等号能取得． 故答案为：． 8. 已知，则方程的解集为__________. 【答案】或， 【解析】 【分析】分类讨论去绝对值，即可求解. 【详解】当时，方程为，解得， 当时，方程为，解得， 当时，方程为，解得，不符合，舍去， 当时，方程为，解得，不符合，舍去， 综上可得解集为或， 故答案为；或， 9. 已知关于的一元二次方程的两个实根分别为，且，则实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得解. 【详解】由，解得或， 由根与系数的关系可得， 所以， 解得或（舍去）， 故答案为： 10. 已知关于的不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】分类讨论，根据不等式恒成立建立不等式得解. 【详解】当时，或， 时不等式为，不满足题意；时不等式为，符合题意； 当时，即时，不等式恒成立需满足， 解得或； 综上，实数的取值范围为或. 故答案为：或 11. 已知表示不大于的最大整数，如，则不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解法求出的取值范围，再根据定义求出取值范围即可. 【详解】由解得， 所以， 故不等式的解集为, 故答案为： 12. 若三个非零且互不相等的实数满足和，则称构成一组“有序好数对”；已知集合，则由中的三个元素组成的所有“有序好数对”的个数为__________. 【答案】30 【解析】 【分析】首先要确定“有序好数对”的三个数的内在关系，和，结合所给集合找出符合条件的数组有30组． 【详解】由三个非零且互不相等的实数，，满足满足且满足， 可得 消去，并整理得， 所以（舍去），，于是有． 在集合中，三个元素组成的所有数对必为整数对， 所以必为2的倍数，且，， 故这样的数对共30组． 故答案为：． 二､选择题（每小题4分，共16分） 13. 若，则下列不等式中不成立的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. . 【答案】B 【解析】 【分析】对于每个选项，我们将根据已知条件，利用不等式的性质进行分析判断. 【详解】对于A选项，因为，那么. 不等式两边同时除以，得到，即，所以，A选项成立. 对于B选项，由可得， 因为，此时，B选项不成立. 对于C选项，因为，和都是负数，所以，. 又因为，两边同时乘以，得到，即，C选项成立. 对于D选项，因为，和都是负数，绝对值大的反而小. 由，可得，，所以，D选项成立. 故选：B. 14. 设都是非零实数，方程与的解集分别为集合与，那么“”是“” 的（ ）. A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】；不能推出. 【详解】由都是非零实数 ， 可得， 方程与方程为同一方程，故； 而当时，可以取方程与方程. 故选: A. 【点睛】充要条件需要判断两个互逆命题的真假；真命题需要证明，假命题举反例. 15. 已知实数，则方程的两个实根分别属于区间（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数零点的存在定理求解. 【详解】设， 由，则， 由函数的零点存在定理知，的零点分别位于区间和， 故方程的两个实根分别属于区间和， 故选：C 16. 已知两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，类比此定理，有以下结论：三个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均数，即当均为正实数时，，当且仅当时等号成立；利用上述结论，判断下列命题真假，则真命题为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】将各选项中的代数式变形，利用三元均值不等式可判断各选项的正误. 【详解】因为，则， 当且仅当时，即当时，等号成立，故AC选项错误； 因为，则， 当且仅当时，即当时，等号成立，故B选项错误； 因为，， 当且仅当时，即当时，等号成立，故D选项正确. 故选：D 三､解答题（共48分） 17. 设为实数，比较与的值的大小； 【答案】 【解析】 【分析】根据作差比较法即可得解. 【详解】因为 ，当时等号成立， 所以. 18. 已知，集合； （1）当时，集合且，求集合； （2）已知，求实数的取值范围； 【答案】（1）或或. （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式分别求得集合，再由集合中的元素特征可得结果； （2）由可得，分类讨论集合是否为空集再由包含关系解得实数的取值范围. 【小问1详解】 解不等式可得或； 易知； 当时，可得； 由集合且可得或或. 【小问2详解】 由可得， 当时，可得； 当时，若，可得， 由可得，即； 若，可得，此时恒成立，即即可； 综上可得，实数的取值范围为. 19. 已知，关于的方程； （1）若方程有两个正实数根，求实数的取值范围； （2）若方程有两个整数根，且为整数，求的值； 【答案】（1）或 （2）1或3 【解析】 【分析】（1）根据方程有两个正根列出不等式组求解； （2）根据根与系数的关系，结合根及为整数，求出根即可得解. 【小问1详解】 因为关于的方程有两个正实数根， 所以，即， 解得或. 【小问2详解】 由方程有两个整数根， 所以且，， 由，所以或， 当时，，， 所以或，所以， 当时，，， 所以或，所以， 综上，的值为1或3. 20. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一；规定：两个全等的矩形中心重合，且对应边互相垂直，所形成的图形称为“正十字形”；如图所示，窗花是由一张圆形纸片剪去一个“正十字形”剩下的部分，其中“正十字形”的顶点都在圆周上；已知两个矩形的宽和长都分别为（单位：分米）且宽小于长，若剪去的“正十字形”部分面积为4平方米； （1）请用表示，并写出的取值范围； （2）现为了节约纸张，需要所用圆形纸片面积最小；当取何值时，所用到的圆形纸片面积最小，并求出其最小值；（结果精确到0.01）； 【答案】（1） （2）分米；平方分米 【解析】 【分析】（1）根据“正十字形”部分面积表达式可得，再由宽小于长限定出的取值范围即可； （2）求出圆形面积关于的表达式，利用基本不等式计算可得结果. 【小问1详解】 根据题意可知，剪去的“正十字形”部分面积可表示为， 可得， 由宽小于长可得，解得； 因此 【小问2详解】 若所用圆形纸片面积最小，可知圆的半径最小即可； 设圆的半径为，则圆的面积为 ； 当且仅当，即时，等号成立； 此时圆形纸片面积的最小值为（平方分米）. 21. 已知集合具有性质：对任意与至少有一个属于集合； （1）判断集合与是否具有性质，并说明理由； （2）已知具有性质，当时，求集合； （3）已知具有性质，求的值； 【答案】（1）M具有性质，不具有性质 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由新定义判断即可； （2）由定义知,，可得，再由，， 可分析出，即得解. （3）由得，再由，可得，， 即可得到，用累加法即可得到 一般结论，进而得到答案. 【小问1详解】 集合中，因为,，所以集合具有性质. 集合中，因为，所以集合不具有性质. 【小问2详解】 因为，且具有性质，所以,， 则，又因为，所以，则， 由集合的互异性知，而， 所以，故. 【小问3详解】 先证明一般结论： 具有性质，则. 因为具有性质， 所以 ,则，则. 又因为，所以 又因为，所以，则， 所以. 所以， 即， 所以具有性质，则， 所以. 【点睛】关键点点睛：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $