专题04 整式的乘法与因式分解【知识梳理+解题方法+专题过关】-2024-2025学年八年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（人教版）

专题04 整式的乘法与因式分解 一．同底数幂的乘法 同底数幂的乘法法则 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，． 因此，（m，n都是正整数）． 即同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 注意： ①三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用． 即（m，n，p都是正整数）． ②不要忽视指数为1的因数． ③底数不一定只是一个数或一个字母． ④注意法则的逆用，即（m，n都是正整数）． 二．幂的乘方 1．幂的乘方的意义 幂的乘方是指几个相同的幂相乘．如是三个相乘，读作a的五次幂的三次方，是n个相乘，读作a的m次幂的n次方． 2．幂的乘方法则 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，． 因此，（m，n都是正整数）． 即幂的乘方，底数不变，指数相乘． 注意： ①三个或三个以上，法则也适用． 即（m，n，p都是正整数）． ②此法则可以逆用，即（m，n都是正整数）． 三．积的乘方 1．积的乘方的意义：积的乘方是指底数是乘积形式的乘方．如，等． （积的乘方的意义） （乘法交换律、结合律） 2．积的乘方法则： 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n，． 因此，（n为正整数）． 即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 注意： ①三个或三个以上，法则也适用． 即（n为正整数）． ②此法则可以逆用，即（n为正整数）． 四．单项式与单项式相乘 一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 注意： ①积的系数等于各项系数的积，应先确定积的符号，再计算积的绝对值． ②相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算． ③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里，注意不要把这个因式遗漏． ④单项式与单项式相乘的乘法法则对于三个及以上的单项式相乘同样适用． ⑤单项式乘单项式的结果仍然是单项式． 五．单项式与多项式相乘 一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表示为（m，a，b，c都是单项式）． 注意： ①单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用分配律将其转化为单项式乘单项式． ②单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，可以以此来检验在运算中是否漏乘某些项． ③计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号． ④对于混合运算，应注意运算顺序，有同类项必须合并，从而得到最简结果． 六．多项式与多项式相乘 一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表示为． 注意： ①运用多项式乘法法则时，必须做到不重不漏． ②多项式与多项式相乘，仍得多项式．在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积． 七．同底数幂的除法 同底数幂的除法法则 一般地，（，m，n都是正整数，并且）． 即同底数幂相除，底数不变，指数相减． 注意： ①底数a可以是单项式，也可以是多项式，但底数a不能为0，若a为0，则除数为0，除法就没有意义了． ②当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质，例如（，m，n，p都是正整数，并且）． ③同底数幂的除法和同底数幂的乘法互为逆运算． 八．零指数幂的性质 同底数幂相乘，如果被除式的指数等于除式的指数，例如，根据除法的意义可知所得的商为1．另一方面，如果依照同底数幂的除法来计算，又有． 于是规定：． 即任何不等于0的数的0次幂都等于1． 注意： 任何一个常数都可以看作是它与字母0次方的积，因此常数项可以看作是0次单项式． 九．单项式除以单项式 单项式除以单项式法则：一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 注意： 计算结果是否正确，可由单项式乘法验证． 十．多项式除以单项式 多项式除以单项式法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． （m，a，b都是单项式）． 注意： ①多项式除以单项式是将其化为单项式除以单项式，在计算时多项式里的各项要包括它前面的符号． ②多项式除以单项式，被除式里有几项，商也应该有几项，不要漏项． ③多项式除以单项式是单项式乘多项式的逆运算，可用其进行检验． 十一．平方差公式 1．平方差公式的推导 ． 2．平方差公式 ． 即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差． 注意： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数． ②右边是相同项的平方减去相反项的平方． ③公式中的a和b可以是单项式，也可以是多项式． 十二．完全平方公式 1．完全平方公式的推导 ； ． 2．完全平方公式 ；． 即两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式． 完全平方公式的特点：两个公式的左边都是一个二项式的平方，二者仅有一个“符号”不同；右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个“符号”不同． 注意： ①公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式． ②对于形如两数和（或差）的平方的乘法，都可以运用完全平方公式计算． 十三．因式分解 把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． 注意： ①因式分解是针对多项式，而不是单项式；是针对多项式的整体，而不是部分． ②要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止． ③因式分解的结果是整式的积的形式，积中几个相同因式的积要写成幂的形式． ④因式分解与整式乘法是方向相反的变形，因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算． 十四．用提公因式法分解因式 1．公因式 一个多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式． 注意： ①公因式必须是每一项中都含有的因式． ②公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式． 2．提公因式法 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 3．提公因式法分解因式的一般步骤 ①找出公因式； ②提公因式并确定另一个因式． 十五．用平方差公式分解因式 即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积，其中a，b既可以是单项式，也可以是多项式． 平方差公式的特点： ①等号左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反； ②等号右边是两个数的和与这两个数的差的积． 十六．用完全平方公式分解因式 ；． 即两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．a，b既可以是单项式，也可以是多项式． 完全平方公式的特点： ①等号左边是三项式，其中首末两项分别是两个数（或两个式子）的平方，且这两项的符号相同，中间一项是这两个数（或两个式子）的积的2倍，符号正负均可； ②等号右边是这两个数（或两个式子）的和（或差）的平方．当中间的乘积项与首末两项符号相同时，是和的平方；当中间的乘积项与首末两项的符号相反时，是差的平方． 十七．型式子的因式分解 我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．这种因式分解的过程也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数． 【专题过关】 一．同底数幂的乘法（共5小题） 1．计算的结果是（　　） A． B． C． D．x 【答案】B． 【解析】解：． 故选：B． 2．已知，，则等于（　　） A．7 B．10 C．20 D．50 【答案】B． 【解析】解：． 故选：B． 3．若，则n＝（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】D． 【解析】解：由题意知：， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 4．计算：　 　．（结果用幂的形式表示） 【答案】． 【解析】解：原式， 故答案为：． 5．规定，求： （1）求的值； （2）若，求x的值． 【答案】（1）8；（2）． 【解析】解：（1）由题意得： ； （2）由题意得： ； 即， ， ， ． 二．幂的乘方与积的乘方（共7小题） 6．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 【解析】解：A．与不是同类项，不能合并，故该项不正确，不符合题意； B．，故该项正确，符合题意； C．，故该项不正确，不符合题意； D．，故该项不正确，不符合题意； 故选：B． 7．已知，，，则a，b，c的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A． 【解析】解：因为， ， ， 因为， 所以． 故选：A． 8．若，，则（　　） A．150 B．160 C．165 D．180 【答案】A． 【解析】解：∵，， ∴， 故选：A． 9．用简便方法计算： 　 　． 【答案】． 【解析】解：原式． 故答案为：． 10．已知：，，m，n为正整数，则　 　． 【答案】． 【解析】解：∵，（m，n为正整数）， ∴， 故答案为：． 11．计算：． 【答案】． 【解析】解：原式． 12．若，， （1）求代数式的值； （2）求的值． 【答案】（1）6；（2）72． 【解析】解：（1）∵，， ∴； （2）∵，， ∴． 三．同底数幂的除法（共5小题） 13．下列运算一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A． 【解析】解：A．，故此选项符合题意； B．a与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； C．，故此选项不符合题意； D．，故此选项不符合题意； 故选：A． 14．如果，，那么的值是（　　） A．4 B．8 C．64 D．16 【答案】C． 【解析】解：∵，， ∴， ∴． 故选：C． 15．若，，则 　 　． 【答案】． 【解析】解：∵，， ∴． 故答案为：． 16．若，，则的值为 　 　． 【答案】5． 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：5． 17．已知，，． （1）求的值； （2）求的值； （3）写出m，n，p之间的数量关系． 【答案】（1）24；（2）；（3）． 【解析】解：（1）∵，， ∴； （2）∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3）∵， ∴， 即， ∴． 四．单项式乘单项式（共5小题） 18．若单项式和的积为，则的算术平方根为（　　） A． B． C．5 D．10 【答案】C． 【解析】解：， ∴，，解得：， ∴； 故选：C． 19．设，则的值为（　　） A．1 B． C．3 D． 【答案】B． 【解析】解：根据单项式乘单项式的运算法则，可得： ， ∵， ∴，， 解得：，， ∴． 故选：B． 20．计算：　 　． 【答案】． 【解析】解：原式． 故答案为：． 21．计算：　 　． 【答案】． 【解析】解：原式； 故答案为：． 22．计算：． 【答案】． 【解析】解：． 五．单项式乘多项式（共5小题） 23．已知，则代数式的值为（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】B． 【解析】解：原式， 由，得到， ∴原式． 故选：B． 24．李老师做了个长方形教具，其中一边长为，另一边长为b，则该长方形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D． 【解析】解：长方形的面积为． 故选：D． 25．计算： （1）　 　． （2） 　 　． 【答案】（1）；（2）． 【解析】解：（1）原式， （2）原式． 26．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下： 则手掌捂住的多项式 　 　． 【答案】． 【解析】解：． 故答案为：． 27．如图，一张长方形硬纸片，长为m，宽为m，在它的四个角上分别剪 去一个边长为m的小正方形（阴影部分所示），然后折成一个无盖的盒子，请你求出折成无盖盒子所用 硬纸片的面积． 【答案】． 【解析】解： 即折成无盖盒子所用硬纸片的面积为． 六．多项式乘多项式（共7小题） 28．若，则实数a、b的符号为（　　） A．a、b同为正 B．a、b同为负 C．a、b异号且绝对值大的为正 D．a、b异号且绝过值大的为负 【答案】D． 【解析】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴a，b异号， ∵，， ∴， ∴a，b异号且绝对值较大的为负． 故选：D． 29．如果与的乘积中不含x的一次项，则m的值为（　　） A． B．3 C．0 D．1 【答案】A． 【解析】解：∵， 又∵与的乘积中不含x的一次项， ∴， 解得． 故选：A． 30．已知式子的结果中不含项，则a的值为（　　） A．0 B． C． D．2 【答案】B． 【解析】解：因为不含项， ∴， 解得． 故选：B． 31．将关于x的一次二项式与二次三项式相乘，积中不出现一次项，且二次项系数为1， 则　 　． 【答案】． 【解析】解： ， ∵积中不出现一次项，且二次项系数为1， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 32．若，则a的值为 　 　． 【答案】． 【解析】解：∵，而， ∴， 故答案为：． 33．如图，某中学校园内有一块长为米，宽为米的长方形地块，学校计划在中间留下一 个“T”型的图形（阴影部分）修建一个文化广场． （1）用含x，y的式子表示“T”型图形的面积并化简； （2）当，时，求文化广场的面积． 【答案】（1）；（2）文化广场的面积为38平方米． 【解析】解：（1）； （2）当，时， （平方米）， 答：文化广场的面积为38平方米． 34．小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当或时，多项式 的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点． （1）已知多项式，则此多项式的零点为　 　． （2）已知多项式有一个零点为2，求多项式B的另一个零点； （3）订正：小聪继续研究，及等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线对称，他把这些多项式称为“3﹣系多项式”．若多项式是“3﹣系多项式”，则a＝　 　，b＝　 　， c＝　 　． 【答案】（1）或3；（2）；（3）2，，1． 【解析】解：（1）根据题意，令， ∴或， 解得：或， 故答案为：或3； （2）根据题意，把代入B，得， 解得：， 把代入B，得， 令， 解得：， ∴多项式B的另一个零点是； （3）∵， ∴M的两个零点分别是或， 根据“3﹣系多项式”的定义，有， ∴， ∴， 把代入M， 得， ∵， ∴，， 解得：， 把代入， ∴． 故答案为：2，，1． 七．整式的除法（共7小题） 35．已知，那么m、n的取值依次为（　　） A．2，3 B．4，3 C．1，3 D．4，1 【答案】B． 【解析】解：∵， ∴，， 解得：，． 故选：B． 36．计算（　　），正确的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D． 【解析】解：∵， ∴被除式为， ∵， 故选：D． 37．小花与小米在做游戏时，两人各报一个整式，将小花报的整式作为除式，小米报的整式作为被除式， 要求商必须为．若小米报的整式是，则小花应报的整式是　 　． 【答案】． 【解析】解：根据题意可知，小花应报的整式为： ． 故答案为：． 38．已知多项式A除以得商式，余式，则多项式A为 　 　． 【答案】． 【解析】解：根据题意得，， 故答案为：． 39．计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【解析】解：（1）原式； （2）原式． 40．已知，B是多项式，在计算时，小明把看成，计算结果是，求． 【答案】． 【解析】解：由题意可得， 所以． 41．我们学习过多项式乘多项式，根据法则可知，那么再根据除法是乘法的逆 运算可得，这就是多项式除以多项式．两个多项式相除，可以先把这两个多 项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如 ，可仿照用竖式计算（如图）： 因此，多项式除以多项式可借助竖式进行计算． 请用上述方法计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【解析】解（1） ∴； （2）． ∴． 八．零指数幂（共6小题） 42．下列各式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A． 【解析】解：A．，故该项计算正确，符合题意； B．，故该项计算不正确，不符合题意； C．，故该项计算不正确，不符合题意； D．，故该项计算不正确，不符合题意； 故选：A． 43．若式子有意义，则实数x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A． 【解析】解：根据题意可知， 时，式子有意义， 即． 故选：A． 44．若，则　 　． 【答案】x的值为2或或0． 【解析】解：当时， 解得：， 则， 当时， 解得：， 则， 当时， 解得：， 则， 综上所述：x的值为2或或0． 故答案为：2或﹣2或0． 45．阅读材料：①1的任何次幂都等于1；②的奇数次幂都等于；③的偶数次幂都等于1；④任何 不等于零的数的零次幂都等于1，试根据以上材料探索使等式成立的x的值为 　 　． 【答案】4或． 【解析】解：①当时，解得：， 则， 所以． ②当时，解得：， 则， 不符合题意． ③当时，解得：， 则， 所以． 综上所述，当或时，等式成立． 故答案为：4或． 46．计算：． 【答案】． 【解析】解；． 47．在复习了整式的运算后，数学老师让同学们总结：（n为整数）成立时，a，n要满足的条件．请 解答下列问题： （1）经过讨论，小郑同学总结了三种使（n为整数）成立情形，请帮小郑同学补充完整： ①；②；③　 　． （2）若，求x的值． 【答案】（1）1；（2）或0或． 【解析】解：（1），n为任意整数时，， 故答案为：1； （2）当时，； 当时，； 此时指数为偶数，符合题意． 当时，， 此时，符合题意． 综上所述或0或． 九．完全平方公式（共10小题） 48．计算结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 【解析】解：， 故选：B． 49．已知，，则（　　） A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】C． 【解析】解：∵，， ∴， 故选：C． 50．如果是一个完全平方式，则m的值是（　　） A．3 B．9 C．6 D． 【答案】B． 【解析】解：∵， ∴如果是一个完全平方式，则m的值是9． 故选：B． 51．若关于x的二次三项式是一个完全平方式，那么k的值是（　　） A． B．6 C． D．10或 【答案】D． 【解析】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， ∴， 解得：或， 故选：D． 52．用如图所示的几何图形的面积可以解释的代数恒等式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】解：整体是长为，宽为的长方形，因此面积为， 这个长方形是由4个部分组成的，这4个部分的面积和为， 所以有， 故选：C． 53．已知：，，则　 　． 【答案】． 【解析】解：∵，， ∴， ， ， ． 故答案为：． 54．已知，，则　 　． 【答案】20． 【解析】解：∵，， ∴， 则． 故答案为：20． 55．若关于x的整式是某个关于x的整式的平方，则m＝ 　 　． 【答案】或18． 【解析】解：∵是某个关于x的整式的平方， ∴， ∴， ∴， 解得：或， 故答案为：或18． 56．小明在做作业时，不慎把墨水滴在纸上，将一个三项式前后两项污染得看不清楚了，中间项是， 请帮他把前后两项补充完整，使它成为完全平方式（写出一种即可）原式为： （ 　 　）2． 【答案】（答案不唯一）． 【解析】解：， 故答案为：（答案不唯一）． 57．乘法公式的探究及应用． 数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． （1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积． 方法1：　 　；方法2：　 　． （2）观察图2，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系； （3）类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证：； （4）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知，求的值． 【答案】（1），；（2）；（3）见解析；（4）①； ②． 【解析】解：（1）方法1：由大正方形的面积计算：， 方法2：由两个小正方形和两个小矩形的面积计算：； 故答案为：，； （2）由图2可直接得出； （3）如图； （4）①∵， ∴，即． ∵， ∴， ∴； ②， ， ， ∴． 十．平方差公式（共9小题） 58．下列各式能用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】解：A．，不能用平方差公式计算，故此选项不符合题意； B．，不能用平方差公式计算，故此选项不符合题意； C．，能用平方差公式计算，故此选项符合题意； D．，不能用平方差公式计算，故此选项不符合题意； 故选：C． 59．在运用乘法公式计算时，下列变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D． 【解析】解：， 故选：D． 60．如图所示，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（），将余下的部分拼成一个长 方形，此过程可以验证（　　） A． B． C． D． 【答案】D． 【解析】解：在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（），将余下部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即， 所拼成的长方形的长为，宽为， 因此面积为， 所以有， 故选：D． 61．在横线上填入适当的整式：（ 　 　）． 【答案】． 【解析】解：， 故答案为：． 62．计算：　 　． 【答案】1． 【解析】解：． 故答案为：1． 63．若，，，则a、b、c的大小关系是　 　 （用“”连接）． 【答案】． 【解析】解：， ， ， ∵， ∴， 故答案为：． 64．计算：． 【答案】． 【解析】解：． 65．计算：． 【答案】． 【解析】解：原式． 66．． 【答案】． 【解析】解：原式 ． 十一．因式分解的概念（共3小题） 67．下列等式中，从左向右的变形为因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A． 【解析】解：A从左向右的变形为因式分解， ∴A符合题意； BD从右向左的变形为因式分解， ∴BD不符合题意； C没有把一个多项式化为几个整式的积的形式， ∴C不符合题意． 故选：A． 68．下列各式从左到右的变形，是因式分解的有（　　） ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B． 【解析】解：是单项式的变形，则①不是因式分解； 中等号右边不是积的形式，则②不是因式分解； 是乘法运算，则③不是因式分解； 符合因式分解的定义，则④是因式分解； 符合因式分解的定义，则⑤是因式分解； 中对象不是整式，则⑥不是因式分解； 综上，因式分解有2个， 故选：B． 69．根据下面的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：　 　． 【答案】． 【解析】解：四个独立图形的面积和：， 组合图形面积：， ∴， 故答案为：． 十二．提公因式法分解因式（共7小题） 70．若，则M是（　　） A． B． C． D． 【答案】D． 【解析】解：， ∵， ∴， 故选：D． 71．如果，，那么的值是（　　） A． B． C．21 D．10 【答案】C． 【解析】解：， 故选：C． 72．把多项式分解因式，应提的公因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】解：， ∴多项式分解因式，应提的公因式是， 故选：C． 73．因式分解：　 　． 【答案】． 【解析】解：． 故答案为：． 74．因式分解：　 　． 【答案】． 【解析】解：原式， 故答案为：． 75．因式分解：． 【答案】． 【解析】解：原式 ． 76．已知，且满足． （1）求的值； （2）求，的值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】解：（1）， ， ， ∵， ∴， ∴； （2）； ， ∴． 十三．公式法分解因式（共10小题） 77．下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A． 【解析】解：A．由于，所以不符合完全平方公式的结构特征，不能利用完全平方公式，因此选项A符合题意； B．，符合完全平方公式的结构特征，能利用完全平方公式，因此选项B不符合题意； C．，符合完全平方公式的结构特征，能利用完全平方公式，因此选项C不符合题意； D．，符合完全平方公式的结构特征，能利用完全平方公式，因此选项D不符合题意； 故选：A． 78．下列多项式中，能用公式法进行因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 【解析】解：A．不符合完全平方公式的结构特征，不能用公式法分解因式，故此选项不符合题意； B．，能用公式法分解因式，故此选项符合题意； C．不符合平方差公式的结构特征，不能用公式法分解因式，故此选项不符合题意； D．不符合完全平方公式的结构特征，不能用公式法分解因式，故此选项不符合题意； 故选：B． 79．下列多项式，能用公式法分解因式的有（　　）个． ①②③④⑤⑥ A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A． 【解析】解：①两平方项符号相同，不能运用公式； ②，两平方项符号相反，能运用平方差公式； ③两平方项符号相同，不能运用公式； ④，乘积项不是二倍，不能运用完全平方公式； ⑤两平方项符号相反，不能运用完全平方公式； ⑥，整理后可以利用完全平方公式． 所以②⑥两项能用公式法分解因式． 故选：A． 80．分解因式：　 　． 【答案】． 【解析】解：． 故答案为：． 81．若多项式能用完全平方公式因式分解，则m的值是 　 　． 【答案】． 【解析】解：∵多项式能用完全平方公式因式分解， ∴， 则， 解得：， 故答案为：． 82．分解因式：　 　． 【答案】． 【解析】解：． 故答案为：． 83．因式分解：　 　． 【答案】． 【解析】解：由题知， 原式． 故答案为：． 84．因式分解：． 【答案】． 【解析】解：原式． 85．分解因式：． 【答案】． 【解析】解：． 86．先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，设，则原式． 再将代入，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法． 请你完成下列各题： （1）因式分解：； （2）因式分解：． 【答案】（1）；（2）． 【解析】解：（1）设， 则原式， 把代入得， 原式； （2）设， 则原式， 把代入得， 原式． 十四．十字相乘法分解因式（共6小题） 87．若能分解成两个一次因式的积，且k为整数，那么k不可能是（　　） A．10 B．17 C．15 D．8 【答案】C． 【解析】解：∵16可以分解成：，，，，，， ∴k的值是，，，故15不合题意． 故选：C． 88．若，则m，n的值分别是（　　） A．4，3 B．3，4 C．5，2 D．2，5 【答案】D． 【解析】解：∵， ∴， 解得． 故选：D． 89．在有理数范围内因式分解：　 　． 【答案】． 【解析】解：原式． 故答案为：． 90．因式分解：　 　． 【答案】． 【解析】解：， 故答案为：． 91．人教版八年级上册121页的教材呈现：分解因式的过程，也可以用十字相乘的形式形象地 表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线 的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图）．这样，我们也可以得到 ．请用“十字相乘法”分解因式：　 　． 【答案】． 【解析】解：二次项系数分解为，常数项分解为，交叉相乘，求代数和为，等于一次项系数（如图）． ∴， 故答案为：． 92．阅读：关于x，y的二次六项式如果可以分解成两个关于x，y的一次三 项式的乘积，那么可以用一种称为双十字相乘的方法来进行因式分解，具体方法如图所示：先对 进行十字相乘分解得，则原式一定可以分解成 的形式，然后分别对与进行十字相乘分解，从而确定，，所以 ． 根据阅读，要求如下： （1）因式分解：； （2）若关于x，y的多项式可以分解成两个关于x，y的一次三项式的乘积，求k的值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】解：（1）依题意，因式分解：， 先对十字相乘分解得， ∴原式可分解为的形式， 分别对和进行十字相乘分解， ∴，， ∴； （2）∵， ∴可设， 即：， ∴， 解得：， ∴． 十五．综合法分解因式（共8小题） 93．下列因式分解正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 【解析】解：A．，因此选项A不符合题意； B．，因此选项B符合题意； C．因此选项C不符合题意； D．，因此选项D不符合题意； 故选：B． 94．因式分解：（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 【解析】解：原式； 故选：B． 95．把多项式分解因式的结果是 　 　． 【答案】． 【解析】解：原式， 故答案为：． 96．分解因式：　 　． 【答案】． 【解析】解：原式， 故答案为：． 97．已知，则　 　． 【答案】20． 【解析】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：20． 98．因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【解析】解：（1）原式； （2）原式． 99．分解因式 （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）； （2）． 100．因式分解：． 【答案】． 【解析】解： ． 十六．因式分解的应用（共6小题） 101．若a，b，c是的三边长，则的结果（　　） A．大于零 B．等于零 C．小于零 D．不确定 【答案】A． 【解析】解：∵a，b，c是的三边长，根据三角形的三边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可得： ∴，， ∴． 故选：A． 102．某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如表 所示： 密文 … 8 x … 明文 … 我 爱 中 华 大 地 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（　　） A．中华大地 B．爱我中华 C．爱大中华 D．我爱中大 【答案】D． 【解析】解：， ∴对应密文可得到的字为：爱，我，中，大； 故选：D． 103．可以被60和70之间某两个数整除，这两个数是（　　） A．61，63 B．61，65 C．63，65 D．63，67 【答案】C． 【解析】解：原式， ∵，， ∵，， ∴能被65和63整除， ∴这两个数为：65和63． 故选：C． 104．“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解如下． 甲： （分成两组） （直接运用公式） 乙： （分成两组） （提公因式） ． 请在他们解法的启发下解答下列各题． （1）分解因式． （2）若a，b，c分别为三边的长． ①若满足若，请判断的形状，并说明理由． ②若满足，求c的范围． 【答案】（1）；（2）①为等腰三角形，理由见解析；②． 【解析】解：（1）原式； （2）①为等腰三角形，理由如下： 已知， 变形得， 即， ∵a，b，c分别为三边的长， ∴， ∴， ∴， 即为等腰三角形； ②已知， 整理得， 即， 那么，， 解得：，， ∵a，b，c分别为三边的长， ∴，即， ∴， 即c的范围为． 105．“我们把多项式及叫做完全平方式．“如果一个多项式不是完全平方式，我 们常做如下变形；先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变， 这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式 分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值． 例如：分解因式：， 解：原式 例如：求代数式的最小值． 解：，可知当时，有最小值为． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式：　 　； （2）当a、b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值； （3）当a、b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 【答案】（1）；（2）当，时，多项式有最小值为4； （3）当，时，多项式有最小值10． 【解析】解：（1）． （2）， ∵，， ∴当，时，多项式有最小值为4． （3） ， ∵，， ∴当 ，时，多项式有最小值． 即当，时，多项式有最小值10． 106．阅读材料，完成下列问题． 材料：已知多项式有一个因式是，求m的值． 解法一：设， 则：， 比较系数得：，解得：，∴； 解法二：设（A为整式）； 由于上式为恒等式，为方便计算了取，，故． （1）已知多项式有两个因式分别是和，求m和n的值； （2）已知多项式除以所得的余数，比该多项式除以所得的余数少1，求k的值． 【答案】（1），；（2）． 【解析】解：（1）设， 令，则， 令，则， 即， 解得：； （2）令， ， 再令，则； 令，则； ∵多项式除以所得的余数，比该多项式除以所得的余数少1， ∴， ∴， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！46 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 整式的乘法与因式分解 一．同底数幂的乘法 同底数幂的乘法法则 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，． 因此，（m，n都是正整数）． 即同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 注意： ①三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用． 即（m，n，p都是正整数）． ②不要忽视指数为1的因数． ③底数不一定只是一个数或一个字母． ④注意法则的逆用，即（m，n都是正整数）． 二．幂的乘方 1．幂的乘方的意义 幂的乘方是指几个相同的幂相乘．如是三个相乘，读作a的五次幂的三次方，是n个相乘，读作a的m次幂的n次方． 2．幂的乘方法则 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，． 因此，（m，n都是正整数）． 即幂的乘方，底数不变，指数相乘． 注意： ①三个或三个以上，法则也适用． 即（m，n，p都是正整数）． ②此法则可以逆用，即（m，n都是正整数）． 三．积的乘方 1．积的乘方的意义：积的乘方是指底数是乘积形式的乘方．如，等． （积的乘方的意义） （乘法交换律、结合律） 2．积的乘方法则： 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n，． 因此，（n为正整数）． 即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 注意： ①三个或三个以上，法则也适用． 即（n为正整数）． ②此法则可以逆用，即（n为正整数）． 四．单项式与单项式相乘 一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 注意： ①积的系数等于各项系数的积，应先确定积的符号，再计算积的绝对值． ②相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算． ③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里，注意不要把这个因式遗漏． ④单项式与单项式相乘的乘法法则对于三个及以上的单项式相乘同样适用． ⑤单项式乘单项式的结果仍然是单项式． 五．单项式与多项式相乘 一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表示为（m，a，b，c都是单项式）． 注意： ①单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用分配律将其转化为单项式乘单项式． ②单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，可以以此来检验在运算中是否漏乘某些项． ③计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号． ④对于混合运算，应注意运算顺序，有同类项必须合并，从而得到最简结果． 六．多项式与多项式相乘 一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表示为． 注意： ①运用多项式乘法法则时，必须做到不重不漏． ②多项式与多项式相乘，仍得多项式．在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积． 七．同底数幂的除法 同底数幂的除法法则 一般地，（，m，n都是正整数，并且）． 即同底数幂相除，底数不变，指数相减． 注意： ①底数a可以是单项式，也可以是多项式，但底数a不能为0，若a为0，则除数为0，除法就没有意义了． ②当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质，例如（，m，n，p都是正整数，并且）． ③同底数幂的除法和同底数幂的乘法互为逆运算． 八．零指数幂的性质 同底数幂相乘，如果被除式的指数等于除式的指数，例如，根据除法的意义可知所得的商为1．另一方面，如果依照同底数幂的除法来计算，又有． 于是规定：． 即任何不等于0的数的0次幂都等于1． 注意： 任何一个常数都可以看作是它与字母0次方的积，因此常数项可以看作是0次单项式． 九．单项式除以单项式 单项式除以单项式法则：一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 注意： 计算结果是否正确，可由单项式乘法验证． 十．多项式除以单项式 多项式除以单项式法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． （m，a，b都是单项式）． 注意： ①多项式除以单项式是将其化为单项式除以单项式，在计算时多项式里的各项要包括它前面的符号． ②多项式除以单项式，被除式里有几项，商也应该有几项，不要漏项． ③多项式除以单项式是单项式乘多项式的逆运算，可用其进行检验． 十一．平方差公式 1．平方差公式的推导 ． 2．平方差公式 ． 即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差． 注意： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数． ②右边是相同项的平方减去相反项的平方． ③公式中的a和b可以是单项式，也可以是多项式． 十二．完全平方公式 1．完全平方公式的推导 ； ． 2．完全平方公式 ；． 即两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式． 完全平方公式的特点：两个公式的左边都是一个二项式的平方，二者仅有一个“符号”不同；右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个“符号”不同． 注意： ①公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式． ②对于形如两数和（或差）的平方的乘法，都可以运用完全平方公式计算． 十三．因式分解 把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． 注意： ①因式分解是针对多项式，而不是单项式；是针对多项式的整体，而不是部分． ②要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止． ③因式分解的结果是整式的积的形式，积中几个相同因式的积要写成幂的形式． ④因式分解与整式乘法是方向相反的变形，因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算． 十四．用提公因式法分解因式 1．公因式 一个多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式． 注意： ①公因式必须是每一项中都含有的因式． ②公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式． 2．提公因式法 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 3．提公因式法分解因式的一般步骤 ①找出公因式； ②提公因式并确定另一个因式． 十五．用平方差公式分解因式 即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积，其中a，b既可以是单项式，也可以是多项式． 平方差公式的特点： ①等号左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反； ②等号右边是两个数的和与这两个数的差的积． 十六．用完全平方公式分解因式 ；． 即两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．a，b既可以是单项式，也可以是多项式． 完全平方公式的特点： ①等号左边是三项式，其中首末两项分别是两个数（或两个式子）的平方，且这两项的符号相同，中间一项是这两个数（或两个式子）的积的2倍，符号正负均可； ②等号右边是这两个数（或两个式子）的和（或差）的平方．当中间的乘积项与首末两项符号相同时，是和的平方；当中间的乘积项与首末两项的符号相反时，是差的平方． 十七．型式子的因式分解 我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．这种因式分解的过程也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数． 【专题过关】 一．同底数幂的乘法（共5小题） 1．计算的结果是（　　） A． B． C． D．x 2．已知，，则等于（　　） A．7 B．10 C．20 D．50 3．若，则n＝（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 4．计算：　 　．（结果用幂的形式表示） 5．规定，求： （1）求的值； （2）若，求x的值． 二．幂的乘方与积的乘方（共7小题） 6．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 7．已知，，，则a，b，c的大小关系是（　　） A． B． C． D． 8．若，，则（　　） A．150 B．160 C．165 D．180 9．用简便方法计算： 　 　． 10．已知：，，m，n为正整数，则　 　． 11．计算：． 12．若，， （1）求代数式的值； （2）求的值． 三．同底数幂的除法（共5小题） 13．下列运算一定正确的是（　　） A． B． C． D． 14．如果，，那么的值是（　　） A．4 B．8 C．64 D．16 15．若，，则 　 　． 16．若，，则的值为 　 　． 17．已知，，． （1）求的值； （2）求的值； （3）写出m，n，p之间的数量关系． 四．单项式乘单项式（共5小题） 18．若单项式和的积为，则的算术平方根为（　　） A． B． C．5 D．10 19．设，则的值为（　　） A．1 B． C．3 D． 20．计算：　 　． 21．计算：　 　． 22．计算：． 五．单项式乘多项式（共5小题） 23．已知，则代数式的值为（　　） A．2 B． C．3 D． 24．李老师做了个长方形教具，其中一边长为，另一边长为b，则该长方形的面积为（　　） A． B． C． D． 25．计算： （1）　 　． （2） 　 　． 26．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下： 则手掌捂住的多项式 　 　． 27．如图，一张长方形硬纸片，长为m，宽为m，在它的四个角上分别剪 去一个边长为m的小正方形（阴影部分所示），然后折成一个无盖的盒子，请你求出折成无盖盒子所用 硬纸片的面积． 六．多项式乘多项式（共7小题） 28．若，则实数a、b的符号为（　　） A．a、b同为正 B．a、b同为负 C．a、b异号且绝对值大的为正 D．a、b异号且绝过值大的为负 29．如果与的乘积中不含x的一次项，则m的值为（　　） A． B．3 C．0 D．1 30．已知式子的结果中不含项，则a的值为（　　） A．0 B． C． D．2 31．将关于x的一次二项式与二次三项式相乘，积中不出现一次项，且二次项系数为1， 则　 　． 32．若，则a的值为 　 　． 33．如图，某中学校园内有一块长为米，宽为米的长方形地块，学校计划在中间留下一 个“T”型的图形（阴影部分）修建一个文化广场． （1）用含x，y的式子表示“T”型图形的面积并化简； （2）当，时，求文化广场的面积． 34．小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当或时，多项式 的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点． （1）已知多项式，则此多项式的零点为　 　． （2）已知多项式有一个零点为2，求多项式B的另一个零点； （3）订正：小聪继续研究，及等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线对称，他把这些多项式称为“3﹣系多项式”．若多项式是“3﹣系多项式”，则a＝　 　，b＝　 　， c＝　 　． 七．整式的除法（共7小题） 35．已知，那么m、n的取值依次为（　　） A．2，3 B．4，3 C．1，3 D．4，1 36．计算（　　），正确的结果是（　　） A． B． C． D． 37．小花与小米在做游戏时，两人各报一个整式，将小花报的整式作为除式，小米报的整式作为被除式， 要求商必须为．若小米报的整式是，则小花应报的整式是　 　． 38．已知多项式A除以得商式，余式，则多项式A为 　 　． 39．计算： （1）； （2）． 40．已知，B是多项式，在计算时，小明把看成，计算结果是，求． 41．我们学习过多项式乘多项式，根据法则可知，那么再根据除法是乘法的逆 运算可得，这就是多项式除以多项式．两个多项式相除，可以先把这两个多 项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如 ，可仿照用竖式计算（如图）： 因此，多项式除以多项式可借助竖式进行计算． 请用上述方法计算： （1）； （2）． 八．零指数幂（共6小题） 42．下列各式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 43．若式子有意义，则实数x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 44．若，则　 　． 45．阅读材料：①1的任何次幂都等于1；②的奇数次幂都等于；③的偶数次幂都等于1；④任何 不等于零的数的零次幂都等于1，试根据以上材料探索使等式成立的x的值为 　 　． 46．计算：． 47．在复习了整式的运算后，数学老师让同学们总结：（n为整数）成立时，a，n要满足的条件．请 解答下列问题： （1）经过讨论，小郑同学总结了三种使（n为整数）成立情形，请帮小郑同学补充完整： ①；②；③　 　． （2）若，求x的值． 九．完全平方公式（共10小题） 48．计算结果正确的是（　　） A． B． C． D． 49．已知，，则（　　） A．8 B．10 C．12 D．16 50．如果是一个完全平方式，则m的值是（　　） A．3 B．9 C．6 D． 51．若关于x的二次三项式是一个完全平方式，那么k的值是（　　） A． B．6 C． D．10或 52．用如图所示的几何图形的面积可以解释的代数恒等式是（　　） A． B． C． D． 53．已知：，，则　 　． 54．已知，，则　 　． 55．若关于x的整式是某个关于x的整式的平方，则m＝ 　 　． 56．小明在做作业时，不慎把墨水滴在纸上，将一个三项式前后两项污染得看不清楚了，中间项是， 请帮他把前后两项补充完整，使它成为完全平方式（写出一种即可）原式为： （ 　 　）2． 57．乘法公式的探究及应用． 数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． （1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积． 方法1：　 　；方法2：　 　． （2）观察图2，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系； （3）类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证：； （4）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知，求的值． 十．平方差公式（共9小题） 58．下列各式能用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 59．在运用乘法公式计算时，下列变形正确的是（　　） A． B． C． D． 60．如图所示，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（），将余下的部分拼成一个长 方形，此过程可以验证（　　） A． B． C． D． 61．在横线上填入适当的整式：（ 　 　）． 62．计算：　 　． 63．若，，，则a、b、c的大小关系是　 　 （用“”连接）． 64．计算：． 65．计算：． 66．． 十一．因式分解的概念（共3小题） 67．下列等式中，从左向右的变形为因式分解的是（　　） A． B． C． D． 68．下列各式从左到右的变形，是因式分解的有（　　） ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 69．根据下面的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：　 　． 十二．提公因式法分解因式（共7小题） 70．若，则M是（　　） A． B． C． D． 71．如果，，那么的值是（　　） A． B． C．21 D．10 72．把多项式分解因式，应提的公因式是（　　） A． B． C． D． 73．因式分解：　 　． 74．因式分解：　 　． 75．因式分解：． 76．已知，且满足． （1）求的值； （2）求，的值． 十三．公式法分解因式（共10小题） 77．下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（　　） A． B． C． D． 78．下列多项式中，能用公式法进行因式分解的是（　　） A． B． C． D． 79．下列多项式，能用公式法分解因式的有（　　）个． ①②③④⑤⑥ A．2 B．3 C．4 D．5 80．分解因式：　 　． 81．若多项式能用完全平方公式因式分解，则m的值是 　 　． 82．分解因式：　 　． 83．因式分解：　 　． 84．因式分解：． 85．分解因式：． 86．先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，设，则原式． 再将代入，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法． 请你完成下列各题： （1）因式分解：； （2）因式分解：． 十四．十字相乘法分解因式（共6小题） 87．若能分解成两个一次因式的积，且k为整数，那么k不可能是（　　） A．10 B．17 C．15 D．8 88．若，则m，n的值分别是（　　） A．4，3 B．3，4 C．5，2 D．2，5 89．在有理数范围内因式分解：　 　． 90．因式分解：　 　． 91．人教版八年级上册121页的教材呈现：分解因式的过程，也可以用十字相乘的形式形象地 表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线 的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图）．这样，我们也可以得到 ．请用“十字相乘法”分解因式：　 　． 92．阅读：关于x，y的二次六项式如果可以分解成两个关于x，y的一次三 项式的乘积，那么可以用一种称为双十字相乘的方法来进行因式分解，具体方法如图所示：先对 进行十字相乘分解得，则原式一定可以分解成 的形式，然后分别对与进行十字相乘分解，从而确定，，所以 ． 根据阅读，要求如下： （1）因式分解：； （2）若关于x，y的多项式可以分解成两个关于x，y的一次三项式的乘积，求k的值． 十五．综合法分解因式（共8小题） 93．下列因式分解正确的是（　　） A． B． C． D． 94．因式分解：（　　） A． B． C． D． 95．把多项式分解因式的结果是 　 　． 96．分解因式：　 　． 97．已知，则　 　． 98．因式分解： （1）； （2）． 99．分解因式 （1）； （2）． 100．因式分解：． 十六．因式分解的应用（共6小题） 101．若a，b，c是的三边长，则的结果（　　） A．大于零 B．等于零 C．小于零 D．不确定 102．某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如表 所示： 密文 … 8 x … 明文 … 我 爱 中 华 大 地 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（　　） A．中华大地 B．爱我中华 C．爱大中华 D．我爱中大 103．可以被60和70之间某两个数整除，这两个数是（　　） A．61，63 B．61，65 C．63，65 D．63，67 104．“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解如下． 甲： （分成两组） （直接运用公式） 乙： （分成两组） （提公因式） ． 请在他们解法的启发下解答下列各题． （1）分解因式． （2）若a，b，c分别为三边的长． ①若满足若，请判断的形状，并说明理由． ②若满足，求c的范围． 105．“我们把多项式及叫做完全平方式．“如果一个多项式不是完全平方式，我 们常做如下变形；先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变， 这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式 分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值． 例如：分解因式：， 解：原式 例如：求代数式的最小值． 解：，可知当时，有最小值为． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式：　 　； （2）当a、b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值； （3）当a、b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 106．阅读材料，完成下列问题． 材料：已知多项式有一个因式是，求m的值． 解法一：设， 则：， 比较系数得：，解得：，∴； 解法二：设（A为整式）； 由于上式为恒等式，为方便计算了取，，故． （1）已知多项式有两个因式分别是和，求m和n的值； （2）已知多项式除以所得的余数，比该多项式除以所得的余数少1，求k的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！22 学科网（北京）股份有限公司 $$