浙江省嵊州市部分学校2024—2025学年上学期九年级数学期中考试卷

2024—2025学年第一学期期中教学质量监测 九年级数学 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列事件中，属于必然事件的是(    ) A. 任意抛掷一只纸杯，杯口朝下 B. 为实数， C. 打开电视，正在播放动画片 D. 任选三角形的两边，其差小于第三边 2.下列函数属于二次函数的是(    ) A. B. C. D. 3.如图，已知的半径为，平面内有一点到圆心的距离为，则该点可能是(    ) A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 4.一个袋中装有个红球，个白球，个黄球，它们除颜色外都相同．从中任意摸出一个球，则下列有关可能性说法中，正确的是(    ) A. 红球可能性最大 B. 白球可能性最大 C. 黄球可能性最大 D. 三种小球的可能性相同 5.如图，转盘中各个扇形的面积相等，任意转动转盘次，当转盘停止转动时，指针指向白色区域的概率为(    ) A. B. C. D. 6.如图，四边形内接于，如果它的一个外角，那么(    ) A. B. C. D. 7.已知二次函数的图象的对称轴为直线，则抛物线在轴上截得的线段长为(    ) A. B. C. D. 8.如图，在半径为的扇形中，，将扇形沿过点的直线折叠，点恰好落在弧上，折痕交于点，则图中阴影部分的周长是(    ) A. B. C. D. 9.如图，抛物线的对称轴是直线，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 10.如图，已知中，直径于点，点在上，且，过点作于点，已知的周长为，且，则的半径长为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.抛物线的开口方向是向______． 12.一个扇形的半径为，面积为，则此扇形的圆心角为______度． 13.一根排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，则截面圆心到水面的距离的长是______． 14.已知，是抛物线上的点，则，的大小关系为          ． 15.如图，弘益中学老师趣味运动跳大绳游戏，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，摇绳的甲、乙两名老师拿绳的手的间距为米，到地面的距离与均为米，绳子甩到最高点处时，最高点距地面的垂直距离为米．跳起来最高可达米的王老师站在距点水平距离为米处，若他能够正常跳大绳绳子甩到最高时超过他的头顶，则的取值范围是          ． 16.二次函数是常数，图象的对称轴是直线，其图象一部分如图所示，对于下列说法： ；；方程有两个不相等的实数根；为任意实数其中正确的是          填写序号 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 已知二次函数的图象经过，且它的顶点坐标是． 求这个二次函数的关系式； 判断点是否在这条抛物线的图像上． 18.本小题分 小明和小莉做化学实验，紫色石蕊试剂是一种常用的酸碱指示剂，通常情况下石蕊试剂遇酸溶液变红，遇碱溶液变蓝，遇中性溶液不变色．现有瓶缺失标签的无色液体：蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液，其中白醋溶液、柠檬水溶液是酸性，食用碱溶液是碱性，蒸馏水是中性，两人各取了个烧杯，分别倒入这种不同的无色液体． 小明将石蕊试剂滴入任意一个烧杯，呈现蓝色的概率是          ； 小莉随机取了两个烧杯，滴入石蕊试剂，用画树状图法或列表法求一杯变红、一杯变蓝的概率． 19.本小题分 如图，，分别是的半径上的点，且，垂足分别为，，求证：是的中点． 20.本小题8分 如图，已知，以为直径的分别交，于点，连接，且． 求证：； 若，求的长． 21.本小题分 如图，二次函数为常数的图象的对称轴为直线． 求的值． 向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式． 22.本小题分 如图，在中，，是上一点，经过点、、，交于点，过点作，交于点． 求证：四边形是平行四边形； ． 23.本小题分 杭州某地种植有机蔬菜，已知某种蔬菜的销售单价元与销售月份之间的关系满足，每千克成本元与销售月份之间的关系如图所示，图象为抛物线，其最低点坐标是其中是满足的整数 问：月份每千克蔬菜成本是多少？ 判断哪个月份销售每千克蔬菜的收益最大？并求最大收益． 24.本小题分 如图，抛物线经过点，对称轴为直线，点坐标为，点在边上运动，延长交抛物线于点，连结，分别记，的面积为，． 求该抛物线表达式． 若点，均在抛物线上，且，，请比较，大小，并说明理由． 记，直线的表达式为，求关于函数表达式，并求的最大值． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：、任意抛掷一只纸杯，杯口朝下，是随机事件，故A不符合题意； B、为实数，，是随机事件，故B不符合题意； C、打开电视，正在播放动画片，是随机事件，故C不符合题意； D、任选三角形的两边，其差小于第三边，是必然事件，故D符合题意； 故选：． 根据绝对值的非负性，随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答． 本题考查了绝对值，绝对值的非负性，随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键． 2.【答案】  【解析】解： A.自变量的次数不是，故A错误； B.整理后得到，是一次函数，故B错误 C.由可知，自变量的次数不是，故C错误； D.是二次函数的顶点式解析式，故D正确． 故选：． 整理成一般形式后，根据二次函数的定义和条件判定即可． 本题考查二次函数的概念和解析式的形式，知识点简单，比较容易掌握． 3.【答案】  【解析】解：平面内有一点到圆心的距离为，． 该点在圆外， 点符合要求． 故选：． 根据点到圆心的距离大于半径，可判定出点在圆外，即可得到答案． 本题考查了点与圆的位置关系，根据点到圆心距离与半径的大小关系可作出判断． 4.【答案】  【解析】本题考查可能性的大小即概率，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．分别用红球、白球或黄球的个数除以总球的个数，再比较即可得出答案． 【详解】解：不透明的盒子中装有个红球，个白球和个黄球，共有个球， 摸到红球的可能性是， 摸到白球的可能性是， 摸到黄球的可能性是， ， 摸到黄球的可能性最大， 故选：． 5.【答案】  【解析】本题考查简单概率的求法，由圆被等分成份，其中白色区域占份即可，掌握其方法是解题的关键． 【详解】解：圆被等分成份，其中白色区域占份， 指针落在白色区域的概率为， 故选：． 6.【答案】  【解析】本题考查了圆内接四边形的性质，由圆内接四边形可得四边形对角互补可得，结合圆周角定理可得，掌握圆内接四边形的性质是，圆周角定理是解题的关键． 根据四边形内接于，得到，根据圆周角定理得到，由此即可求解． 【详解】解：四边形内接于， ， ， ， 所对的圆心角是，所对的圆周角是， ， 故选：． 7.【答案】  【解析】本题考查二次函数的图象和性质，抛物线与轴的交点，一元二次方程的解法，理解二次函数与相应一元二次方程间的关系“二次函数与轴的交点横坐标是对应的一元二次方程的解”是解题的关键． 先求出的值，再求出抛物线与轴的两个交点，即可求出抛物线在轴上截得的线段长． 【详解】解：二次函数的图象的对称轴为直线， 解得， 抛物线的解析式为：， 当时，， 解得， 抛物线与轴的两个交点为， 抛物线在轴上截得的线段长为． 故选：． 8.【答案】  【解析】由折叠的性质，可得，，则可得，又在扇形中，，半径，即可求得的长度，继而求得阴影部分周长． 【详解】解：根据折叠的性质，，， ， 又， 的长度为：， 则阴影部分的周长为：． 故选：． 9.【答案】  【解析】由抛物线的开口方向判断与的关系，抛物线与轴的交点求得判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：、如图所示，抛物线开口方向向上，交轴的正半轴，则，，抛物线的对称轴在轴的左侧，则、同号，即，所以，故本选项错误； 、如图所示，抛物线的对称轴为直线，则，所以，故本选项正确； 、如图所示，抛物线与轴有两个交点，则，故本选项错误； 、如图所示，当时，，即，故本选项错误． 故选：． 10.【答案】  【解析】解：如图， 设与交于点，延长至，使，连接，，，， ， ， ， 直径， ， ，， ，，， ， ， ， ， 点、、、共圆， ， ， ， ， ， 的周长为，， ， ， ， 在中，，， ， ， 设，则， ， ， ， 故选：． 设与交于点，延长至，使，连接，，，，可推出，，从而得出点、、、共圆，从而得出，从而得出是等腰三角形，进而求得，然后在中求得半径． 本题考查了等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，确定圆的条件，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造整体以及发现特殊性． 11.【答案】下  【解析】解：中，， 抛物线开口方向向下， 故答案为：下． 直接根据二次函数的性质进行解答即可． 本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的性质是解答此题的关键． 12.【答案】  【解析】【分析】 设扇形的圆心角是，根据扇形的面积公式即可得到一个关于的方程，解方程即可求解． 本题考查了扇形的面积公式，正确理解公式是解题的关键，此题难度不大． 【解答】 解：设扇形的圆心角是， 根据题意可知：， 解得， 故答案为． 13.【答案】  【解析】解：，过圆心点， ， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：． 根据垂径定理求出，根据勾股定理求出即可． 本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，掌握垂径定理，勾股定理． 14.【答案】  【解析】本题考查二次函数的图象和性质，把，分别代入抛物线，求出，，再比较得出答案． 【详解】解：把，分别代入抛物线得， ， ， 故答案为：． 15.【答案】  【解析】以所在直线为轴，以地面所在的直线为轴建立平面直角坐标系，选定抛物线上两点，代入抛物线解析式，求得，然后令即可求得的取值范围．本题考查了二次函数的应用及坐标的求法，此题为数学建模题，解答本题的关键是注意审题，将实际问题转化为求函数最值问题，培养自己利用数学知识解答实际问题的能力． 【详解】解：如图，以所在直线为轴，以地面所在的直线为轴建立平面直角坐标系，     由题意可知， 设抛物线的解析式为， 把代入，得： 解得， 所求的抛物线的解析式是， 当时，， 解得， 则的取值范围是． 故答案为：． 16.【答案】  【解析】本题考查了二次函数图象的性质，理解图象的开口，与轴的交点，对称轴直线是函数值最大，由此分析即可，掌握二次函数图象确定二次函数系数的符号是解题的关键． 根据图象开口，与轴的交点可得，当时，，可判定；根据一元二次方程根据与系数的关系可判定；根据对称轴直线是函数值最大，可判定；由此即可求解． 【详解】解：根据图示可得，图象开口向下，与轴交于正半轴， ， 图象的对称轴是直线， ，则， ，故正确； 根据图示，当时，， ，则， ，整理得，， ，故错误； 方程中，， ， ，， ， 方程有两个不相等的实数根，故正确； 当时，是二次函数的最大值， 为任意实数， ，即，故正确； 综上所述，正确的有， 故答案为：． 17.【答案】【小题】 解：设抛物线的顶点式为 将点代入得， 解得：， 抛物线的解析式为； 【小题】 解：当时，， 点不在这条抛物线的图象上．   【解析】  本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，掌握相关知识是解题的关键． 由于已知顶点坐标，则可设顶点式，然后把代入求出的值即可；   计算时的函数值，然后根据二次函数图象上点的坐标特征判断是否在这条抛物线的图象上． 18.【答案】【小题】 【小题】 把分别倒入蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液的个烧杯分别记为、、、，列表如下： 由表知，共有种等可能的结果，将石蕊试剂滴入，食用碱溶液呈现蓝色，白醋溶液、柠檬水溶液呈现红色，故其中一杯变红、一杯变蓝的有种结果， 一杯变红、一杯变蓝的概率为．   【解析】  本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．直接由概率公式求解即可； 【详解】解：小明和小莉两人各取了个烧杯，分别倒入这种不同的无色液体，将石蕊试剂滴入，食用碱溶液呈现蓝色， 小明将石蕊试剂滴入任意一个烧杯，呈现蓝色的概率是， 故答案为：；   列表得出共有种等可能的结果，其中一杯变红、一杯变蓝的有种结果，再由概率公式求解即可． 19.【答案】证明：， ． 在和中， ， ， ，即是的中点．   【解析】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，求出，根据得出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案． 20.【答案】证明：， ， ， ， ； 方法一： 解：连接， 为直径， ， 由知， ， ∽， ， ，， ， ． 方法二： 解：连接， 为直径， ， 设， 由知， 则， 在中，由勾股定理可得： 在中，由勾股定理可得： 整理得：， 即：．  【解析】由等腰三角形的性质得到，由圆内接四边形的性质得到，由此推得，由等腰三角形的判定即可证得结论； 连接，由为直径，可证得，由知，证明∽后即可求得的长． 本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 21.【答案】解：由二次函数为常数知，该抛物线与轴的交点坐标是和． 对称轴为直线， ． 解得； 由知，，则该抛物线解析式是：． 抛物线向下平移个单位后经过原点． 平移后图象所对应的二次函数的表达式是．  【解析】根据抛物线解析式得到抛物线与轴的交点横坐标，结合抛物线的轴对称性质求得的值即可． 将的值代入，结合抛物线解析式求平移后图象所对应的二次函数的表达式． 本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数图象上的点的坐标，根据对于函数图象的描述能够理解函数的解析式的特点，是解决本题的关键． 22.【答案】证明：， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； 连接， ，， ， 四边形是的内接四边形， ， ， ， ， ， ．  【解析】根据等腰三角形的性质得出，根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的判定得出，根据平行四边形的判定得出即可； 求出，根据圆内接四边形的性质得出，根据平行线的性质得出，求出，根据等腰三角形的判定得出即可． 本题考查了圆周角定理及其推论，平行四边形的判定，圆内接四边形，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键． 23.【答案】解：设每千克成本与销售月份之间的关系式为：，把代入得， ， 解得， ，即， 当时，， 月份每千克蔬菜成本是元； 由可得，每千克蔬菜的收益 ， ， 当时，有最大值，， 月销售每千克蔬菜的收益最大，最大为元．  【解析】利用待定系数法求出每千克成本与销售月份之间的关系式，再令求出的值即可； 列出一年中销售每千克蔬菜的收益与销售月份之间的关系式，根据二次函数的性质可得答案． 本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 24.【答案】【小题】 解：由题意，得，解得． 把点代入，得． 抛物线表达式为． 【小题】 解：点，均在抛物线上， ，， ， 又， ， 解得，或． ， ， ． 【小题】 解：设直线表达式为， 把，代入，得： 解得， 所以，直线表达式为， 点在边上运动， 设． 点在直线上， ，化简，得， ． 即． ， 抛物线开口向下，函数有最大值， 当时，．   【解析】  本题主要考查二次函数的图象与性质，二次函数的最值问题，灵活掌握相关知识是解答本题的关键． 根据抛物线的对称轴方程可求出，再把代入，可求出，从而可得抛物线的解析式为；   分别把，代入得，，将化简得，求出，代入，求出或，取舍后得，再求出，，进行比较即可；   运用待定系数法求出直线的解析式为，设点的坐标为，由点在上得，求得，由得，配方后可得结论． 第2页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $$