河南省郑州市郑州外国语学校2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

郑州外国语学校2024-2025学年高二上期期中考试试卷 数学 (120分钟150分) 一、单选题（每题5分，共40分） 1.已知直线1过点4,2,3)，且直线1的倾斜角为牙则1=（ A.0 B.2 C.4 D.6 2.无论1为何值，直线(21+3)x+(d+4)y+2(a-1)=0过定点( ) A.(-2,2) B.（-2.-2) D.（-1,I) 3.在棱长为1的正方体ABCD-ABC,D中，O为平面AABB,的中心，E为BC的中点.以 D为原点，以{DA,DC,DD为空间的一个单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐 标系Dgz,则直线OE的一个方向向量i=( D B A.（-1,1,) B.（-1,1-1) C.（1,2, D.（-l,2,-) 4.如图，在直三棱柱ABC-ABC中，AC=2,BC=3,CC,=4,∠ACB=90°，则BC,与 AC所成的角的余弦值为( 3W2 B.V82 C.30s D.85 10 10 25 25 5.1 知双曲线经过点A2V2,5),B(-25,√6)，则其标准方程为( A. 43 B.34 C. D. 34 34 高二数学 第】页，共4页期中考试 6.已知椭圆C:号+片-(m>0的离心率为号，则m=( A.2V2 B.2W2或V2 C.8或2 D.8 7.已知直线l:x-四+1=0与圆C:(x-a+(y-1)=1相交于A,B两点，当△ABC面积最 大时，实数a的值为( ) A.1或-1 B.5或-√5 c或-1D.或5 8.已知双曲线C:号是=e>Q6>0的左，右焦点分别为R,B,若在C上存在点p (不是顶点)，使得∠PFF=3∠PFF,则C的离心率的取值范围为( A.(1,2) B.（V2,+o C.(15 D.（V2,2 二、多选题（每题6分，共18分，部分答对得部分分，错选不得分） 9.圆0：x2+y2-2x=0和圆02：x2+y2+2x-4y=0的交点为A,B,则有( A.公共弦AB所在直线方程为x+y=O B.线段AB中垂线方程为x+y-1=0 C.公共弦AB的长为5 2 D.P为圆Q上一动点，则P到直线B距离的最大值为 +1 2 10.已知正方体ABCD-AB,C,D,的棱长为L,点E满足DE=ADC+uDD,(0≤元≤1， 0≤4≤1)，下列说法正确的是( A,若A=4>0,则AC与DE垂直 棱维E一ABA的体积恒 C.若入，：=0，平面CAE与平面ABCD夹角的余弦值为V6 6 D.若A=24=0,则点4到平面ABC的距离为 11.已知O为坐标原点，点A(2,)在抛物线C:x2=2py(p>0)上，抛物线的焦点为F,过 点B(0,-)的直线1交抛物线C于P,Q两点（点P在点B,Q的之间），则( ) A.直线AB与抛物线C相切 B.0P.00=6 C.若p是线段B2的中点，则2PF曰QF1D.存在直线I,使得引PFI+QF仁2|BFI 三、填空题（每题5分，共15分） 12.若抛物线y=ac2(a>0)上一点(m,1)与焦点的距离等于2，则a= 高二数学第2页，共4页期中考试 13.若圆(x-3)?+(y+5)2=r2(r>0)上有且只有两个不同的点到直线4x-3y-2=0的距 离等于2，则r的取值范围是 14.设A,B是半径为3的球体O表面上两定点，且∠AOB=60°，球体O表面上动点P满足 PA=2PB,则点P的轨迹长度为 四、解答题（写清楚必要的文字说明、计算过程，共77分） 15.(13分)已知直线4的方程为2x+2y-5=0,若直线马在y轴上的截距为)，且4142. (1)求直线和的交点坐标： 2 8, (2)已知直线马经过4与的交点，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为 直线的方程。 16.(15分)已知圆0：x2+y2=4. (1)若线段AB端点B的坐标是(4,2)，端点A在圆O上运动，求线段AB的中点D的轨迹方 程： (2)设点P是直线4：x-y+4=0上的一点，过点P作圆O的切线，切点是M,求△OPM的面 积最小值以及此时点P的坐标 17.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD是正三角形，侧面PAD⊥底面 ABCD,M是PD的中点 (1)证明：PB/1平面MAC: (2)证明：平面ABM⊥平面PCD: (3)求直线PC与平面ABM所成角的大小. 高二数学第3页，共4页 期中考试 y ⑧.17分)已知椭圆C。+:=1(a>h>0)和抛物线E:y=2px(p>0).从两条曲线 上各取两个点，将其坐标混合记录如下：P-2V2),乃2(L,-1),(6-,卫(9,3). (1)求椭圆C和抛物线E的方程： (2)设m为实数，已知点T(-3,0),直线x=my+3与抛物线E交于A,B两点.记直线TA,TB 的斜率分别为，南，判断女+州是否为定值并说明理由， 19.17分)在平面直角坐标系x0中，过椭圆E:)+少：1外一动点P作E的两条切线 4,42,且1⊥12 (1)求动点P的轨迹C的方程： (2)对于给定非空点集M,N,若M中的每个点在N中都存在一个与它之间距离最小的点， 且所有最小距离的最大值存在，则记此最大值为d(M,N).已知直线I与曲线C相交于 A,B两点，若M,N分别是线段AB和曲线C上所有点构成的集合，Q为曲线C上一点，当 △QAB的面积最大时，求d(M,N) 参考公式，四元均值不等式 a,4,4,a,>0,4+0+g+0≥aa,a,4,当且仅当a=4,=a=a,时取到等号. 高二数学第4页，共4页 期中考试1 高二上期中数学参考答案 1-4 CABD 5-8 ACAD 9.BD 10.ACD 11.AC 12. 1 4 13.  3,7 14. 12 13 π 13 15. 【答案】(1) 3 1, 2 （ ）；(2) 5 0 2 x y   或9 4 15 0x y   . (1)因为 1 2l l ,又直线 1l 的斜率 1 1k   ,所以直线 2l 的斜率 2 1k  , 又因为直线 2l 在 y轴上的截距为 1 2 ,所以 2l 过点 1 0 2       ， 所以 2 1 : 2 l y x  .由 1 1 2 3 2 2 5 0 2 x y x yx y           所以直线 1l 和 2l 的交点坐标为 3 1, 2 （ ）. (2)由题意知 3l 的斜率 k 存在,设 3 3 : ( 1) 2 l y k x   令 0x  得 3 2 y k  ,令 0y  得 3 1 2 x k    ,因为直线 3l 与两坐标轴的正半轴相交,所以 3 0 2 3 1 0 2 k k         ,解得 0k  , 1 3 3 25 1 2 2 2 8 S k k             由 ,解得 1k   或 9 4 k   , 即 3 5 : 0 2 l x y   或9 4 15 0x y   . 阅卷建议：第一问 5分，第二问 8分 16. 【答案】(1) 2 2( 2) ( 1) 1x y    (2) 点 P 的坐标为  2,2 ,面积最小值为2 (1)设𝐴(𝑥 , 𝑦 ),中点  ,D x y ,则 0 0 4 2 2 2 x x y y       ,得 0 0 2 4 2 2 x x y y      , 代入圆 2 2: 4O x y  中,化简得圆 2 2: 2 1( ) ) 1(D x y    . (2)设OP d ,由圆的几何性质可知, 2 21 4 2 4 2OPM S d d      所以当 1OP l 时,d最小, OPM 的面积取最小值．又因为 1 : 4 0l x y   ,所以直线 OP 的 方程为 .y x  由 , 4 0, y x x y       解得 2, 2. x y     即点 P 的坐标为  2,2 . 此时 OPM 的面积最小值为 1 2 2 2. 2    阅卷建议：第一问 7分，第二问 8分 17. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) 4  (1)连接 BD交 AC 与 O,连接OM ,如图所示： 因为 M,O分别是边 PD,BD的中点,则 MO为 PBD△ 的中位线,所以 MO PB∥ ,因为MO平面MAC ,PB平面MAC ,所以 / /PB 平面MAC . (2)因为侧面PAD 底面 ABCD , 平面PAD底面 ABCD AD , 2 AB AD ,所以 AB 平面PAD ,所以 AB PD , 因为侧面PAD是正三角形,M是PD的中点,所以 AM PD , 因为 AM AB A , AM 平面 ABM , AB 平面 ABM ,所以 PD  平面 ABM ,又 PD  平面 PCD ,所以平面 ABM  平面 PCD； (3)过点 P 作 PF 垂直于 AD,因为侧面PAD 底面 ABCD , 平面 PAD底面 ABCD AD ,所以 PF 平面 ABCD ,又底面是正 方形,在 F 点建立空间直角坐标系,取 BC的中点 E,以 FE为 x轴,FD为 y 轴, FP为 z轴 建立空间直角坐标系,设底面正方形的边长为 2,则 (0,0, 3)P , (0,1, 0)D , (2,1,0)C , 由第二问可知,PD  即为平面 ABM 的法向量, (0,1, 3)PD    , (2,1, 3)PC    , 4 2 sin cos , 22 2 2 PC PD PC PD PC PD            ,直线PC与平面 ABM 所成角的大小为 4  . 阅卷建议：第一问 4分，第二问 5分，第三问 6分 18. 【答案】(1) 2 2 1 8 4 x y   , 2y x (2)为定值 12 ,理由见解析 (1)将四个点代入抛物线方程解得 p的值分别为 1 1 2 p   , 2 1 2 p  , 3 16 2 p  , 4 1 2 p  , 因为 1 1 0 2 p    ,所以点  1 2, 2P  不在抛物线上 点  2 1, 1P  ,  4 9,3P 对应的 p一样,且和  3 6, 1P  不一样 ∴  2 1, 1P  ,  4 9,3P 在抛物线上,故抛物线E方程为 2y x 故  1 2, 2P  ,  3 6, 1P  为椭圆上的点∴ 2 2 2 2 4 2 1 6 1 1 a b a b         解得 2 2 8 4 a b     ∴椭圆 C 方程 2 2 1 8 4 x y   (2) 2 1 2 1 m k k  是定值,理由如下 设  1 2,A x x ,  2 2,B x y ,则 2 3x my y x     ∴ 2 3 0y my   ∴ 1 2 1 2 3 y y m y y      又因为 1 1 3x my  ,所以 1 1 1 1 1 1 1 0 3 3 3 6 y y y k x my my         ,同理 2 2 2 6 y k my       1 2 1 22 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 6 6 61 36 2 36 3 6 3 2 12 my my m y y m m m k k y y y y y y m m m                  所以 2 1 2 1 m k k  为定值 12 ． 阅卷建议：第一问 7分，第二问 10分 3 19. 【答案】(1) 2 2 3x y  ；(2)   3, 2 d M N  . (1)当 1 2,l l 的斜率不存在或者为 0时,由题意可知点 P的坐标为  2, 1 或  2, 1  ； 当切线的斜率存在且不为 0时,设过   1 1 1, 2P x y x   作椭圆的切线的斜率为 k , 则切线的方程为   1 1 0y y k x x k    ,将其与椭圆方程联立, 并化简得    2 2 2 2 21 1 1 1 1 12 1 4 2 4 2 2 0k x k kx y x k x kx y y        由题意得,  2 2 21 1 1 1Δ 2 2 1 0x k x y k y      , 设 1 2,l l 的斜率分别为 1 2,k k ,则 1 2,k k 是上式的两个根,且 1 2k k , 所以 1 2x   ,则 2 1 1 2 2 1 1 2 y k k x    ,又 1 2 1k k   ,则 2 1 2 1 1 1 2 y x     ,即  2 21 1 13 2x y x    , 综上所述,动点 P的轨迹C的方程为 2 2 3x y  ； (2)过圆心O作直线 AB的垂线,垂足为E ,设  , 0, 3OE d d  ,则 22 3AB d  , 由题意      2 31 13 3 2 3 ( 3) 3 2 2QAB S d AB d d d d          , 又         4 3 1 1 6 3 243( 3) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 16 d d d d d d                ,. 当且仅当 3 3 3 3d d   ,即 3 2 d  时,等号成立,此时   max 9 3 4QAB S  , 对于线段AB上的任何一个点T ,曲线C上与T距离最近的点为射线OT 与圆的交点,距离 的最小值为 3 OT ,又因为 OT d ,所以 33 3 2 OT d    由题意得,   3, 3 2 d M N d   . 阅卷建议：第一问 8分，第二问 9分