2.2.2 椭圆的性质（十二大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）

2.2.2 椭圆的性质 题型1：求椭圆的有关概念 1．椭圆的长轴长是 ，短轴长是 ，离心率是 ；焦点坐标是 ，顶点坐标是 ． 【答案】 4 ， ， ， ，． 【分析】将方程化为标准的方程，后按照长短轴概念，离心率，焦点，顶点概念求解即可. 【解析】化为标准方程，即，则. 则长轴，短轴，离心率，焦点，，顶点， ， ，． 故答案为：；4；； ，；， ， ，． 2．椭圆的焦点坐标是 ． 【答案】， 【分析】分与两种情况进行求解. 【解析】当时，焦点坐标在轴上，则， 所以，故焦点坐标为； 当时，焦点坐标在轴上，则， 所以，故焦点坐标为 故答案为：， 3．过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的长轴长为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，求出椭圆的焦点坐标，再利用椭圆的定义求解即得. 【解析】椭圆的半焦距，其焦点坐标为， 由椭圆的定义得所求长轴长 . 故答案为： 4．椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离之比为，短轴长为8，则椭圆的标准方程为 ． 【答案】或 【分析】根据椭圆的简单几何性质即可求解的值，即可求解. 【解析】设椭圆的焦距为，长轴长为，短轴长为， 所以 ，又，结合可得， 故椭圆方程为或， 故答案为：或 5．椭圆的长轴长为6，且与椭圆有相同的焦点，则椭圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】首先根据已知椭圆方程求出焦点坐标，并确定焦点位置和的值，再根据长轴长求得的值，最后根据，，的关系求解椭圆方程即可 【解析】根据已知椭圆方程，易知焦点坐标为，得：焦点位置在轴且； 由于椭圆的长轴长为，因此得：，即， 由于，因此得：椭圆的标准方程为：. 故答案为： 6．已知椭圆的离心率为，则长轴与短轴的比值为 . 【答案】 【分析】根据间的关系知，再根据条件即可求出结果. 【解析】因为椭圆的离心率为，所以，得到，所以长轴与短轴的比值为. 故答案为：. 7．已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，若，则的短轴长为 . 【答案】 【分析】由题意可得为等腰直角三角形，又，计算可求，可求的短轴长. 【解析】设，易知， 结合，可知为等腰直角三角形， 所以，故， 所以， 所以的短轴长为. 故答案为：. 8．若椭圆的焦点在轴上，且与椭圆：的离心率相同，则椭圆的一个标准方程为 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】先求得椭圆：的离心率，进而可以得到椭圆的一个标准方程. 【解析】椭圆：的离心率为. 则焦点在轴上离心率为的椭圆可取：. 故答案为： 9．如图，离心率相同的两个椭圆和分别是同一个矩形（此矩形的两组对边分别与两坐标轴平行）的内切椭圆和外接椭圆，则 ． 【答案】/ 【分析】由离心率相同，可得，由图可得，计算即可得的值. 【解析】由图可得，故有， 由两个椭圆离心率相同，则有，即， 故，即有，故. 故答案为：. 题型2：求椭圆的离心率 10．椭圆的半焦距是 ，离心率是 . 【答案】 【解析】首先根据题意得到，，，即可得到答案. 【解析】由题知：椭圆，，，. 所以半焦距是，离心率为. 故答案为：， 【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，属于简单题. 11．已知椭圆：的焦距为，则的离心率为 . 【答案】 【分析】根据焦距定义得到，再利用椭圆离心率公式即可得到答案. 【解析】因为焦距，所以， 所以，离心率为. 故答案为：. 12．椭圆的一个焦点是圆M：（x﹣3）2+y2=1的圆心，且C的长轴长为10，则该椭圆的离心率等于 . 【答案】 【分析】由题意可得c=3，2a=10，从而可出离心率 【解析】解：由圆M的方程可得圆心M（3，0），所以由题意可得c=3， 由题意2a=10，所以a=5， 所以椭圆的离心率， 故答案为：. 13．在以O为中心，、为焦点的椭圆上存在一点M，满足，则该椭圆的离心率为 . 【答案】/ 【分析】根据题意结合椭圆定义可得，进而利用余弦定理列式求解. 【解析】因为，所以， 因为与互补，且， 由余弦定理可得， 可得，所以. 故选：C．    14．已知椭圆：的上顶点为，两个焦点为，，线段的垂直平分线过点，则椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】求出线段的中点坐标，根据两直线垂直斜率关系可得，再结合可求得离心率. 【解析】    如图，设的垂直平分线与交于点， 由题，，，，则， ，， ， ，化简得，， 由，解得， ，即. 故答案为：. 题型3：根据椭圆的概念求参数范围 15．若椭圆的一个焦点坐标为，则实数的值为 ． 【答案】4 【分析】根据焦点的特征及、、的关系计算可得. 【解析】因为椭圆的焦点在轴上，所以， 所以，所以1，解得． 故答案为：4． 16．已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则k的值为 . 【答案】 【分析】 根据给定方程，结合椭圆离心率的意义求解作答. 【解析】依题意，，解得，又椭圆离心率为，则有，解得， 所以k的值为. 故答案为： 17．已知椭圆的焦点在轴上，若椭圆的焦距为4，则的值为 ． 【答案】 【分析】 首先将椭圆方程化为标准式，即可得到、，根据焦距求出. 【解析】 椭圆即，焦点在轴上，所以， 所以，又椭圆的焦距为4，所以，解得． 故答案为： 18．已知椭圆的左、右焦点分别为点、，若椭圆上顶点为点，且为等腰直角三角形，则 . 【答案】8 【分析】根据为等腰直角三角形得到，代入计算得到答案. 【解析】椭圆，故，为等腰直角三角形，故， 故，即，. 故答案为： 题型4：椭圆的离心率与圆扁程度的关系 19．如图，在边长为的正方形组成的网格中，有椭圆，它们的离心率分别为，则 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】试题分析：由图可知表示的离心率相等为,观察知的比要圆,根据离心率的几何意义知, 的离心率要比的离心率小.故本题答案应选D. 考点：椭圆的离心率． 20．曲线和，则和更接近圆的是（    ） A． B． C．相同 D．无法判断 【答案】A 【分析】根据题意，分别求出两个曲线的离心率进行比较，进而得出结论. 【解析】分别将曲线和化为标准方程可得， ，，由椭圆的性质可得，曲线的离心率为， 曲线的离心率为，显然，因此曲线更接近圆. 故选：A. 21．若椭圆比椭圆更扁，则椭圆的长轴长的取值范围是 【答案】 【分析】根据离心率公式，结合离心率与椭圆扁平程度的关系即可求解,即可根据长轴公式求解. 【解析】的离心率为， 由于比椭圆更扁，故的离心率满足，即，解得， 故长轴长为， 故答案为： 题型5：椭圆的x，y的范围，椭圆的有界性 22．已知点(m,n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先把椭圆方程变为标准方程，再根据椭圆的范围求解. 【解析】因为点(m,n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，即在椭圆上， 所以点(m,n)满足椭圆的范围， 因此，即． 故答案为：. 23．已知椭圆的右顶点为，为上一点，则的最大值为 . 【答案】 【分析】设出点P的坐标，利用两点间距离公式建立函数关系，借助二次函数计算最值作答. 【解析】椭圆的右顶点为，设点，则，即，且， 于是得， 因，则当时，， 所以的最大值为. 故答案为： 24．已知点、，动点满足：直线的斜率与直线的斜率之积为，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题可得动点的轨迹方程，进而可得，即得. 【解析】因为点，，， 所以，， 所以，即， 所以， 由，可知， 所以，即. 所以的取值范围为. 故答案为：. 25．已知椭圆的焦点为，，椭圆上的动点坐标在第一象限，且为锐角，的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由已知可得P在以O为圆心，半径为c的圆的外部，写出圆的方程，与椭圆方程联立，消去y求得交点的横坐标，然后可得答案． 【解析】由已知可得P在以O为圆心，半径为c的圆的外部，， 所以该圆的方程为：， 由，消去y得：解得， 又∵P在椭圆上，且由为锐角，可知P不在x轴上， 由于的左右顶点横坐标分别为-3和3， ∴为使为锐角， 的取值范围是 又动点坐标在第一象限， 故答案为：． 26．已知点是曲线上的动点则的取值范围是 . 【答案】 【分析】画出动点的轨迹，再利用的几何意义可求的取值范围. 【解析】方程即或， 即或， 所以对应的图形如图所示（椭圆及其内部的线段）： 设，则， 当在椭圆上时，， 而，故， 当在椭圆内部的线段上时，有， 又此时，而， 故. 故答案为：. 27．已知点P为椭圆上任意一点，直线l过圆的圆心且与圆M交于A，B两点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意可得，所以 ，再由的范围，可得的取值范围． 【解析】由椭圆的方程可知，， 可得， 易知圆的圆心，半径为1，    因为，所以 ， 可知恰为椭圆的右焦点，所以， 所以． 故答案为：． 题型6：椭圆的对称性 28．已知，为椭圆：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为 ． 【答案】18 【分析】判断满足条件的点存在，再借助对称的性质确定四边形形状，利用椭圆定义求解作答. 【解析】椭圆：的长短半轴长，半焦距， 于是椭圆上存在点到原点距离等于椭圆半焦距c， 由P，Q为上关于坐标原点对称的两点，得四边形为平行四边形，    又，则为矩形，即有， 而，所以四边形的面积 . 故答案为：18 29．已知为椭圆的两个焦点，为上关于坐标原点对称的两点，且，则的内切圆半径为 ． 【答案】1 【分析】利用椭圆的对称性和条件，得出四边形为矩形，设设，根据条件建立方程得到，再利用等面积法即可求出结果. 【解析】因为椭圆，所以， 连接，由椭圆的对称性知，， 又，所以四边形为矩形， 设，则，得到， 设的内切圆半径为，则， 得到，解得.    故答案为：1. 30．如图，把椭圆的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|= .    【答案】28 【分析】利用椭圆的定义及其几何性质即可求解. 【解析】根据题意，把椭圆的长轴AB分成8等份， 设另一焦点为F2，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7七个点，F是椭圆的一个焦点， 则根据椭圆的对称性知，|P1F|+|P7F|=|P7F2|+|P7F|=2a，同理，其余两对的和也是2a，又|P4F|=a， ∴|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=7a=28.    故答案为：28. 题型7：点与椭圆的位置关系 31．若点在焦点在轴上的椭圆内部，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据椭圆焦点在轴上可得，再根据点在椭圆内部列式求解. 【解析】因为椭圆的焦点在轴上，则， 又因为点在椭圆内部，则，解得， 所以的取值范围是． 故答案为：. 32．设、分别是椭圆的左、右焦点，在椭圆上满足的点的个数为 ． 【答案】 【分析】分析可知，点在圆上，联立圆与椭圆的方程，求出公共解的个数即可. 【解析】在椭圆中，，，则， 若，易知原点为的中点，则， 所以，点在以原点为圆心，半径为的圆上，即点在圆上， 联立，可得，即点或， 即满足条件的点的个数为. 故答案为：. 33．已知椭圆上存在关于直线对称的点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意利用点差法可得，进而可求的中点为，结合点在椭圆内，列式求解即可. 【解析】由题意可知：直线的斜率， 设椭圆上关于直线对称的两点分别为，的中点为， 可得，且，， 因为点在上，则，两式相减得， 整理可得，可得，即， 则， 联立方程，解得，即， 因为点在椭圆内，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 题型8：直线与椭圆的位置关系 34．直线与椭圆的公共点个数为 ． 【答案】2 【分析】求出直线恒过的定点与椭圆的位置关系，即可判断直线与椭圆的交点的个数． 【解析】直线恒过， 由于，所以是椭圆内部的一点， 所以直线与椭圆恒有2个交点． 故答案为：2． 35．直线 (k∈R)与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求得直线过的定点坐标，再根据直线与椭圆总有公共点，由点P在椭圆上或在椭圆的内部求解. 【解析】直线，即，直线恒过定点， 直线与椭圆总有公共点等价于点在椭圆内或在椭圆上． 所以，即，又，故m∈． 故答案为：. 36．已知直线与椭圆相交，则C的长轴长的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将直线与椭圆的位置关系转化为方程组联立后的根的个数问题，借助得到，以及椭圆的长轴长概念得解. 【解析】将代入，得， 则，解得． 因为C的长轴长为，所以C的长轴长的取值范围是． 故答案为：. 题型9：弦长、中点弦问题 37．过椭圆的焦点的最长弦和最短弦的长分别为 ． 【答案】4、3 【分析】过椭圆焦点的最长弦为长轴,最短弦为垂直于长轴的弦. 【解析】过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为； 最短弦为垂直于长轴的弦， 因为，将代入，得， 解得，即， 所以最短弦的长为． 故答案为：4、3 38．已知椭圆的焦距为，过椭圆的一个焦点，作垂直于长轴的直线交椭圆于两点，则 ． 【答案】/ 【分析】由题意可知，得，然后可求出，从而可求出椭圆方程，再将代入椭圆方程中求出，从而可求得. 【解析】由题意可知，得，所以， 所以椭圆方程为， 椭圆的右焦点为，当时，，得， 所以. 故答案为： 39．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，长轴长为，过点且斜率为的直线与椭圆交于点，且，则= ． 【答案】或 【分析】本题先是利用直线的斜率求出，再由以及椭圆定义求出的长，最后利用余弦定理即可求得结果． 【解析】直线的斜率为， ， ； 又，设， ，又， ； 在中，由余弦定理得， 整理得，解得或． 当时，； 当时，． 故答案为：或． 40．斜率为的直线与椭圆相交于两点，的中点为，则 ． 【答案】/ 【分析】根据题意，设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理代入计算，即可求解. 【解析】设直线的方程为，代入椭圆方程， 可得， 由韦达定理可得， 则， 则，则， 所以. 故答案为： 41．已知椭圆，过点的直线与椭圆交于，两点，且满足，则直线的斜率为 ． 【答案】 【分析】由，得点为线段的中点，然后利用点差法可求出直线的斜率. 【解析】 因为，则在椭圆内，可知直线与椭圆总有两个交点， 因为，即点为线段的中点， 设，，显然，则，， ，可得， 则，即， 所以，即直线的斜率， 故答案为： 题型10：最值、取值范围问题 42．若点、是椭圆的左、右焦点，为椭圆上一动点，点的坐标为，则周长的最小值为 . 【答案】 【分析】利用椭圆的几何性质与三角形三边关系定理可求解. 【解析】由，可得，所以， 所以焦点、的坐标分别为， 因为为椭圆上一动点，所以， ，， 所以， 当且仅当三点共线，且在之间时取等号，    所以周长的最小值为. 故答案为：. 43．设点分别为椭圆的左、右焦点，则椭圆C的离心率为 ；经过原点且斜率不为0的直线l与椭圆C交于P，Q两点，当四边形的面积最大时， ． 【答案】 ； . 【分析】根据已知求出的值，即可得到离心率；根据对称性可得，，所以为短轴顶点.写出的坐标，即可得到结果. 【解析】由已知可得，，，所以，则离心率. 根据椭圆的对称性可得，点关于原点对称，设，. 且， 当最大时，面积最大，则此时为短轴顶点. 不妨设.，，所以，， 所以. 故答案为：；. 题型11：椭圆的实际应用 44．如图所示，为完成一项探月工程，某月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在P点处变轨进入以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为R，圆形轨道Ⅲ的半径为r，则椭圆轨道Ⅱ的离心率为 .（用R、r表示） 【答案】 【分析】由题设可得即可求出椭圆参数，根据离心率定义求椭圆轨道Ⅱ的离心率. 【解析】由F为椭圆轨道Ⅱ的焦点，若分别为长轴长、焦距，则，故， 所以椭圆轨道Ⅱ的离心率为. 故答案为： 45．韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段，且过椭圆的下焦点，米，桥塔最高点距桥面米，则此椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立如图所示平面直角坐标系，设椭圆方程为，依题意可得，即可求出离心率. 【解析】如图按椭圆对称轴所在直线建立直角坐标系， 设椭圆方程为， 令，即，解得，依题意可得， 所以，所以，所以． 故选：D． 46．甲､乙两名探险家在桂林山中探险，他们来到一个山洞，洞内是一个椭球形，截面是一个椭圆，甲､乙两人分别站在洞内如图所示的A､B两点处，甲站在A处唱歌时离A处有一定距离的乙在B处听得很清晰，原因在于甲､乙两人所站的位置恰好是洞内截面椭圆的两个焦点，符合椭圆的光学性质，即从一个焦点发出光经椭圆反射后经过另一个焦点.现已知椭圆：上一点M，过点M作切线l，A，B两点为左右焦点，，由光的反射性质：光的入射角等于反射角，则椭圆中心O到切线l的距离为 . 【答案】 【分析】过M作M处切线的垂线交AB于N，过A，O，B分别作切线的垂线交切线于点，，，由光学性质和几何位置关系得到，求出，利用中位线的性质、椭圆的定义求出. 【解析】如图，过M作M处切线的垂线交AB于N，过A，O，B分别作切线的垂线交切线于点，，，由光学性质可知MN平分，， 则， 因为， 故， 所以， . 故答案为：. 题型12：解答题 47．已知椭圆的焦距为12，长半轴长为. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆相交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意，根据椭圆的几何性质求得，即得椭圆方程； （2）设，利用点差法化简，得，代入弦的中点坐标，求出直线斜率，即得其方程. 【解析】（1）由题意可知 则，所以椭圆的方程为. （2）    由题意直线l的斜率存在，如图，设，则 两式相减得，整理可得. 因为线段的中点坐标为，所以， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即. 48．已知椭圆的长轴长为，且点在椭圆上． (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆相交于不同的两点和，当时，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得关于，的方程，求解即可； （2）联立方程，根据求出的范围，再利用韦达定理和弦长公式列出关于的方程，求解即可. 【解析】（1）由题意得：，所以， 点在椭圆上，所以，解得， 所以椭圆的方程为：． （2） 直线的方程为： 联立，消去后，得关于的一元二次方程， 化简得， 由题意知，解得或， 由韦达定理可得，， 所以， 所以，化简得，解得，即， 经检验符合题意. 49．如图，人们打算对长方形地块进行开发建设，其中百米，百米，长方形各边中点分别为E，F，G，H，现计划在此地块正中间铺一块椭圆形草坪，长轴在线段上且长度为6百米，椭圆离心率为.同时计划修一条长为6百米的路（其中，分别在线段，上，路的宽度忽略不计），并在内修建花圃.    (1)求椭圆上的点到直线的最短距离； (2)求线段的中点到椭圆中心的距离的最小值. 【答案】(1)百米 (2)百米 【分析】（1）根据题意建立平面直角坐标系，求出椭圆的基本量即可得到答案； （2）将题意转化为求圆上一点到定点距离的最小值即可求解. 【解析】（1）以椭圆中心为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，    设椭圆标准方程为， 由题意得，离心率，，所以， 又因为，解得， 所以，椭圆上的点到直线的最短距离百米 （2）设线段的中点为，由知， 由圆的定义知，点在以为圆心，3为半径的圆上. 则点运动轨迹为， 所以线段的中点到椭圆中心的距离的最小值为百米 50．在平面直角坐标系中，已知两点的坐标分别为，，直线相交于点，且它们的斜率之积是. (1)求动点的轨迹方程； (2)若点的轨迹与直线相交于两个不同的点，线段的中点为.若直线的斜率为 ，求线段的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据题意建立等式求解即可； （2）先利用点差法求得，然后联立方程组求弦长即可. 【解析】（1）设 得 （2）设，得， 所以有 得 由题可知 两式求差化简得 即 因为 所以 所以直线的方程为 联立解得或 所以 51．已知椭圆的离心率为，点是椭圆上一点，过点作斜率之积为的两条直线与椭圆的另一交点分别为． (1)求椭圆的方程； (2)求证：直线恒过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据离心率以及顶点坐标即可求解， （2）联立直线与椭圆方程可得韦达定理，即可根据两点斜率公式化简得，即可求解. 【解析】（1）由题意知：， 故椭圆的标准方程为：． （2）由题意可知，直线的斜率不为0，故可设直线的方程为： ．联立： 所以 由 即（舍去）或 所以直线的恒过一定点． 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法 （1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点. （2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 技巧：若直线方程为,则直线过定点; 若直线方程为 (为定值),则直线过定点 一、填空题 1．如图，半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中，，.“果圆”与x轴的交点分别为、，若在“果圆”y轴右侧部分上存在点P使得，则的取值范围为 .    【答案】 【分析】利用椭圆上点的坐标从而得到向量坐标，已知夹角的情况下，可以利用向量坐标表示数量积得到相应等量关系，再有点的变化范围得到相应不等式，从得出取值范围。 【解析】设，， ， ∵， ∴， ， ， ， 或(舍去）， 令，则， ∵， ∴， 解得， 故答案为： 2．已知椭圆的左、右焦点分别为、，短轴的两个端点分别为、，点在椭圆上，且满足．当变化时，给出下列四个命题：①点的轨迹关于轴对称；②存在使得椭圆上满足条件的点仅有两个；③的最小值为2；④最大值为，其中正确命题的序号是 ． 【答案】①③ 【分析】运用椭圆的定义和对称性进行分析即可判断①②；由图象可得当的横坐标和纵坐标的绝对值相等时，的值取得最小，即可判断③；椭圆上的点到中心的距离小于等于，由于点不在坐标轴上，可得，即可判断④. 【解析】因为椭圆，点在椭圆上，所以， 又短轴的两个端点分别为、， 又因为， 所以点在以，为焦点，长轴长为的椭圆上，相应的椭圆的方程为， 将换为方程不变，则点的轨迹关于轴对称，故①正确； 又点为椭圆与椭圆的交点， 因为椭圆的长轴顶点为 ，短轴长度小于， 椭圆的长轴顶点为，短轴长度小于， 所以两个椭圆的交点有个，即对应的点有4个，故②不正确； 因为椭圆与椭圆长轴确定，所以点靠近坐标轴时（或），越大， 点远离坐标轴时，越小，易得时，取得最小值， 此时两椭圆方程为：，， 两方程相加得，即的最小值为，故③正确； （或用代数法：联立，即， 即， 两式相加可得， 则， 当时，的最小值为，即当的最小值为；） 椭圆上的点到中心的距离小于等于，由于点不在坐标轴上， ∴，故④错误． 故答案为：①③． 【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的对称性和到定点距离的最值的判断，解题关键是由椭圆上的点到焦点的距离之和等于到短轴的顶点距离之和可得另一个椭圆． 二、单选题 3．考虑这样的等腰三角形：它的三个顶点都在椭圆上，且其中恰有两个顶点为椭圆的顶点.关于这样的等腰三角形有多少个，有两个命题：命题①：满足条件的三角形至少有12个.命题②：满足条件的三角形最多有20个.关于这两个命题的真假有如下判断，正确的是（    ） A．命题①正确；命题②错误. B．命题①错误；命题②正确. C．命题①，②均正确. D．命题①，②均错误. 【答案】C 【分析】分别以椭圆顶点连线为等腰三角形的腰或底，进行分类讨论，得到答案. 【解析】不妨设， 如图1，连接， 当为等腰三角形的底时，作的垂直平分线交椭圆于两点， 连接，则为等腰三角形，满足题意， 同理当为等腰三角形的底时， 也可以各作出2个满足要求的等腰三角形，共有8个； 如图2，当为等腰三角形的腰时，以为圆心，为半径作圆， 则圆的方程为， 联立，消得， 解得或， 当时，，则交点有， 当，即时， 则圆与椭圆相交于点，连接， 其中满足要求，三个顶点均为椭圆顶点，不合题意， 同理当为等腰三角形的腰时， 也可以各作出2个满足要求的等腰三角形，共有8个； 当，即时， 则圆与椭圆相交于点三点， 当，即时，则圆与椭圆相交于点两点， 综上，当为等腰三角形的腰时，符合题意的三角形的个数可能是个或个； 如图3，以为圆心，为半径作圆，此时圆与椭圆相交于点， 连接，此时为等腰三角形，满足题意，共有2个， 如图4，以为圆心，为半径作圆，此时圆与椭圆相交于点， 连接，此时为等腰三角形，满足题意，共有2个， 由椭圆性质可知，为椭圆中的最长弦，所以不能作为等腰三角形的腰， 而作为底时，刚好等腰三角形的顶点为上顶点或下顶点，不合要求， 综上所述，满足要求的等腰三角形个数为或， 所以满足条件的三角形至少有12个，最多有个， 所以命题①，②均正确. 故选：C. 【点睛】方法点睛：两圆一线，是平面几何中等腰三角形存在性问题的通用解法，这里以椭圆为背景进行考察，基本思路没有变化，但要注意两圆一线所得到的等腰三角形有不满足要求的，要舍去. 三、解答题 4．如图，已知椭圆过点，焦距为；斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且直线PM，PN均不与轴垂直. (1)求椭圆的方程； (2)若，求MN的方程； (3)记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，证明：为定值. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据条件列方程组求解即可； （2）设直线的方程为，与椭圆联立，由弦长公式求得的方程； （3）将韦达定理代入中计算结果为定值． 【解析】（1）由椭圆过点，焦距为， 得，解得， 故椭圆的方程为． （2）设直线的方程为，，， 联立，消去得， 由，得， 则． ， 解得或， 当时，直线的方程为； 当时，直线经过点，不符合题意，舍去． 所以当时，的方程为． （3）证明：直线，均不与轴垂直，所以，，则且， 所以 ， 所以为定值． 【点睛】方法点睛： 解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 5．在平面直角坐标系中，已知椭圆：的左、右焦点分别为、，点为椭圆的下顶点，点为直线：上一点． (1)若，线段的中点在轴上，求点的坐标； (2)已知直线交轴于点，直线经过点，若有一个内角的余弦值为，求的值； (3)若椭圆上存在点到直线的距离为，且满足，则当变化时，求的最小值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）由题意及条件先得出椭圆方程，由AM的中点在轴上先得出M纵坐标，再代入直线方程即可求得M； （2）分类讨论中哪个内角余弦值为，分别解三角形求得对应的值即可； （3）根据点到直线的距离公式化简得出，再根据三角函数的有界性得出，解不等式求出的取值范围即可求得的最小值. 【解析】（1）由题意可得， 因为的中点在轴上，则由中点坐标公式可知：A、M的纵坐标之和为0， 所以的纵坐标为，代入得：. （2） 由直线方程可知，由直线方程可知，故有如下两种情况： ①若，则，，即， . ②若，则， ， . 即， 综上或. （3） 设，则由题意得， 显然椭圆在直线的左下方，则， 即， ， 据此可得， 整理可得，即， 又， 从而.即的最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题第三小问的关键是设，燃烧后结合辅助角公式和正弦函数的值域导出含的不等式. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2.2 椭圆的性质 题型1：求椭圆的有关概念 1．椭圆的长轴长是 ，短轴长是 ，离心率是 ；焦点坐标是 ，顶点坐标是 ． 2．椭圆的焦点坐标是 ． 3．过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的长轴长为 . 4．椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离之比为，短轴长为8，则椭圆的标准方程为 ． 5．椭圆的长轴长为6，且与椭圆有相同的焦点，则椭圆的标准方程为 . 6．已知椭圆的离心率为，则长轴与短轴的比值为 . 7．已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，若，则的短轴长为 . 8．若椭圆的焦点在轴上，且与椭圆：的离心率相同，则椭圆的一个标准方程为 . 9．如图，离心率相同的两个椭圆和分别是同一个矩形（此矩形的两组对边分别与两坐标轴平行）的内切椭圆和外接椭圆，则 ． 题型2：求椭圆的离心率 10．椭圆的半焦距是 ，离心率是 . 11．已知椭圆：的焦距为，则的离心率为 . 12．椭圆的一个焦点是圆M：（x﹣3）2+y2=1的圆心，且C的长轴长为10，则该椭圆的离心率等于 . 13．在以O为中心，、为焦点的椭圆上存在一点M，满足，则该椭圆的离心率为 . 14．已知椭圆：的上顶点为，两个焦点为，，线段的垂直平分线过点，则椭圆的离心率为 ． 题型3：根据椭圆的概念求参数范围 15．若椭圆的一个焦点坐标为，则实数的值为 ． 16．已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则k的值为 . 17．已知椭圆的焦点在轴上，若椭圆的焦距为4，则的值为 ． 18．已知椭圆的左、右焦点分别为点、，若椭圆上顶点为点，且为等腰直角三角形，则 . 题型4：椭圆的离心率与圆扁程度的关系 19．如图，在边长为的正方形组成的网格中，有椭圆，它们的离心率分别为，则 A． B． C． D． 20．曲线和，则和更接近圆的是（    ） A． B． C．相同 D．无法判断 21．若椭圆比椭圆更扁，则椭圆的长轴长的取值范围是 题型5：椭圆的x，y的范围，椭圆的有界性 22．已知点(m,n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则m的取值范围是 ． 23．已知椭圆的右顶点为，为上一点，则的最大值为 . 24．已知点、，动点满足：直线的斜率与直线的斜率之积为，则的取值范围为 ． 25．已知椭圆的焦点为，，椭圆上的动点坐标在第一象限，且为锐角，的取值范围为 ． 26．已知点是曲线上的动点则的取值范围是 . 27．已知点P为椭圆上任意一点，直线l过圆的圆心且与圆M交于A，B两点，则的取值范围是 . 题型6：椭圆的对称性 28．已知，为椭圆：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为 ． 29．已知为椭圆的两个焦点，为上关于坐标原点对称的两点，且，则的内切圆半径为 ． 30．如图，把椭圆的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|= .    题型7：点与椭圆的位置关系 31．若点在焦点在轴上的椭圆内部，则的取值范围是 ． 32．设、分别是椭圆的左、右焦点，在椭圆上满足的点的个数为 ． 33．已知椭圆上存在关于直线对称的点，则的取值范围是 . 题型8：直线与椭圆的位置关系 34．直线与椭圆的公共点个数为 ． 35．直线 (k∈R)与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，则m的取值范围是 ． 36．已知直线与椭圆相交，则C的长轴长的取值范围是 ． 题型9：弦长、中点弦问题 37．过椭圆的焦点的最长弦和最短弦的长分别为 ． 38．已知椭圆的焦距为，过椭圆的一个焦点，作垂直于长轴的直线交椭圆于两点，则 ． 39．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，长轴长为，过点且斜率为的直线与椭圆交于点，且，则= ． 40．斜率为的直线与椭圆相交于两点，的中点为，则 ． 41．已知椭圆，过点的直线与椭圆交于，两点，且满足，则直线的斜率为 ． 题型10：最值、取值范围问题 42．若点、是椭圆的左、右焦点，为椭圆上一动点，点的坐标为，则周长的最小值为 . 43．设点分别为椭圆的左、右焦点，则椭圆C的离心率为 ；经过原点且斜率不为0的直线l与椭圆C交于P，Q两点，当四边形的面积最大时， ． 题型11：椭圆的实际应用 44．如图所示，为完成一项探月工程，某月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在P点处变轨进入以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为R，圆形轨道Ⅲ的半径为r，则椭圆轨道Ⅱ的离心率为 .（用R、r表示） 45．韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段，且过椭圆的下焦点，米，桥塔最高点距桥面米，则此椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 46．甲､乙两名探险家在桂林山中探险，他们来到一个山洞，洞内是一个椭球形，截面是一个椭圆，甲､乙两人分别站在洞内如图所示的A､B两点处，甲站在A处唱歌时离A处有一定距离的乙在B处听得很清晰，原因在于甲､乙两人所站的位置恰好是洞内截面椭圆的两个焦点，符合椭圆的光学性质，即从一个焦点发出光经椭圆反射后经过另一个焦点.现已知椭圆：上一点M，过点M作切线l，A，B两点为左右焦点，，由光的反射性质：光的入射角等于反射角，则椭圆中心O到切线l的距离为 . 题型12：解答题 47．已知椭圆的焦距为12，长半轴长为. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆相交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 48．已知椭圆的长轴长为，且点在椭圆上． (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆相交于不同的两点和，当时，求实数的值． 49．如图，人们打算对长方形地块进行开发建设，其中百米，百米，长方形各边中点分别为E，F，G，H，现计划在此地块正中间铺一块椭圆形草坪，长轴在线段上且长度为6百米，椭圆离心率为.同时计划修一条长为6百米的路（其中，分别在线段，上，路的宽度忽略不计），并在内修建花圃.    (1)求椭圆上的点到直线的最短距离； (2)求线段的中点到椭圆中心的距离的最小值. 50．在平面直角坐标系中，已知两点的坐标分别为，，直线相交于点，且它们的斜率之积是. (1)求动点的轨迹方程； (2)若点的轨迹与直线相交于两个不同的点，线段的中点为.若直线的斜率为 ，求线段的长. 51．已知椭圆的离心率为，点是椭圆上一点，过点作斜率之积为的两条直线与椭圆的另一交点分别为． (1)求椭圆的方程； (2)求证：直线恒过定点． 一、填空题 1．如图，半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中，，.“果圆”与x轴的交点分别为、，若在“果圆”y轴右侧部分上存在点P使得，则的取值范围为 .    2．已知椭圆的左、右焦点分别为、，短轴的两个端点分别为、，点在椭圆上，且满足．当变化时，给出下列四个命题：①点的轨迹关于轴对称；②存在使得椭圆上满足条件的点仅有两个；③的最小值为2；④最大值为，其中正确命题的序号是 ． 二、单选题 3．考虑这样的等腰三角形：它的三个顶点都在椭圆上，且其中恰有两个顶点为椭圆的顶点.关于这样的等腰三角形有多少个，有两个命题：命题①：满足条件的三角形至少有12个.命题②：满足条件的三角形最多有20个.关于这两个命题的真假有如下判断，正确的是（    ） A．命题①正确；命题②错误. B．命题①错误；命题②正确. C．命题①，②均正确. D．命题①，②均错误. 三、解答题 4．如图，已知椭圆过点，焦距为；斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且直线PM，PN均不与轴垂直. (1)求椭圆的方程； (2)若，求MN的方程； (3)记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，证明：为定值. 5．在平面直角坐标系中，已知椭圆：的左、右焦点分别为、，点为椭圆的下顶点，点为直线：上一点． (1)若，线段的中点在轴上，求点的坐标； (2)已知直线交轴于点，直线经过点，若有一个内角的余弦值为，求的值； (3)若椭圆上存在点到直线的距离为，且满足，则当变化时，求的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$