精品解析：江西省吉安市2024-2025学年上学期九年级数学期中练习卷

吉安市2024－2025学年（上）九年级数学期中练习卷 一．选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. （，，为常数） B. C. D. 2. 在一个不透明的口袋里装着只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组作摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表示活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 请估算口袋中白球约是(　　 )只． A. 8 B. 9 C. 12 D. 13 3. 下列命题，其中是真命题的为（ ） A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 一组邻边相等的矩形是正方形 4. 如图，△PQR是正方形网格中的格点三角形，下列正方形网格中的格点三角形与△PQR相似的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，矩形对角线与轴重合，，且点在第一象限内，，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠BCD＝60°，E是BC的中点，连接ED交AC于点G，若点F是AG的中点，则△EFD的周长为（　　） A. 52 B. 10 C. 9 D. 5 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若，则_________． 8. 如图是某校的旗杆，米，是的黄金分割点（）则______（用含根号的式子表示）． 9. 已知，是一元二次方程的两个根，则______． 10. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_______. 11. 将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子（图中的所有点、线都在同一平面内），若，，则______． 12. 如图，已知点，点，点分别在轴，轴正半轴上运动，且，当时，求点坐标______． 三．解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程： （1）； （2）如图，矩形对角线，相交于，若，，求的长度． 14. 如图，，，，，，求的长． 15. 2023年9月21日，“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲，航天员们演示了“球形火焰”，“奇妙乒乓球”“动量守恒”和“又见陀螺”四个实验，本次授课活动分别在北京、内蒙古阿拉善盟、陕西延安、安徽桐城及浙江宁波设置了5个地面课堂． （1）若航天员们随机连线一个地面课堂，则陕西延安地面课堂被连线的概率是______． （2）某班组织同学们收看了本次太空科普课，并随机对李明和张敏两位同学进行了关于“你最感兴趣的实验”的采访，若将以上四个实验分别记为A，B，C，D，请利用画树状图或列表的方法，求他们两人最感兴趣的实验恰好是同一个实验的概率． 16. 如图，在正方形中，点E为的中点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． （1）在图1中，将点E绕点B顺时针旋转； （2）在图2中，将绕点D逆时针旋转． 17. 如图，中，，垂直平分，垂足为，交于点，，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 四．解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，大小质地完全相同的两个圆形转盘，都被平均分成份，并涂上红、白两种颜色．其中：涂有白色份，红色份；涂有红色份，白色份．两个转盘都是指针固定，转盘可自由转动（若指针指向分界线，则重转）． （1）自由转动转盘一次，求转盘停止后指针指向白色的概率； （2）游戏规则：甲、乙两人让两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止时，若两个转盘指针所指区域的颜色相同，则甲获胜；若颜色不同，则乙获胜．请问这个游戏规则对谁更有利？在不改变上述游戏规则的情况下，若将转盘重新涂上红、白两种颜色（转盘仍以份均分），是否有可能使这个游戏对双方都公平？若能，转盘中红、白应各涂几份？若不能，请说明理由． 19. 如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连接AE，F为AE上的一点，且∠BFE ＝∠C （1）求证：△ABF∽△EAD； （2）若AB＝4，∠BAE＝30°，求AE的长； （3）在（1）、（2）的条件下，若AD＝3，求BF的长（计算结果可含根号） 20. 2020年4月，“一盔一带”安全守护行动在全国各地积极开展．某品牌头盔的销量逐月攀升，已知4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月平均增长率； （2）若此头盔的进价为30元/个，经测算当售价为40元/个时，月销售量为300个；售价每上涨1元，则月销售量减少10个，为使月销售利润达到3960元，并尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的售价应定为多少元/个？ 五．解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 矩形，，，四边形的顶点、在矩形的边、上；顶点、在矩形的对角线上． 图1 图2 （1）如图1，当四边形是平行四边形时，求证：． （2）如图2，当四边形是正方形时，求的长． 22. （1）某校一数学兴趣小组在一次初步探究活动中，将两块大小不同的等腰直角和等腰直角，按如图1的方式摆放，随后保持不动，将绕点按逆时针方向旋转如图2，连接，，直线交直线于点，则线段与线段的数量关系是__________（图中所有的点在同一平面内） （2）该数学兴趣小组进一步探究活动中，将两块大小不同的含的直角和直角，按如图3的方式摆放，随后保持不动，将绕点按逆时针方向旋转如图4，连接，，直线交直线于点，请写出线段与线段的数量关系和的大小，并说明理由．（图中所有的点在同一平面内） （3）在（2）的条件下若旋转，，，当B，D，E三点在同一直线上时，请直接写出线段的长度． 六．解答题（本大题12分） 23. 如图1，的对角线与交于点O，点M，N分别在边，上，且．点E，F分别是与，的交点． （1）求证：； （2）连接交于点H，连接，． （ⅰ）如图2，若，求证：； （ⅱ）如图3，若为菱形，且，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉安市2024－2025学年（上）九年级数学期中练习卷 一．选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. （，，为常数） B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义即可求解，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程，一般形式为． 【详解】、中没有说明，原选项不符合题意； 、是一元二次方程，原选项符合题意； 、中整理得，是一元一次方程，原选项不符合题意； 、中等号左边是分式，故不是一元二次方程，原选项不符合题意； 故选：． 2. 在一个不透明的口袋里装着只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组作摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表示活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 请估算口袋中白球约是(　　 )只． A. 8 B. 9 C. 12 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】根据利用频率估计概率，由于摸到白球的频率稳定在0.6左右，由此可估计摸到白球的概率为0.6，进而可估计口袋中白球的个数. 【详解】根据表格，摸到白球的频率稳定在0.6左右，所以摸一次，摸到白球的概率为0.6，则可估计口袋中白球的个数约为(个)， 故选：C. 【点睛】本题考查了利用频率估计概率的方法，大量重复实验时事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；用频率估计概率得到的是近似值,随实验次数的增多,值越来越精确，求出摸到白球的概率是解题关键. 3. 下列命题，其中是真命题的为（ ） A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 一组邻边相等的矩形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定判断A选项，根据菱形的判定判断B选项，根据矩形的判定判断C选项，根据正方形的判定判断D选项，真命题选择选项说法正确的即可． 【详解】解：A选项，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故A选项错误，不符合题意； B选项，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B选项错误，不符合题意； C选项，对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项错误，不符合题意； D选项，一组邻边相等的矩形是正方形，故D选项正确，符合题意 故选D． 【点睛】本题考查了真命题、平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定的知识点，熟练掌握这些判定是解答本题的关键． 4. 如图，△PQR是正方形网格中的格点三角形，下列正方形网格中的格点三角形与△PQR相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用三边对应成比例两个三角形相似，分别计算各边的长度即可解题． 【详解】解：根据勾股定理，PQ=，PR=，QR=， ∴PQ2+PR2=RQ2， ∴△PQR是直角三角形，且夹直角的两边的比为=2， 观各选项，只有A选项三角形符合，与所给图形的三角形相似． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，三角形对应边比值相等判定三角形相似的方法，本题中根据勾股定理计算三角形的三边长是解题的关键． 5. 如图，在平面直角坐标系中，矩形对角线与轴重合，，且点在第一象限内，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，过作轴于点，由，且点在第一象限内，，得，，，，由矩形的性质可知，则，然后证明，根据性质得，再求出的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作轴于点， ∴， ∵，且点在第一象限内，， ∴，，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，整理得： ∴，（舍去）， 故选：． 6. 如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠BCD＝60°，E是BC的中点，连接ED交AC于点G，若点F是AG的中点，则△EFD的周长为（　　） A. 52 B. 10 C. 9 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的性质、直角三角形的性质和等边三角形可以求得EF、ED、DF的长，然后将它们相加即可． 【详解】解：连接BD、BF，如下图： ∵四边形ABCD是菱形，AB＝6， ∴AB＝BC＝CD＝6，BC∥AD， ∵∠BCD＝60°， ∴△BCD是等边三角形，∠CDA＝120°， ∵点E是BC的中点， ∴DE⊥BC，CE＝3， ∴，∠CDE＝30°， ∴， ∴，， 由勾股定理可得： 解得：， ∴DF＝2， ∵BC＝DC，∠BCF＝∠DCF，CF＝CF， ∴△BCF≌△DCF（SAS）， ∴∠CBF＝∠CDF，BF＝DF＝2， ∵DF＝AF，∠CAD＝30°，∠ACD＝30°， ∴∠DAF＝∠ADF＝30°， ∴∠CFD＝60°， ∴∠CDF＝90°， ∴∠CBF＝90°， ∴∠EBF＝90°， ∵BF＝3，BF＝2， ∴， ∴△EFD的周长为：ED+DF+EF＝325， 故选：D． 【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等式性质，在两边都加上1，则问题可解． 【详解】解：根据等式的性质，两边都加上1，即可得，通分得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等式的性质和分式的加减法，解答关键是根据相关法则进行计算． 8. 如图是某校的旗杆，米，是的黄金分割点（）则______（用含根号的式子表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比．根据黄金比值是列式计算即可． 【详解】解：∵点C是线段的黄金分割点，， ∴， ∴， 故答案为：． 9. 已知，是一元二次方程的两个根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解．根据题意得、，再将其代入即可求解． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：2023． 10. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义，列出不等式组，即可得到答案. 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， ∴的取值范围是：且. 故答案为且. 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根． 11. 将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子（图中的所有点、线都在同一平面内），若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，由，是等腰直角三角形，则，，，证明，根据相似三角形的性质得出，然后把，代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，是等腰直角三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图，已知点，点，点分别在轴，轴正半轴上运动，且，当时，求点坐标______． 【答案】或． 【解析】 【分析】本题考查的是坐标与图形，一元二次方程的解法，如图，过作轴于，设，利用面积公式可得，再解方程即可． 【详解】解：如图，过作轴于， ∵，设， 而，， ∴， 整理得：， 解得：，， ∴或． 三．解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程： （1）； （2）如图，矩形对角线，相交于，若，，求的长度． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】（）根据因式分解法解方程即可； （）由矩形的性质可知，，然后由勾股定理得，代入即可求解； 本题考查了解一元二次方程，矩形的性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解： ，； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴． 14. 如图，，，，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】解：，，， ， ， ， ， ， 解得：． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理及比例的性质，熟练掌握相关定理是解题关键． 15. 2023年9月21日，“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲，航天员们演示了“球形火焰”，“奇妙乒乓球”“动量守恒”和“又见陀螺”四个实验，本次授课活动分别在北京、内蒙古阿拉善盟、陕西延安、安徽桐城及浙江宁波设置了5个地面课堂． （1）若航天员们随机连线一个地面课堂，则陕西延安地面课堂被连线的概率是______． （2）某班组织同学们收看了本次太空科普课，并随机对李明和张敏两位同学进行了关于“你最感兴趣的实验”的采访，若将以上四个实验分别记为A，B，C，D，请利用画树状图或列表的方法，求他们两人最感兴趣的实验恰好是同一个实验的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了由概率公式求概率以及列举法求概率，熟练简单概率公式以及正确作出树状图是解题关键． （1）直接由概率公式求解即可； （2）结合题意作出树状图，结合树状图再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：航天员们对5个地面课堂随机连线一个地面课堂， 恰好选到陕西延安地面课堂的概率为． 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意，画树状图如下， 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中两人最感兴趣的实验恰好是同一个实验的结果有种， ∴两人最感兴趣的实验恰好是同一个实验的概率为：． 16. 如图，在正方形中，点E为的中点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． （1）在图1中，将点E绕点B顺时针旋转； （2）在图2中，将绕点D逆时针旋转． 【答案】（1）点F即为所求； （2）即为所求． 【解析】 【分析】利用旋转图形性质与正方形性质作图即可． 【小问1详解】 如图1中，连接、得到交点，连接交点与点并延长线段与交于点，点F即为所求； 【小问2详解】 如图2中，连接、交于点，连接，延长交于点，连接，延长交延长线于点，连接，即为所求． 【点睛】本题考查了旋转变换作图，正方形性质，掌握旋转性质作图是解题关键． 17. 如图，中，，垂直平分，垂足为，交于点，，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ， 垂直平分， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是菱形； （2）． 【解析】 【分析】（）证明得到，即得四边形是平行四边形，进而由即可求证； （）由勾股定理可得，再证明可得四边形是平行四边形，得到，进而即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ，， ， ∴， 又∵， 四边形是平行四边形， ， 由（）可知，， ． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 四．解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，大小质地完全相同的两个圆形转盘，都被平均分成份，并涂上红、白两种颜色．其中：涂有白色份，红色份；涂有红色份，白色份．两个转盘都是指针固定，转盘可自由转动（若指针指向分界线，则重转）． （1）自由转动转盘一次，求转盘停止后指针指向白色的概率； （2）游戏规则：甲、乙两人让两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止时，若两个转盘指针所指区域的颜色相同，则甲获胜；若颜色不同，则乙获胜．请问这个游戏规则对谁更有利？在不改变上述游戏规则的情况下，若将转盘重新涂上红、白两种颜色（转盘仍以份均分），是否有可能使这个游戏对双方都公平？若能，转盘中红、白应各涂几份？若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）这个游戏规则对乙更有利；没办法使这个游戏规则对双方都公平， 理由：如表： 由上表可知，共有种等可能的结果，指针所指区域颜色相同的结果共有种， ∴甲获胜的概率为， ∵颜色不同的结果共有种， ∴乙获胜的概率为， ∴这个游戏规则对乙更有利， 没有可能使这个游戏对双方都公平。因为无论如何涂色都是有种等可能的结果，若使游戏对双方都公平，那么颜色相同和颜色不同的结果都应为或种，而不可能出现种结果， ∴不可能使这个游戏对双方都公平． 【解析】 【分析】本题考查了游戏的公平性，概率的计算方法，列表法的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）首先计算出各种情况的概率，然后比较即可； （2）用列表法可以表示所有可能出现的结果，计算出甲、乙两人获胜的概率，即可知道游戏规则对谁都公平，根据无论如何涂色都是有种等可能的结果，不可能出现种结果，所以不可能使这个游戏对双方都公平． 【小问1详解】 解：自由转动转盘一次，指针指向白色的可能为次，红色的可能为次， ∴转盘停止后指针指向白色的概率， 【小问2详解】 略 19. 如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连接AE，F为AE上的一点，且∠BFE ＝∠C （1）求证：△ABF∽△EAD； （2）若AB＝4，∠BAE＝30°，求AE的长； （3）在（1）、（2）的条件下，若AD＝3，求BF的长（计算结果可含根号） 【答案】 （1）证明：∵AD∥BC， ∴∠C+∠ADE=180°． ∵∠BFE=∠C， ∴∠AFB=∠EDA． ∵AB∥DC， ∴∠BAE=∠AED． ∴△ABF∽△EAD． （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据题意可求得：∠AFB=∠D，∠BAF=∠AED，由如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似，可证得△ABF∽△EAD； （2）由直角三角形的性质，即可求得； （3）根据相似三角形的对应边成比例，求得． 【详解】（1）略 （2）∵AB∥CD，BE⊥CD， ∴∠ABE=90°， ∵AB=4，∠BAE=30°， （3） 即 20. 2020年4月，“一盔一带”安全守护行动在全国各地积极开展．某品牌头盔的销量逐月攀升，已知4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月平均增长率； （2）若此头盔的进价为30元/个，经测算当售价为40元/个时，月销售量为300个；售价每上涨1元，则月销售量减少10个，为使月销售利润达到3960元，并尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的售价应定为多少元/个？ 【答案】（1） （2）48元/个 【解析】 【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月平均增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设售价增加了x元，根据题意列一元二次方程，再取合适的值，进而求售价． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月平均增长率为x， ， 解得：，（舍） 答：该品牌头盔销售量的月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设售价增加了x元．由题意可得： ， ， ， 解得：（舍）， ∴售价（元/个） 答：该品牌头盔的售价应定为48元/个． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 五．解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 矩形，，，四边形的顶点、在矩形的边、上；顶点、在矩形的对角线上． 图1 图2 （1）如图1，当四边形是平行四边形时，求证：． （2）如图2，当四边形是正方形时，求的长． 【答案】 （1）证明：连，交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，即， ∴； （2）. 【解析】 【分析】（1）连，交于点，根据四边形是平行四边形，得出，根据四边形是平行四边形，可得，，即可得证； （2）如图，连，交于点，根据现有条件可证，由此可得，即可求出答案． 【详解】解：（1）略 （2）如图，连，交于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握知识点是解题关键． 22. （1）某校一数学兴趣小组在一次初步探究活动中，将两块大小不同的等腰直角和等腰直角，按如图1的方式摆放，随后保持不动，将绕点按逆时针方向旋转如图2，连接，，直线交直线于点，则线段与线段的数量关系是__________（图中所有的点在同一平面内） （2）该数学兴趣小组进一步探究活动中，将两块大小不同的含的直角和直角，按如图3的方式摆放，随后保持不动，将绕点按逆时针方向旋转如图4，连接，，直线交直线于点，请写出线段与线段的数量关系和的大小，并说明理由．（图中所有的点在同一平面内） （3）在（2）的条件下若旋转，，，当B，D，E三点在同一直线上时，请直接写出线段的长度． 【答案】（1），；（2），；（3）为或 【解析】 【分析】（1）先证明，可得，再结合三角形定理可得，从而可得答案； （2）如图，记，的交点为，证明，可得，，结合，可得； （3）求解，，如图，当B，D，E三点在同一直线上时，当在的延长线上时，过作于，如图，当在线段上时，也重合，过作作于，再进一步求解即可． 【详解】解：（1）∵等腰直角和等腰直角， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， 如图，记，的交点为， ∵， ∴． （2）如图，记，的交点为， ∵两块大小不同的含的直角和直角， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴； （3）∵，，， ∴， ∴， ∵， 同理可得：，， 如图，∵当B，D，E三点在同一直线上时， 当在的延长线上时， 由（2）同理可得：，而， ∴重合， 过作于， ∵， ∴，而， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由（2）可得：， ∴， ∴， ∴， 如图，当在线段上时，也重合，过作作于， 同理可得：，，， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∴， 综上：为或． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用，熟练的利用类比的方法，数形结合的思想解题是关键． 六．解答题（本大题12分） 23. 如图1，的对角线与交于点O，点M，N分别在边，上，且．点E，F分别是与，的交点． （1）求证：； （2）连接交于点H，连接，． （ⅰ）如图2，若，求证：； （ⅱ）如图3，若为菱形，且，，求的值． 【答案】（1）见详解 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 在与中， ∴． ∴． （2）（ⅰ）见详解， ∵ ∴， 又．， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的性质得出，再证明是平行四边形，再根据平行四边形的性质可得出，再利用证明，利用全等三角形的性质可得出． （2）（ⅰ）由平行线截线段成比例可得出，结合已知条件等量代换，进一步证明，由相似三角形的性质可得出，即可得出．（ⅱ）由菱形的性质得出，进一步得出，，进一步可得出，进一步得出，同理可求出，再根据即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）∵是菱形， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵．， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 即， ∴ ∴， 故． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定以及性质，全等三角形判定以及性质，相似三角形的判定以及性质，平行线截线段成比例以及菱形的性质，掌握这些判定方法以及性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $