第09讲 分式方程（6个知识点+4种题型+2个易错+过关检测）-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（沪教版2024）

第09讲 分式方程（6个知识点+4种题型+2个易错+过关检测） 知识点一．分式方程的定义 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数． 知识点二．分式方程的解 求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 知识点三．解分式方程 （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． （2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解． ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验． 知识点四．分式方程的增根 （1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． （2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根． （3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根． 知识点五．由实际问题抽象出分式方程 由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系． （1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等． （2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路． 知识点六．分式方程的应用 1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． 2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间 等等． 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 题型一：根据增根的情况确定字母参数的值 方法规律：利用增根求字母参数的值的一般步骤: 第1步:去分母，将分式方程转化为整式方程; 第2步:找出增根,即使最简公分母为0的x的值; 第3步:将增根代入整式方程，求出字母参数的值 【例1】（2023秋•浦东新区期末）如果方程会产生增根，那么　　． 【分析】先解分式方程，求出是增根，增根就是使分式方程无意义的根，即． 【解答】解：方程 方程两边同时乘以，得 分式方程有增根 ，即 解得 故答案是． 【点评】本题考查了分式方程的解法和增根的意义．解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求根；另外，解分式方程一定要验根，若结果使分式方程无意义，则这个解是增根． 【变式1-1】若关于的分式方程有增根，则实数的值是 　　． 【分析】根据题意可得，然后把的值代入整式方程中进行计算即可解答． 【解答】解：， 去分母得：， 分式方程有增根， ， 把代入整式方程得：， 解得：， 故答案为：3． 【点评】本题考查了分式方程的增根，根据题意求出的值后代入整式方程中进行计算是解题的关键． 【变式1-2】当为何值时，关于的方程会产生增根？ 【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出的值． 【解答】解：方程两边同乘以得：， 解得：， 将代入上式，得， 答：当时，方程产生增根． 【点评】增根类题目可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程，求出表示的代数式；②把增根代入的代数式，即可求得相关字母的值． 【变式1-3】若关于的方程有增根．求的值． 【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到或，然后代入化为整式方程的方程算出的值． 【解答】解：方程两边都乘， 得， 整理得：， 原方程有增根， 最简公分母， 解得或， 当时，； 当时，，此时原方程为，，这个整式方程无解， 的值为3． 【点评】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 【变式1-4】（2023秋•蓝山县期中）关于的方程会产生增根，求的值． 【分析】分式方程去分母化为整式方程，使得分式方程分母为0的整式方程的根为分式方程的增根；原方程化为，由或，得增根为或，代入求得． 【解答】解：去分母得：， 由分式方程有增根，得到或，即或， 把代入方程得：， 解得：， 把代入方程得：， 解得：， 故当或时，方程有增根． 【点评】本题考查分式方程的求解，增根的定义，理解分式方程增根的定义是解题的关键． 题型二：根据分式方程无解确定字母参数的值 方法规律：分式方程无解的两种情况 (1)所化成的整式方程无解; (2)分式方程有增根 【例2】（22-23七年级上·上海青浦·期末）如果关于的分式方程无解，那么的值是 ． 【答案】或者 【分析】根据方程无解得出其对应的整式方程的解是或整式方程无解，即可求出． 【详解】解：， 方程两边同时乘以，得：， 整理得：， ∵该分式方程无解， ∴或者， ∴或者， 故答案为：或者． 【点睛】本题考查了分式方程无解的问题，解题关键是掌握分式方程无解说明了其对应的整式方程无解或整式方程的解使分母为零． 【变式2-1】（2022七年级上·上海·专题练习）如果关于x的方程无解，那么 ． 【答案】2 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出x的值，代入整式方程计算即可求出k的值． 【详解】解：， 去分母得：， 由分式方程无解，得到，即， 把代入整式方程得：， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件． 【变式2-2】已知关于的方程无解，求的值． 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，得到最简公分母为0求出的值，代入整式方程即可求出的值． 【解答】解：分式方程去分母得：， 移项合并得：， 当，即时，方程无解； 由分式方程无解，得到，即或， 当时，分式方程无解，此时无解；当时，． 【点评】此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0． 【变式2-3】若关于的方程无解，求的值． 【分析】先化简方程，再把的值代入即可求出的值． 【解答】解：化简的方程，得， 的方程无解， ， ，解得． 【点评】本题主要考查了分式方程的解，解题的关键是化简方程，再把的值代入． 【变式2-4】已知关于的方程无解，求的值． 【分析】首先解分式方程，进而表示出的值，再利用分式方程无解，即最简公分母为0，求出即可． 【解答】解：， 去分母得：， 整理得：， 即， 关于的方程无解， ， 解得：． 【点评】此题主要考查了分式方程的解，正确掌握解分式方程的方法是解题关键． 题型三：根据分式方程的解得性质确定字母参数的取值范围 方法规律：根据分式方程解的取值范围确定字母参数的取值范围的步骤 第1步:将分式方程化为一元一次方程,求出用字母参数表示的方程的解; 第2步:根据条件确定字母参数的取值范围； 第3步:去掉使分式方程无意义的字母参数的取值; 第4步:写出字母参数的取值范围。 【例3】（2023秋•宝山区期末）已知关于的分式方程的解是非负数，求的取值范围． 【分析】解出分式方程，根据解是非负数求出的取值范围，再根据时分式方程的增根，求出此时的值，即可得到答案． 【解答】解：给分式方程两边同乘以，得， 解得，． 方程的解是非负数， ， 解得； 又，即， ， 综上的取值范围为且． 【点评】本题主要考查了分式的方程的解，解出分式方程，根据解是非负数判断范围是解题的关键． 【变式3-1】若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为 　 　． 【分析】首先解分式方程用含的式子表示，然后根据解是非负数，求出的取值范围即可． 【解答】解：， ， 整理，可得：， 关于的分式方程的解为非负数， 且， 解得：且． 故答案为：且． 【点评】本题考查解分式方程和解一元一次不等式，解答此题的关键是注意分母不为0． 【变式3-2】已知关于的分式方程的解为非负数，求的取值范围． 【分析】根据分式方程的解法求出的表达式，然后利用题意列出关于的不等式即可求出答案． 【解答】解：， 去分母得：， 解得：， ， 且， 解得：且． 所以的取值范围为：且． 【点评】本题考查分式方程的解，正确进行分式的计算是解题关键． 【变式3-3】已知关于的分式方程的解为非负数，求的取值范围． 【分析】先解方程得，再由方程的解为非负数，可得，又因为，，则可求的取值范围． 【解答】解：， 方程两边同时乘以，得， 去括号得，， 合并同类项得，， 解得， 方程的解为非负数， ， ， ，， 或， 且． 【点评】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，注意对方程增根的讨论是解题的关键． 【变式3-4】关于的分式方程的解为非负数，求的取值范围． 【分析】首先解关于的方程，利用方程的解是非负数，以及分式方程的分母不等于0列不等式求得的范围． 【解答】解：方程两边同时乘以得：， 即， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得 根据题意得：且，， 解得：且． 【点评】本题考查了解分式方程，注意到分式方程的分母不等于0这一条件是关键． 【变式3-5】（2023秋•松江区期末）已知关于的方程． （1）在解该方程时，去分母后所得整式方程的解不是原分式方程的解，求的值； （2）若该方程的解为负数，求的取值范围． 【分析】（1）因为原分式方程去分母后所得整式方程的解不是原分式方程的解，所以当时满足条件，则把分式方程化成整式方程，解得整式方程的解，然后让这个解等于，即可解得答案； （2）先解方程，再根据方程的解是负数，列不等式求解即可． 【解答】解：（1）方程两边同乘，得 ， 移项，合并同类项，得 ， 系数化1，得 ， 去分母后所得整式方程的解不是原分式方程的解， 当时满足题意， ， 解得：． （2）方程两边同乘，得 ， 移项，合并同类项，得 ， 系数化1，得 ， 该方程的解为负数， ， 解得：， 又由（1）可知要使原分式方程有解，则， 故且． 【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解是解此题的关键，解分式方程一定要注意验根． 题型四：列分式方程解应用题 【例4-1】（2023秋•普陀区期末）金秋时节，七年级的同学组织去公园秋游，从景区出发到相距15千米的景区，公园有脚踏车和电瓶车两种交通工具可供租用，一部分学生骑脚踏车从景区先出发，过了半小时后，其余学生乘电瓶车出发，结果他们同时到达景区．假设他们全程都保持匀速前行，且已知乘电瓶车学生的速度是骑脚踏车的2倍，请问骑脚踏车学生的速度为每小时多少千米？ 【分析】设骑脚踏车学生的速度为每小时千米，则乘电瓶车学生的速度为每小时千米，利用时间路程速度，结合乘电瓶车学生比骑脚踏车学生少用半小时，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【解答】解：设骑脚踏车学生的速度为每小时千米，则乘电瓶车学生的速度为每小时千米， 根据题意得：， 解答：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：骑脚踏车学生的速度为每小时15千米． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【例4-2】（2024秋•黄浦区校级月考）某服装厂接到加工400套校服的任务，在加工完160套后，采用了新技术，这样每天加工服装的套数是原来的2倍，结果共用了14天完成任务．问原来每天加工服装多少套？ 【分析】设原来每天加工服装套，则采用新技术后每天加工套，然后根据共用了14天完成任务列出方程求解即可． 【解答】解：设原来每天加工服装套，则采用新技术后每天加工套， 由题意得，， 解得：， 经检验是原方程的解， 原来每天加工服装20套． 答：原来每天加工服装20套． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【例4-3】（2023秋•宝山区期末）小李花了108元在超市买了一些瓶装牛奶，过几天再去这家超市时恰逢“全场七五折”的优惠活动，只花了90元就买到比上次还多1瓶的牛奶．求这种牛奶原价每瓶是几元？ 【分析】根据题意和题目中的数据，可以列出相应的分式方程，然后求解即可． 【解答】解：设这种牛奶原价每瓶是元， 由题意可得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 答：这种牛奶原价每瓶是12元． 【点评】本题考查分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的分式方程，注意分式方程要检验． 【例4-4】（2024秋•徐汇区校级期中）两台续航里程相同的燃油车和新能源车的相关数据如下所示，若燃油车每千米行驶费用比新能源车多0.5元，则续航里程的值是多少？ 燃油车 邮箱容量：50升 油价：7.5元升 续航里程： 新能源车 电池电量：75千瓦时 电价：0.5元千瓦时 续航里程： 【分析】首先利用表格数据计算每一种车每千米行驶费用，然后利用燃油车每千米行驶费用比新能源车多0.5元即可列出方程解决问题． 【解答】解：依题意得， 解之得， 经检验是原方程的根， 续航里程的值是． 【点评】本题考查分式方程解决应用题，解题的关键是根据题意找到等量关系式列式求解． 【变式4-1】（2023秋•普陀区校级期末）炎炎夏日，甲安装队为小区安装66台空调，乙安装队为小区安装60台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台．设乙队每天安装台，根据题意，下面所列方程中正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】关键描述语为：“两队同时开工且恰好同时完工”，那么等量关系为：甲队所用时间乙队所用时间． 【解答】解：乙队用的天数为：，甲队用的天数为：． 则所列方程为：． 故选：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到相应的等量关系是解决问题的关键，注意工作时间工作总量工作效率． 【变式4-2】（2023秋•浦东新区期末）某市为治理污水，需要铺设一段全长为的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前30天完成这一任务，实际每天铺设多长管道？ 【分析】首先设原计划每天铺设米，则实际每天铺设米，由题意找出等量关系：原计划的工作时间实际的工作时间，然后列出方程可求出结果，最后检验并作答． 【解答】解：设原计划每天铺设米，依题意得： ， 解得：米， 经检验是原方程式的根， 实际每天铺设（米． 答：实际每天铺设25米长管道． 【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题应用了工作时间工作总量工效这个等量关系． 【变式4-3】（2023秋•宝山区期末）元旦前夕，某超市用4000元购进若干节日贺卡，很快售完，该超市又用7500元购进同种贺卡，第二批购入贺卡的数量比第一批多，每张贺卡的进价比第一批多0.5元．那么购入的第一批贺卡的数量是多少张？ 【分析】设购入的第一批贺卡的数量是张，则购入的第二批贺卡的数量是张，根据第二批购入贺卡每张贺卡的进价比第一批多0.5元．列出分式方程，解方程即可． 【解答】解：设购入的第一批贺卡的数量是张，则购入的第二批贺卡的数量是张， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：购入的第一批贺卡的数量是2000张． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【变式4-4】（2023秋•浦东新区校级期末）城市每立方米水的水费是城市的1.25倍，同样交水费20元，在城市比在城市可多用2立方米水，那么、两城市每立方米水的水费各是多少元？ 【分析】设城市立每方米水的水费为元，则城市为元，利用用水量，城市用水量城市用水量，得出方程． 【解答】解：设城市立每方米水的水费为元，则城市为元． ． 解得：． 经检验：是原方程的解． ． 答：城市每立方米水费2元，城市每立方米2.5元． 【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 【变式4-5】（2023秋•崇明区期末）列分式方程解应用题： 刘峰和李明相约周末去野生动物园游玩，根据他们的谈话内容，求李明乘公交车、刘峰骑自行车每小时各行多少千米？ 【分析】设刘峰骑自行车的速度为每小时千米，则李明乘车的速度为每小时千米，根据他们的行驶时间相差0.5小时列出方程并解答即可． 【解答】解：设刘峰骑自行车每小时行千米，则李明乘公交车每小时行千米， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：李明乘公交、刘峰骑自行车每小时分别行60千米、20千米． 【点评】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出分式方程是解题的关键． 易错警示：解分式方程要避免三“漏 (1)解分式方程避免漏检验:由于去分母会使未知数的取值范围发生变化，能产生增根，故解分式方程时一定要检验; (2)解分式方程避免漏乘:去分母时，不要漏乘没有分母的项; (3)解分式方程避免漏添括号:当分式的分子是多项式时,去分母时一般要其括起来. 易错点1：解分式方程忘记验根 【例5】（24-25七年级上·上海·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)无解 (2) 【分析】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． （1）方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，求解后检验即可； （2）将各分母进行因式分解，找出各分母的最简公分母，方程两边同乘该最简公分母，将分式方程转化为整式方程，求解后检验即可． 【详解】（1）解： 方程两边同乘，得， 化简，得， 解得， 检验：当时，， ∴不是原分式方程的解，原分式方程无解． （2）解： 方程可化为， 方程两边同乘，得， 化简，得， 解得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 【变式5-1】（2023秋•杨浦区期末）解方程：． 【分析】观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 【解答】解：方程的两边同乘， 得：， 解得：． 检验：把代入，即是原分式方程的解． 则原方程的解为：． 【点评】此题考查了分式方程的求解方法．此题比较简单，注意掌握转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根． 【变式5-2】（2023秋•浦东新区期末）解方程：． 【分析】方程两边都乘以最简公分母把分式方程转化为整式方程求解，然后进行检验． 【解答】解：方程两边都乘以得， ， ， ， ， 检验：当时，， 所以是分式方程的解， 因此，原分式方程的解是． 【点评】本题考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解． （2）解分式方程一定注意要验根． 易错点2：去分母时漏乘不含分母的项 【例6】（2023秋•普陀区校级期末）解方程：． 【分析】根据解分式方程的步骤，最后注意对方程的解进行检验． 【解答】解：， 方程两边同乘得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入得：， 是原方程的解． 【点评】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是关键． 【变式6-1】（2023秋•浦东新区校级期末）解方程：． 【分析】本题考查解分式方程的能力，因为，且，所以可确定方程最简公分母为，然后方程两边乘以最简公分母化为整式方程求解． 【解答】解：方程两边同乘以， 得：， 解得：， 检验：时，． 所以是原方程的解． 【点评】此题考查分式方程的解．解分式方程时先确定准确的最简公分母，在去分母时方程两边都乘以最简公分母，而后移项、合并求解；最后一步一定要进行检验，这也是容易忘却的一步． 【变式6-2】（2023秋•金山区期末）解方程：． 【分析】方程两边同乘以得到整式方程，可解得，然后进行检验确定分式方程的解． 【解答】解：去分母得， 解得， 检验：当时，， 所以原方程的解为． 【点评】本题考查了解分式方程：先把方程化为整式方程，解整式方程，然后进行检验，把整式方程的解代入分式方程的分母中，若分母为0，则这个整式方程的解为分式方程的增根；若分母不为0，则这个整式方程的解为分式方程的解． 【变式6-3】（2023秋•宝山区期末）解方程：． 【分析】观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母， 可以把分式方程转化为整式方程求解 ． 【解答】解： 方程的两边同乘，得 ， ， ． 检验： 把代入． 原方程的无解 ． 【点评】考查了解分式方程， 注意： （1） 解分式方程的基本思想是“转化思想”， 把分式方程转化为整式方程求解 ． （2） 解分式方程一定注意要验根 ． 【变式6-4】（2023秋•浦东新区期末）解方程：． 【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答． 【解答】解：， 去分母得：， 移项合并同类项得：， ， 检验：当时，， 是原方程的根． 【点评】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验． 一、单选题 1．（23-24七年级上·上海·期末）寒风乍起，甲安装队为A小区安装66台空调，乙安装队为B小区安装60台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台．设乙队每天安装x台，根据题意，下面所列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的应用，找出题目中的关键语，找到相应的等量关系是解决问题的关键，注意工作时间=工作总量÷工作效率．利用“两队同时开工且恰好同时完工”，可得等量关系为：甲队所用时间=乙队所用时间．再列方程即可． 【详解】解：乙队每天安装x台，则甲队每天安装台， 甲队用的天数为：天，乙队用的天数为：天， 则列方程为：， 故选D． 2．（21-22七年级上·上海金山·期末）下列关于的方程中， 不是分式方程的是 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意根据分母含有未知数的方程是分式方程依次对各选项进行分析判断． 【详解】解：A、C、D选项中分母含有未知数，是分式方程； B选项中分母不含有未知数，故不是分式方程． 故选：B． 【点睛】本题考查分式方程的判断，熟练掌握分式方程的概念分母含有未知数的方程是分式方程是解题的关键． 3．（22-23七年级上·上海·期末）下列分式方程中，解为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程解的意义，使方程左右两边相等的式子值叫方程的解，分别代入判断即可． 【详解】当时， A． 中，左边，右边，A不符合题意； B．中，，分母等于0，分式无意义，B不符合题意； C． 中，左边右边，C符合题意； D． 中，分母，D不符合题意． 故答案是：C 【点睛】本题考查了分式方程的解，解决本题的关键是正确理解分式方程解的意义，做题时要考虑分母是否为0的情况． 4．（21-22七年级上·上海金山·期末）甲安装队为A小区安装66台空调，乙安装队为B小区安装60台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台，设乙队每天安装x台，所列的分式方程正确的是：（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设乙队每天安装x台，则甲队每天安装台，再根据甲、乙两队安装时间相同列出方程即可． 【详解】解：设乙队每天安装x台，则甲队每天安装台， 由题意得， 故选A． 【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 5．（23-24七年级上·上海奉贤·期末）某班组织学生参加植树活动，第一组植树12棵，第二组比第一组多6人，植树36棵，结果两组平均每人植树的棵树相等．设第一组学生有x人，则可列方程为（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的应用，根据题干中的等量关系列式即可． 【详解】解：根据两组平均每人植树的棵树相等可得，． 故选：B． 6．（23-24七年级上·上海·单元测试）下列说法正确的是（　　） A．分式方程一定有解 B．分式方程就是含有分母的方程 C．分式方程中，分母中一定含有未知数 D．分母中含有字母的方程叫做分式方程 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的定义，根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程判断即可． 【详解】A、分式方程有无解的情况，故该选项错误； B、分母中含有未知数的方程叫做分式方程，故该选项错误； C、分式方程中，分母中一定含有未知数，故该选项正确； D、分母中含有未知数的方程叫做分式方程，故该选项错误； 故选：C． 二、填空题 7．（22-23七年级上·上海宝山·期末）分式方程的解为 ． 【答案】 【分析】去分母后化为整式方程求解，后检验即可． 【详解】解： ， 经检验，是原分式方程的解． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是解分式方程，掌握解分式方程的步骤是关键． 8．（21-22七年级上·上海奉贤·期末）如果方程不会产生增根，那么k的取值范围是 ． 【答案】k≠1 【分析】先去分母，然后再根据会产生增根的条件确定x的值，然后代入方程确定存在增根时k的取值范围，然后作相反回答即可． 【详解】解： 去分母得，2k+x＝2x+4， 因为x＝﹣2是分式方程的增根， 把x＝﹣2代入整理后的方程得，2k﹣2＝﹣4+4，解得k＝1， 所以当k＝1时，方程会产生增根， 所以当k≠1时，方程不会产生增根． 故答案是：k≠1． 【点睛】本题主要考查了分式方程的增根，确定有增根时的x的值是解答本题的关键． 9．（22-23七年级上·上海浦东新·期末）方程 的解是 ． 【答案】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：去分母得：， 移项合并得：， 检验：当时，， ∴分式方程的解为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 10．（22-23七年级上·上海闵行·期末）将一包果珍冲剂溶于100克水中冲泡成浓度是的饮料，这包冲剂有 克． 【答案】25 【分析】设这包冲剂有x克，根据浓度是得关于x的方程，解方程可得答案． 【详解】解：设这包冲剂有x克， 根据题意得：， 解得， 经检验，是分式方程的解， 答：这包冲剂有25克， 故答案为：25． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，理解题意得出方程是解题关键． 11．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）如果关于的方程会产生增根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根，解此类题的基本步骤：①化分式方程为整式方程求出增根；②把增根代入整式方程求出相关字母的值． 【详解】解：∵方程会产生增根， ∴， 解得：， 原方程去分母得：， 把代入得：， 解得， 故答案为：． 12．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）使分式方程产生增根，m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根．原分式方程化为整式方程，根据方程有增根，得到，将其代入整式方程即可求解． 【详解】解：去分母，得：， ∵原方程有增根， ∴，即， 把代入整式方程，即， 解得， 故答案为：． 13．（23-24七年级上·上海普陀·期末）如果方程有增根，那么增根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根，最简公分母为零是解题关键．根据分式方程的最简公分母为零，可得分式方程的增根． 【详解】解：方程的最简公分母是， 依题意，，解得：， ∴分式方程的增根是， 故答案为：． 14．（20-21七年级上·上海静安·期末）若关于x的方程无解，则a的值为 ． 【答案】-1或-2或 【分析】化简得，整理有，分类讨论，若=0且时，则a=-1，若0，则，由x的方程无解可知x=1或x=2，则或，解得a=-2或a=． 【详解】将化简 得 若=0且时 则a=-1 若0，则有 关于x的方程无解 即x-1=0、x-2=0 故x=1或2． 将x=1或2代入 有或 解得a=-2或a=． 故答案为：-1或-2或． 【点睛】本题考查了分式方程无解的问题，依据分式方程的无根确定字母参数的情况有1、分式方程化成的整式方程，该整式方程本事没有根，若化为的是一元一次方程，则一次项系数为0即可，若化为的一元二次方程，则判别式小于零即可；分式方程的增根有两个特点：第一：它必须是由分式方程转化成的整式方程的根；第二：它能使原分式方程的最简公分母等于0；依据分式方程的增根确定字母参数的值的一般步骤先将分式方程转化为整式方程；由题意求出增根；将增根代入所化得的整式方程，解之就可得到字母参数的值． 15．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）如果关于x的方程有增根，则 ． 【答案】/0.5 【分析】此题考查了分式方程的增根，先将分式方程化为整式方程，再根据增根的定义得出x的值，最后将x的值代入整式方程求解即可． 【详解】方程两边同时乘以得： 即， ∵原方程有增根， ∴， 解得：， 将代入得：， 故答案为：． 16．（21-22七年级上·上海奉贤·期末）小丽、小明练习打字，小丽比小明每分钟多打25个字，小丽打300个字的时间与小明打200个字的时间相同．如果设小明每分钟打个字，那么根据题意可列方程是 ． 【答案】 【分析】设小明每分钟打个字，则小丽每分钟打个字，根据“小丽打300个字的时间=小明打200个字的时间”可列出方程． 【详解】解：设小明每分钟打个字，则小丽每分钟打个字， 根据题意，可列方程为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，找出等量关系并列出方程． 17．（20-21七年级上·上海浦东新·期末）A、B两地相距121千米，甲车和乙车的平均速度之比为4：5，两车同时从A地出发到B地，乙车比甲车早到20分钟，求甲车的平均速度．若设甲车平均速度为4x千米/小时，则所列方程是 ． 【答案】 【分析】设甲车平均速度为4x千米/小时，则乙车平均速度为5x千米/小时，根据甲车比乙车多用了20分钟的等量关系列出方程即可． 【详解】解：设甲车平均速度为4x千米/小时，则乙车平均速度为5x千米/小时，根据题意得： 故答案为： 【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，关键是设出速度，以时间差作为等量关系列方程． 18．（22-23七年级上·上海嘉定·期末）已知A、B两地相距千米，一辆“和谐号”动车组的行驶速度是原乘直快列车速度的倍，乘坐“和谐号”动车组比乘坐直快列车的时间可以减少6小时，求直快列车的速度，设直快列车的速度为x千米/小时，根据题意可列出方程为： ． 【答案】 【分析】设直快列车的速度为x千米/小时，则“和谐号”动车组的行驶速度是千米/小时，根据乘坐“和谐号”动车组比乘坐直快列车的时间可以减少6小时列方程即可． 【详解】解：设列车提速前的速度为x千米/小时，则提速后的速度为千米/小时， 由题意，得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 三、解答题 19．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，先化为整式方程，解方程，最后检验，即可求解． 【详解】解：， 方程两边同时乘以得，， 解得：， 当时，， ∴是原方程的解． 20．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验．两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． 【详解】 两边都乘以去分母，得 整理，得 解得 检验：当时，， ∴是分式方程的解． 21．（22-23七年级上·上海·期末）解方程：． 【答案】无解 【分析】去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，检验，解分式方程即可． 【详解】解：去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并，得：； 检验：当时，， ∴是原方程的增根，舍掉， ∴原方程无解． 【点睛】本题考查解分式方程．熟练掌握解分式方程的步骤，是解题的关键．注意，验根． 22．（23-24七年级上·上海普陀·期末）解方程：． 【答案】 【分析】此题考查了解分式方程；首先将分式方程化为整式方程，解出整式方程，检验即可得出结果． 【详解】解： 方程两边同时乘以得， 即， 解得：， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． 23．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）解分式方程 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)分式方程无解． 【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． （）按照解分式方程的步骤解答即可求解； （）按照解分式方程的步骤解答即可求解； 【详解】（1）解：方程两边同时乘以最简公分母得，， 解得， 检验：把代入最简公分母得，， ∴是分式方程的解； （2）解：方程两边同时乘以最简公分母得，， 解得， 检验：把代入最简公分母得，， ∴不是原分式方程的解， ∴原分式方程无解． 24．（23-24七年级上·上海松江·期末）已知关于的方程． (1)在解该方程时，去分母后所得整式方程的解不是原分式方程的解，求的值； (2)若该方程的解为负数，求的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】本题主要考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，将分式方程转化为整式方程求解是解此题的关键． （1）解分式方程得，由去分母后所得整式方程的解不是原分式方程的解可得当时，满足题意，从而得出，求解即可； （2）解分式方程得，由该方程的解为负数得出，结合要使原分式方程有解，则，即可得出答案． 【详解】（1）解：方程两边同乘得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为得：， 去分母后所得整式方程的解不是原分式方程的解， 当时，满足题意， ， 解得：； （2）解：方程两边同乘得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为得：， 该方程的解为负数， ， 解得：， 由（1）可得，要使原分式方程有解，则， 的取值范围为：且． 25．（22-23七年级上·上海嘉定·期末）如图，小琪的作业本上有这样一道填空题，其中有一部分被墨水污染了，若把污染的部分记为代数式A，若该题化简的结果为． 化简：的结果为________ (1)求代数式A； (2)该题化简的结果能等于吗？为什么？ 【答案】(1) (2)该题的化简结果不能等于，理由见解析 【分析】（1）先化简，再根据化简结果为进行求解即可； （2）若，可解得，得到，此时没有意义，由此即可得到结论． 【详解】（1）解： ， ∵该题化简的结果为， ∴， ∴； （2）解：该题的化简结果不能等于，理由如下： 当时，则，解得， 经检验是方程的解， ∵当时，，即分式，此时没有意义， ∴该题的化简结果不能等于． 【点睛】本题主要了分式的除法计算，解分式方程，正确计算是解题的关键． 26．（23-24七年级上·上海松江·期末）从松江博物馆到佘山森林公园路程约12千米． 如果行驶在这条路段的汽车与自行车的平均车速之比为3：1，汽车比自行车快25分钟到达，那么松江博物馆至佘山森林公园的汽车与自行车的速度各是多少？（速度以“米/分钟”计算） 【答案】汽车的速度为米/分钟，自行车的速度米/分钟 【分析】本题考查了分式方程的应用，找出等量关系式：汽车所用的时间自行车所用的时间分钟是解题的关键． 【详解】解：设自行车的速度为米/分钟， 汽车与自行车的平均车速之比为3：1， 汽车的速度为()米/分钟， ， 解得： ， 经检验：是所列方程的根，且符合实际意义， (米/分钟)， 答：松江博物馆至佘山森林公园的汽车的速度为米/分钟，自行车的速度米/分钟． 27．（23-24七年级上·上海金山·期末）列方程解应用题：某工厂计划加工生产件产品，当完成件产品时，改进了技术，提高了效率，改进后每小时生产的产品数是原来的倍，因此提前了小时完工，求改进后每小时加工生产的产品数． 【答案】改进技术后每小时加工生产的产品数件． 【分析】本题考查了分式方程的应用、分式方程的解法，设原来每小时加工生产的产品数为台，根据等量关系“原计划用的时间实际用的时间”列出方程，解方程即可． 【详解】解：设原来每小时加工生产的产品数为件 解得： 经检验，是原方程的解，并符合题意 所以， 答：改进技术后每小时加工生产的产品数件 28．（22-23七年级上·上海闵行·阶段练习）某施工队新修水渠3600米，为了尽快投入使用，实际工作效率是原计划工作效率的1.5倍，结果比原计划提前20天完成修水渠任务．问原计划每天修水渠多少米？ 【答案】原计划每天修水渠60米 【分析】设原计划每天修水渠x米，根据“实际比原计划提前20天完成任务”列分式方程，解分式方程，问题得解． 【详解】解：设原计划每天修水渠x米，列方程得 ， 方程两边同乘得， 解得， 经检验是分式方程的解． 答：原计划每天修水渠60米． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，理解题意，设出未知数，找出等量关系列出分式方程是解题关键，注意解完分式方程一定要检验，这是一个易错点． 29．（23-24七年级上·上海宝山·期末）小李花了108元在超市买了一些瓶装牛奶，过几天再去这家超市时恰逢“全场七五折”的优惠活动，只花了90元就买到比上次还多1瓶的牛奶．求这种牛奶原价每瓶是几元？ 【答案】这种牛奶原价每瓶是12元 【分析】本题考查分式方程的应用，设原价为每瓶x元，则打折后的价格为元，根据打折后90元买到比打折前108元还多1瓶的牛奶列方程求解，注意分式方程需要检验． 【详解】解：设原价为每瓶x元，则打折后的价格为元， 则 解得：， 经检验，是原方程的根， 答：这种牛奶原价每瓶是12元． 30．（22-23七年级上·上海·期末）某书店经销一种图书，月份的销售额为元，为扩大销售量，月份该书店对这种图书打九折销售，结果销售量增加本，销售额增加元． (1)求书店月份该图书的售价； (2)若月份书店销售该图书获利元，那么月份销售该图书获利多少元？（用含m的代数式表示）． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）设书店月份该图书的售价为x元，根据销售量增加本建立方程求解即可； （2）依据由月份书店销售该图书获利元，可求出每本进价，然后求出月份销售该图书获利． 【详解】（1）解：设书店月份该图书的售价为x元， 依题意得 解得 经检验是方程的解， 答：书店月份该图书的售价为元； （2）由（1）可知， 月销量为（本） 月销量为（本） 由月份书店销售该图书获利元， 则每本的进价为：元， 月份书店销售该图书获利为： （元） 答：月份销售该图书获利元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，销售问题；解题的关键是认真审题得出关系式． 31．（23-24七年级上·上海金山·期末）阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为；方程的解为；方程的解为……． (1)观察上述方程的解，猜想关于的方程的解是_________； (2)根据上述的规律，猜想关于的方程的解是______； (3)由（2）可知，在解方程：时，可变形转化为的形式求值，按要求写出你的变形求解过程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了解分式方程，读懂题意并灵活变形是解题的关键． （1）根据已知材料即可得出答案； （2）根据已知材料即可得出答案； （3）把方程转化成，由材料得出，，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：关于x的方程的解是：，， 故答案为：，； （2）关于x的方程的解是：，， 故答案为：，； （3）解： ， ， ， 即，， 解得：，， 经检验：，是方程的解. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 分式方程（6个知识点+4种题型+2个易错+过关检测） 知识点一．分式方程的定义 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数． 知识点二．分式方程的解 求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 知识点三．解分式方程 （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． （2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解． ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验． 知识点四．分式方程的增根 （1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． （2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根． （3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根． 知识点五．由实际问题抽象出分式方程 由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系． （1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等． （2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路． 知识点六．分式方程的应用 1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． 2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间 等等． 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 题型一：根据增根的情况确定字母参数的值 方法规律：利用增根求字母参数的值的一般步骤: 第1步:去分母，将分式方程转化为整式方程; 第2步:找出增根,即使最简公分母为0的x的值; 第3步:将增根代入整式方程，求出字母参数的值 【例1】（2023秋•浦东新区期末）如果方程会产生增根，那么　　． 【变式1-1】若关于的分式方程有增根，则实数的值是 　　． 【变式1-2】当为何值时，关于的方程会产生增根？ 【变式1-3】若关于的方程有增根．求的值． 【变式1-4】（2023秋•蓝山县期中）关于的方程会产生增根，求的值． 题型二：根据分式方程无解确定字母参数的值 方法规律：分式方程无解的两种情况 (1)所化成的整式方程无解; (2)分式方程有增根 【例2】（22-23七年级上·上海青浦·期末）如果关于的分式方程无解，那么的值是 ． 【变式2-1】（2022七年级上·上海·专题练习）如果关于x的方程无解，那么 ． 【变式2-2】已知关于的方程无解，求的值． 【变式2-3】若关于的方程无解，求的值． 【变式2-4】已知关于的方程无解，求的值． 题型三：根据分式方程的解得性质确定字母参数的取值范围 方法规律：根据分式方程解的取值范围确定字母参数的取值范围的步骤 第1步:将分式方程化为一元一次方程,求出用字母参数表示的方程的解; 第2步:根据条件确定字母参数的取值范围； 第3步:去掉使分式方程无意义的字母参数的取值; 第4步:写出字母参数的取值范围。 【例3】（2023秋•宝山区期末）已知关于的分式方程的解是非负数，求的取值范围． 【变式3-1】若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为 　 　． 【变式3-2】已知关于的分式方程的解为非负数，求的取值范围． 【变式3-3】已知关于的分式方程的解为非负数，求的取值范围． 【变式3-4】关于的分式方程的解为非负数，求的取值范围． 【变式3-5】（2023秋•松江区期末）已知关于的方程． （1）在解该方程时，去分母后所得整式方程的解不是原分式方程的解，求的值； （2）若该方程的解为负数，求的取值范围． 题型四：列分式方程解应用题 【例4-1】（2023秋•普陀区期末）金秋时节，七年级的同学组织去公园秋游，从景区出发到相距15千米的景区，公园有脚踏车和电瓶车两种交通工具可供租用，一部分学生骑脚踏车从景区先出发，过了半小时后，其余学生乘电瓶车出发，结果他们同时到达景区．假设他们全程都保持匀速前行，且已知乘电瓶车学生的速度是骑脚踏车的2倍，请问骑脚踏车学生的速度为每小时多少千米？ 【例4-2】（2024秋•黄浦区校级月考）某服装厂接到加工400套校服的任务，在加工完160套后，采用了新技术，这样每天加工服装的套数是原来的2倍，结果共用了14天完成任务．问原来每天加工服装多少套？ 【例4-3】（2023秋•宝山区期末）小李花了108元在超市买了一些瓶装牛奶，过几天再去这家超市时恰逢“全场七五折”的优惠活动，只花了90元就买到比上次还多1瓶的牛奶．求这种牛奶原价每瓶是几元？ 【例4-4】（2024秋•徐汇区校级期中）两台续航里程相同的燃油车和新能源车的相关数据如下所示，若燃油车每千米行驶费用比新能源车多0.5元，则续航里程的值是多少？ 燃油车 邮箱容量：50升 油价：7.5元升 续航里程： 新能源车 电池电量：75千瓦时 电价：0.5元千瓦时 续航里程： 【变式4-1】（2023秋•普陀区校级期末）炎炎夏日，甲安装队为小区安装66台空调，乙安装队为小区安装60台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台．设乙队每天安装台，根据题意，下面所列方程中正确的是　　 A． B． C． D． 【变式4-2】（2023秋•浦东新区期末）某市为治理污水，需要铺设一段全长为的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前30天完成这一任务，实际每天铺设多长管道？ 【变式4-3】（2023秋•宝山区期末）元旦前夕，某超市用4000元购进若干节日贺卡，很快售完，该超市又用7500元购进同种贺卡，第二批购入贺卡的数量比第一批多，每张贺卡的进价比第一批多0.5元．那么购入的第一批贺卡的数量是多少张？ 【变式4-4】（2023秋•浦东新区校级期末）城市每立方米水的水费是城市的1.25倍，同样交水费20元，在城市比在城市可多用2立方米水，那么、两城市每立方米水的水费各是多少元？ 【变式4-5】（2023秋•崇明区期末）列分式方程解应用题： 刘峰和李明相约周末去野生动物园游玩，根据他们的谈话内容，求李明乘公交车、刘峰骑自行车每小时各行多少千米？ 易错警示：解分式方程要避免三“漏 (1)解分式方程避免漏检验:由于去分母会使未知数的取值范围发生变化，能产生增根，故解分式方程时一定要检验; (2)解分式方程避免漏乘:去分母时，不要漏乘没有分母的项; (3)解分式方程避免漏添括号:当分式的分子是多项式时,去分母时一般要其括起来. 易错点1：解分式方程忘记验根 【例5】（24-25七年级上·上海·期中）解方程： (1)； (2)． 【变式5-1】（2023秋•杨浦区期末）解方程：． 【变式5-2】（2023秋•浦东新区期末）解方程：． 易错点2：去分母时漏乘不含分母的项 【例6】（2023秋•普陀区校级期末）解方程：． 【变式6-1】（2023秋•浦东新区校级期末）解方程：． 【变式6-2】（2023秋•金山区期末）解方程：． 【变式6-3】（2023秋•宝山区期末）解方程：． 【变式6-4】（2023秋•浦东新区期末）解方程：． 一、单选题 1．（23-24七年级上·上海·期末）寒风乍起，甲安装队为A小区安装66台空调，乙安装队为B小区安装60台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台．设乙队每天安装x台，根据题意，下面所列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（21-22七年级上·上海金山·期末）下列关于的方程中， 不是分式方程的是 （　　） A． B． C． D． 3．（22-23七年级上·上海·期末）下列分式方程中，解为的是（　　） A． B． C． D． 4．（21-22七年级上·上海金山·期末）甲安装队为A小区安装66台空调，乙安装队为B小区安装60台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台，设乙队每天安装x台，所列的分式方程正确的是：（　　） A． B． C． D． 5．（23-24七年级上·上海奉贤·期末）某班组织学生参加植树活动，第一组植树12棵，第二组比第一组多6人，植树36棵，结果两组平均每人植树的棵树相等．设第一组学生有x人，则可列方程为（    ） A．； B．； C．； D．． 6．（23-24七年级上·上海·单元测试）下列说法正确的是（　　） A．分式方程一定有解 B．分式方程就是含有分母的方程 C．分式方程中，分母中一定含有未知数 D．分母中含有字母的方程叫做分式方程 二、填空题 7．（22-23七年级上·上海宝山·期末）分式方程的解为 ． 8．（21-22七年级上·上海奉贤·期末）如果方程不会产生增根，那么k的取值范围是 ． 9．（22-23七年级上·上海浦东新·期末）方程 的解是 ． 10．（22-23七年级上·上海闵行·期末）将一包果珍冲剂溶于100克水中冲泡成浓度是的饮料，这包冲剂有 克． 11．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）如果关于的方程会产生增根，则 ． 12．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）使分式方程产生增根，m的值为 ． 13．（23-24七年级上·上海普陀·期末）如果方程有增根，那么增根是 ． 14．（20-21七年级上·上海静安·期末）若关于x的方程无解，则a的值为 ． 15．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）如果关于x的方程有增根，则 ． 16．（21-22七年级上·上海奉贤·期末）小丽、小明练习打字，小丽比小明每分钟多打25个字，小丽打300个字的时间与小明打200个字的时间相同．如果设小明每分钟打个字，那么根据题意可列方程是 ． 17．（20-21七年级上·上海浦东新·期末）A、B两地相距121千米，甲车和乙车的平均速度之比为4：5，两车同时从A地出发到B地，乙车比甲车早到20分钟，求甲车的平均速度．若设甲车平均速度为4x千米/小时，则所列方程是 ． 18．（22-23七年级上·上海嘉定·期末）已知A、B两地相距千米，一辆“和谐号”动车组的行驶速度是原乘直快列车速度的倍，乘坐“和谐号”动车组比乘坐直快列车的时间可以减少6小时，求直快列车的速度，设直快列车的速度为x千米/小时，根据题意可列出方程为： ． 三、解答题 19．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）解方程： 20．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）解方程：． 21．（22-23七年级上·上海·期末）解方程：． 22．（23-24七年级上·上海普陀·期末）解方程：． 23．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）解分式方程 (1)； (2)． 24．（23-24七年级上·上海松江·期末）已知关于的方程． (1)在解该方程时，去分母后所得整式方程的解不是原分式方程的解，求的值； (2)若该方程的解为负数，求的取值范围． 25．（22-23七年级上·上海嘉定·期末）如图，小琪的作业本上有这样一道填空题，其中有一部分被墨水污染了，若把污染的部分记为代数式A，若该题化简的结果为． 化简：的结果为________ (1)求代数式A； (2)该题化简的结果能等于吗？为什么？ 26．（23-24七年级上·上海松江·期末）从松江博物馆到佘山森林公园路程约12千米． 如果行驶在这条路段的汽车与自行车的平均车速之比为3：1，汽车比自行车快25分钟到达，那么松江博物馆至佘山森林公园的汽车与自行车的速度各是多少？（速度以“米/分钟”计算） 27．（23-24七年级上·上海金山·期末）列方程解应用题：某工厂计划加工生产件产品，当完成件产品时，改进了技术，提高了效率，改进后每小时生产的产品数是原来的倍，因此提前了小时完工，求改进后每小时加工生产的产品数． 28．（22-23七年级上·上海闵行·阶段练习）某施工队新修水渠3600米，为了尽快投入使用，实际工作效率是原计划工作效率的1.5倍，结果比原计划提前20天完成修水渠任务．问原计划每天修水渠多少米？ 29．（23-24七年级上·上海宝山·期末）小李花了108元在超市买了一些瓶装牛奶，过几天再去这家超市时恰逢“全场七五折”的优惠活动，只花了90元就买到比上次还多1瓶的牛奶．求这种牛奶原价每瓶是几元？ 30．（22-23七年级上·上海·期末）某书店经销一种图书，月份的销售额为元，为扩大销售量，月份该书店对这种图书打九折销售，结果销售量增加本，销售额增加元． (1)求书店月份该图书的售价； (2)若月份书店销售该图书获利元，那么月份销售该图书获利多少元？（用含m的代数式表示）． 31．（23-24七年级上·上海金山·期末）阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为；方程的解为；方程的解为……． (1)观察上述方程的解，猜想关于的方程的解是_________； (2)根据上述的规律，猜想关于的方程的解是______； (3)由（2）可知，在解方程：时，可变形转化为的形式求值，按要求写出你的变形求解过程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$