专题1.1 集合与常用逻辑用语【七大题型】（讲义）-2025年高考数学二轮复习【举一反三】专练（新高考专用）

专题1.1 集合与常用逻辑用语【七大题型】 【新高考专用】 1、集合 集合是高考数学中的必考考点，常见以一元一次、一元二次不等式的形式，结合有限集、无限集来考查集合的交、并、补集等运算，偶尔涉及集合的符号辨识，一般出现在高考的第1题，以基础题为主。 2、常用逻辑用语 常用逻辑用语是高考数学中的重要内容，常见于考查真、假命题的判断；全称量词命题、存在量词命题以及命题的否定；偶尔涉及充分条件与必要条件以及根据描述进行逻辑推理等，中等偏易难度。但一般很少单独考查，常常与函数、不等式、数列、三角函数、立体几何等知识交汇，热点是“充要条件”,考生复习时需多注意加强这方面练习。 【知识点1 集合】 1．集合与元素 (1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 2．集合的基本关系 (1)子集：若对于任意的x∈A都有x∈B，则A⊆B； (2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A⫋B； (3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B； (4)∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 3．集合的基本运算 表示 运算 文字语言 集合语言 图形语言 记法 交集 属于A且属于B的所有元素组成的集合 {x|x∈A，且x∈B} A∩B 并集 属于A或属于B的元素组成的集合 {x|x∈A，或x∈B} A∪B 补集 全集U中不属于A的元素组成的集合称为集合A相对于集合U的补集 {x|x∈U，x∉A} ∁UA 【常用结论】 (1)若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个． (2)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． (3)． (4),． 【知识点2 常用逻辑用语】 1．充分条件与必要条件 命题真假 “若p,则q”是真命题 "若p,则q"是假命题 推出关系及符号表示 由p通过推理可得出q，记作：p⇒q 由条件p不能推出结论q，记作： 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 2．充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 3．全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、 一切、每一个、任给 符号 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” 4.存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 5．全称量词命题与存在量词命题的否定 (1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题． (2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题． 【方法技巧与总结】 1．从集合与集合之间的关系上看充分、必要条件 设. (1)若，则是的充分条件()，是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且； (2)若，则是的必要条件，是的充分条件； (3)若，则与互为充要条件. 2．全称量词命题与存在量词命题的真假判断 (1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x证明其成立；要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例. (2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个x0使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题. 【题型1 集合中元素个数问题】 【例1】（2024·四川乐山·三模）已知集合，则集合的元素个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-1】（2024·山东济南·二模）已知集合，， ，则C中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-2】（2024·陕西宝鸡·一模）若集合中只有一个元素，则实数（    ） A．1 B．0 C．2 D．0或1 【变式1-3】（2024高一上·全国·专题练习）若集合中有两个元素，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型2 集合间的关系】 【例2】（2024·河南·模拟预测）已知集合，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高一·全国·课后作业）已知集合，，，则、、的关系满足（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2024·陕西铜川·三模）已知集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2024·广东佛山·模拟预测）已知集合，若，则a的值可以是（    ） A． B． C．1 D．4 【题型3 集合的交、并、补集运算】 【例3】（2024·四川雅安·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2024·广东广州·模拟预测）若全集，集合，则 （   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2024·江西新余·模拟预测）已知集合为全集的子集，，则（     ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2024·江西·一模）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【题型4 集合中的含参问题】 【例4】（2024·湖北荆州·三模）已知集合，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2024·贵州贵阳·二模）设全集，集合满足，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式4-2】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知集合，，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知全集，若，则实数的值为（    ） A．1 B．3 C．-1或-3 D．1或3 【题型5 集合的新定义问题】 【例5】（2024·湖南怀化·二模）给定整数，有个实数元素的集合，定义其相伴数集，如果，则称集合为一个元规范数集．（注：表示数集中的最小数）．对于集合，则（    ） A．是规范数集，不是规范数集 B．是规范数集，是规范数集 C．不是规范数集，是规范数集 D．不是规范数集，不是规范数集 【变式5-1】（2024·安徽蚌埠·二模）对于数集，，定义， ，，若集合 ，则集合中所有元素之和为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2024·全国·模拟预测）大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积．两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作与的笛卡儿积，又称直积，记为．即且．关于任意非空集合，下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2024·浙江绍兴·模拟预测）对于集合A，B，定义A\B=且，则对于集合A={}，B={}， 且，以下说法正确的是（     ） A．若在横线上填入”∩”，则C的真子集有212﹣1 个. B．若在横线上填入”∪”，则C中元素个数大于250. C．若在横线上填入”\”，则C的非空真子集有2153﹣2个. D．若在横线上填入”∪”，则C中元素个数为13. 【题型6 充分条件与必要条件】 【例6】（2024·四川雅安·一模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式6-1】（2024·四川·一模）已知集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式6-2】（2024·天津和平·二模）若，下列选项中，使“”成立的一个必要不充分条件为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2023·江西萍乡·二模）集合，若的充分条件是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型7 全称量词与存在量词命题】 【例7】（2024·河北·模拟预测）若命题“”为真命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2024·四川雅安·一模）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式7-2】（2024·四川遂宁·一模）已知命题，则为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知命题：命题.若p为假命题，q为真命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 1．（2023·北京·高考真题）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2023·北京·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023·全国·高考真题）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023·全国·高考真题）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 5．（2023·全国·高考真题）设全集,集合，（    ） A． B． C． D． 6．（2023·全国·高考真题）设集合，集合，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2023·天津·高考真题）已知，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 8．（2023·天津·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 9．（2023·全国·高考真题）设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 10．（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 11．（2024·全国·高考真题）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 12．（2024·全国·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 13．（2024·天津·高考真题）集合，，则（   ） A． B． C． D． 14．（2024·全国·高考真题）已知命题p：，；命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 集合与常用逻辑用语【七大题型】 【新高考专用】 1、集合 集合是高考数学中的必考考点，常见以一元一次、一元二次不等式的形式，结合有限集、无限集来考查集合的交、并、补集等运算，偶尔涉及集合的符号辨识，一般出现在高考的第1题，以基础题为主。 2、常用逻辑用语 常用逻辑用语是高考数学中的重要内容，常见于考查真、假命题的判断；全称量词命题、存在量词命题以及命题的否定；偶尔涉及充分条件与必要条件以及根据描述进行逻辑推理等，中等偏易难度。但一般很少单独考查，常常与函数、不等式、数列、三角函数、立体几何等知识交汇，热点是“充要条件”,考生复习时需多注意加强这方面练习。 【知识点1 集合】 1．集合与元素 (1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 2．集合的基本关系 (1)子集：若对于任意的x∈A都有x∈B，则A⊆B； (2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A⫋B； (3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B； (4)∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 3．集合的基本运算 表示 运算 文字语言 集合语言 图形语言 记法 交集 属于A且属于B的所有元素组成的集合 {x|x∈A，且x∈B} A∩B 并集 属于A或属于B的元素组成的集合 {x|x∈A，或x∈B} A∪B 补集 全集U中不属于A的元素组成的集合称为集合A相对于集合U的补集 {x|x∈U，x∉A} ∁UA 【常用结论】 (1)若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个． (2)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． (3)． (4),． 【知识点2 常用逻辑用语】 1．充分条件与必要条件 命题真假 “若p,则q”是真命题 "若p,则q"是假命题 推出关系及符号表示 由p通过推理可得出q，记作：p⇒q 由条件p不能推出结论q，记作： 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 2．充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 3．全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、 一切、每一个、任给 符号 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” 4.存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 5．全称量词命题与存在量词命题的否定 (1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题． (2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题． 【方法技巧与总结】 1．从集合与集合之间的关系上看充分、必要条件 设. (1)若，则是的充分条件()，是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且； (2)若，则是的必要条件，是的充分条件； (3)若，则与互为充要条件. 2．全称量词命题与存在量词命题的真假判断 (1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x证明其成立；要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例. (2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个x0使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题. 【题型1 集合中元素个数问题】 【例1】（2024·四川乐山·三模）已知集合，则集合的元素个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【解题思路】根据集合的定义与运算法则，进行计算即可. 【解答过程】由题意知，，， 当，时，， 当，时，， 所以， 所以集合中的元素个数为4. 故选：C. 【变式1-1】（2024·山东济南·二模）已知集合，， ，则C中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】根据题意写出集合C的元素，可得答案. 【解答过程】由题意，当时， ，当，时， ， 当，时， ， 即C中有三个元素， 故选：C. 【变式1-2】（2024·陕西宝鸡·一模）若集合中只有一个元素，则实数（    ） A．1 B．0 C．2 D．0或1 【解题思路】分类讨论，确定方程有一解时满足的条件求解. 【解答过程】当时，由可得，满足题意； 当时，由只有一个根需满足， 解得. 综上，实数的取值为0或1. 故选：D. 【变式1-3】（2024高一上·全国·专题练习）若集合中有两个元素，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，利用一元二次方程及根的判别式列式求解即得. 【解答过程】依题意，方程有两个不等的实根，则且，解得且， 所以实数m的取值范围为且. 故选：C. 【题型2 集合间的关系】 【例2】（2024·河南·模拟预测）已知集合，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由集合的包含关系，对集合是否是空集分类讨论即可求解. 【解答过程】集合，若， 则若，则满足题意； 若，且，则， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：C. 【变式2-1】（24-25高一·全国·课后作业）已知集合，，，则、、的关系满足（   ） A． B． C． D． 【解题思路】将集合中的元素进行通分，即可根据分子的形式进行比较，集合子集定义即可求解. 【解答过程】,故, 由于，故， 由于为任意整数，故 ，因此, ,故， 故， 所以， 故选：B． 【变式2-2】（2024·陕西铜川·三模）已知集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据，结合图象列不等式即可求解. 【解答过程】因为， 所以, 所以由数轴得. 即的取值范围为. 故选：D. 【变式2-3】（2024·广东佛山·模拟预测）已知集合，若，则a的值可以是（    ） A． B． C．1 D．4 【解题思路】先求出集合，再利用求得的范围，判断即得. 【解答过程】由可得，由可得， 依题意，，故得. 故选：D. 【题型3 集合的交、并、补集运算】 【例3】（2024·四川雅安·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先根据集合求出解集，再根据交集的概念及运算即可求出结果. 【解答过程】根据可得， 又， 则， 故选：B. 【变式3-1】（2024·广东广州·模拟预测）若全集，集合，则 （   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据补集的定义可得，再由并集的定义求解即可. 【解答过程】解：因为，， 所以， 所以. 故选：A. 【变式3-2】（2024·江西新余·模拟预测）已知集合为全集的子集，，则（     ） A． B． C． D． 【解题思路】根据得，利用即可得到结果. 【解答过程】∵， ∴， ∴， ∴. 故选：C. 【变式3-3】（2024·江西·一模）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，将集合用整倍数形式表示，分别求出和，利用集合的元素特征即可判断A正确；C错误；D错误；对于B，只需要举反例排除即可. 【解答过程】依题意，，，， 则，易知12的倍数一定是6的倍数，故A正确，C错误； 因，即，故D错误； 对于B项，任取，因，则，故B错误． 故选：A． 【题型4 集合中的含参问题】 【例4】（2024·湖北荆州·三模）已知集合，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先求出集合，再根据，求得的取值范围. 【解答过程】由题意知，又且， 故，即的取值范围为. 故选：D. 【变式4-1】（2024·贵州贵阳·二模）设全集，集合满足，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【解题思路】根据补集的含义即可得到方程，解出即可. 【解答过程】由题意得，解得. 故选：A. 【变式4-2】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知集合，，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据几集合中的元素化简集合，再根据集合间的关系即可得实数a的取值范围. 【解答过程】因为集合，， 若，则，故实数a的取值范围是. 故选：B. 【变式4-3】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知全集，若，则实数的值为（    ） A．1 B．3 C．-1或-3 D．1或3 【解题思路】求出A中方程的解确定A，再由A的补集与B的交集为空集，确定A与B的包含关系进行分类讨论，即可确定m的值. 【解答过程】因为方程的判别式， 所以， 根据题意得到集合，， 即，， 因为，所以， 所以或， 若，则，解得， 若，则，解得， 所以或. 故选：D. 【题型5 集合的新定义问题】 【例5】（2024·湖南怀化·二模）给定整数，有个实数元素的集合，定义其相伴数集，如果，则称集合为一个元规范数集．（注：表示数集中的最小数）．对于集合，则（    ） A．是规范数集，不是规范数集 B．是规范数集，是规范数集 C．不是规范数集，是规范数集 D．不是规范数集，不是规范数集 【解题思路】利用规范数集的定义，逐项判断即可得解. 【解答过程】集合中，，则， 即的相伴数集中的最小数不是1，因此不是规范数集； 集合，， ， 即的相伴数集中的最小数是1，因此是规范数集. 故选：C. 【变式5-1】（2024·安徽蚌埠·二模）对于数集，，定义， ，，若集合 ，则集合中所有元素之和为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意，理解新定义，可得，通过的集定义与集合运算即可得出结论. 【解答过程】试题分析：根据新定义，数集，，定义， ，，集合 ，，，则可知所有元素的和为， 故选：D. 【变式5-2】（2024·全国·模拟预测）大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积．两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作与的笛卡儿积，又称直积，记为．即且．关于任意非空集合，下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】举例说明判断ABC；利用给定的定义结合集合运算的意义推理判断D. 【解答过程】对于A，若，则，A错误； 对于B，若，则， 而，B错误； 对于C，若，则， ，，，C错误； 对于D，任取元素，则且，则且， 于是且，即， 反之若任取元素，则且， 因此且，即且， 所以，即，D正确. 故选：D. 【变式5-3】（2024·浙江绍兴·模拟预测）对于集合A，B，定义A\B=且，则对于集合A={}，B={}， 且，以下说法正确的是（     ） A．若在横线上填入”∩”，则C的真子集有212﹣1 个. B．若在横线上填入”∪”，则C中元素个数大于250. C．若在横线上填入”\”，则C的非空真子集有2153﹣2个. D．若在横线上填入”∪”，则C中元素个数为13. 【解题思路】根据各个选项确定相应的集合，然后由集合与子集定义得结论． 【解答过程】，，集合无公共元素， 选项A中，集合为空集，没有真子集，A错； 选项B中，由得，由得，因此中元素个数为，B正确； 选项C中，中元素个数为166，非空真子集个数为，C错； 选项D中，，而，因此其中元素个数为331个，D错． 故选：B． 【题型6 充分条件与必要条件】 【例6】（2024·四川雅安·一模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】应用充分条件必要条件的定义去判断，对不充分条件或不必要条件可举例说明. 【解答过程】因为，所以， 所以“”可推出“”，即“”是“”的必要条件； 取，可知，而，即， 所以“”不能推出“”. 所以“”是“”的不充分条件. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 【变式6-1】（2024·四川·一模）已知集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【解题思路】根据条件，利用充分条件和必要条件的判断方法，即可求出结果. 【解答过程】当时，，此时，即可以推出， 若，所以，得到，所以推不出， 即“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 【变式6-2】（2024·天津和平·二模）若，下列选项中，使“”成立的一个必要不充分条件为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，等价于，若所求必要条件对应的范围为，则，由此判断即可得到本题的答案． 【解答过程】不等式等价于， 使“”成立的一个必要不充分条件，对应的集合为，则是的真子集， 由此对照各项，可知只有A项符合题意． 故选：A． 【变式6-3】（2023·江西萍乡·二模）集合，若的充分条件是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意是的子集，从而求解. 【解答过程】， 因为的充分条件是，所以， 则， 故选：B. 【题型7 全称量词与存在量词命题】 【例7】（2024·河北·模拟预测）若命题“”为真命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据存在性命题真假性可得，运算求解即可. 【解答过程】若命题“”为真命题， 则，解得， 所以a的取值范围是. 故选：A. 【变式7-1】（2024·四川雅安·一模）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【解题思路】根据给定条件，利用全称量词命题的否定判断即得. 【解答过程】命题“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以命题“，”的否定是，. 故选：C. 【变式7-2】（2024·四川遂宁·一模）已知命题，则为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据特称量词命题的否定是全称量词命题，即可得到结果. 【解答过程】因为命题， 则为：， 故选：D. 【变式7-3】（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知命题：命题.若p为假命题，q为真命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由命题为假命题，则在上无解，即与，函数图象没有交点，画出图象求出参数，命题为真命题，则，求出参数求交集即可. 【解答过程】命题为假命题， 在上无解， 即与，函数图象没有交点，      由图可知：或， 命题为真命题，则，解得， 综上所述：实数a的取值范围为. 故选：C. 1．（2023·北京·高考真题）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】解法一：由化简得到即可判断；解法二：证明充分性可由得到，代入化简即可，证明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入即可，证明必要性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可. 【解答过程】解法一： 因为，且， 所以，即，即，所以. 所以“”是“”的充要条件. 解法二： 充分性：因为，且，所以， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以，即，即，所以. 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 解法三： 充分性：因为，且， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以， 所以，所以，所以， 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 2．（2023·北京·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先化简集合，然后根据交集的定义计算. 【解答过程】由题意，，， 根据交集的运算可知，. 故选：A. 3．（2023·全国·高考真题）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意可得的值，然后计算即可. 【解答过程】由题意可得，则. 故选：A. 4．（2023·全国·高考真题）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用集合的交并补运算即可得解. 【解答过程】因为全集，集合，所以， 又，所以， 故选：A. 5．（2023·全国·高考真题）设全集,集合，（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出． 【解答过程】因为整数集，，所以，． 故选：A． 6．（2023·全国·高考真题）设集合，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为即可. 【解答过程】由题意可得，则，选项A正确； ，则，选项B错误； ，则或，选项C错误； 或，则 或，选项D错误； 故选：A. 7．（2023·天津·高考真题）已知，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【解题思路】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案. 【解答过程】由，则，当时不成立，充分性不成立； 由，则，即，显然成立，必要性成立； 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 8．（2023·天津·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】对集合B求补集，应用集合的并运算求结果； 【解答过程】由，而， 所以. 故选：A. 9．（2023·全国·高考真题）设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 【解题思路】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可. 【解答过程】因为，则有： 若，解得，此时，，不符合题意； 若，解得，此时，，符合题意； 综上所述：. 故选：B. 10．（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】直接根据并集含义即可得到答案. 【解答过程】由题意得. 故选：C. 11．（2024·全国·高考真题）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据集合的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算. 【解答过程】依题意得，对于集合中的元素，满足， 则可能的取值为，即， 于是. 故选：C. 12．（2024·全国·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由集合的定义求出，结合交集与补集运算即可求解. 【解答过程】因为，所以， 则， 故选：D. 13．（2024·天津·高考真题）集合，，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据集合交集的概念直接求解即可. 【解答过程】因为集合，， 所以， 故选：B. 14．（2024·全国·高考真题）已知命题p：，；命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【解题思路】对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解. 【解答过程】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题， 对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题， 综上，和都是真命题. 故选：B. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$