浙江省绍兴市新昌县部分学校2024—2025学年上学期九年级数学期中试卷

2024学年第一学期期中教学质量检测 九年级数学试题卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列属于二次函数的是(    ) A. B. C. D. 2.抛物线的顶点坐标为(    ) A. B. C. D. 3.笔筒中有支型号、颜色完全相同的铅笔，将它们逐一标上的号码，若从笔筒中任意抽出一支铅笔，则抽到编号是的倍数的概率是(    ) A. B. C. D. 4.为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区名九年级男生的身高数据，统计结果如下： 身高 人数 根据统计结果，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于的概率是(    ) A. B. C. D. 5.函数的图象，可以由抛物线平移得到，其平移过程是(    ) A. 向左个单位 B. 向右个单位 C. 向上个单位 D. 向下个单位 6.如图，是的直径，，则等于(    ) A. B. C. D. 7.二次函数的图象大致是(    ) A. B. C. D. 8.在如图所示的电路中，随机闭合开关，，中的两个，能让红灯发光的概率是(    ) A. B. C. D. 9.如图，是的直径，，，，则的半径为(    ) A. B. C. D. 10.如图，抛物线与轴交于点和点两点，与轴交于点，点为抛物线上第三象限内一动点，当时，点的坐标为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.已知二次函数的图象经过点、，那么该二次函数图象的对称轴为直线______． 12.若点，，在抛物线上，则，，的大小关系为______用“”连接． 13.用配方法把二次函数写成的形式为______． 14.如图，的内接四边形中，，则的度数为______． 15.抛物线交轴于点，则的值是          ． 16.如图，正方形的边长为，以边上的动点为圆心，为半径作圆，将沿翻折至，若过一边上的中点，则的半径为          ． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 已知二次函数的图象顶点坐标是，且经过． 求这个二次函数的表达式； 判断点是否在这条抛物线的图象上． 18.本小题分 为做好新型肺炎疫情防控，某社区名志愿者随机平均分配在个院落门甲、乙、丙处值守，并对进出人员进行测温度、劝导佩戴口罩等服务． 志愿者小明被分配到甲处服务是          ；A. 不可能事件    随机事件     必然事件    随机事件或必然事件 请用列表或树状图的方法，求出志愿者小明和小红被分配到同一院落门处服务的概率． 19.本小题分 已知抛物线与轴相交于点． 求抛物线的函数表达式． 当取何值时，抛物线在轴上方 20.本小题分 如图，是的直径，，过作，垂足为点，的延长线交于点，，求的度数和的长． 21.本小题分 如图，在中，，点、、、在同一条直线上，且． 求证：∽； 若，，求的长度． 22.本小题分 为响应吴兴区“千里助力，精准扶贫”活动，某销售平台为青川农户销售农产品，平台销售农产品的总运营成本为元千克，在销售过程中要保证农户的售价不低于元千克，且不超过元千克．如图记录了某三周的销售数据，经调查分析发现，每周的农产品销售量千克与售价元千克为正整数近似满足如图规律的函数关系． 试写出与符合的函数表达式． 若要确保农产品一周的销售量不少于千克，问：当农产品售价定为多少时，青川农户可获得最大利润？最大利润为多少？ 23.本小题分 已知二次函数为常数的图象经过点，对称轴为直线． 求二次函数的表达式； 若点向上平移个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值； 当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围． 24.本小题分 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且点坐标为． 求抛物线的解析式； 如图，轴上存在一点，使经过，两点，求点的坐标； 如图，连结，点不与，，三点重合为抛物线上一动点，连结，在点运动过程中，是否能够使得？若存在，求出此时点的坐标，若不存在，请说明理由． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：、当时，不是二次函数，不符合题意； B、右边不是整式，不是二次函数，不符合题意； C、含有个未知数，不是二次函数，不符合题意； D、满足二次函数的定义，符合题意； 故选：． 二次函数的基本表示形式为二次函数最高次必须为二次． 本题考查二次函数的识别．掌握相关定义即可． 2.【答案】  【解析】解：因为抛物线的解析式为， 所以抛物线的顶点坐标为． 故选：． 根据所给抛物线解析式为顶点式即可得出顶点的坐标． 本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数表达式中的顶点式是解题的关键． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查概率公式的应用，解题的关键是掌握随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数． 由标有的号码的支铅笔中，标号为的倍数的有、、这种情况，利用概率公式计算可得． 【解答】 解：在标有的号码的支铅笔中，标号为的倍数的有、、这种情况， 抽到编号是的倍数的概率是， 故选：． 4.【答案】  【解析】解：样本中身高不低于的频率， 所以估计抽查该地区一名九年级男生的身高不低于的概率是． 故选：． 先计算出样本中身高不低于的频率，然后根据利用频率估计概率求解． 本题考查利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确． 5.【答案】  【解析】本题考查了二次函数图象与几何变换．原抛物线顶点坐标为，平移后抛物线顶点坐标为，由此确定平移规律． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 平移后的抛物线的顶点坐标为， 所以，函数的图象，可以由抛物线向下个单位平移得到， 故选：． 6.【答案】  【解析】首先根据圆周角定理可求得的度数，再根据邻补角的性质即可得出结论． 【详解】解：与是同弧所对的圆心角与圆周角，， ， ， 故选：． 7.【答案】  【解析】由知二次函数的，，通过二次函数的性质判断开口方向，对称轴确定答案 【详解】 二次函数的；． ，开口向下；，同号对称轴在轴左边；过原点；故选A 8.【答案】  【解析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能让红灯发光的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： 共有种等可能的结果，能让红灯发光的有种情况， 能让红灯发光的概率为． 故选：． 9.【答案】  【解析】先由直径所对的角是直角得到，再根据圆周角相等得到，最后在中，由勾股定理求出直径即可得到答案． 【详解】解：是的直径， ， ， ，则， 在中，，则由勾股定理可得， 的半径为， 故选：． 10.【答案】  【解析】根据二次函数与坐标轴的交点坐标分别求出、、的长度；然后通过勾股定理逆定理判断出，得出；由得出；作点关于轴的对称点，连接；即可构造出，从而得出；根据平行线的斜率相同以及点的坐标求出直线的表达式；最后联立方程组求解即可； 【详解】解：令，则 解得：， ， ，， 当时， 在中 如图，作点关于轴的对称点，连接； 则， 设直线的表达式为： 将代入得： 直线的表达式为： 解方程组得：或 点在第三象限 点的坐标为 故选：． 11.【答案】  【解析】解：由题意可得：二次函数的对称轴为直线． 故答案为：． 根据抛物线上函数值相等的点关于抛物线对称轴对称可求得答案． 本题考查了二次函数的性质和图象，二次函数的图象上点的坐标特征，掌握抛物线上函数值相等的点关于抛物线对称轴对称是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：抛物线的开口向上，且对称轴为直线， 、点在抛物线右侧，， ， 离对称轴最远，值最大，离对称轴最近，值最小， ． 故答案为：． 根据可求出函数的对称轴，点、在对称轴右侧，函数图形开口向上，随增大而增大，可以判断，的大小，而点离对称轴最远，故的值最大，据此即可判断． 本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数中变化时，抛物线的开口方向以及对称轴的位置对的影响是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解：， 故答案为：． 先将二次项系数提取因式，再根据完全平方公式进行配方，即可解答． 本题考查了二次函数的三种形式，关键是将二次函数表达式化为顶点式． 14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．根据圆内接四边形的对角互补计算即可． 【解答】 解：四边形是的内接四边形， ， ， ， 故答案为：． 15.【答案】  【解析】本题主要考查了抛物线与轴的交点，根据抛物线与轴的交点的横坐标为列式求解即可． 【详解】解：抛物线交轴于点， 解得，， 故答案为：． 16.【答案】或或  【解析】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，勾股定理，圆的定义；分三种情况讨论，设的半径为，分别根据勾股定理，即可求解． 【详解】设的半径为，当经过的中点，即经过的中点， ， 当经过的中点，则， ，， 在中， 解得：负值舍去 当经过的中点，即经过的中点，设的中点为， 解得： 综上所述，半径为、、 故答案为：或或． 17.【答案】【小题】 解：二次函数的图象顶点坐标是， 设抛物线的解析式为， 将点代入得， 所以抛物线的解析式为； 【小题】 解：把代入，得， 点在这条抛物线的图象上．   【解析】  本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数图象上点的坐标特征． 由于已知顶点坐标，则可设顶点式，然后把代入求出的值即可；   计算时的函数值，然后根据二次函数图象上点的坐标特征判断是否在这条抛物线的图象上． 18.【答案】【小题】 【小题】 解：树状图如图： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中小明和小红被分配到同一院落门处服务有种等可能得结果， 志愿者小明和小红被分配到同一院落门处服务的概率为．   【解析】  根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可； 【详解】解：根据题意，志愿者小明被分配到甲处服务是随机事件， 故选：；   画出树状图即可求出志愿者小明和小红被分配到同一院落门处服务的概率； 本题考查了随机事件的定义，树状图法求概率，掌握知识点是解题的关键． 19.【答案】【小题】 解：由题意将代入解析式可得：， 抛物线为； 【小题】 令，则， 解得：，， 抛物线与轴的交点为，， 则：当时，抛物线在轴上方．   【解析】  由已知点代入即可求得的值，即可求得抛物线的函数表达式；   由解析式可知抛物线开口向下，令，求得抛物线于轴的交点坐标，即可判断． 20.【答案】解：如图，连接， ， ， 是的直径， ， ； ，， ， ，，且是直径， ，， ，， ．   【解析】连接，根据是的直径，可得，进而可以求的度数；根据直角三角形度角所对直角边等于斜边的一半可得的长，再根据垂径定理可得的值，进而可得的长． 21.【答案】证明：， ， ， ． ∽； 解：，， ， ∽， ， ， ．  【解析】由可得到，则，即可证得结论； 根据相似三角形的性质即可求解． 本题主要考查相似三角形的判定方法，掌握相似三角形的判定方法是解题关键，注意利用等腰三角形的性质来找角相等． 22.【答案】解：由图可知，值增加，值减小，故与之间符合一次函数关系， 设和的函数表达式为：，则， 解得， 和的函数表达式为：； 设这一周该商场销售这种商品的利润为元， 农产品的销售量不少于千克， ，解得， ， 而， ，抛物线的对称轴为直线， 在对称轴左侧，随的增大而增大， 当时，有最大值为元， 答：当农产品售价定为元千克时，青川农户可获得最大利润，最大利润为元．  【解析】由图观察可得与之间符合一次函数关系，用待定系数法即可求出与之间的函数关系式； 设这一周该商场销售这种商品的利润为元，根据题意得二次函数的解析式，然后根据二次函数的性质即可得到结论． 本题考查了一次函数和二次函数在实际问题中的应用，明确二次函数的相关性质及正确列出函数关系式，是解题的关键． 23.【答案】解：由题意，二次函数为， 抛物线的对称轴为直线． ． 抛物线为． 又图象经过点， ． ． 抛物线为． 由题意，点向上平移个单位长度，向左平移个单位长度， 平移后的点为． 又在， ． 或舍去． ． 由题意，当时， 最大值与最小值的差为． ，不符合题意，舍去． 当时， 最大值与最小值的差为，符合题意． 当时，最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意． 综上所述，的取值范围为．  【解析】依据题意，由二次函数为，可得抛物线为直线，可得的值，再由图象经过点，求出的值，进而可以得解； 依据题意，由点向上平移个单位长度，向左平移个单位长度，进而可得平移后的点为，结合在图象上，可得，进而计算可以得解； 依据题意，由，可得当时，取最小值，最小值为，再根据、和进行分类讨论，即可计算得解． 本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、坐标与图形变化平移，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 24.【答案】解：把点坐标为代入抛物线中， 则，得：， 故抛物线的解析式为：． 经过，两点，则， 设，则， ，， ，解得：． 故点坐标为． 证明：在点运动过程中，存在能够使得的点，理由如下： 设当点在轴上方抛物线上时，设，作如图所示， 构造一线三垂直，轴，于， 令，解得，， 故点，又 设：，代入，又，可得： ，解得， 故：， 设， ，则易证≌， ，， 进而可得点坐标为， 把点代入抛物线中， 发现点不在抛物线图象上， 故点不存在； 设当点在轴下方抛物线上时，构造一线三垂直如图所示， 作，，轴，于点， 由题意得， 易证≌， ，， 设，， 则，解得：， 点坐标为． 则由待定系数法可得直线：， 联立，解得：． 即点坐标为 综上所述，点坐标为   【解析】把点坐标为代入抛物线中，则，即可得抛物线的解析式为； 由于经过，两点，则，设，根据两点间距离公式列方程即可求解； 分点在轴上方或下方两类讨论： 设当点在轴上方抛物线上时，设，作如图所示，构三垂直模型后可表示出点，证明点不在抛物线上，此情形不存在； 设当点在轴下方抛物线上时，构造一线三垂直如图所示，构三垂直模型后可表示出点坐标为求出直线解析式，再联立抛物线解析式即可求解点坐标． 本题考查了二次函数的图象与性质，圆的性质，一线三垂直解度角存在性问题，熟悉以上内容，尤其是构三垂直模型是是解本题的关键． 第10页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $$