精品解析：河北省三河市第一中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题

河北省三河市第一中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题 （10月份） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“存在，使得”的否定是（ ） A. 对任意，都有 B. 对任意，都有 C. 存在，使得 D. 存在，使得 3. 若实数满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 5. “”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若函数 的定义域为 ，值域为 ，则函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 7. 已知函数，且，则等于（ ） A. -3 B. -1 C. 1 D. 3 8. 下列命题中真命题是（ ） A. 函数与是同一个函数 B. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是 C. 不等式的解集为 D. 若函数的定义域为[0,3]，则函数的定义域为[0,1] 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知集合M，N满足，则集合M，N可能是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（ ） A. B. 若，则的值是 C. 的值域为 D. 的解集为 11. 给出定义：若（其中为整数），则叫做离实数最近的整数，记作，即.例如:.在此基础上给出下列关于函数的四个命题中假命题是（ ） A. B. C. D. 的定义域是，值域是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 满足关系的集合有____________个. 13. 已知，，且，则的最小值是______． 14. 定义在上的函数满足:，则_____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）求集合； （2）设集合，且，求实数的取值范围. 16. 已知命题p：方程有两个不相等的实数根；命题q：． （1）若为假命题，求实数m的取值范围； （2）若p，q中一真一假，求实数m的取值范围． 17. （1）已知是二次函数，且满足，求解析式; （2）已知，求的解析式; （3）已知一次函数满足，求的解析式. 18. 某工厂生产某种产品，其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系可近似地表示为.已知此工厂的年产量最小为150吨，最大为250吨. （1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求出最低平均成本； （2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润？并求出最大利润. 19. 已知函数. （1）关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集; （2）已知，当时，， ①若存在正实数a，b，使不等式有解，求的取值范围; ②求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省三河市第一中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题 （10月份） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由一元二次不等式解出集合，再求交集即可； 【详解】因为， 所以． 故选：D． 2. 命题“存在，使得”的否定是（ ） A. 对任意，都有 B. 对任意，都有 C. 存在，使得 D. 存在，使得 【答案】B 【解析】 【分析】 利用特称命题的否定可得出结论. 【详解】命题“存在，使得”为特称命题，该命题的否定为对任意，都有 故选：B. 3. 若实数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于ABC，令，举反例即可；对于D，直接由不等式的传递性即可得证. 【详解】对于ABC，令，显然满足，同时，，，故ABC错误； 对于D，若，则，故D正确. 故选：D. 4. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案. 【详解】依题意，，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A 5. “”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义判断． 【详解】时，一定有，满足充分性， 但时，如，不满足，即不满足必要性， “”是“”的为充分不必要条件． 故选：A． 6. 若函数 的定义域为 ，值域为 ，则函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的概念以及定义域与值域判断各个选项的图象即可. 【详解】解：函数的定义域为 ，值域为 ， 可知A图象定义域不满足条件； B图象不满足函数的值域； C图象满足题目要求； D图象，不是函数的图象； 故选：C． 7. 已知函数，且，则等于（ ） A. -3 B. -1 C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式可得，分类讨论建立对应的方程，解之即可求解. 【详解】因为，所以，故， 所以当时，，解得，舍去； 当时，，解得，满足题意； 综上：. 故选：A. 8. 下列命题中真命题是（ ） A. 函数与是同一个函数 B. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是 C. 不等式的解集为 D. 若函数的定义域为[0,3]，则函数的定义域为[0,1] 【答案】D 【解析】 【分析】根据相同函数的概念即可判断A；根据一元二次函数不等式恒成立问题即可判断B；根据一元二次不等式的解法即可判断C；根据抽象函数的定义域的求法即可判断D. 【详解】对于A，函数的定义域为的定义域为， 函数与不是同一个函数，所以A错误； 对于B，当时，不等式恒成立， 当时，恒成立， 当时，则需满足，可得， 综合可得的取值范围是，所以B错误； 对于C，不等式即，则或， 其解集为或，所以C错误； 对于D，函数的定义域为[0,3]，即， 则对于函数有，所以，即其定义域为[0，1]，所以D正确. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知集合M，N满足，则集合M，N可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据交、并集的定义和运算，结合选项即可求解. 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，若，则，故C错误； 对于D，若，则，故D正确. 故选：BD． 10. 已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（ ） A. B. 若，则的值是 C. 的值域为 D. 的解集为 【答案】ABC 【解析】 【分析】先求，再求可知A正确；分别在和的情况下，根据解析式构造不等式和方程可判断BC正误；分别在和的情况下，结合一次函数和二次函数的值域求法可知D不正确. 【详解】对于A:由题，故A正确； 对于B:当时，，解得（舍去）； 当时，，又，，故B正确； 对于C: 当时，； 当时，. 故的值域为，故C正确； 对于D: 当时，，解得； 当时，解得. 综上的解集为， 故D不正确. 故选：ABC 11. 给出定义：若（其中为整数），则叫做离实数最近的整数，记作，即.例如:.在此基础上给出下列关于函数的四个命题中假命题是（ ） A. B. C. D. 的定义域是，值域是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意分别求出，即可判断选项A、B、C；因为，即，可得值域，判断D. 【详解】因为， ，所以， 所以故命题错误，A符合题意； 故命题错误，B符合题意； 因为，所以， 故命题正确，C不符合题意； 的定义域是， 因为，所以，即， 所以值域是，故命题错误，D符合题意. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 满足关系的集合有____________个. 【答案】4 【解析】 【分析】由题意可得集合为的子集，且中必包含元素，写出满足条件的集合，即可得答案. 【详解】即集合为的子集，且中必包含元素， 又因为的含元素的子集为：,共4个. 故答案为：4. 13. 已知，，且，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据基本不等式中“1”的应用计算可得当时，的最小值为. 【详解】由可得： ； 当且仅当，即当时，等号成立. 即的最小值为. 故答案为：. 14. 定义在上的函数满足:，则_____________. 【答案】0 【解析】 【分析】赋值法得到，再令，得到，结合，求出. 【详解】定义在上的函数满足：， 令时，，则， 令时，即， 因为，所以. 故答案为：0. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）求集合； （2）设集合，且，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据补集和交集定义直接求解即可； （2）根据并集结果可得，由包含关系可构造不等式组求得结果. 【小问1详解】 ， 又，. 【小问2详解】 ，，又，，解得：， 即实数的取值范围为. 16. 已知命题p：方程有两个不相等的实数根；命题q：． （1）若为假命题，求实数m的取值范围； （2）若p，q中一真一假，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意为真命题，则有即可求解； （2）由p，q中一真一假，分真，假和假，真，两种情况分类讨论即可求解. 【小问1详解】 由题意有：为假命题，所以为真命题， 又由方程有两个不相等的实数根， 所以， 所以实数m的取值范围为； 【小问2详解】 由（1）有为真命题，则， 因为p，q中一真一假， 所以当真，假时，有， 当假，真时，有， 综上所述，， 所以实数m的取值范围为. 17. （1）已知是二次函数，且满足，求解析式; （2）已知，求的解析式; （3）已知一次函数满足，求的解析式. 【答案】（1），（2），（3） 【解析】 【分析】利用待定系数法计算即可求解（1）（3）；利用换元法计算即可求解（2）. 【详解】（1）设， 因为，所以，则. 由题意可知:， 对照系数可得，解得. 所以. （2）令，则， 所以. 所以. （3）设， 因为，所以， 对照系数可得，解得， 所以. 18. 某工厂生产某种产品，其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系可近似地表示为.已知此工厂的年产量最小为150吨，最大为250吨. （1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求出最低平均成本； （2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润？并求出最大利润. 【答案】（1）年产量为200吨时，平均成本最低为20万元； （2）年产量为220吨时，最大利润为840万元. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出平均成本的关系式，再利用基本不等式求解即得. （2）求出年利润关于年产量的函数关系，再利用二次函数求出最大值. 【小问1详解】 依题意，生产每吨产品的平均成本为， 而，当且仅当，即时取等号， 所以年产量为200吨时，平均成本最低为20万元. 【小问2详解】 设利润为，则， 而，因此当时，， 所以年产量为220吨时，最大利润为840万元. 19. 已知函数. （1）关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集; （2）已知，当时，， ①若存在正实数a，b，使不等式有解，求的取值范围; ②求的最小值. 【答案】（1）当时，不等式的解集为;当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为. （2）①，②36 【解析】 【分析】（1）由根与系数的关系求出关系，代入所求不等式，分类讨论解集； （2）由条件得，再利用基本不等式求解问题. 【小问1详解】 因为关于的不等式的解集为， 所以，即 所以不等式可转化为， 又，所以，即， 当，即时，解得; 当，即时，解得; 当，即时，解得， 综上所述:当时，不等式的解集为; 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【小问2详解】 因为当时，，所以， 即，所以， ①若存在正实数a，b，使不等式有解，则， ， 当且仅当，即时，， 所以，解得或， 即的取值范围是. ②由，可得， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为36. 【点睛】关键点点睛：第（2）问中，若存在正实数a，b，使不等式有解，则，利用基本不等式求出，则，可解不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $