上海市曹杨第二中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷

2025届曹杨二中高三（上）期中考试数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 已知集合，，则__________. 2. 函数在区间上的平均变化率为________. 3. 不等式的解集为________. 4. 若圆柱的底面半径为1，且表面积是侧面积的2倍，则该圆柱的体积为________. 5. 若，则________. 6. 的展开式中，系数最小的项为__________. 7. 经过坐标原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为________. 8. 设.若是函数的极大值点，则________. 9. 设，令，若存在实数，则的取值范围是________. 10. 设为正整数.若存在复数，满足且，则的最小值为________. 11. 设是定义在上的偶函数，且对任意整数、，都有，其中表示实数、中的较大者.若，，则的所有可能取值组成的集合为________. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分） 12. 已知，则（ ） A. B. C. D. 13. 已知是直二面角，直线在平面上，直线在平面上.若、均与既不平行，也不垂直，则与的位置关系是（ ） A. 可能垂直，也可能平行 B. 可能垂直，但不可能平行 C. 不可能垂直，但可能平行 D. 既不可能垂直，也不可能平行 14. 已知是无穷等比数列，则“对任意正整数，都有”是“数列是严格减数列”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 15. 设，.若对任意实数，都有，则满足条件的有序数对的个数是（ ） A. 无数个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 16. 设向量，，. （1）求函数的最小正周期及单调增区间； （2）在中，角、、的对边分别为、、.若，，且，求的面积. 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，且，，且. （1）求证：平面平面； （2）设为的中点，求平面与平面所成锐二面角的大小. 18. 2024届起，上海实行高考改革新方案.新方案规定：语文、数学、英语是考生的必考科目，考生还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理6门科目中选取3门作为选考科目.某校为了解高一年级540名学生选科方案的意向，按性别分层抽样，随机选取36名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表： 性别 人数 物理 化学 生物 政治 历史 地理 男生 20 20 20 8 2 3 7 女生 16 6 6 16 4 10 6 （1）估计该学校高一年级全体男生中，选科方案为“物理、化学、历史”组合的人数； （2）从选取的20名男生中随机选出2名，求恰好有1人选“物理、化学、生物”组合的概率；（结果用最简分数表示） （3）已知选取的16名女生有且仅有“物理、化学、生物”、“生物、政治、历史”、“生物、历史、地理”3种选科方案.若从选取的16名女生中随机选出2名，求2人选科方案不同的概率.（结果用最简分数表示） 19. 已知椭圆的离心率，上顶点为. （1）求的方程； （2）设是直线上一点，点满足.若经过点，求点的坐标； （3）过的右焦点作不垂直于轴的直线，交于、两点，线段的垂直平分线交轴于点，求的值. 20. 设函数的定义域为开区间.若存在，使得曲线在处的切线与曲线只有唯一的公共点，则称切线是函数的一条“切线”. （1）求证：直线是函数的一条“切线”； （2）设，求证：函数存在无数条“切线”； （3）设，.若曲线在处的切线是函数一条“切线”，求的取值范围. 2025届曹杨二中高三（上）期中考试数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】3 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】2 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】2 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】3 【11题答案】 【答案】 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分） 【12题答案】 【答案】D 【13题答案】 【答案】D 【14题答案】 【答案】C 【15题答案】 【答案】B 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 【16题答案】 【答案】（1）， （2） 【17题答案】 【答案】（1） 取中点，连接、. 因为，所以，所以， 因为底面是边长为2的菱形，且， 所以是等边三角形，所以且， 又，，所以，所以. 又由于，且、是平面上的两条相交直线， 故平面. 又由于平面， 所以平面平面. （2）. 【18题答案】 【答案】（1）45人 （2） （3） 【19题答案】 【答案】（1） （2）或 （3） 【20题答案】 【答案】（1） 由于，设曲线在点处的切线为， 则，，， 所以，， 故直线是曲线在处的切线. 令，则，当且仅当时等号成立. 故函数在上严格减，知函数有唯一零点， 因此直线是函数的一条“切线”. （2） 由于，故曲线在处的切线方程为. 下面证明：对任意，上述切线均为函数的“切线”. 令，则. 由于是严格减函数，且， 在上，函数单调递减； 在上，函数单调递增. 由于，故当时，恒有. 因此有唯一零点，即直线是的“切线”. 因此函数存在无数条“切线”. （3）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $