精品解析：上海市久隆模范中学2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷

2024年第一学期初二年级数学期中考试卷（2024．11） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分．） 1. 下列各式中属于最简二次根式的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念逐一判断即可． 【详解】属于最简二次根式，故正确； ，不属于最简二次根式，故错误； ，不属于最简二次根式，故错误； ，不属于最简二次根式，故错误； 故选：A． 【点睛】本题主要考查最简二次根式，掌握最简二次根式的概念是解题的关键． 2. 下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. （其中、、是常数） C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将各选项一元二次方程不是一般形式的化为一般形式，然后根据一元二次方程的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．，整理，得，是一元二次方程，故符合题意； B．当a=0时，（其中、、是常数）不是一元二次方程，故不符合题意； C．不是整式方程，所以不是一元二次方程，故不符合题意； D．，整理，得，不是一元二次方程，故不符合题意． 故选A． 【点睛】此题考查的是一元二次方程的判断，掌握一元二次方程的定义及一般形式是解题关键． 3. 下列各图象中，y不是x的函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数的概念可知，在变化过程两个变量x、y，如果给x一个值，y都有唯一确定的值与其对应，那么y是x的函数；接下来对题目中给出的四个选项的图象进行判断，即可得到y不是x的函数的图象． 【详解】解：选项A，根据图象，当时，y有两个值与之对应，因此不是函数，符合题目要求．选项B、C、D，根据图象，每一个x的值，都有唯一的y值与之对应，因此是函数，不符合题目要求． 故选：A． 【点睛】本题考查的是函数的概念，掌握函数的概念是解决本题的关键，根据函数的定义可知x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，根据上述特点即可进行判断出正确选项． 4. 下列命题中，假命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 同位角相等 C. 两点之间线段最短 D. 垂线段最短 【答案】B 【解析】 【分析】根据对顶角的性质对A进行判断；根据平行线的性质对B进行判断；根据两点之间线段最短对C进行判断；根据垂线段公理对D进行判断． 【详解】解：A、对顶角相等，所以A选项为真命题； B、两直线平行，同位角相等，缺少条件，所以B选项为假命题； C、两点之间线段最短，所以C选项为真命题； D、垂线段最短，所以D选项为真命题． 故选：B． 【点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 5. 反比例函数在第一象限的图象如图所示，则k的值可能是（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据点（1，3）在反比例函数图象下方，点（3，2）在反比例函数图象上方可得出k的取值范围，即可得答案. 【详解】∵点（1，3）在反比例函数图象下方， ∴k>3， ∵点（3，2）在反比例函数图象上方， ∴<2，即k<6， ∴3<k<6， 故选：B. 【点睛】本题考查了反比例函数的图象的性质，熟记k=xy是解题关键. 6. 如图，BD＝BC，BE＝CA，∠DBE＝∠C＝62°，∠BDE＝75°，则∠AFE的度数等于（　　） A. 148° B. 140° C. 135° D. 128° 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件可知△ABC≌△EDB，由全等可得到∠A＝∠E，并利用三角形内角和可求得∠E，再应用外角和求得∠AFE． 【详解】∵BD＝BC，BE＝CA，∠DBE＝∠C， ∴△ABC≌△EDB（SAS）， ∴∠A＝∠E， ∵∠DBE＝62°，∠BDE＝75°， ∴∠E＝180°﹣60°﹣75°＝43°， ∴∠A＝43°， ∵∠BDE＋∠ADE＝180°， ∴∠ADE＝105°， ∴∠AFE＝∠ADE＋∠A＝105°＋43°＝148°． 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形外角和、内角和定理，难度不大，但要注意数形结合思想的运用． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7. 计算﹣2的结果是______． 【答案】 【解析】 【详解】原式=2－=. 考点：二次根式的计算. 8. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______． 【答案】x＞3， 【解析】 【分析】根据分式和二次根式的定义，列式运算求解即可． 【详解】解：由题意得，2x﹣6＞0， 解得，x＞3， 故答案为：x＞3． 【点睛】本题主要考查了分式和二次根式有意义的取值，熟悉掌握分式和二次根式的定义是解题的关键． 9. 写出的一个有理化因式是____． 【答案】 【解析】 【分析】充分利用平方差公式，得出有理化因子即可． 【详解】解：的一个有理化因式是， 故答案为： 【点睛】本题考查了分子有理化，解题的关键是熟练掌握平方差公式进行求解． 10. 方程的根是_____． 【答案】， 【解析】 【详解】方程变形得：x2+2x=0，即x（x+2）=0， 可得x=0或x+2=0， 解得：x1=0，x2=﹣2． 故答案是：x1=0，x2=﹣2 11. 反比例函数图像经过、，且，那么的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用反比例函数的增减性得出，进而求出答案． 【详解】解：∵反比例函数图像经过、，且， ∴每个象限内，随的增大而减小， ∴， 解得：， ∴的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数的增减性．反比例函数的增减性：当时，函数的图像在第二、四象限，在每一象限内随的增大而增大；当时，函数的图像在第一、三象限，在每一象限内随的增大而减小．正确得出关于的不等式是解题关键． 12. 在实数范围内分解因式:_______________________． 【答案】 【解析】 【分析】先解方程0，然后把已知的多项式写成的形式即可． 【详解】解：解方程0，得， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用解一元二次方程分解因式，掌握解答的方法是解题的关键． 13. 某汽车厂商经过两次增产，将汽车年产量由4.86万辆提升至6万辆，设平均每次增产的百分率是x，可列方程为______． 【答案】4.86（1+x）2=6 【解析】 【分析】根据等量关系：增产前的产量×（1+x）2=增产后的产量列出方程即可． 【详解】解：根据题意，得：4.86（1+x）2=6， 故答案为：4.86（1+x）2=6． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系是解答的关键． 14. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A=52°，以点B为圆心、以BC的长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ADC的度数为________； 【答案】109° 【解析】 【分析】根据直角三角形两锐角的关系求出∠B，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠BCD，最后根据三角形外角的性质即可求出∠ADC． 【详解】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠A=52°， ∴∠B=90°-∠A=90°-52°=38°， ∵BC=BD，∠BCD+∠BDC+∠B=180°， ∴∠BCD=∠BDC=（180°-∠B）=（180°-38°）=71°， ∴∠ADC=∠BCD+∠B=71°+38°=109°， 故答案为：109°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，根据等腰三角形的性质求出∠BCD是解决问题的关键． 15. 如图，正比例函数y1=kx与反比例函数y2=交于点A(m，2)，则不等式kx＞的解集为_____． 【答案】﹣1＜x＜0或x＞1． 【解析】 【分析】只需把已知的交点的坐标代入解析式，即可求得点A的坐标，根据对称的性质，求得另一个交点的坐标；根据图象即可得到不等式kx＞的解集是-1＜x＜0或x＞1． 【详解】（1）∵点A（m，2）过反比例函数y2=的图象， 则有2=， ∴m=1， ∴点A（1，2）． 又∵正比例函数y1=kx， ∴k=2． 另一个交点和点A关于原点对称，另一个交点的坐标为（-1，-2）； 根据图象得，不等式kx＞的解集为-1＜x＜0或x＞1． 故答案为-1＜x＜0或x＞1． 【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的交点问题，待定系数法确定k的值，并且用到了过原点的直线与反比例函数图象的两个交点坐标关于原点对称的知识． 16. 根据下表： x … 4 5 6 13 5 … 5 确定方程的解的取值范围是 __________． 【答案】或 【解析】 【分析】观察已知表格，根据代数式的值的变化确定出方程解的范围即可． 【详解】解：由表格得：时，，时，； 时，，时，， 可得方程的解取值范围是或． 故答案为：或． 【点睛】此题考查了估算一元二次方程的近似解，弄清表格中的数据变化规律是解本题的关键． 17. 定义：如果两个一元二次方程分别有两个实数根，且至少有一个公共根，那么称这两个方程互为“联根方程”．已知关于x的两个一元二次方程和互为联根方程，那么a的值为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了利用因式分解法解方程，先利用因式分解法解方程，得到或．再分别将，代入，求出a的值即可．求出方程的两个解是解题的关键． 【详解】解：， 分解因式为， 解得或 ①当时，， 整理得， ∵，∴方程无解； ②当时， ， ∴或（舍去） 故答案为：． 18. 如图，已知直线，直线和点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，按此作法进行下去，则点的横坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】点，在直线上，得到，求得的纵坐标的纵坐标，得到，即的横坐标为，同理，的横坐标为，的横坐标为，，，，，求得，于是得到结论．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，规律型：点的坐标，正确地作出规律是解题的关键． 【详解】解：点，在直线上， ， 轴， 的纵坐标的纵坐标， 在直线上， ， ， ，即的横坐标为， 同理，的横坐标为，的横坐标为，，，，， ， 的横坐标为， 的横坐标为， 的横坐标为， 的横坐标为， ∴点的横坐标为 故答案为： 三、简答题（本大题共6小题，满分24分．） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，二次根式的乘除混合计算： （1）先计算二次根式乘法和化简二次根式，再计算二次根式加减法即可； （2）根据二次根式乘除法计算法则求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解方程： （1）． （2）（用配方法）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）先移项，然后利用提公因式法分解因式，再解方程即可； （2）先把二次项系数化为1，再把常数项移到方程右边，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，最后解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 21. 计算：先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，熟知相关计算法则是解题的关键．先计算小括号内的分式加法，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 22. 已知y＝y1+y2，y1与x﹣2成反比例，y2与2x+3成正比例，当x＝1时，y＝5；当x＝3时，y＝，求y与x的函数关系式． 【答案】y=+ 【解析】 【分析】根据反比例函数与正比例函数定义可设y1=，y2=，则y=+，再把两组对应值分别代入得到a和b的方程组，解方程组求出a和b即可得到y与x的函数关系式； 【详解】解：设y1=，y2=，则y=+， 把x=1，y=5；x=3，y=分别代入得 ， 解得 ， 所以y与x的函数关系式为y=+=+=+ ∴y=+； 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式：设出含有待定系数的反比例函数解析式y= （k为常数，k≠0）；把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到待定系数的方程；解方程，求出待定系数；写出解析式． 四、解答题（本大题6小题，满分40分） 23. 已知关于的方程． （1）试说明：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根为，求的值． 【答案】（1） 证明：∵ ， ∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）计算出即可得出答案； （2）由方程的解的概念得出，代入到计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程有一个根为， ∴， 整理，得：， ∴ ． 【点睛】本题主要考查根的判别式和方程的解，解题的关键是掌握一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根． 24. 命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． （1）请将此命题改写成“如果，那么”的形式：________； （2）请写出“已知”和“求证”，并证明过程． 【答案】（1）在同一平面内，如果两条直线都和同一条直线垂直，那么这两条直线互相平行； （2） 已知：如图，，， 求证：； 证明：∵，， ∴，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（）根据命题是由两部分组成的， 如果后边跟的是条件， 那么后边跟的是结论，在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，这个命题的条件是“两条直线都和同一条直线垂直”，结论是“这两条直线平行”； （）先把原命题用几何语言表达出来，再根据同位角相等两直线平行进行证明即可； 本题主要考查了命题的定义的理解、平行线的判定，解题的关键是掌握知识点的应用． 【小问1详解】 解：在同一平面内，如果两条直线都和同一条直线垂直，那么这两条直线互相平行， 故答案为：在同一平面内，如果两条直线都和同一条直线垂直，那么这两条直线互相平行； 【小问2详解】 略 25. 甲骑摩托车从地去地，乙开汽车从地去地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人间的距离为与甲行驶的时间为之间的关系如图所示． （1）结合图象，在点三个点中，点________代表的实际意义是乙到达终点； （2）求甲、乙各自的速度； （3）当乙到达终点时，求甲、乙两人的距离； 【答案】（1）； （2）甲的速度为千米时，乙的速度为千米时； （3）当乙到达终点时，则甲乙两人的距离是千米． 【解析】 【分析】本题考查函数图象的意义，读懂函数图象的信息是解题的关键． （）根据函数图象，两个相距为时两个相遇，然后距离逐渐增加，当增加量减小时说明一个已经停止，最后达到最大停止即可得到答案； （）由图象可得，两地相距千米，甲走完全程需要小时，即可求出甲的速度，根据当时，两人相遇，即可求出甲乙两人的速度之和，进而求出乙的速度； （）当乙到达终点地时，求出甲离开出发地地的路程，即为甲乙两人的距离． 【小问1详解】 解：由图象可得，在点时，，此时两人相遇， 点之后，两人的距离增加速度减少，此时乙先到达终点， 点表示两人距离为，此时甲到达终点， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由图象可得，两地相距千米，甲走完全程需要小时， ∴甲的速度为（千米时）， 当时，两人相遇 ， 两人的速度之和为（千米时）， ∴乙的速度为（千米时）， 答：甲的速度为千米时，乙的速度为千米时； 【小问3详解】 解：当乙到达终点地时，甲离开出发地地有（千米）， ∴当乙到达终点时，则甲乙两人的距离是千米． 26. 商场销售某种拖把，已知这种拖把的进价为80元/套，售价为120元/套，商场每天可销售20套、国庆假期临近，该商场决定采取适当的降价措施，经调查：这种拖把的售价每降价1元，平均每天可多售出2套，设这种拖把每套降价x元． （1）降价后每套拖把盈利______元，平均每天可销售______套（用含x的代数式表示）； （2）为扩大销售量，尽快减少库存，当每套拖把降价多少元时，该商场销售这种拖把平均每天能盈利1242元？ （3）该商场销售这种拖把平均每天的盈利能否达到1400元？若能，求出x的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）， （2）每套拖把降价17元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利1242元； （3）不能， 理由如下： 设每套拖把降价y元，则每套的销售利润为元，平均每天的销售量为套， 依题意得：， 整理得：． ∵， ∴此方程无实数解， 即不可能每天盈利1400元． 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系． （1）设每套拖把降价x元，根据题意列出代数式即可； （2）设每套拖把降价x元，则每套的销售利润为元，平均每天的销售量为套，根据题意列出一元二次方程求解即可； （3）设每套拖把降价y元，则每套的销售利润为元，平均每天的销售量为套，根据题意列出一元二次方程，然后依据判别式求解即可. 【小问1详解】 解：设每套拖把降价x元，则每天销售量增加套，即每天销售套， 每套拖把盈利元． 故答案为：，； 【小问2详解】 解：设每套拖把降价x元，则每套的销售利润为元，平均每天的销售量为套， 依题意得：， 整理得：， 解得：． 又∵需要尽快减少库存， ∴． 答：每套拖把降价17元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利1242元； 【小问3详解】 略 27. （1）问题发现：如图①，和均为等边三角形，当旋转至点在同一直线上时，连接． 填空：①的度数为______； ②线段之间的数量关系是______． （2）拓展研究： 如图②，和均为等腰三角形，且，点在同一直线上，若，求的长度及的度数． （3）探究发现： 图①中的和，在旋转过程中，当点不在同一直线上时，设直线与相交于点，试探索的度数，直接写出结果，不必说明理由． 【答案】（1）①；②；（2），；（3）的度数是或 【解析】 【分析】（1）①证明，从而得到，再由等边三角形的性质可得，再由点在同一直线上，可得，从而即可求得的度数；②由即可得到答案； （2）证明，从而得到，，再由等腰直角三角形的性质可得，再由点在同一直线上，可得，从而即可求得的度数； （3）由（1）知，得，由，可知，根据三角形的内角和定理进行计算即可得到答案． 【详解】解：（1）①和均为等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ， 为等边三角形， ， 点在同一直线上， ， ， ， 故答案为：； ②， ， 故答案为：； （2）和均为等腰直角三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ，， 为等腰直角三角形， ， 点在同一直线上， ， ， ， ； （3）如图， 由（1）知，， ， ， ， ， 如图， 同理求得， ， 的度数是或． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握以上知识点，得出是解此题的关键． 28. 已知正比例函数经过点，点在第四象限，过点作轴，垂足为点，点的横坐标为3，且的面积为3． （1）求正比例函数的解析式； （2）在轴上能否找到一点，使的面积为5．若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由 （3）在（2）的条件下，是否在正比例函数上存在一点，且在第四象限，使得若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】（1） （2）存在，或 （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）首先确定点的坐标，然后代入正比例函数并求解，即可获得答案； （2）设，根据的面积为5，点的坐标为，可得，求解即可获得答案； （3）设，分点在上和点在的延长线上两种情况，分别求解，即可获得答案． 【小问1详解】 解：∵点的横坐标为3，且的面积为3， ∴， 解得， ∵点在第四象限， ∴点的坐标为， ∵正比例函数经过点， ∴， 解得， ∴正比例函数的解析式是； 【小问2详解】 存在，理由如下： 设， ∵的面积为5，点的坐标为， ∴， ∴或， ∴点坐标为或； 【小问3详解】 设，如图， ①点在上时， 当时，， 又∵, 若时，， ∴， 解得 ， ∴， ∴点的坐标为； 同理，当点时，也可求出点的坐标也为； ②点在的延长线上时， 当时，， 若时，， ∴， 解得，， ∴， ∴点的坐标为； 当点时，， 若时，同理可得，点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、正比例函数和一次函数的图像和性质等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题 附加题：（每题5分，共10分） 29. 当时，多项式的值为__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查已知字母的值，求代数式的值，根据已知条件，得到，进而得到，将多项式转化为，再代值计算即可，本题的难度较大，关键是将已知式子进行变形，转化． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：. 30. 如图，正方形ABCD中，点E是DC边上一点，DE=6，EC=3，点F在直线AB上，当线段CF的长为________时，把线段AE绕点A旋转，使点E恰好落在点F处. 【答案】或. 【解析】 【分析】根据勾股定理求AE的长，然后以点A为圆心，AE的长为半径画圆，交直线AB与点F出，从而求CF的长度. 【详解】解：由题意可知：∠D=90°，AD=DE+EC=9 ∴ 根据题意以点A为圆心，AE的长为半径画圆， 当点F在A点上方时，如图：连接CF 此时BF= ,BC=9 ∴ 当点F在B点下方时，如图，连接CF 此时BF= ,BC=9 ∴ 综上所述：CF=或. 【点睛】本题主要考查旋转的性质及正方形的性质，利用勾股定理求边长是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年第一学期初二年级数学期中考试卷（2024．11） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分．） 1. 下列各式中属于最简二次根式的是（ ）． A. B. C. D. 2. 下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. （其中、、是常数） C. D. 3. 下列各图象中，y不是x的函数的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列命题中，假命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 同位角相等 C. 两点之间线段最短 D. 垂线段最短 5. 反比例函数在第一象限的图象如图所示，则k的值可能是（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 8 6. 如图，BD＝BC，BE＝CA，∠DBE＝∠C＝62°，∠BDE＝75°，则∠AFE的度数等于（　　） A. 148° B. 140° C. 135° D. 128° 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7. 计算﹣2的结果是______． 8. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______． 9. 写出的一个有理化因式是____． 10. 方程的根是_____． 11. 反比例函数图像经过、，且，那么的取值范围是___． 12. 在实数范围内分解因式:_______________________． 13. 某汽车厂商经过两次增产，将汽车年产量由4.86万辆提升至6万辆，设平均每次增产的百分率是x，可列方程为______． 14. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A=52°，以点B为圆心、以BC的长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ADC的度数为________； 15. 如图，正比例函数y1=kx与反比例函数y2=交于点A(m，2)，则不等式kx＞的解集为_____． 16. 根据下表： x … 4 5 6 13 5 … 5 确定方程的解的取值范围是 __________． 17. 定义：如果两个一元二次方程分别有两个实数根，且至少有一个公共根，那么称这两个方程互为“联根方程”．已知关于x的两个一元二次方程和互为联根方程，那么a的值为 _______． 18. 如图，已知直线，直线和点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，按此作法进行下去，则点的横坐标为________． 三、简答题（本大题共6小题，满分24分．） 19. 计算： （1） （2） 20. 解方程： （1）． （2）（用配方法）； 21. 计算：先化简，再求值：，其中． 22. 已知y＝y1+y2，y1与x﹣2成反比例，y2与2x+3成正比例，当x＝1时，y＝5；当x＝3时，y＝，求y与x的函数关系式． 四、解答题（本大题6小题，满分40分） 23. 已知关于的方程． （1）试说明：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根为，求的值． 24. 命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． （1）请将此命题改写成“如果，那么”的形式：________； （2）请写出“已知”和“求证”，并证明过程． 25. 甲骑摩托车从地去地，乙开汽车从地去地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人间的距离为与甲行驶的时间为之间的关系如图所示． （1）结合图象，在点三个点中，点________代表的实际意义是乙到达终点； （2）求甲、乙各自的速度； （3）当乙到达终点时，求甲、乙两人的距离； 26. 商场销售某种拖把，已知这种拖把的进价为80元/套，售价为120元/套，商场每天可销售20套、国庆假期临近，该商场决定采取适当的降价措施，经调查：这种拖把的售价每降价1元，平均每天可多售出2套，设这种拖把每套降价x元． （1）降价后每套拖把盈利______元，平均每天可销售______套（用含x的代数式表示）； （2）为扩大销售量，尽快减少库存，当每套拖把降价多少元时，该商场销售这种拖把平均每天能盈利1242元？ （3）该商场销售这种拖把平均每天的盈利能否达到1400元？若能，求出x的值；若不能，请说明理由． 27. （1）问题发现：如图①，和均为等边三角形，当旋转至点在同一直线上时，连接． 填空：①的度数为______； ②线段之间的数量关系是______． （2）拓展研究： 如图②，和均为等腰三角形，且，点在同一直线上，若，求的长度及的度数． （3）探究发现： 图①中的和，在旋转过程中，当点不在同一直线上时，设直线与相交于点，试探索的度数，直接写出结果，不必说明理由． 28. 已知正比例函数经过点，点在第四象限，过点作轴，垂足为点，点的横坐标为3，且的面积为3． （1）求正比例函数的解析式； （2）在轴上能否找到一点，使的面积为5．若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由 （3）在（2）的条件下，是否在正比例函数上存在一点，且在第四象限，使得若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由 附加题：（每题5分，共10分） 29. 当时，多项式的值为__________ 30. 如图，正方形ABCD中，点E是DC边上一点，DE=6，EC=3，点F在直线AB上，当线段CF的长为________时，把线段AE绕点A旋转，使点E恰好落在点F处. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $