精品解析：上海市格致中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

格致中学二○二四学年度第一学期期中考试 高二年级数学试卷 （共4页） （测试90分钟内完成，总分100分，试后交答题卷） 友情提示，昨天，你既然经历了艰苦的学习，今天，你必将赢得可喜的收获！ 祝你：诚实守信，沉着冷静，细致踏实，自信自强，去迎接胜利！ 一、填空题：（本题共有12个小题，1-6每小题3分，7-12每小题4分，满分42分） 1. “一个点和一条直线确定一个平面”是__________命题.（填“真”、“假”） 【答案】假 【解析】 【分析】根据平面的基本性质即得. 【详解】当点在直线上不能确定一个平面，故此命题为假命题. 故答案为：假. 2. 已知数列的前n项和，则其通项______. 【答案】 【解析】 【分析】根据，利用数列前n项和与通项的关系求解. 【详解】当时，； 当时，. 故 故答案为： 3. 如图，空间四边形OABC中，，，，点M、N分别是OA、BC的中点，则______.（用、、的线性组合表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算即可得答案. 【详解】如图所示，连接， 则， 所以. 故答案为： 4. 等比数列中，，，则数列的前8项和等于________. 【答案】4 【解析】 【分析】首先利用对数的运算法，再根据等比数列的性质转化为，最后代入数值求值. 【详解】 故答案为4 【点睛】本题考查等比数列的运算性质和对数的运算法则，属于简单题型. 5. 已知某圆锥的高为8，体积为，则该圆锥的侧面积为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】利用圆锥的体积公式求出底面圆半径及圆锥的母线即可求出侧面积. 【详解】设圆锥的底面圆半径为，母线为， 依题意，，解得，则， 所以该圆锥的侧面积. 故答案为：. 6. 用斜二测画法画出水平放置的平面图形的直观图如图所示，已知，则的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先推导出原三角形的面积与其直观图面积之间的关系，并求出的面积，由此可得出的面积. 【详解】不妨设的底边，点到边的距离为，则，如下图所示： 在斜二测直观图中，如下图所示： 点到直线的距离为， 所以，，则， 本题中，在直观图中，， 则为等边三角形，则， ， 所以，， 所以，， 则. 故答案为：. 7. 若圆柱的底面半径为，高为，若，则圆柱侧面积的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据侧面积公式表示出侧面积，然后利用基本不等式求解出最大值即可. 【详解】由题意可知：圆柱的母线长度为， 侧面积， 当且仅当，即时取等号， 所以侧面积的最大值为， 故答案为：. 8. 设点到平面的距离为，点在平面上，使得直线与所成的角不小于且不大于，则满足条件的点构成的区域的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意画出图形，分别求出两个圆锥的半径，结合圆的面积公式作差即可． 【详解】如图， 过作，则， 当时，，当时，． 所以，满足条件的点构成的区域的面积为. 故答案为：. 9. 在国家鼓励政策下，某摊主2024年10月初向银行借了免息贷款8000元，用于进货，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底扣除生活费800元，余款作为资金全部用于下月进货.如此继续，该摊主预计在2025年9月底扣除生活费并还贷后，至此，他还剩余______元.（精确到1元） 【答案】32000 【解析】 【分析】从10月份起每月底用于下月进货的资金依次记为，，…，，根据条件得到，通过构造，求得，即可求解. 【详解】设，从10月份起每月底用于下月进货的资金依次记为，，…，， ，同理可得， 所以， 而，所以数列是等比数列，公比为1.2， 所以，即， 所以， 总利润为. 故答案为：32000. 10. 用一个平面去截一个几何体，截面的形状是五边形，则此几何体可能是__________（填上所有满足条件的几何体的序号） ①正三棱柱；②正方体；③正三棱锥；④正四棱锥；⑤圆柱；⑥圆锥；⑦圆台 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据几何体的结构特征以及平面的性质作出判断. 【详解】①正三棱柱的截面可以是五边形，如下图所示： ②正方体的截面可以是五边形，如下图所示： ③正三棱锥的截面最多边数的是四边形，不可能是五边形； ④正四棱锥的截面可以是五边形，如下图所示： 圆柱、圆锥、圆台的截面都不可能是五边形， 故答案为：①②④. 11. 在直三棱柱中，，，点P是平面ABC上一动点，则的最小值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】先分析出取到最小值时点的位置，然后将将底面沿着翻折，使其和平面共面，转化为平面问题处理. 【详解】 作，垂足为，连接， 根据直棱柱性质可得，平面，平面，则， 显然，当在上，两个等号同时成立， 于是使得取到最小值的点落在线段上. 如图所示直三棱柱，将底面沿着翻折，使其和平面共面，如下图， 过作，垂足为，交于，则此位置的点为所求， 根据题干数据，，， 由，故，于是，， 设，则，由，解得， 故，故； 故答案为： 【点睛】关键点睛：立体几何折线段最值问题都会展开几何体为一个平面处理，待求表达式中含有，联想到含的直角三角形的边长关系，是解题突破口. 12. 已知正四棱锥的高为3，侧面与底面所成角为，球与的四个侧面及底面都相切，然后依次在内放入球、、，……，使得球（，）与的四个侧面均相切，且球与外切，则放入的所有球的体积之和为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】记球的半径为，设四棱锥的高为，体积为，可得，设，利用可得，求出再求极限可得答案. 【详解】如图，四棱锥中，为底面正方形的中心，则底面， 为的中点，连接，设侧面与底面所成角为， 记球的半径为，设四棱锥的高为，体积为， 为与四棱锥的切点，， 因为，所以，即， 所以，故， 即，设， 由于，即， ，两式相减可得，即，所以， 故， 所以所有球的体积之和为. 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是找出可得. 二、选择题：（本题共有4个小题，第13、14小题3分，第15、16小题4分，满分14分） 13. 数列是等比数列，公比为，“”是“数列是严格增数列”的（ ）条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要 【答案】D 【解析】 【分析】根据“”与“数列是严格增数列”的互相推出关系判断属于何种条件. 【详解】当时，取，则，显然不是严格增数列， 所以“”不能推出“数列是严格增数列”； 当数列是严格增数列时，设， 当时，是摆动数列，不符合要求，所以， 若，则， 若，则， 所以“数列是严格增数列”不能推出“”； 综上所述，“”是“数列是严格增数列”的既非充分也非必要条件， 故选：D. 14. 木工小张在处理如图所示的一块四棱台形状的木块时，为了经过木料表面内一点和棱将木料平整锯开，需要在木料表面上过点画直线，则与直线的位置关系是（ ）. A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 重合 【答案】B 【解析】 【分析】延长、交于点，则、的延长线也过点，则直线即为所求作的直线，由此可得出结论. 【详解】在四棱台中，侧棱、、、的延长线交于一点，令此点为， 由，平面，得平面，同理平面， 而平面，平面，则平面平面， 即直线为所求作的直线，所以直线与直线相交， 故选：B. 15. 给出下列命题，其中真命题的个数是（ ） （a）若四棱锥底面是正方形，四个侧面都是等腰三角形，则该四棱锥是正四棱锥. （b）若三棱锥的顶点到的距离相等，则点在平面上的投影是三角形的外心. （c）若，且，则四点共面. （d）直线l与平面所成角为，平面经过直线l，设与所成的锐二面角大小为，则. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】(a)根据等腰三角形是否全等作出判断；(b)设出投影点，根据三角形全等分析的长度关系，由此可判断；(c)化简向量关系式，根据是否共线分类讨论并判断；(d)根据与的交线的位置关系分类讨论并判断. 【详解】(a)：当四棱锥底面是正方形，侧面都是等腰三角形时，若等腰三角形不全等，则四棱锥不是正四棱锥，故错误； (b)：如下图所示，设在底面的投影为点， 由题意可知，，又因为平面， 所以，且为的公共边， 易证两两全等，所以，所以为的外心，故正确； (c)：因为，所以， 所以， 因为，所以， 显然不全为，不妨设，所以， 若三点共线，则四点一定共面， 若三点不共线，则共面，且有公共点，所以四点共面， 综上可知，四点共面，故正确； (d)：设与平面交于点，，，，由题意知， 当时，因为，，所以， 又因为平面，所以平面， 又平面，所以，所以与所成的锐二面角即为； 当不垂直时，过作交延长线于点， 由上可知，此时与所成的锐二面角即为， 所以，所以， 综上可知，成立，故正确； 故上述命题中真命题有个， 故选：C. 16. 过正四面体的顶点作一个形状为等腰三角形的截面，使得截面与底面所成角为75°，这样的截面共可作出（ ）个. A. 6 B. 12 C. 15 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件将问题转化为“截面与底面的交线与以为圆心，以为半径的圆相切”，然后分类讨论即可. 【详解】不妨设正四面体的棱长为，正的中心为，则正四面体的高为， 在中，以为圆心，以为半径画圆，则所求截面与平面的交线为该圆的切线， 下面分三种情况进行讨论： （1）切线与的任意一边平行，此时能作出个截面； （2）切线（点在边上，点在边上）且 ，此时易证≌， 所以，则截面为等腰三角形，这样的截面有个； （3）过点作的切线，与交于点，由≌有，对应为等腰三角形，这样的截面有个， 综上，满足条件的截面共有18个， 故选：D. 三、解答题：（本题共有4大题，满分44分.解题时要有必要的解题步骤） 17. 如图1，山形图是两个全等的直角梯形 和的组合图，将直角梯形沿底边 翻折，得到图2所示的几何体.已知，,点 在线段 上，且在几何体中，解决下面问题. （1）证明：平面； （2）若平面平面 ，证明：. 【答案】（1）证明：连接 与 相交于 ,连接， 由于，且, 所以, 又,所以, 平面,平面,所以平面， （2）证明：过 作交 于 ，由于平面平面 ，且两平面交线为 ，平面 ， 所以平面，平面,故 ， 又四边形为直角梯形，故, 是平面 内的两相交直线，所以平面 ， 平面 ，故. 【解析】 【分析】（1）根据相似可得线线平行，即可由线面平行的判定求证， （2）根据面面垂直的性质可得线面垂直，进而可得线线垂直，即可由线面垂直的判定，进而可得线线垂直. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为6cm.不计容器的厚度. （1）求球的体积； （2）正方体上底面所在平面将球分割成两部分，体积较小的部分称为“劣球缺”.根据祖暅原理，其体积为一个圆柱的体积减去一个圆台的体积.请根据以下示意图，求出本题中“劣球缺”的体积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设球的半径为，根据球和正方体的结构特征结合题意可得球心到正方体上底面中心的距离为和过正方体上底面截球所得截面圆的半径，再根据即可求解. （2）分别计算圆柱的体积，小圆锥的体积和大圆锥的体积，从而计算出圆台的体积，从而得到劣球缺的体积. 【小问1详解】 设球的半径为， 则由题可知球心到正方体上底面中心的距离为，且过正方体上底面截球所得截面圆的半径为， 所以即，， 所以球的体积为. 【小问2详解】 圆柱体的体积为小圆锥的体积为大圆锥的体积为圆台的体积为 则劣球缺的体积为 又因为, 所以劣球缺的体积为 19. 刻画空间的弯曲性是几何研究中的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性.规定，多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中经过该顶点的多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体的每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为.如图，在直三棱柱中，分别是、的中点，，且点的曲率为； （1）证明：平面； （2）求点B到平面的距离； （3）求二面角的大小. 【答案】（1） 证明：因为棱柱为直三棱柱， 所以平面平面， 又因为，点的曲率为， 所以， 解得， 又因为， 所以是边长为2的正三角形， 又因为是的中点， 所以①， 又因为平面平面②， 平面平面，平面③， 由①②③可得：平面； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）由曲率的定义可得，从而得是边长为2的正三角形，结合面面垂直的性质定理即可得证； （2）取中点，连接,以为坐标原点，所在的方向分别为轴、轴、轴，建立空间坐标系，利用空间向量求解即可； （3）结合（2），利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接, 由（1）可知两两垂直，且交于点, 以为坐标原点，所在的方向分别为轴、轴、轴，建立空间坐标系，如图所示： 则,， 所以 设平面的法向量为， 则，取， 则， 又因为, 设点B到平面的距离， 则； 【小问3详解】 由（2）可知平面的法向量， 设平面的法向量， 因为 所以，取， 则， 所以， 设二面角的大小为，由题意可知， 所以， 所以. 所以二面角的大小为. 20. 在章节“用迭代序列求的近似值”中，将方程等价变形为，构造递推数列来形成一个迭代序列，当n趋于正无穷大时，趋近于.选取初始值，并令，，，2，3，… （1）完成以下表格，并在图中画出线段，，，，；（精确到0.001） n 1 2 3 n 4 5 6 （2）证明：是严格减数列； （3）设，证明是等比数列，并求出的通项公式及的值. 【答案】（1）根据递推数列，，可依次求得： ，，，， 完成以下表格 n 1 2 3 8 4.125 2.305 n 4 5 6 1.586 1.424 1.414 如图画出线段，，，， （2）证明:由，，可得， 再结合均值不等式得：，当且仅当时取等号， 也就是说只要前一项不等于，后一项就不可能取到， 而首项，所以等号一定不成立，即， 再由， 从而有，所以是严格减数列； （3）， 【解析】 【分析】（1）利用迭代思想结合计算器，即可求近似值； （2）利用均值不等式来证明，再用数列的递推法来证明单调性即可； （3）利用给的通项关系式，来构造成等比数列来求通项，最后求极限值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由两边加得： ，-------① 由两边减得： --------② 由①除以②得：， 上式两边取常用对数得：， 再由，代入得：， 所以是等比数列，首项， 即， 所以， 解得通项公式为， . 【点睛】方法点睛：（1）利用递推关系证明数列单调性； （2）利用题目中给的条件来构造等比数列求通项. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 格致中学二○二四学年度第一学期期中考试 高二年级数学试卷 （共4页） （测试90分钟内完成，总分100分，试后交答题卷） 友情提示，昨天，你既然经历了艰苦的学习，今天，你必将赢得可喜的收获！ 祝你：诚实守信，沉着冷静，细致踏实，自信自强，去迎接胜利！ 一、填空题：（本题共有12个小题，1-6每小题3分，7-12每小题4分，满分42分） 1. “一个点和一条直线确定一个平面”是__________命题.（填“真”、“假”） 2. 已知数列的前n项和，则其通项______. 3. 如图，空间四边形OABC中，，，，点M、N分别是OA、BC的中点，则______.（用、、的线性组合表示） 4. 等比数列中，，，则数列的前8项和等于________. 5. 已知某圆锥的高为8，体积为，则该圆锥的侧面积为_______________． 6. 用斜二测画法画出水平放置的平面图形的直观图如图所示，已知，则的面积为__________. 7. 若圆柱的底面半径为，高为，若，则圆柱侧面积的最大值为__________. 8. 设点到平面的距离为，点在平面上，使得直线与所成的角不小于且不大于，则满足条件的点构成的区域的面积为__________. 9. 在国家鼓励政策下，某摊主2024年10月初向银行借了免息贷款8000元，用于进货，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底扣除生活费800元，余款作为资金全部用于下月进货.如此继续，该摊主预计在2025年9月底扣除生活费并还贷后，至此，他还剩余______元.（精确到1元） 10. 用一个平面去截一个几何体，截面的形状是五边形，则此几何体可能是__________（填上所有满足条件的几何体的序号） ①正三棱柱；②正方体；③正三棱锥；④正四棱锥；⑤圆柱；⑥圆锥；⑦圆台 11. 在直三棱柱中，，，点P是平面ABC上一动点，则的最小值为__________. 12. 已知正四棱锥的高为3，侧面与底面所成角为，球与的四个侧面及底面都相切，然后依次在内放入球、、，……，使得球（，）与的四个侧面均相切，且球与外切，则放入的所有球的体积之和为__________. 二、选择题：（本题共有4个小题，第13、14小题3分，第15、16小题4分，满分14分） 13. 数列是等比数列，公比为，“”是“数列是严格增数列”的（ ）条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要 14. 木工小张在处理如图所示的一块四棱台形状的木块时，为了经过木料表面内一点和棱将木料平整锯开，需要在木料表面上过点画直线，则与直线的位置关系是（ ）. A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 重合 15. 给出下列命题，其中真命题的个数是（ ） （a）若四棱锥底面是正方形，四个侧面都是等腰三角形，则该四棱锥是正四棱锥. （b）若三棱锥的顶点到的距离相等，则点在平面上的投影是三角形的外心. （c）若，且，则四点共面. （d）直线l与平面所成角为，平面经过直线l，设与所成的锐二面角大小为，则. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 16. 过正四面体的顶点作一个形状为等腰三角形的截面，使得截面与底面所成角为75°，这样的截面共可作出（ ）个. A. 6 B. 12 C. 15 D. 18 三、解答题：（本题共有4大题，满分44分.解题时要有必要的解题步骤） 17. 如图1，山形图是两个全等的直角梯形 和的组合图，将直角梯形沿底边 翻折，得到图2所示的几何体.已知，,点 在线段 上，且在几何体中，解决下面问题. （1）证明：平面； （2）若平面平面 ，证明：. 18. 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为6cm.不计容器的厚度. （1）求球的体积； （2）正方体上底面所在平面将球分割成两部分，体积较小的部分称为“劣球缺”.根据祖暅原理，其体积为一个圆柱的体积减去一个圆台的体积.请根据以下示意图，求出本题中“劣球缺”的体积. 19. 刻画空间的弯曲性是几何研究中的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性.规定，多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中经过该顶点的多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体的每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为.如图，在直三棱柱中，分别是、的中点，，且点的曲率为； （1）证明：平面； （2）求点B到平面的距离； （3）求二面角的大小. 20. 在章节“用迭代序列求的近似值”中，将方程等价变形为，构造递推数列来形成一个迭代序列，当n趋于正无穷大时，趋近于.选取初始值，并令，，，2，3，… （1）完成以下表格，并在图中画出线段，，，，；（精确到0.001） n 1 2 3 n 4 5 6 （2）证明：是严格减数列； （3）设，证明是等比数列，并求出的通项公式及的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $