精品解析：四川省合江县马街中学校2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

马街中学高2023级高二（上）期中考试 数学 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据复数除法求出，再根据共轭复数的概念求得结果. 【详解】因为， 所以， 所以， 故选：A. 2. 已知直线经过点和点，则直线AB的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直线上的两点求直线的斜率，由斜率可得倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为， 由题得直线的斜率为， 因为， 所以. 故选：D 3. 将10个数据按照从小到大的顺序排列如下：，若该组数据的分位数为22，则（ ） A. 19 B. 20 C. 21 D. 22 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，结合百分位数的定义即可求解. 【详解】， 又该组数据的分位数为22， 则，解得. 故选：C 4. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由投影向量的定义，结合空间向量公式计算可求结果. 【详解】因为向量，， 所以，， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：C. 5. 已知某样本的容量为，平均数为，方差为．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将记录为，另一个错将记录为．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据样本平均数与方差公式直接计算可得解. 【详解】不妨设记录错误的两个数据分别为，， 改正后的数据为，， 由已知可得， 则， 所以改正后的平均数， 又， 则， 所以改正后的方差， 故选：A. 6. 已知事件发生的概率分别为，则下列说法错误的是（ ） A. 若与相互独立，则 B. 若与互斥，则 C. 若，则事件与相互独立 D. 若发生时一定发生，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据互斥事件和相互独立事件的概率公式逐项判断. 【详解】对于A，若A与B相互独立，则， 所以，故A正确； 对于B，若A与B互斥，则，故B错误； 对于C，因为，则， 因为，所以事件A与相互独立， 故C正确； 对于D，若B发生时A一定发生，则，则，故D正确． 故选：B. 7. 在我国古代，将四个角都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．在“鳖臑”中，平面，且，若该四面体的体积为，则该四面体外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意计算分析该几何体可以扩充为长方体，所以只用求长方体的外接球即可. 【详解】因为平面，且， ， 而,所以， 所以该几何体可以扩充为正方体方体，所以只用求正方体的外接球即可. 设外接球的半径为R ，则, 所以外接球的表面积为 故选：B 【点睛】多面体的外接球问题解题关键是找球心和半径，求半径的方法有： (1)公式法；(2) 多面体几何性质法；(3)补形法；(4)寻求轴截面圆半径法；(5)确定球心位置法． 8. 平行六面体的底面是边长为2的正方形，且，，为，的交点，则线段的长为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算可得，进而结合数量积运算求模长. 【详解】由题意可知：， 则 ， 所以. 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在我们发布的各类统计数据中，同比和环比都是反映增长速度的核心数据指标．如图是某专业机构统计的2022年1-12月中国校车销量走势图，则下列结论正确的是（ ） A. 8月校车销量的同比增长率与环比增长率都是全年最高 B. 1-12月校车销量的同比增长率的平均数小于环比增长率的平均数 C. 1-12月校车销量的环比增长率的极差大于同比增长率的极差 D. 1-12月校车销量的环比增长率的方差大于同比增长率的方差 【答案】BCD 【解析】 【分析】由统计图数据对选项逐一判断可得答案. 【详解】2022年8月校车销量的同比增长率比9月的低，故A错误； 由校车销量走势图知1-12月校车销量的同比增长率的平均数为负数，环比增长率的平均数是正数，故B正确； 1-12月校车销量的环比增长率的极差为，同比增长率的极差为，所以环比增长率的极差大于同比增长率的极差，故C正确； 由校车销量走势图知1-12月校车销量的环比增长率的波动大于同比增长率的，所以环比增长率的方差大于同比增长率的方差，故D正确． 故选：BCD. 10. 给出下列命题，其中正确的是（ ） A. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 B. 在空间直角坐标系中，点关于坐标平面yOz的对称点是 C. 若空间四个点P，A，B，C满足，则A，B，C三点共线 D. 平面的一个法向量为，平面的一个法向量为.若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据三个向量是否共面判断A，由点关于坐标面的对称判断B，由向量的运算确定三点共线可判断C，根据向量共线求参数可判断D。 【详解】对于A, 不共面，则不共面，所以也是空间的一个基底，故正确； 对于B, 点关于坐标平面yOz的对称点是，故错误； 对于C，由可得，即, 所以A，B，C三点共线，故正确； 对于D，由平面平行可得，所以，解得，故正确. 故选：ACD 11. 如图，在棱长为2的正方体中，均为所在棱的中点，动点在正方体表面运动，则下列结论中正确的为（ ） A. 在中点时，平面平面 B. 异面直线所成角的余弦值为 C. 不在同一个球面上 D. 若，则点轨迹长度为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据正方体图像特征证明面，结合面面垂直的判定定理判断A；根据异面直线所成的角判断B错误；根据五点共圆得到C；分析可知点轨迹是过点与平行的线段，根据轨迹求出长度得到D. 【详解】对于选项A：取的中点，连接， 在棱长为2的正方体中，均为所在棱的中点， 易知平面在面内， 所以面面， 所以面面，所以， 连接是正方形，， 因为面面，所以， 因为面面， 所以面，因为面，所以， 综上，面面，又， 所以面面，故平面平面，故A正确； 对于选项B：取的中点，连接，则， 所以是异面直线所成的角， 又，则，故B错误； 对于选项C：记正方体的中心为点，则， 所以在以为球心，以为半径的球面上，故C不正确； 对于选项D：因为，且为的中点， 所以，故， 所以点轨迹是过点与平行的线段，且， 所以，故D正确. 故选：AD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，且，则__________. 【答案】4 【解析】 【分析】先表示出的坐标，然后根据垂直对应的坐标关系求解出的值. 【详解】因为，且， 所以，解得， 故答案为：. 13. 省农科站要检测某品牌种子的发芽率，计划采用随机数表法从该品牌800粒种子中抽取60粒进行检测，现将这800粒种子编号如下001，002，…，800，若从随机数表第8行第7列的数7开始向右读，则所抽取的第4粒种子的编号是__________.（如下是随机数表第8行至第9行） 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 0 13 42 99 66 02 79 54 【答案】507 【解析】 【分析】根据随机数表法读取数据即可. 【详解】由题意，依次读取的种子的编号为： 785，916（舍去），955（舍去），567，199，810（舍去），507. 故所抽取的第4粒种子的编号为507. 故答案为：507 14. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，若角C的内角平分线，则的最小值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】先根据，结合余弦定理求角C，再根据，再结合面积公式和基本不等式求出的最小值，再根据数量积定义求. 【详解】因为，所以，而角为三角形内角，所以， 由，， 所以， 化简得到， 所以，则，当且仅当时，等号成立， 所以， 所以的最小值为8. 故答案为：8. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的顶点坐标为是边上的高. （1）求边上的中线所在直线的方程； （2）求高所在直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用中点坐标公式及直线的截距式方程即可求解； （2）由两垂直直线的斜率关系及直线的点斜式方程即可求解. 【小问1详解】 AB的中点坐标，又， 所以边上的中线所在直线的方程为：，即. 【小问2详解】 因为是边上的高， 所以，所以， 所以， 因此高所在直线的方程为：，即. 16. 沪州尧坝古镇位于四川省沪州市合江县尧坝镇，是川南醉美古镇之一，历史悠久，有“茶盐古道”之称.古镇保存完好，有进士牌坊､大鸿米店､东岳庙､王朝闻故居､周公馆等古建筑群，形态自然，独具特色.为更好地提升旅游品质，随机选择名游客对景区进行满意度评分（满分分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图. （1）估计这名游客对景区满意度评分的平均值； （2）若采用按比例分层抽样的方法从评分在，的两组中共抽取人，再从这人中随机抽取人进行个别交流，求选取的人评分分别在和内各人的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率和为可求得，根据频率分布直方图估计平均数的方法直接求解即可； （2）根据分层抽样原则可求得每组抽取的人数，采用列举法可求得结果. 【小问1详解】 ，， 平均值为. 【小问2详解】 评分在和的频率之比为， 应从评分在的组中抽取人，记作：； 评分在的组中抽取人，记作：； 从人中随机抽取人，则有，，，，，，， ，，，，，，，，共个基本事件； 其中满足评分分别在和内各人的基本事件有：，，，， ，，，，共个基本事件； 评分分别在和内各人的概率. 17. 如图，在四棱锥中，平面，底面是边长为2的正方形，为棱的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 连接，设，再连接， 因为底面是正方形，所以是的中点， 又为棱的中点，所以， 又平面平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由线线平行得到线面平行即可证明； （2）建立空间直角坐标系后，写出点坐标，得到空间向量，求出平面法向量，由向量夹角的余弦值求出线面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，底面是正方形，即， 故以点为原点，以向量为轴的方向向量，建立空间直角坐标系， 则， 故， 设平面的法向量为，则， 令，则，故， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18. 如图，在三棱柱中，底面是边长为的等边三角形，，分别是线段的中点，在平面内的射影为. （1）求证：平面； （2）若点为棱的中点，求点到平面的距离； （3）在棱上是否存在点，使得平面与平面所成的角为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 连接，， 为等边三角形，为中点，； 由题意知：平面，又平面，， ，平面，平面， 平面，； 四边形为平行四边形，， 四边形为菱形，， 分别为中点，，， 又，平面，平面. （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一性质可得；根据线面垂直的判定与性质可得，结合菱形对角线互相垂直和线面垂直判定定理可证得结论； （2）方法一：以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据点面距离的向量求法可求得结果； 方法二：取的中点，作，，根据平行关系可将所求距离转化为点到平面的距离，由平面，结合长度关系可求得结果； （3）方法一：设，根据面面角的向量求法可构造方程求得的值，进而得到结论； 方法二：假设存在点，根据二面角平面角的定义可知，由长度关系可求得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法一：由（1）知：平面，； 则以为坐标原点，正方向为轴正方向，建立如图空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 设平面的法向量， 则，令，解得：，，， 点到平面的距离； 方法二：取的中点，连接，过作交于， 过作分别交的延长线于，则分别是的中点， ，平面，平面，平面， 点到平面的距离等于点到平面的距离； 由（1）得：，平面， 平面，是直角三角形， 在菱形中，易得，，， ，， 即点到平面的距离为. 【小问3详解】 方法一：，，， 设，，， ； 由（2）知：平面的一个法向量； 设平面的法向量， 则，令，解得：，，； ，解得：（舍）或， 此时， 在棱上存在点，使得平面与平面所成的角为，此时； 方法二：假设存在点满足题意，取的中点，连接， 过作交于，连接， ，平面， 又由（1）得：，， 二面角的平面角为，； 在菱形中，作， ，， ， 为直角三角形，，， 在棱上存在点，使得平面与平面所成的角为，此时. 19. 在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线的点方向式方程为；过点，且法向量为的平面的点法向式方程为，将其整理为一般式方程为，其中． （1）求经过的直线的点方向式方程； （2）已知平面，平面，平面，若，证明：； （3）已知斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点，，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求平面与平面的夹角大小． 【答案】（1） （2） 由平面可知，平面的法向量为， 由平面可知，平面的法向量为， 设交线的方向向量为，则， 令，则，可得， 由平面可知，平面的法向量为， 因为，即， 且，所以． （3） 【解析】 【分析】（1）先求直线的方向向量，结合题意即可得直线方程； （2）根据题意可得平面、、的法向量，进而可求交线的方向向量，利用空间向量判断线面关系； （3）根据题意可得平面、的法向量，进而可求交线的方向向量，根据线面关系可得，利用空间向量求面面夹角. 【小问1详解】 由得，直线的方向向量为， 故直线的点方向式方程为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因平面经过三点，可得， 设侧面所在平面的法向量， 则，令，解得，可得， 由平面可知，平面法向量为， 设平面与平面的交线的方向向量为， 则，令，则，可得， 由平面可知，平面的法向量为， 因为，解得，即， 则， 故平面与平面夹角的大小为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 马街中学高2023级高二（上）期中考试 数学 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线经过点和点，则直线AB的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 将10个数据按照从小到大的顺序排列如下：，若该组数据的分位数为22，则（ ） A. 19 B. 20 C. 21 D. 22 4. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知某样本的容量为，平均数为，方差为．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将记录为，另一个错将记录为．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 已知事件发生的概率分别为，则下列说法错误的是（ ） A. 若与相互独立，则 B. 若与互斥，则 C. 若，则事件与相互独立 D. 若发生时一定发生，则 7. 在我国古代，将四个角都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．在“鳖臑”中，平面，且，若该四面体的体积为，则该四面体外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 平行六面体的底面是边长为2的正方形，且，，为，的交点，则线段的长为（ ） A. 3 B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在我们发布的各类统计数据中，同比和环比都是反映增长速度的核心数据指标．如图是某专业机构统计的2022年1-12月中国校车销量走势图，则下列结论正确的是（ ） A. 8月校车销量的同比增长率与环比增长率都是全年最高 B. 1-12月校车销量的同比增长率的平均数小于环比增长率的平均数 C. 1-12月校车销量的环比增长率的极差大于同比增长率的极差 D. 1-12月校车销量的环比增长率的方差大于同比增长率的方差 10. 给出下列命题，其中正确的是（ ） A. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 B. 在空间直角坐标系中，点关于坐标平面yOz的对称点是 C. 若空间四个点P，A，B，C满足，则A，B，C三点共线 D. 平面的一个法向量为，平面的一个法向量为.若，则 11. 如图，在棱长为2的正方体中，均为所在棱的中点，动点在正方体表面运动，则下列结论中正确的为（ ） A. 在中点时，平面平面 B. 异面直线所成角的余弦值为 C. 不在同一个球面上 D. 若，则点轨迹长度为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，且，则__________. 13. 省农科站要检测某品牌种子的发芽率，计划采用随机数表法从该品牌800粒种子中抽取60粒进行检测，现将这800粒种子编号如下001，002，…，800，若从随机数表第8行第7列的数7开始向右读，则所抽取的第4粒种子的编号是__________.（如下是随机数表第8行至第9行） 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 0 13 42 99 66 02 79 54 14. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，若角C的内角平分线，则的最小值为______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的顶点坐标为是边上的高. （1）求边上的中线所在直线的方程； （2）求高所在直线的方程. 16. 沪州尧坝古镇位于四川省沪州市合江县尧坝镇，是川南醉美古镇之一，历史悠久，有“茶盐古道”之称.古镇保存完好，有进士牌坊､大鸿米店､东岳庙､王朝闻故居､周公馆等古建筑群，形态自然，独具特色.为更好地提升旅游品质，随机选择名游客对景区进行满意度评分（满分分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图. （1）估计这名游客对景区满意度评分的平均值； （2）若采用按比例分层抽样的方法从评分在，的两组中共抽取人，再从这人中随机抽取人进行个别交流，求选取的人评分分别在和内各人的概率. 17. 如图，在四棱锥中，平面，底面是边长为2的正方形，为棱的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 如图，在三棱柱中，底面是边长为的等边三角形，，分别是线段的中点，在平面内的射影为. （1）求证：平面； （2）若点为棱的中点，求点到平面的距离； （3）在棱上是否存在点，使得平面与平面所成的角为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 19. 在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线的点方向式方程为；过点，且法向量为的平面的点法向式方程为，将其整理为一般式方程为，其中． （1）求经过的直线的点方向式方程； （2）已知平面，平面，平面，若，证明：； （3）已知斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点，，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求平面与平面的夹角大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $