专题3.5 角【十一大题型】-【新教材】2024-2025学年七年级数学上册举一反三系列（华东师大版2024）

专题3.5 角【十一大题型】 【华东师大版2024】 【题型1 角的概念理解】 2 【题型2 画特殊角】 4 【题型3 角的单位与角度制】 7 【题型4 方向角】 9 【题型5 钟面角】 14 【题型6 角的比较】 16 【题型7 与角平分线有关的角度计算】 19 【题型8 与n等分线有关的角度计算】 25 【题型9 三角板中的角度计算】 29 【题型10 与余角、补角有关的计算】 34 【题型11 与同（等）角的余（补）角相等的应用】 40 知识点1：角的相关概念 1.角的概念 （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 图2 图1 （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． （3）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （4）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 2.角的表示方法 表示方法 图例A 记法 适用范围 用三个大写字母表示 B O AOB 或BOA 任何情况下都适应.表示端点的字母必须写在中间. 用一个大写字母表示 A A 以这个点为顶点的角只有一个. 用数字表示 1 1 任何情况下都适用.但必须在靠近顶点处加上弧线表示角的范围，并注上数字或希腊字母. 用希腊字母表示 【题型1 角的概念理解】 【例1】（23-24七年级·黑龙江佳木斯·期末）下列各图中有关角的表示正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据角的表示方法，平角、射线、周角的定义分析判断即可． 【详解】解：图1中，角的顶点为，应表示为； 图2表示正确； 图3，射线和周角是两个概念，射线不能表示周角； 图4表示正确． 所以表示正确的个数为2． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了角的表示方法、平角、射线、周角等知识，理解并掌握相关知识是解题关键． 【变式1-1】（23-24七年级·山西吕梁·期末）下列图形中，能表示的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据角的定义和角的表示方法解答即可． 【详解】解：A．是两条直线，不是角，本选项不符合题意； B．表示或，本选项不符合题意； C．表示，本选项符合题意； D．表示或，本选项不符合题意， 故答案为：C． 【点睛】本题考查了角的定义和角的表示方法，解题的关键是掌握角的概念． 【变式1-2】（23-24七年级·江苏宿迁·期末）如图，则图中共有 个角． 【答案】 【分析】根据题意可知图中有两条射线，进而可得图中角的数量为个． 【详解】解：∵图中有两条射线， ∴图中角的数量为个， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根据角中射线的数量求角的个数，根据图形找出规律是解题的关键． 【变式1-3】（23-24七年级·山东泰安·期中）如图，下列说法正确的是（    ）    A． B．图中只有两个角，即和 C．与表示同一个角 D．与表示同一个角 【答案】D 【分析】根据角的概念和表示方法可知，当角的顶点处只有一个角时这个角可以用顶点字母来表示，由此可得结论． 【详解】解∶ A．与不一定相等，该选项原说法错误，故符合题意； B．图中有三个角，分别为、和，该选项原说法错误，故不符合题意； C．与表示同一个角，该选项原说法错误，故不符合题意； D．与表示同一个角，该选项正确，符合题意． 故选∶D． 【点睛】此题考查了角的表示方法，根据图形特点将每个角用合适的方法表示出来是解题的关键． 知识点2：角的画法 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角； （2）用量角器可以画出任意给定度数的角； （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． （4）用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)； ②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)． （5）利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 【题型2 画特殊角】 【例2】（23-24七年级·全国·课后作业）借助一副三角尺的拼摆，你能画出的角吗？呢？你还能画出哪些角？这些角有什么共同特征？ 【答案】能画出的角，能画出的角，能画出无数个角，这些角的度数都是15的倍数． 【分析】根据一副三角尺的内角度数求解即可．一副三角尺的内角度数有：30°，45°，60°，90°． 【详解】能画出的角，能画出的角．能画出无数个角，这些角的度数都是15的倍数。 设一个角可以由和角分别重复画m次和n次合并而成（m,n是整数），度数为，即，因此，总是15的整倍数． 【点睛】此题考查了一副三角尺的内角度数，解题的关键是熟练掌握一副三角尺的内角度数．一副三角尺的内角度数有：30°，45°，60°，90°． 【变式2-1】（23-24七年级·山东青岛·阶段练习）下列各度数的角，不能借助一副三角尺画出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查角的运算，一副三角尺上的度数为，，和，，，据此可求得答案． 【详解】一副三角尺上的度数为，，和，，． A、，可以画出，该选项不符合题意； B、不可以画出，该选项符合题意； C、，可以画出，该选项不符合题意； D、，可以画出，该选项不符合题意． 故选：B 【变式2-2】（23-24七年级·辽宁盘锦·期末）借助一副三角尺画出15°角和105°角． 【答案】画图见解析 【分析】由 再利用三角板画即可. 【详解】解：如图，画出15°角和105°角如下 ： 【点睛】本题考查的是角的和差运算，掌握“利用三角板画特殊角的方法”是解本题的关键. 【变式2-3】（23-24七年级·吉林延边·期末）如图①、如图②，是一副三角尺．借助三角尺可以直接画出、、、的角． (1)如图③、如图④，借助三角尺，也可以画出、的角，请你试一试，还可以画出哪些钝角，直接写在后面的横线上________；（写4个即可） (2)将两个三角板的直角顶点O重合放在桌面上，将绕O点旋转，探究在旋转过程中，与的和是否为固定值？选择图⑤或图⑥说明理由（选择一种说明即可）． 【答案】(1)、、、、 (2)，理由见解析 【分析】（1）根据三角板原有的、、、四种角分可以直接画出的角和利用和或差画出的两种情况找出． （2）分两种情形分别求解即可解决问题． 【详解】（1） 解：通过和或差画出的有： ； ； ； ； ； ； ； ； 钝角有：、、、、． 故答案为：、、、、． （2）如图，； 由三角板可知：， ∴； 如图，， ∵， ∴． 综上：与的和为固定值． 【点睛】本题考查作图应用与设计、旋转变换等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 知识点3：角的单位 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 【题型3 角的单位与角度制】 【例3】（23-24七年级·陕西汉中·期末）已知∠A=25.12°，∠B=25°12′，∠C=1528′，那么它们的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据度、分、秒的换算，把各角换算成相同单位，比较即可得答案． 【详解】∠A=25.12°=25°7′12″，∠C=1528′=25°28′， ∵25°28′＞25°12′＞25°7′12″， ∴∠C＞∠B＞∠A， 故选：A． 【点睛】本题考查度、分、秒的换算，熟记角度相邻单位的进率是60是解题关键． 【变式3-1】（23-24七年级·江苏无锡·阶段练习）计算： (1)45°10′﹣21°35′20′′； (2)48°39′+67°31′﹣21°17′； (3)42°16′+18°23′×2． 【答案】(1)23°34′40′′ (2)94°53′ (3)79°2′ 【分析】（1）根据度分秒之间的进率即可解答； （2）根据度分秒之间的进率即可解答； （3）先计算乘法，再计算加法即可． 【详解】（1）解：45°10′﹣21°35′20′′=23°34′40′′． （2）解：48°39′+67°31′﹣21°17′ =116°10′-21°17′ =94°53′． （3）解：42°16′+18°23′×2 =42°16′+36°46′ =79°2′． 【点睛】本题考查度分秒的计算，，，掌握度分秒之间的进率是解答本题的关键． 【变式3-2】（23-24七年级·四川眉山·期末）下面等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角度的运算法则，以及角的换算，即可得到答案. 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C错误； D、故D正确； 故选：D. 【点睛】本题考查了角度的加减运算，以及角的单位换算，解题的关键是掌握角度的运算法则和角度的60进位制. 【变式3-3】（23-24七年级·山东德州·期末）若∠AOB=，∠AOC=，则∠BOC= . 【答案】103°11′或47°25′ 【详解】当OC在∠AOB外部，则∠BOC＝∠AOB＋∠AOC＝75°18′＋27°53′＝102°71′＝103°11′； 当OC在∠AOB内部，则∠BOC＝∠AOB－∠AOC＝75°18′－27°53′＝74°78′－27°53′＝47°25′． 故答案为：103°11′或47°25′． 【点睛】本题考查了角的和差运算，分类讨论是解决此题的关键． 知识点4：方向角 方位角:以正北、正南方向为基准,描述物体运动的方向，即正北、正南方向与物体运动方向的夹角为方位角. 注意：(1)方位角在叙述时，一般先说南北，后说东西，如南偏西20° 当与南北方向夹角为45°时，常简称为东北、东南、西北、西南，如北偏东45°为东北方向。 (2)叙述方位角时，不仅要先说南北；后说东西，而且要选好基准点，即在某一点的南(北)偏东(西)多少度 【题型4 方向角】 【例4】（23-24七年级·河南平顶山·期末）方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角）． 请你在图中表示下列方向角（可以用量角器，不写画法）． (1)射线表示北偏西方向； (2)射线表示南偏东方向； (3)求的度数（小于平角）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)． 【分析】本题主要考查的是方向角，掌握方向角的定义和画法是解题的关键． （1）根据方位角的定义和画法画出图形即可； （2）根据方位角的定义和画法画出图形即可； （3）根据角的和差关系进行计算。 【详解】（1）解：如图，射线表示北偏西方向； （2）解：如图，射线表示南偏东方向； （3）解：如图所示， 由（1）（2）可得，， ∴， ∴． 【变式4-1】（23-24七年级·黑龙江齐齐哈尔·期末）小红从O点出发向北偏西32°17＇方向走到A点，小明从O点出发向南偏西54°28＇方向走到B点，则AOB的度数是 ． 【答案】93°15＇ 【分析】利用平角的定义计算即可． 【详解】∵从O点出发向北偏西32°17＇方向走到A点，小明从O点出发向南偏西54°28＇方向走到B点， ∴AOB=180°-54°28＇-32°17＇=93°15＇． 【点睛】本题考查了方位角，平角，角的和与差，熟练掌握方位角和平角的定义是解题的关键． 【变式4-2】（23-24七年级·河北邯郸·期末）如图，小明从处沿北偏东方向行走至点处，又从点处沿南偏东方向行走至点处，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了方位角的定义及角的和差．先分别以A点和B点为中心建立方位图，则可得和的度数，再根据进行计算即可． 【详解】 如图，分别以A点和B点为中心建立方位图， 由题意，得，， ， ． 故答案为：C 【变式4-3】（23-24七年级·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，的方向是北偏东，的方向时北偏西．      （1）若，则的方向是 ； （2）是的反方向延长线，的方向是 ； （3）若，请用方位角表示的方向是 ； （4）在（1）（2）（3）的条件下，则 ． 【答案】（1）北偏东；（2）南偏东；（3）南偏西或北偏东；（4）或 【分析】（1）利用方位角先求出∠AOB的度数，然后确定OC的方向； （2）直接由OB的方向得到OD的方向； （3）根据题意，OE的方向有两种情况，分别求出两种情况的方向角即可； （4）由（3）可知OE的方向，结合方位角的运算，即可求出的度数. 【详解】解：（1）∵的方向是北偏东，的方向时北偏西． ∴， ∴， ∴， ∴的方向是北偏东70°； 故答案为：北偏东70°； （2）∵的方向时北偏西，且是的反方向延长线， ∴的方向是南偏东40°； 故答案为：南偏东40°； （3）根据题意，如图：      ∵， ∴点E的位置有两种情况： 当OE在东北夹角时，有 ， ∴OE的方向为：北偏东50°； 当OE在西南夹角时，有 ， ∴OE的方向为：南偏西50°； 故答案为：北偏东50°或南偏西50°； （4）由（3）可知， 当OE为北偏东50°时， ； 当OE为南偏西50°时， . 故答案为：或. 【点睛】本题考查了方位角的运算，解题的关键是熟练掌握方位角，正确求出线段的方向. 知识点5：钟表上有关夹角问题 钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题． 【题型5 钟面角】 【例5】（23-24七年级·全国·期末）刚上初中的小明为了更加高效的完成作业，进行限时训练，特意去商店买了一块机械手表，爱钻研的小明发现了手表上的数学问题，当小明看时间是时， (1)时分针和时针的夹角为多少度？ (2)经过多长时间，时针与分针第一次相遇？ 【答案】(1)时分针和时针的夹角为75度； (2)经过分钟，时针与分针第一次相遇． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． （1）根据手表上的数字之间的角度和时针运动的速度求解； （2）根据“分钟与时针的角度差为75”列方程求解． 【详解】（1）解：时针每分钟转， 时分针和时针的夹角为：， （2）解：设经过分钟，时针与分针第一次相遇， 则：， 解得：， 答：经过分钟，时针与分针第一次相遇． 【变式5-1】（23-24七年级·天津津南·期末）时钟在6点10分时，时针和分针所成角度是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了钟面角，根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．确定时针与分针相距的份数是解题关键． 【详解】解：6点10分时时针与分针相距份， 在6点10分时，时针和分针所成角度是， 故选：． 【变式5-2】（23-24七年级·江苏宿迁·期末）钟面上的时间为时，再经过，时针与分针第一次重合，则t的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查一元一次方程的应用,解决这个问题就要弄清楚时针与分针转动速度的关系：每一小时，分针转动，而时针转动，即分针每分钟转动，时针每分钟转动． 【详解】解：设从点开始，经过，时针和分针第一次重合， 由题意得： 解得：， 则至少再经过时针和分针第一次重合． 故选:B． 【变式5-3】（23-24七年级·广东·单元测试）同一天中，从到，分针转了几度？时针转了几度？ 【答案】分针转了210度，时针转了17.5度 【分析】根据分针每分钟转，时针每分钟转，即可求解． 【详解】解：同一天中，从到，所经过的时间为35分钟， ，， 分针转了210度，时针转了17.5度． 【点睛】本题考查钟面角，解题的关键是掌握“时钟上分针每分钟转，时针每分钟转． 知识点6：角的比较 角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种． 方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′． 【题型6 角的比较】 【例6】（23-24七年级·山东东营·阶段练习）如图，和都是直角，射线是的平分线．    (1)比较和的大小，并说明理由； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查角度关系及求角度，涉及直角定义、角平分线定义等知识，数形结合，表示出各个角的和差倍分关系是解决问题的关键． （1）由和都是直角，是公共角，将和分别表示出来即可得到答案； （2）由已知条件求出，再由角平分线定义求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， 理由如下： 和都是直角， ， ，， ； （2）解： ，和都是直角， ， 射线是的平分线， ． 【变式6-1】（23-24七年级·河南平顶山·期末）比较两个角和的大小关系：小明用度量法测得；小丽采用叠合法比较这两个角的大小，她将和的顶点重合，边与重合，边和置于重合边的同侧，则边 ．（填序号：①“在的内部”；②“在的外部”；③“与边重合”） 【答案】① 【分析】将两个角的顶点重合，一边重合，另一边置于重合边的同侧，哪个角的另一条边在外面，就是哪个角大；据此即可得答案． 【详解】∵将和的顶点重合，边与重合，边和置于重合边的同侧，； ∴边在的内部， 故答案为：① 【点睛】本题考查角的大小比较的方法，度量法、叠合法是常用的方法，叠合法的前提是使两个角的一条边重合，两个角的另一条边都在重合边的同侧． 【变式6-2】（2024七年级·全国·专题练习）如图所示表示两块三角板． （1）用叠合法比较∠1，∠α，∠2的大小； （2）量出图中各角的度数，并把图中的6个角从小到大排列，然后用“＜”或“＝”连接． 【答案】（1）∠2＝∠1＞∠α；（2）∠α＜∠1＝∠2＜∠β＜∠3＝∠γ 【分析】1）将角的顶点重合，角的两边重合，看第三边的位置关系，分类判断即可； （2）用量角器测量比较即可． 【详解】解：（1）如图所示，把两块三角板叠在一起，可得∠1＞∠α，用同样的方法， 可得∠α＜∠2．所以∠2＝∠1＞∠α． （2）用量角器量出图中各个角的度数，分别是∠1＝∠2＝45°，∠3＝90°，∠α＝30°，∠β＝60°，∠γ＝90°， 把它们从小到大排列，有∠α＜∠1＝∠2＜∠β＜∠3＝∠γ． 【点睛】本题考查了了角的大小比较的方法，熟练掌握叠合法和度量法两种：①先将两个角的顶点与顶点重合，一条边与一条边重合再比较．②先量出每个角的度数，然后按它们的度数来比较，是解题的关键． 【变式6-3】（23-24七年级·重庆南岸·期末）如图，已知直线与射线相交于点O，点C是上一点，且. 用尺规完成作图： (1)在射线上截取，使；在射线上取一点E，，连接、；比较线段与的大小，并直接写出结论； (2)在射线上取一点Q(不同于点O，E)，连接、，比较与的大小，并直接写出结论. 【答案】(1) (2)当点Q在线段上时，，当点Q在射线上时， 【分析】（1）按照作一条线段等于已知线段的作法作图即可. （2）分两种情况：①Q点在线段上，②Q点在线段上，作出图形即可比较大小. 【详解】（1）如图，点D、E即为所求，且. （2）如图，当Q点在线段OE上时，， 当点Q在射线上时，. 【点睛】本题主要考查了比较线段的大小和比较角的大小，解题的关键是根据题意正确的作出图形. 知识点7：角的和差与角平分线 1.角的和、差关系 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 2.角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC， ∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 【题型7 与角平分线有关的角度计算】 【例7】（23-24七年级·湖南永州·期末）点O为直线上一点，在直线同侧任作射线同侧任作射线，使得． (1)如图一，过点O作射线，使为的角平分线．若时．则 ， ； (2)如图二，过点O作射线．当恰好为的角平分线时，另作射线．使得平分． ①若，求的度数； ②若（），则的度数是 （直接填空）； (3)过点O作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，当时，则的度数是 ． 【答案】(1)65，40 (2)①；② (3)或 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，角平分线的相关计算．熟练掌握角平分线定义，得出角之间的关系是解决问题的关键． （1）根据图中角的和差关系和角平分线的定义求解； （2）根据角平分线的定义求出和，再根据求解； （3）分在内部和在外部两种情况，分别计算即可． 【详解】（1）解：∵， ， 平分， ， ， 故答案为：65，40； （2）解：① ， 平分平分， ， ； ②， ， 平分平分， ， ， 故答案为：； （3）解：当在内部时，如图： 平分， ， ， ， 平分， ； 当在外部时，如图： 平分， ， ， ， 平分， ， 综上可知，的度数是或， 故答案为：或． 【变式7-1】（23-24七年级·湖北荆门·期末）如图，平面内，平分，则以下结论：①；②；③；④，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，先证明，再由即可证明，即可判断①；根据，可得，据此可判断②；根据周角的定义求出，再由角平分线的定义得到，则，进一步可推出，即可判断④；根据现有条件无法证明，即可判定③． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴，即，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴， ∵，即， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，故④正确； 根据现有条件无法证明，故③错误． 综上分析可知，错误的有3个， 故选：C． 【变式7-2】（23-24七年级·河南南阳·期末）已知，，平分，平分，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查与角平分线有关的角的运算．分类讨论是解答此题的关键． 分射线在内部和外部两种可能来解答． 【详解】解：当射线在内部时，如图， ， 平分， ， ∵，平分， ∴， ； 当射线在外部时，如图， ， 平分， ， ∵，平分， ∴， ， 故答案为：或． 【变式7-3】（23-24七年级·安徽六安·期末）如图，是内部的一条射线，是内部的一条射线，是内部的一条射线． (1)如图，若，，分别是的角平分线，求的度数； (2)如图，若平分，且，，则和之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析． 【分析】（）利用角平分线的定义分别求得，，据此求解即可； （）设，则，设，求得，根据题意列出等式，即可求解； 本题考查了角平分线的定义，角度的计算，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 【详解】（1）∵，，分别是的角平分线， ∴，， ∴； （2），理由如下， ∵， ∴设，则， 设， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∴． 【题型8 与n等分线有关的角度计算】 【例8】（23-24七年级·河南新乡·期末）如图①，射线在内部，图中共有三个角 ，若其中有两个角的度数之比为，则称射线为的“幸运线”．如图②，若，射线为的“幸运线”，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角的和差，正确分情况讨论是解题关键．分四种情况：时， 时，时，时，再根据角的和差进行计算即可． 【详解】解：由题意，分以下四种情况： ①当时，射线是的“幸运线”， ∵， ； ②当时，射线是的“幸运线”， ∵， ， ； ③当时，射线是的“幸运线”， ∵，， ， 解得； ④当时，射线是的“幸运线”， ∵，， ， 解得； 综上，的度数为或或， 故答案为：或或． 【变式8-1】（23-24七年级·重庆沙坪坝·期末）如图，已知O为直线上一点，以O为端点作射线，，将射线绕点O逆时针旋转，旋转速度为，旋转后对应射线为，旋转时间为t秒，当与重合时运动停止，射线为的角平分线，射线为的四等分线，即，当时，t的值为（    ） A．或28 B．或28 C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是分类讨论思想的应用．分两种情况：①当时，，，可得，②当时，，，有，解方程可得答案． 【详解】解：①当时，， ∵射线为的角平分线，射线为的四等分线， ∴，， ∴， 解得（舍去）或； ②当时，， ∵射线为的角平分线，射线为的四等分线， ∴，， ， 解得（舍去）或； 综上所述，t的值为或28； 故选：B． 【变式8-2】（23-24七年级·福建漳州·期末）已知射线在的内部，若，和三个角中有一个角的度数是另一个角的度数的，则称射线是的奇分线． (1)判断一个角的平分线是否是这个角的奇分线； (2)如图，． ①若射线是的奇分线，求的度数； ②射线从位置开始，以每秒旋转的速度绕点P按逆时针方向旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为t（s）．当t为何值时，射线是的奇分线． 【答案】(1)是 (2)①或或；②当t为27或36或54时 【分析】(1)根据奇分线的定义即可求解； (2)①分3种情况，根据奇分线的定义得到方程求解即可； ②分3种情况，根据奇分线的定义得到方程求解即可． 【详解】（1）解：一个角的平分线是这个角的奇分线； （2）解：①，若射线是的奇分线，则根据奇分线的定义可知有3种情况符合题意： 当时， ， 解得， 则； 当时， ， 解得； 当时， ； 综上，的度数为或或； ②当时，解得； 当时，解得； 当时，解得； 综上，当t为27或36或54时，射线是的奇分线． 【点睛】本题考查了几何图形中角的有关计算，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 【变式8-3】（23-24七年级·安徽合肥·期末）已知下图中的均为直角． (1)如图一，是的角平分线，是的角平分线； ①若，求的大小； ②若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）； (2)如图二，若内部的射线OP、OQ把分成了三部分，且使得，我们称OP、OQ为的“三等分线”． 在图三中，OD是的三等分线，OE是的三等分线，且，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1)①；②； (2)或或或． 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算，解题的关键是理解题意，分情况讨论，进而求解． （1）①根据角平分线的定义，求得和的大小，进而求解；②根据角平分线的定义，求得和的大小，进而求解； （2）根据“三等分线”的定义，分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：是的角平分线，是的角平分线 ∴， ∵均为直角 ∴ ①由可得， ∴； ②由可得， ∴； （2）是的三等分线，是的三等分线，分以下四种情况， 当是靠近的三等分线，是靠近的三等分线时， ，， ∴； 当是靠近的三等分线，是靠近的三等分线时， ，， ∴； 当是靠近的三等分线，是靠近的三等分线时， ，， ∴； 当是靠近的三等分线，是靠近的三等分线时， ，， ∴； 综上：的度数为或或或． 【题型9 三角板中的角度计算】 【例9】（23-24七年级·江苏苏州·期末）数学实践课上，小明同学将直角三角板的直角顶点O放在直尺的边缘，将直角三角板绕着顶点O旋转． (1)若三角板在的上方，如图1所示．在旋转过程中，小明发现、的大小发生了变化，但它们的和不变，即______°． (2)若、分别位于的上方和下方，如图2所示，则、之间的上述关系还成立吗？若不成立，则它们之间有怎样的数量关系？请说明你的理由； (3)射线、分别是、的角平分线，若三角板始终在的上方，则旋转过程中，的度数是一个定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)90 (2)，理由见解析 (3)的度数是一个定值，理由见解析 【分析】本题考查了三角板中角度计算，与角平分线的有关的角的计算，掌握角平分线的定义是解答本题的关键． （1）由平角的性质可求解； （2）由补角和余角的性质可求解； （3）由角平分线的定义和平角的性质可求解． 【详解】（1）解： ， ； 故答案为90； （2）解：， 理由如下：，， ； （3）解：的度数是一个定值， 理由如下：射线、分别是、的角平分线， ，， ． 【变式9-1】（23-24七年级·重庆·期末）如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点O，若，为的角平分线，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角板中的角度计算和角平分线的定义，找出角度之间的数量关系是解题关键．设，则，得到，则，解得，则，即可求出的度数． 【详解】解：设，则， 由题意可知，， ， ∴ 解得，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴ 故选：D． 【变式9-2】（23-24七年级·安徽·期末）将一副三角板按如图方式摆放，使三角板的一个顶点重合，，，和分别是和的平分线．    （1）若是平角，则的度数为 （2）若且，则的度数为 【答案】 【分析】（1）利用角平分线的定义求出，的度数，最后利用平角是 进行计算即可解答； （2）利用角平分线的定义求出，的度数进行计算即可解答． 【详解】解：（1）∵，是的平分线． ∴ ， ∵， 是的平分线 ∴， ∵是平角 ∴； 故答案为： （2）∵，是的平分线． ∴， ∵， 是的平分线 ∴， ∵ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了角平分线及角的和差计算，掌握角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化是关键． 【变式9-3】（23-24七年级·安徽黄山·期末）如图①，把一副三角板拼在一起，边与直线重合，其中，．此时易得． (1)如图②，三角板固定不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板一直在的内部，设三角板运动时间为t秒． ①当时， ； ②当t为何值时，？ (2)如图③，在（1）的条件下，若平分平分． ①当时， ； ②请问在三角板的旋转过程中，的度数是否会发生变化？如果发生变化，请说明理由；如果不发生变化，请求出的度数． 【答案】(1)①65；②10； (2)①；②的度数不发生变化，理由见解析． 【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，角平分线的定义，读懂题意，能准确得出相应角的数量关系是解本题的关键． （1）①根据题意和角的和差进行求解即可； ②由结合题意可得从而得出 进而求出时间t； （2）①根据平分 平分可得 ，则可以整理为进而得出答案； ②根据平分 平分，可得 进而推导出，继而得出答案． 【详解】（1）解：①当时， ， ∴， 故答案为：； ②∵，， ∴， ∴， (秒) ， ∴当t为10秒时，； （2）解：①∵平分平分， ， 故答案为： 的度数不发生变化，理由如下： ∵平分 ∵平分 ． 知识点8：余角、补角 （1）定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角． 类似地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角． （2）性质：（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的补角相等． 【题型10 与余角、补角有关的计算】 【例10】（23-24七年级·河南郑州·期末）如图，点，，在同一条直线上，，射线在直线的上方绕点旋转，记，平分． (1)若与互补，则角________； (2)若，则________； (3)是否存在的值，使得与互余，若存在，求出，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，的值为或． 【分析】（）由点，，在同一条直线上，则，通过题意，，再根据与互补，即可得出，然后求解即可； （）由点，，在同一条直线上，则，通过题意，，再根据角平分线的定义及，即可得出，然后求解即可； （）分情况画出图形讨论即可求解； 本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，余角与补角的定义，利用分类讨论的思想求解及掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）∵点，，在同一条直线上， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：； （2）如图， ∵点，，在同一条直线上， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：； （3）存在， ∵与互余， ∴， ∵，平分， ∴， 如图， ∵， ∴， 解得； 如图所示， ∵， ∴， 解得：， 综上所述，的值为或． 【变式10-1】（23-24七年级·全国·单元测试）与互余，与互补，，那么 ． 【答案】/153度 【分析】本题考查了余角与补角的定义．熟练掌握互为余角的和等于90°，互为补角的和等于180°是解题的关键． 根据互为余角的和等于90°先求出∠2的度数，再根据互为补角的和等于180°即可求出∠3的度数． 【详解】∵与互余， ， ∴， ∵与互补， ∴． 故答案为：． 【变式10-2】（2024七年级·全国·竞赛）已知，且，则下列式子不能表示的余角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查余角和补角，由得，分别代入各选项，计算后再进行判断即可． 【详解】解：∵，且， ∴，， ∵的余角为，故选项A正确，不符合题意； ∵， ∴表示的余角，故选项B正确，不符合题意； ∵ ， ∴可以表示的余角，故选项C正确，不符合题意； ∵ ， ∴不是的余角，所以选项D错误，符合题意． 故选：D． 【变式10-3】（23-24七年级·重庆秀山·期末）已知，与互为余角，与互为补角，平分，平分， (1)如图，当时，求的度数； (2)请你补全图形，并求的度数． 【答案】(1) (2)补全图形见解析；的度数为或或 【分析】（1）根据求出，根据角平分线的定义求出即可； （2）根据，求出，，根据角平分线的定义求出，，分三种情况在外，在内，且，在内，且，分别画出图形，求解即可． 【详解】（1）解：∵当时，， ∴， ∵平分， ∴． （2）解：当在外时，如图所示： ∵，与互为余角，与互为补角， ∴，， ∵平分，平分， ∴， ， ∴ ； 当在内，且时，如图所示： ∵，与互为余角，与互为补角， ∴，， ∵平分，平分， ∴， ， ∴ ； 当在内，且时，如图所示： ∵，与互为余角，与互为补角， ∴，， ∵平分，平分， ∴， ， ∴ ； 综上分析可知，的度数为或或． 【点睛】本题主要考查了补角、余角的有关计算，角平分线的有关计算，解题的关键是数形结合，熟记余角、补角的定义，注意分类讨论． 【题型11 与同（等）角的余（补）角相等的应用】 【例11】（23-24七年级·江苏无锡·期末）定义：从（）的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为补角，则称该射线为的“好线”．如图，点在直线上，在直线上方，且，射线是的“好线”； (1)若，且在内部，则 ； (2)若恰好平分，请求出的度数； (3)若是的平分线，是的平分线，请画出图形，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】本题考查了补角的定义和性质，角平分线的定义，角的和差关系，根据题意，画出图形是解题的关键． （）根据“好线”的定义即可求解； （）根据“好线”和角平分线的定义求解即可； （）分两种情况：在内部和在内部，进行解答即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵射线是的“好线”， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，平分， ∵射线是的“好线”， ∴， ∵， ∴， ∵恰好平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：或． 理由：当在内部时，如图， 由（）可得，， 设，则，， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴， ∴； 当在内部时，如图， 由（）可得， 设，则， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴， ∴； 综上，当在内部时，；当在内部时，． 【变式11-1】（23-24七年级·青海西宁·期末）如图，A，O，B三点在同一条直线上，． (1)写出图中的补角是 ，的余角是 ； (2)如果平分，，求的度数． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，平角的定义，熟练掌握余角和补角的定义是解题的关键． （1）根据“和为的两个角互为补角”、“和为的两个角互为余角”进行解答； （2）先根据，求出，再利用平角的定义和角平分线的定义即可求出． 【详解】（1）解：∵A，O，B三点在同一条直线上，， ∴，， ∴的补角是，的余角是， 故答案为：；． （2）∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵A，O，B三点在同一条直线上， ∴． 故答案为：． 【变式11-2】（23-24七年级·贵州六盘水·期末）如图，和都是直角． (1)如果，那么______． (2)找出图中相等的锐角，如果，它们还会相等吗？请说明理由． (3)在图中，利用能够画直角的工具再画一个与相等的角（请标出你所画的直角，并写出与相等的角）． 【答案】(1)； (2)会相等，理由见解析； (3)画图见解析，． 【分析】（）利用余角的定义可求得，从而可求解； （）结合图形，利用余角的性质进行分析即可； （）先用尺规画直角，再利用等角的余角相等进行求解即可； 本题主要考查了垂直的定义，余角的概念，尺规作图，解题的关键是掌握掌握知识点的应用． 【详解】（1）∵和都是直角，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）中相等的锐角是：， 会相等，理由： ∵和都是直角， ∴，， ∴， 如果，它们仍相等； （3）如图， 以为边画，再以为边画，由同角的余角相等得． 【变式11-3】（23-24七年级·湖南株洲·期末）如图，已知O为直线上一点，是内部一条射线且满足与互补，，分别为，的角平分线． (1)与相等吗？请说明理由； (2)若，试求与的度数； (3)若，试求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)， (3) 【分析】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，角的和差计算，解题的关键是根据图形，理清角之间的关系． （1）由题意可得，，可以根据同角的补角相等得到； （2）根据与互补，及可求出的度数，根据角平分线的定义求出、的度数，即可求出的度数； （3）根据角平分线的定义得出，，再根据得出，结合与互补即可求出的度数． 【详解】（1）解：；理由如下： 与互补， ， ， ； （2）解：∵与互补，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∵为的角平分线，， ∴， ∴； （3）解：∵，分别为，的角平分线， ∴，， ∴， ∴①， ∵②， 得． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.5 角【十一大题型】 【华东师大版2024】 【题型1 角的概念理解】 2 【题型2 画特殊角】 3 【题型3 角的单位与角度制】 4 【题型4 方向角】 5 【题型5 钟面角】 6 【题型6 角的比较】 7 【题型7 与角平分线有关的角度计算】 9 【题型8 与n等分线有关的角度计算】 10 【题型9 三角板中的角度计算】 12 【题型10 与余角、补角有关的计算】 13 【题型11 与同（等）角的余（补）角相等的应用】 14 知识点1：角的相关概念 1.角的概念 （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 图2 图1 （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． （3）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （4）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 2.角的表示方法 表示方法 图例A 记法 适用范围 用三个大写字母表示 B O AOB 或BOA 任何情况下都适应.表示端点的字母必须写在中间. 用一个大写字母表示 A A 以这个点为顶点的角只有一个. 用数字表示 1 1 任何情况下都适用.但必须在靠近顶点处加上弧线表示角的范围，并注上数字或希腊字母. 用希腊字母表示 【题型1 角的概念理解】 【例1】（23-24七年级·黑龙江佳木斯·期末）下列各图中有关角的表示正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-1】（23-24七年级·山西吕梁·期末）下列图形中，能表示的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式1-2】（23-24七年级·江苏宿迁·期末）如图，则图中共有 个角． 【变式1-3】（23-24七年级·山东泰安·期中）如图，下列说法正确的是（    ）    A． B．图中只有两个角，即和 C．与表示同一个角 D．与表示同一个角 知识点2：角的画法 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角； （2）用量角器可以画出任意给定度数的角； （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． （4）用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)； ②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)． （5）利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 【题型2 画特殊角】 【例2】（23-24七年级·全国·课后作业）借助一副三角尺的拼摆，你能画出的角吗？呢？你还能画出哪些角？这些角有什么共同特征？ 【变式2-1】（23-24七年级·山东青岛·阶段练习）下列各度数的角，不能借助一副三角尺画出的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24七年级·辽宁盘锦·期末）借助一副三角尺画出15°角和105°角． 【变式2-3】（23-24七年级·吉林延边·期末）如图①、如图②，是一副三角尺．借助三角尺可以直接画出、、、的角． (1)如图③、如图④，借助三角尺，也可以画出、的角，请你试一试，还可以画出哪些钝角，直接写在后面的横线上________；（写4个即可） (2)将两个三角板的直角顶点O重合放在桌面上，将绕O点旋转，探究在旋转过程中，与的和是否为固定值？选择图⑤或图⑥说明理由（选择一种说明即可）． 知识点3：角的单位 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 【题型3 角的单位与角度制】 【例3】（23-24七年级·陕西汉中·期末）已知∠A=25.12°，∠B=25°12′，∠C=1528′，那么它们的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24七年级·江苏无锡·阶段练习）计算： (1)45°10′﹣21°35′20′′； (2)48°39′+67°31′﹣21°17′； (3)42°16′+18°23′×2． 【变式3-2】（23-24七年级·四川眉山·期末）下面等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24七年级·山东德州·期末）若∠AOB=，∠AOC=，则∠BOC= . 知识点4：方向角 方位角:以正北、正南方向为基准,描述物体运动的方向，即正北、正南方向与物体运动方向的夹角为方位角. 注意：(1)方位角在叙述时，一般先说南北，后说东西，如南偏西20° 当与南北方向夹角为45°时，常简称为东北、东南、西北、西南，如北偏东45°为东北方向。 (2)叙述方位角时，不仅要先说南北；后说东西，而且要选好基准点，即在某一点的南(北)偏东(西)多少度 【题型4 方向角】 【例4】（23-24七年级·河南平顶山·期末）方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角）． 请你在图中表示下列方向角（可以用量角器，不写画法）． (1)射线表示北偏西方向； (2)射线表示南偏东方向； (3)求的度数（小于平角）． 【变式4-1】（23-24七年级·黑龙江齐齐哈尔·期末）小红从O点出发向北偏西32°17＇方向走到A点，小明从O点出发向南偏西54°28＇方向走到B点，则AOB的度数是 ． 【变式4-2】（23-24七年级·河北邯郸·期末）如图，小明从处沿北偏东方向行走至点处，又从点处沿南偏东方向行走至点处，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24七年级·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，的方向是北偏东，的方向时北偏西．      （1）若，则的方向是 ； （2）是的反方向延长线，的方向是 ； （3）若，请用方位角表示的方向是 ； （4）在（1）（2）（3）的条件下，则 ． 知识点5：钟表上有关夹角问题 钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题． 【题型5 钟面角】 【例5】（23-24七年级·全国·期末）刚上初中的小明为了更加高效的完成作业，进行限时训练，特意去商店买了一块机械手表，爱钻研的小明发现了手表上的数学问题，当小明看时间是时， (1)时分针和时针的夹角为多少度？ (2)经过多长时间，时针与分针第一次相遇？ 【变式5-1】（23-24七年级·天津津南·期末）时钟在6点10分时，时针和分针所成角度是（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24七年级·江苏宿迁·期末）钟面上的时间为时，再经过，时针与分针第一次重合，则t的值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24七年级·广东·单元测试）同一天中，从到，分针转了几度？时针转了几度？ 知识点6：角的比较 角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种． 方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′． 【题型6 角的比较】 【例6】（23-24七年级·山东东营·阶段练习）如图，和都是直角，射线是的平分线．    (1)比较和的大小，并说明理由； (2)当时，求的度数． 【变式6-1】（23-24七年级·河南平顶山·期末）比较两个角和的大小关系：小明用度量法测得；小丽采用叠合法比较这两个角的大小，她将和的顶点重合，边与重合，边和置于重合边的同侧，则边 ．（填序号：①“在的内部”；②“在的外部”；③“与边重合”） 【变式6-2】（2024七年级·全国·专题练习）如图所示表示两块三角板． （1）用叠合法比较∠1，∠α，∠2的大小； （2）量出图中各角的度数，并把图中的6个角从小到大排列，然后用“＜”或“＝”连接． 【变式6-3】（23-24七年级·重庆南岸·期末）如图，已知直线与射线相交于点O，点C是上一点，且. 用尺规完成作图： (1)在射线上截取，使；在射线上取一点E，，连接、；比较线段与的大小，并直接写出结论； (2)在射线上取一点Q(不同于点O，E)，连接、，比较与的大小，并直接写出结论. 知识点7：角的和差与角平分线 1.角的和、差关系 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 2.角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC， ∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 【题型7 与角平分线有关的角度计算】 【例7】（23-24七年级·湖南永州·期末）点O为直线上一点，在直线同侧任作射线同侧任作射线，使得． (1)如图一，过点O作射线，使为的角平分线．若时．则 ， ； (2)如图二，过点O作射线．当恰好为的角平分线时，另作射线．使得平分． ①若，求的度数； ②若（），则的度数是 （直接填空）； (3)过点O作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，当时，则的度数是 ． 【变式7-1】（23-24七年级·湖北荆门·期末）如图，平面内，平分，则以下结论：①；②；③；④，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式7-2】（23-24七年级·河南南阳·期末）已知，，平分，平分，则 ． 【变式7-3】（23-24七年级·安徽六安·期末）如图，是内部的一条射线，是内部的一条射线，是内部的一条射线． (1)如图，若，，分别是的角平分线，求的度数； (2)如图，若平分，且，，则和之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 【题型8 与n等分线有关的角度计算】 【例8】（23-24七年级·河南新乡·期末）如图①，射线在内部，图中共有三个角 ，若其中有两个角的度数之比为，则称射线为的“幸运线”．如图②，若，射线为的“幸运线”，则的度数是 ． 【变式8-1】（23-24七年级·重庆沙坪坝·期末）如图，已知O为直线上一点，以O为端点作射线，，将射线绕点O逆时针旋转，旋转速度为，旋转后对应射线为，旋转时间为t秒，当与重合时运动停止，射线为的角平分线，射线为的四等分线，即，当时，t的值为（    ） A．或28 B．或28 C．或 D． 【变式8-2】（23-24七年级·福建漳州·期末）已知射线在的内部，若，和三个角中有一个角的度数是另一个角的度数的，则称射线是的奇分线． (1)判断一个角的平分线是否是这个角的奇分线； (2)如图，． ①若射线是的奇分线，求的度数； ②射线从位置开始，以每秒旋转的速度绕点P按逆时针方向旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为t（s）．当t为何值时，射线是的奇分线． 【变式8-3】（23-24七年级·安徽合肥·期末）已知下图中的均为直角． (1)如图一，是的角平分线，是的角平分线； ①若，求的大小； ②若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）； (2)如图二，若内部的射线OP、OQ把分成了三部分，且使得，我们称OP、OQ为的“三等分线”． 在图三中，OD是的三等分线，OE是的三等分线，且，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【题型9 三角板中的角度计算】 【例9】（23-24七年级·江苏苏州·期末）数学实践课上，小明同学将直角三角板的直角顶点O放在直尺的边缘，将直角三角板绕着顶点O旋转． (1)若三角板在的上方，如图1所示．在旋转过程中，小明发现、的大小发生了变化，但它们的和不变，即______°． (2)若、分别位于的上方和下方，如图2所示，则、之间的上述关系还成立吗？若不成立，则它们之间有怎样的数量关系？请说明你的理由； (3)射线、分别是、的角平分线，若三角板始终在的上方，则旋转过程中，的度数是一个定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【变式9-1】（23-24七年级·重庆·期末）如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点O，若，为的角平分线，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（23-24七年级·安徽·期末）将一副三角板按如图方式摆放，使三角板的一个顶点重合，，，和分别是和的平分线．    （1）若是平角，则的度数为 （2）若且，则的度数为 【变式9-3】（23-24七年级·安徽黄山·期末）如图①，把一副三角板拼在一起，边与直线重合，其中，．此时易得． (1)如图②，三角板固定不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板一直在的内部，设三角板运动时间为t秒． ①当时， ； ②当t为何值时，？ (2)如图③，在（1）的条件下，若平分平分． ①当时， ； ②请问在三角板的旋转过程中，的度数是否会发生变化？如果发生变化，请说明理由；如果不发生变化，请求出的度数． 知识点8：余角、补角 （1）定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角． 类似地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角． （2）性质：（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的补角相等． 【题型10 与余角、补角有关的计算】 【例10】（23-24七年级·河南郑州·期末）如图，点，，在同一条直线上，，射线在直线的上方绕点旋转，记，平分． (1)若与互补，则角________； (2)若，则________； (3)是否存在的值，使得与互余，若存在，求出，若不存在，请说明理由． 【变式10-1】（23-24七年级·全国·单元测试）与互余，与互补，，那么 ． 【变式10-2】（2024七年级·全国·竞赛）已知，且，则下列式子不能表示的余角的是（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】（23-24七年级·重庆秀山·期末）已知，与互为余角，与互为补角，平分，平分， (1)如图，当时，求的度数； (2)请你补全图形，并求的度数． 【题型11 与同（等）角的余（补）角相等的应用】 【例11】（23-24七年级·江苏无锡·期末）定义：从（）的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为补角，则称该射线为的“好线”．如图，点在直线上，在直线上方，且，射线是的“好线”； (1)若，且在内部，则 ； (2)若恰好平分，请求出的度数； (3)若是的平分线，是的平分线，请画出图形，探究与的数量关系，并说明理由． 【变式11-1】（23-24七年级·青海西宁·期末）如图，A，O，B三点在同一条直线上，． (1)写出图中的补角是 ，的余角是 ； (2)如果平分，，求的度数． 【变式11-2】（23-24七年级·贵州六盘水·期末）如图，和都是直角． (1)如果，那么______． (2)找出图中相等的锐角，如果，它们还会相等吗？请说明理由． (3)在图中，利用能够画直角的工具再画一个与相等的角（请标出你所画的直角，并写出与相等的角）． 【变式11-3】（23-24七年级·湖南株洲·期末）如图，已知O为直线上一点，是内部一条射线且满足与互补，，分别为，的角平分线． (1)与相等吗？请说明理由； (2)若，试求与的度数； (3)若，试求的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$