2.3.1 双曲线的标准方程（十大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）

2.3.1 双曲线的标准方程 题型1：双曲线的定义 1．（1）定义：平面内与两个定点的距离的 等于非零常数（小于 ）的点的轨迹叫做双曲线． （2）焦点：两个定点 ． （3）焦距： 的距离，表示为． （4）双曲线就是下列点的集合：． 2．双曲线上的点P到一个焦点的距离为，则它到另一个焦点的距离为 ． 3．平面内到点距离之差的绝对值等于的点的轨迹是 . 4．若是双曲线上一点，则到两个焦点的距离之差为 . 5．双曲线的左右焦点分别是与是双曲线右支的一点，且，则 ． 题型2：双曲线的方程 6．已知点，动点满足条件，则动点的轨迹方程为 . 7．己知平面直角坐标系中、．若A为动点且满足，则动点的轨迹方程为 ． 8．已知一个动圆P与两圆：和：都外切，则动圆P圆心的轨迹方程为（    ） A．（） B． C．（） D．（） 题型3：根据双曲线的方程求a、b、c 9．双曲线的两个焦点分别是与，焦距为是双曲线上的一点，且，则 ． 10．已知椭圆和双曲线的焦点相同，则 . 11．设m为常数，若点是双曲线C：的一个焦点，则 ． 12．若双曲线的实轴长为4，则其焦距等于 . 13．如果双曲线的焦点在轴上，焦距为8，则实数 14．已知双曲线（）的两个焦点为，，焦距为20，点P是双曲线上一点，，则 . 15．已知双曲线方程，为双曲线的右焦点，则的取值范围是 . 题型4：根据a、b、c求双曲线的方程 16．已知双曲线的右焦点为，实轴长为8，则该双曲线的标准方程为 . 17．以椭圆的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为 ． 18．已知双曲线对称轴为坐标轴，中心在原点，两焦点为，直线过双曲线的一个焦点，P为双曲线上一点，且，则双曲线的方程为 ． 题型5：根据双曲线的定义求参数 19．若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是 . 20．方程表示双曲线，则的取值范围是 . 21．设，则“方程表示双曲线”的必要不充分条件为（    ） A． B． C． D． 22．当时，方程表示的曲线不可能是（    ） A．圆 B．直线 C．焦点在轴的椭圆 D．焦点在轴的双曲线 题型6：判断曲线是否为双曲线 23．已知的两个顶点的坐标分别是，且所在直线的斜率之积等于，则（    ） A．当时，顶点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，并除去两点 B．当时，顶点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，并除去两点 C．当时，顶点的轨迹是焦点在轴上的双曲线，并除去两点 D．当时，顶点的轨迹是焦点在轴上的双曲线，并除去两点 24．方程表示曲线的形状.①当时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；②当时，方程表示焦点y在轴上的椭圆；③当时，方程表示焦点在y轴上的双曲线；④当时，方程表示焦点在x轴上的双曲线.以上结论正确的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．② 题型7：双曲线的轨迹方程 25．方程的化简结果为（    ） A． B． C． D． 26．已知、为直线上的两个定点，，为上的动点．在平面直角坐标系中，、，以为圆心，为半径作圆；以为圆心，为半径作圆，则两圆公共点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 27．双曲线的另一种定义：动点与定点的距离和它与定直线：的距离的比是常数，则点的轨迹是一个双曲线.动点与定点的距离和它与定直线：的距离的比是，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 题型8：焦点三角形 28．设，为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为 . 29．已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为，在上，且，，则的离心率为 . 30．已知双曲线的左、右焦点分别为、，为坐标原点，为右支上的一点，点是线段上靠近点的三等分点，线段交轴于点，且、、三点共线，的周长为，则的值为 . 31．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支上，则的内切圆与轴的切点横坐标为 ． 32．历史上最早系统研究圆锥曲线的是古希腊学者梅纳库莫斯，大约100年后，阿波罗尼斯更详尽地研究了圆锥曲线，他的研究涉及圆锥曲线的光学性质，其中一条是：如图（1），从右焦点发出的光线交双曲线右支于点，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过左焦点．已知图（2）中，双曲线的中心在坐标原点，左、右焦点分别为，直线平分，过点作的垂线，垂足为，且.则当反射光线经过点时， . 题型9：最值问题综合 33．已知圆与直线交于两点，与轴交于两点，直线与交于点，则 . 34．设双曲线的左焦点和右焦点分别是，点是右支上的一点，则的最小值为 ． 35．已知点，点P是双曲线左支上的动点，点为双曲线右焦点，N是圆的动点，则的最小值为 ． 36．过双曲线的左焦点F作圆的一条切线（切点为T），交双曲线右支点于P，点M为线段FP的中点，连接MO，则的最大值为 ． 题型10：解答题 37．求符合下列要求的曲线的标准方程： (1)已知椭圆的焦点在轴，且长轴长为，离心率为； (2)已知双曲线以椭圆长轴的端点为焦点，且经过点. 38．（1）已知圆，，动圆与圆，均外切，求圆心的轨迹方程 （2）已知点是圆上的动点，过点作轴，垂足为，点在线段上，且，求点的轨迹方程 39．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支（且不在坐标轴上）， (1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； (2)若，，求的面积． 一、填空题 1．已知为坐标原点，，且动点在双曲线的右支上，动点满足，则的最小值为 . 2．已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线上的点在轴上方，若的平分线交于点，且点在以坐标原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率为 ． 二、单选题 3．已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的中垂线经过.记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，，当周长最小时，该三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 三、解答题 5．已知双曲线的焦距为8，右焦点为，直线与双曲线在一､三象限的交点分别为，且． (1)求双曲线的方程及的面积； (2)直线与双曲线交于两点，若直线与轴分别交于点，且．证明：为定值． 6．已知双曲线的左焦点为，点在双曲线上，直线与双曲线交于两点. (1)若经过点，且，求； (2)若经过点，且两点在双曲线的左支上，则在轴上是否存在定点，使得为定值.若存在，请求出面积的最小值；若不存在，请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3.1 双曲线的标准方程 题型1：双曲线的定义 1．（1）定义：平面内与两个定点的距离的 等于非零常数（小于 ）的点的轨迹叫做双曲线． （2）焦点：两个定点 ． （3）焦距： 的距离，表示为． （4）双曲线就是下列点的集合：． 【答案】 差的绝对值 |F1F2| F1，F2 两焦点间 【解析】略 2．双曲线上的点P到一个焦点的距离为，则它到另一个焦点的距离为 ． 【答案】 【分析】利用双曲线的定义，结合题意即可求得答案． 【解析】解：依题意，设到另一个焦点的距离为， 到一个焦点的距离为， 由双曲线的定义得：， 或． ，，不妨设点为右支上的点，则当点为右顶点，为左焦点时，，， 不符合题意，舍去． 故答案为：． 3．平面内到点距离之差的绝对值等于的点的轨迹是 . 【答案】两条射线. 【分析】根据双曲线定义中的细节，结合题意，即可求得结果. 【解析】根据题意可得：，故点的轨迹是以为端点的两条射线. 故答案为：两条射线. 4．若是双曲线上一点，则到两个焦点的距离之差为 . 【答案】 【分析】由双曲线方程可得，根据双曲线定义可求得结果. 【解析】由题意得：双曲线标准方程为，则， 由双曲线定义知：，则. 故答案为：. 5．双曲线的左右焦点分别是与是双曲线右支的一点，且，则 ． 【答案】1 【分析】根据双曲线的定义即可求解. 【解析】由双曲线的定义可知，， 所以. 故答案为：1. 题型2：双曲线的方程 6．已知点，动点满足条件，则动点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】根据双曲线的定义可知轨迹为双曲线的右支，解出a，b的值即可求得方程. 【解析】解：由， 结合双曲线定义可知动点P的轨迹为以为焦点的双曲线右支， 在双曲线中 ， . 所以轨迹方程为：. 故答案为：. 7．己知平面直角坐标系中、．若A为动点且满足，则动点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】根据双曲线的定义可求的轨迹方程. 【解析】因为，故的轨迹为双曲线的右支（扣除顶点）， 且半焦距，实半轴长，故虚半轴长为， 的轨迹方程为：. 故答案为：. 8．已知一个动圆P与两圆：和：都外切，则动圆P圆心的轨迹方程为（    ） A．（） B． C．（） D．（） 【答案】A 【分析】利用双曲线的定义及两圆的位置关系计算即可. 【解析】由题意易知两圆圆心分别为，半径分别为， 设动圆圆心，半径， 则根据题意有, 根据双曲线的定义知的轨迹是以原点为中心，为左右焦点，为实轴长的双曲线的左支，故其轨迹方程为：. 故选：A 题型3：根据双曲线的方程求a、b、c 9．双曲线的两个焦点分别是与，焦距为是双曲线上的一点，且，则 ． 【答案】9 【分析】根据焦距及双曲线的关系，结合双曲线定义，即可求得答案. 【解析】由题意得：焦距，在双曲线中有， 因为，解得， 由双曲线的定义：， 解得或， 由图可知，可知被舍去， 所以. 故答案为：. 10．已知椭圆和双曲线的焦点相同，则 . 【答案】 【分析】根据双曲线方程可得，且焦点在x轴上，再结合椭圆方程列式求解即可. 【解析】对于双曲线，可知其半焦距，且焦点在x轴上， 对于椭圆可得，且，解得. 故答案为：. 11．设m为常数，若点是双曲线C：的一个焦点，则 ． 【答案】16 【分析】现将双曲线方程化为标准方程，根据已知结合的关系列出方程，求解即可得出答案. 【解析】将双曲线方程化为标准方程. 又为双曲线一个焦点， 所以有，解得. 故答案为：16. 12．若双曲线的实轴长为4，则其焦距等于 . 【答案】 【分析】先根据实轴长求出，再由双曲线中实轴、虚轴、焦距的关系，及可求出结果. 【解析】双曲线方程可化为，必有，又实轴长为4，所以，因此，所以，故焦距为. 故答案为： 【点睛】本题主要考查双曲线的性质，属于基础题. 13．如果双曲线的焦点在轴上，焦距为8，则实数 【答案】 【分析】先化为标准式，再由焦距为8，列出m方程，即可得到结论． 【解析】由题意，双曲线的焦点在y轴上，则=1，半焦距为4，则﹣m﹣3m＝16， ∴m＝﹣4． 故答案为﹣4． 【点睛】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的性质，属于基础题． 14．已知双曲线（）的两个焦点为，，焦距为20，点P是双曲线上一点，，则 . 【答案】 【分析】由双曲线方程及焦距确定双曲线参数，再由双曲线定义求. 【解析】由题设，又且， 所以，而，则或， 其中，故. 故答案为： 15．已知双曲线方程，为双曲线的右焦点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据双曲线基本量间的关系，结合基本不等式可得取值范围. 【解析】由，且，，， 得，当且仅当时，等号成立， 所以， 又， 所以， 综上所述，， 故答案为：. 题型4：根据a、b、c求双曲线的方程 16．已知双曲线的右焦点为，实轴长为8，则该双曲线的标准方程为 . 【答案】 【分析】由题意可得条件，，从而得到双曲线标准方程.. 【解析】由题可得双曲线焦点在轴上，且，，所以，，则双曲线的标准方程为. 故答案为： 17．以椭圆的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为 ． 【答案】 【分析】首先得到椭圆的焦点坐标与长轴上的顶点坐标，再设所求双曲线方程为，即可得到，，从而求出，即可得到双曲线方程. 【解析】椭圆的焦点为，长轴上的顶点为， 设所求双曲线方程为， 所以，，所以， 所以双曲线方程为. 故答案为： 18．已知双曲线对称轴为坐标轴，中心在原点，两焦点为，直线过双曲线的一个焦点，P为双曲线上一点，且，则双曲线的方程为 ． 【答案】或 【分析】根据题意，利用双曲线的定义，求得，再由直线过焦点，求得，进而求得，结合双曲线的焦点的位置，即可求解双曲线的方程. 【解析】由题意，点为双曲线上一点，且， 可得，即，解得， 又由直线过双曲线的一个焦点， 当时，可得；当时，可得； 当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的一个焦点坐标为，即， 则，此时双曲线的方程为； 当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的一个焦点坐标为，即， 则，此时双曲线的方程为， 所以双曲线的方程为或. 故答案为：或 题型5：根据双曲线的定义求参数 19．若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】将双曲线方程化为焦点在轴上的标准方程，利用且求解. 【解析】将双曲线方程化为焦点在轴上的标准方程为 则，解得：. 故答案为： 20．方程表示双曲线，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】通过双曲线的标准方程，列出不等式，求解即可. 【解析】方程表示双曲线， 可得， 解得， 故答案为：. 21．设，则“方程表示双曲线”的必要不充分条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出该方程表示双曲线时的的取值范围，再根据必要不充分条件的概念即可找出正确选项． 【解析】若该方程表示双曲线，则 ，即 ，又，解得 ， 对于A，是充要条件，A不是； 对于B，真包含于，则是必要不充分条件，B是； 对于 C，真包含于，则是充分不必要条件，C不是； 对于D，与互不包含，则是既不充分又不必要条件，D不是. 故选：B 22．当时，方程表示的曲线不可能是（    ） A．圆 B．直线 C．焦点在轴的椭圆 D．焦点在轴的双曲线 【答案】D 【分析】分、、和四种情况讨论，结合直线、圆、椭圆与双曲线方程的特点即可判断. 【解析】对于方程， 当时，，方程为表示圆心在原点，半径为1的圆； 当时，，则， 此时方程，即表示焦点在轴的椭圆； 当时，，方程为，即表示两条直线； 当时，，则， 此时方程，即表示焦点在轴的双曲线. 故选：D. 题型6：判断曲线是否为双曲线 23．已知的两个顶点的坐标分别是，且所在直线的斜率之积等于，则（    ） A．当时，顶点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，并除去两点 B．当时，顶点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，并除去两点 C．当时，顶点的轨迹是焦点在轴上的双曲线，并除去两点 D．当时，顶点的轨迹是焦点在轴上的双曲线，并除去两点 【答案】C 【分析】由题意得，分别令、即可判断. 【解析】由题意不妨设，则，即， 当时，顶点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，并除去两点，故AB错误； 当时，顶点的轨迹是焦点在轴上的双曲线，并除去两点，故C正确，D错误. 故选：C. 24．方程表示曲线的形状.①当时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；②当时，方程表示焦点y在轴上的椭圆；③当时，方程表示焦点在y轴上的双曲线；④当时，方程表示焦点在x轴上的双曲线.以上结论正确的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．② 【答案】A 【分析】利用角的范围可求得的符号，再依据椭圆以及双曲线的标准方程即可出结论. 【解析】若，将可整理成， 当时，可知，则，即； 由椭圆标准方程可知， 即当时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；所以①正确，②错误； 当时，，； 由双曲线标准方程可得的实轴在y轴上， 所以当时，方程表示焦点在y轴上的双曲线，即③正确，④错误； 即①③正确. 故选：A 题型7：双曲线的轨迹方程 25．方程的化简结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件利用双曲线的定义、标准方程，求得双曲线的标准方程. 【解析】根据， 可得点到点的距离差的绝对值等于， 结合双曲线的定义知，点的轨迹是以为焦点的双曲线， ，则，，所以，， 故方程为：， 故选：A. 26．已知、为直线上的两个定点，，为上的动点．在平面直角坐标系中，、，以为圆心，为半径作圆；以为圆心，为半径作圆，则两圆公共点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出图形，分析可知，点不在线段（不包括端点）上，对点的位置关系进行分类讨论，结合双曲线的定义可求得动点的轨迹方程. 【解析】如下图所示： 设圆、圆的半径分别为、，则，， 设两圆的一个公共点为，由题意可知，点不能与点或点重合， 若点在线段（不包括端点）上运动时，则， 事实上，，此时点不存在； 当点在以点为端点以的方向为方向的射线上时， 此时，； 当点在以点为端点且以的方向为方向的射线上时， 此时，. 综上，， 所以，动点的轨迹是以点、为焦点的双曲线， 设该双曲线的标准方程为，焦距为， 则，可得， 因此，两圆公共点的轨迹方程为. 故选：A. 27．双曲线的另一种定义：动点与定点的距离和它与定直线：的距离的比是常数，则点的轨迹是一个双曲线.动点与定点的距离和它与定直线：的距离的比是，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，列出方程并化简得答案. 【解析】设，依题意，，化简整理得， 所以点的轨迹方程为. 故选：B 题型8：焦点三角形 28．设，为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为 . 【答案】1 【分析】根据题意结合双曲线对于可得，，结合勾股定理可得，即可得面积. 【解析】由双曲线方程可得， 不妨设，则，， 若，则，可得， 即，则， 所以的面积为. 故答案为：1. 29．已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为，在上，且，，则的离心率为 . 【答案】 【分析】由已知可求得，进而可得，可求离心率. 【解析】由，可得在双曲线的右支上，因为，， 所以，所以， 所以. 故双曲线的离心率为. 故答案为：. 30．已知双曲线的左、右焦点分别为、，为坐标原点，为右支上的一点，点是线段上靠近点的三等分点，线段交轴于点，且、、三点共线，的周长为，则的值为 . 【答案】 【分析】分析可知点为的重心，为线段的中点，可得出，由双曲线的定义以及的周长可得出关于、的方程组，解出这两个量，可求出，进而可求得的值. 【解析】由题意可知，点为的重心， 又因为、、三点共线，所以，为线段的中点， 所以，，即，且， 由双曲线的定义可得，所以，，所以①， 将代入双曲线的方程可得，可得， 不妨设点在第一象限，则，② 结合①②可得，，， 在中，. 故答案为：. 31．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支上，则的内切圆与轴的切点横坐标为 ． 【答案】a 【分析】利用圆的切线的性质及双曲线的定义即得. 【解析】由题知， 设内切圆与x轴的切点为，与内切圆的切点分别为， 由双曲线定义有，得， 由圆的切线长定理知，，即 ， 即， 设内切圆的圆心横坐标为x，则点H的横坐标为x， 所以， 故答案为： 32．历史上最早系统研究圆锥曲线的是古希腊学者梅纳库莫斯，大约100年后，阿波罗尼斯更详尽地研究了圆锥曲线，他的研究涉及圆锥曲线的光学性质，其中一条是：如图（1），从右焦点发出的光线交双曲线右支于点，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过左焦点．已知图（2）中，双曲线的中心在坐标原点，左、右焦点分别为，直线平分，过点作的垂线，垂足为，且.则当反射光线经过点时， . 【答案】9 【分析】延长交于点，根据直线平分，则有，从而有，再根据为的中点， 为的中点， 则由中位线的性质可得，，进而利用双曲线的定义求解. 【解析】 延长交于点， 因为直线平分，所以， 所以， 所以， 由角平分线可知，为的中点，又因为为的中点， 则由中位线的性质可得，，所以， 所以. 故答案为：9. 题型9：最值问题综合 33．已知圆与直线交于两点，与轴交于两点，直线与交于点，则 . 【答案】4 【分析】设，运用圆的对称性和圆周角定理，得到直线斜率之间的关系，后用两点间的斜率公式代入即可得到刚好满足双曲线定义，用定义解题即可. 【解析】设，且，又，，， 根据直径所对圆周角是直角，知道，则， 则，， 即，则点在以为焦点的双曲线上，. 故答案为：4 34．设双曲线的左焦点和右焦点分别是，点是右支上的一点，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】由双曲线的定义把表示为的函数，然后由函数的单调性得最小值． 【解析】根据题意可得，， ，， 所以， 由双曲线性质可得，设，， 则， 设，， 设，， 因为，所以，， 所以，即， 所以函数 是上的增函数. 所以当时，取得最小值4， 即的最小值为4，此时点为右顶点. 故答案为：4.    35．已知点，点P是双曲线左支上的动点，点为双曲线右焦点，N是圆的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用，当且仅当是的延长线与圆的交点时取等号，及，当且仅当三点共线时取等号，再结合双曲线的定义可得． 【解析】由已知，是双曲线的左焦点，它也是圆的圆心，， 圆半径为， ，当且仅当是的延长线与圆的交点时取等号， ，当且仅当三点共线时取等号， 所以，又由双曲线的定义，， 所以，即的最小值为， 故答案为：． 36．过双曲线的左焦点F作圆的一条切线（切点为T），交双曲线右支点于P，点M为线段FP的中点，连接MO，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】如图所示，连接,连接，求得，由，得到，设，得到，结合函数的单调性，即可求解. 【解析】如图所示，连接,设双曲线的右焦点为，连接，则， 由， 因为，所以， 设，则，． 可得函数在上单调递减，所以，即， 故的最大值为． 故答案为：． 题型10：解答题 37．求符合下列要求的曲线的标准方程： (1)已知椭圆的焦点在轴，且长轴长为，离心率为； (2)已知双曲线以椭圆长轴的端点为焦点，且经过点. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件求得的值，由此求得椭圆方程. （2）由题意，先求出，然后，设双曲线的标准方程，利用和过点，列方程求解即可 【解析】（1）由已知条件可设所求的椭圆标准方程为（其中） 则，∴， 且离心率为，∴ ∴ 故所求的椭圆的标准方程为 （2）由题意得，双曲线的焦点在x轴上，且. 设双曲线的标准方程为， 则有，， 解得，. 故所求双曲线的标准方程为. 38．（1）已知圆，，动圆与圆，均外切，求圆心的轨迹方程 （2）已知点是圆上的动点，过点作轴，垂足为，点在线段上，且，求点的轨迹方程 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据两圆外切满足的关系，结合双曲线的定义即可求解， （2）根据相关点法即可求解. 【解析】（1）由题意可知：圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 设动圆半径为， 由条件可得，即， 则根据双曲线的定义可知，点是以，为左右焦点，以2为实轴长的双曲线的右支， 则，，可得，所以曲线的方程为． （2）设，，则， 因为，则， 则，可得，解得，即． 因为点在圆上，则，即， 39．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支（且不在坐标轴上）， (1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件列方程，求出即可得出答案； （2）设，利用双曲线的定义，结合余弦定理，求得，再由求解 【解析】（1）椭圆的焦点为和， 所以双曲线的，所以， 又双曲线过点，所以， 由，解得， 双曲线的标准方程为 （2）设，由双曲线的定义可得， 在中，由余弦定理， 得， 所以， 则的面积，    一、填空题 1．已知为坐标原点，，且动点在双曲线的右支上，动点满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】依题意，求出的运动轨迹，结合表示的几何意义求解. 【解析】 因为，， 所以，即， 即， 所以的运动轨迹为以为圆心，半径为2的圆， 因为动点在双曲线的右支上， 所以，即， 因为， 最小值几何意义为点到圆上点与到距离和的最小值， 又因为， 所以表示为最小， 即最小， 所以当三点共线时符合题意， 即， 所以的最小值为， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题重点在于几何意义的理解，转化为点共线时最小. 2．已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线上的点在轴上方，若的平分线交于点，且点在以坐标原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率为 ． 【答案】或 【分析】利用双曲线的定义、结合三角形角平分线用表示，再由点在圆上，利用勾股定理求出，进而求出点的坐标，并求出斜率. 【解析】依题意，， 当点在第一象限时，令，则，由平分， 得，则， 由点在以坐标原点为圆心，为半径的圆上，得， 即，代入整理得，解得， 当点在第二象限时，令，则，由平分， 同理，又， 则，代入整理得，解得， 因此，设，则，解得或， 所以直线的斜率或. 故答案为：或 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键是利用双曲线定义，结合角平分线列式求出. 二、单选题 3．已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的中垂线经过.记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，结合椭圆和双曲线的定义得到的关系式，根据取值范围分析函数单调性得到结果. 【解析】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，它们的公共焦距为，不妨设点在第一象限. ∵在的中垂线上， ∴， 由椭圆、双曲线的定义得：， ∴，整理得， ∴，即， ∴， ∴， 令，由定义法可证在为增函数，且， ∵， ∴. 故选：B. 4．已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，，当周长最小时，该三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线的定义，确定周长最小时，的坐标，即可求出周长最小时，该三角形的面积． 【解析】设双曲线的左焦点为，由双曲线定义知，， 的周长为， 由于是定值，要使的周长最小，则最小，即、、共线， ，，直线的方程为， 即代入整理得， 解得或（舍），所以点的纵坐标为， . 故选：C. 三、解答题 5．已知双曲线的焦距为8，右焦点为，直线与双曲线在一､三象限的交点分别为，且． (1)求双曲线的方程及的面积； (2)直线与双曲线交于两点，若直线与轴分别交于点，且．证明：为定值． 【答案】(1)，的面积为 (2) 【分析】（1）根据对称以及锐角三角函数可得，进而利用双曲线定义即可求解， （2）联立直线与曲线方程得韦达定理，进而根据点斜式直线方程求解的坐标，利用垂直平分线的性质，结合韦达定理即可化简求解. 【解析】（1）由于，故， 又，且关于对称，所以,因此， 在中，， 取椭圆左焦点,连接，根据对称性可得， 由椭圆定义可得,即， 由于，所以，进而可得， 故双曲线方程为， （2）设，，,， 由（1）知,即， 联立与的方程可得 则， ， 则直线方程为，令，则， 故 同理可得, 由于，所以在线段的垂直平分线上，故， 故， ，， 化简得 代入韦达定理可得 即，故， 故，或， 若，此时直线经过定点，该点与重合，不满足题意， 故 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与定值的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或定值. 6．已知双曲线的左焦点为，点在双曲线上，直线与双曲线交于两点. (1)若经过点，且，求； (2)若经过点，且两点在双曲线的左支上，则在轴上是否存在定点，使得为定值.若存在，请求出面积的最小值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，. 【分析】（1）先利用点在双曲线上和双曲线的性质求出双曲线方程，然后分直线的斜率存在与否讨论，存在时，设出直线方程，利用韦达定理法表示出，再代入直线方程表示出，最后利用向量的数量积为零求出斜率，再代入弦长公式求出弦长； （2）假设存在，设直线方程，利用韦达定理法表示出，要使为定值，则，解出后得到点的坐标，再用弦长公式表示出三角形的面积，最后利用换元法和分离常数法结合复合函数的单调性求出面积的最小值. 【解析】（1）      把代入得： ，又. 又，解得. 双曲线方程为. 若直线的斜率不存在时，，此时不妨设. ，舍去. 若的斜率存在，设方程为，代入，化简得，， 设，则， . ，得，即.则. . （2）    假设存在，使得为定值. 设方程为，代入，化简得. 由题意. . 由题意. 要使为定值，则，解之得. 存在，使得为定值. 此时 令， . . 由复合函数的单调性可知在递减， 在时取得最大值1. 的最小值为. 【点睛】关键点点睛： （1）求弦长时，可用弦长公式，韦达定理表示出两根之和和两根之积； （2）对于直线过定点问题时，可采用向量垂直数量积为零，求出关于参数的方程，再讨论定点问题； （3）求圆锥曲线中三角形的面积最值问题时，可用弦长公式表示出面积，再结合换元法或基本不等式或函数的单调性求出面积的最值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$