精品解析：山东省滕州市第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

2024~2025学年度第一学期期中质量检测 高二数学 2024.11 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线经过，两点，则该直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 45° C. 135° D. 150° 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系求解即可. 【详解】由题意，直线，又倾斜角，故直线的倾斜角. 故选：C 2. 若是空间的一个基底，且不能构成空间的一个基底，则（ ） A. B. 1 C. 0 D. -2 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知存在，使得，结合空间向量基本运算求解. 【详解】因为是空间的一个基底，可知均不为零向量， 若不能构成空间的一个基底，则存在，使得， 可得，解得. 故选：A. 3. 圆的圆心坐标和半径分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆的一般方程的圆心坐标为，半径为，即可求出结果. 【详解】由于圆，所以其圆心坐标为，即；半径为. 故选：A. 4. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由空间向量的坐标运算逐一判断． 【详解】对于A，，故A错误， 对于B，，故B正确， 对于C，，故C错误， 对于D，，故D错误， 故选：B 5. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线平行求出参数，再由平行线间的距离得解. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得，经验证符合题意， 所以直线即与直线之间的距离． 故选：C． 6. 如图，在正方体中，是棱的中点，点在棱上，且，若平面，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，根据线面平行可得，运算求解即可.或利用线面平行的判定结合条件可得. 【详解】解法一：以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， 则，，可得， 设是平面的法向量，则， 令，则，即， 由，且，可得， 又因为，则， 由平面，可得， 解得. 解法二：如图，取中点，连接，易证， 所以平面即为平面， 易知当为的中点时，，平面，平面， 从而平面，所以. 故选：C. 7. 如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段上靠近点的三等分点，过点的平面分别交棱，，于点，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由空间向量基本定理，用表示，由D，E，F，M四点共面，可得存在实数，使，再转化为，由空间向量分解的唯一性，分析即得解. 【详解】由题意可知， 因为D，E，F，M四点共面，所以存在实数，使， 所以， 所以， 所以， 所以． 故选：D 8. 已知点为直线：上的动点，点为圆：上的动点，若点，则的最小值为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】取点，计算出，，数形结合得到的最小值为，从而得到的最小值. 【详解】设，，则， 所以 ， 所以，， 过点作⊥，交圆于点， 故的最小值为， 所以的最小值为. 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列四个选项中，说法正确的有（ ） A. 坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B. 直线与直线互相平行，则 C. 过，两点的直线方程为 D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据直线的倾斜角与斜率判断A；根据两直线平行求出参数的值，即可判断B；根据两点式方程判断C；分截距都为与都不为两种情况讨论，即可判断D. 【详解】A：当直线倾斜角为直角的时候没有斜率，故A错误； B：由两直线平行可得，解得或2， 当时，两直线重合，不符合题意，所以，故B正确； C：因为，两点满足方程，且过两点的直线唯一，故C正确； D：当截距都为0时直线方程为， 当截距都不为0时，设直线方程为，则，解得， 所以直线方程为， 综上可得满足条件的直线方程为或，故D错误. 故选：BC. 10. 已知圆与圆相交于两点（点在第一象限），则（ ） A. 直线的方程是 B. 四点不共圆 C. 圆的过点的切线方程为 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】选项A，利用两圆方程相减，即可求解；选项B，联立直线的方程与圆的方程，直接求出，，进而可得中点到四点距离相等，即可求解；选项C，利用选项B中结果，先求出，进而得到切线方程的斜率为，即可求解；选项D，直接求出，，利用余弦定理即可求解. 【详解】对于选项A，因为圆与圆，两圆方程相减得到，即直线的方程是，所以选项A正确， 对于选项B，由和，解得或，即，， 又，所以中点为，则，又， 所以到四点距离相等，即四共圆，所以选项B错误， 对于选项C，由选项B知，所以，得到圆的过点的切线方程为， 整理得到，所以选项C正确， 对于选项D，因为，， 在中，由余弦定理得， 所以选项D错误， 故选：AC. 11. 如图，该几何体是由正方形沿直线旋转得到的，已知点是圆弧的中点，点是圆弧上的动点（含端点），则（ ） A. 存在点，使得平面 B. 存在点，使得平面平面 C. 存在点，使得直线与平面的所成角的余弦值为 D. 存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】先将图形补全为一个正方体，然后建立空间直角坐标系，求解平面法向量，根据向量的坐标运算，结合空间角的求解，对各选项进行判定即可． 【详解】由题意，可将几何体补全为一个正方体， 建立空间直角坐标系，如图所示， 设正方体棱长为2，则,0,，,0,，,0,，,0,， ,1,，,2,，,2,，， 设,,， 对于A选项，假设存在点，使得平面， 因为,,，，， 则，可得， 因为，则，即当点与点重合时，平面，故A正确； 对于B选项，由A选项可知，平面的一个法向量为， 假设存在点，使得平面平面，则，， ， 则，可得， 又因为，解得，即当点为的中点时，面平面，故B正确； 对于C选项，若存在点，使得直线与平面的所成角的余弦值为， 则直线与平面的所成角的正弦值为，且， 所以， 整理可得， 因为函数在时的图象是连续的，且，，所以存在，使得， 所以，存在点，使得直线与平面的所成角的余弦值为，故C正确； 对于D选项，设平面的法向量为，，， 则，取，可得,1,， 假设存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为， 则， 可得，即，可得或， 因为，则，则， 所以，故当时，方程和均无解， 综上所述，不存在点，平面与平面的夹角的余弦值为，故D错误． 故选：ABC． 【点睛】方法点睛：求二面角常用的方法： （1）几何法：二面角的大小常用它的平面角来度量，平面角的作法常见的有： ①定义法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性质； （2）空间向量法：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，若，则的值为______. 【答案】2 【解析】 【分析】利用空间向量平行的坐标计算法则求解即可. 【详解】因为，所以， 又因为，所以，解得. 故答案为：2 13. 由曲线围成的图形的面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】曲线围成的图形关于轴，轴对称，故只需要求出第一象限的面积即可，结合圆的方程运算求解. 【详解】将或代入方程，方程不发生改变，故曲线关于轴，轴对称，因此只需求出第一象限的面积即可， 当，时，曲线可化为：， 表示的图形为以为圆心，半径为的一个半圆， 则第一象限围成的面积为， 故曲线围成的图形的面积为. 故答案为：. 14. 已知点为棱长等于的正方体内部一动点，且，则的值达到最小时，与夹角的余弦值______． 【答案】 【解析】 【分析】取线段的中点，可得出，分析可知当、、三点共线时，取最小值，求出的最小值，即可得解. 【详解】取线段的中点，则，， 所以，， 当、、三点共线时，取最小值，此时， 此时. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图所示，在三棱柱中，M，N分别是，上的点，且，.设，，. （1）试用，，表示向量； （2）若，，，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由空间线性运算即可求解； （2）由（1）平方即可求解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 ， ，， 即. 16. 求适合下列条件的圆的方程. （1）求过两点，且圆心在直线上的圆的标准方程. （2）已知的顶点为，，，求外接圆的一般方程. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）先设出圆心坐标，根据圆心到圆上点的距离都为半径求出参数，得到半径和圆心，即可写出圆的标准方程； （2）先设出圆的一般方程，将三点代入求解三元一次方程即可. 【小问1详解】 因为圆心在直线上，设圆心为， 因为点，在圆上，所以， 即，解得， 所以圆心，半径， 所以圆的标准方程为； 【小问2详解】 设的外接圆为， 将，，代入可得： ，解得， 所以的外接圆为. 17. 已知三个顶点分别为，，． （1）求的面积； （2）过内一点有一条直线l与边AB，AC分别交于点M，N，且点P平分线段MN，求直线l的方程． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】（1）求出直线AB的方程、点C到直线AB的距离、，由可得答案； （2）求出直线AC的方程，设，则，根据点M，N分别在直线AB，AC上，可得可得答案. 【小问1详解】 ，，， 直线AB的斜率， 直线AB的方程为， 点C到直线AB的距离， ， ； 【小问2详解】 由题知，直线AB的斜率， 直线AC的方程为， 设，则， ∵点M，N分别在直线AB，AC上， ，解得， 直线l的斜率， 直线l的方程为， 即． 18. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，．E为PD的中点，点F在PC上，且，设点G是线段PB上的一点． （1）求证：CD⊥平面PAD； （2）若．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由． （3）设CG与平面AEF所成角为，求的范围. 【答案】（1）证明：因为⊥平面，平面，所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面. （2）直线在平面内，理由：在底面中，过作，交于， 由题意可知，又平面， 则以为坐标原点，分别以所在直线为轴， 建立空间直角坐标系. 则，，，， 、、、. ，，， 若平面，则且，使得， 则有，解得，故. 所以直线平面. （3） 【解析】 【分析】（1）由⊥平面可得，结合利用线面垂直判定定理可证； （2）由代入坐标建立方程组，由方程组有解可得直线在平面内； （3）由点G是线段PB上的一点．设，进而得坐标，求平面的一个法向量，由向量方法表示出，再利用换元法求函数值域可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）可知，. 设， 则， 设平面的法向量为， 则，即， 令，有，故. 故 ， 令，则 ， 而，， 故. 19. 如图，已知圆的方程为，直线与圆交于，（在上方），直线与圆交于，（在上方）．原点在圆内．设交轴于点，交轴于点． （1）当，，，时，分别求线段和的长度； （2）①求证：； ②猜想和的大小关系，并证明． 【答案】（1）， （2）①由原点在圆内，知, 由得，即， 则，是上述方程的两个解，由根与系数的关系得， 同理可得， 所以. ②猜测，证明如下： 设点，， 因为三点共线，所以，解得， 又因为点在直线上，所以，点在直线上，所以， 所以， 同理因为三点共线，可得, 由①可知， 所以,即， 所以成立． 【解析】 【分析】（1）联立直线与圆的方程，可求出各点的坐标，利用直线的两点式方程，可得直线和的方程，并求它们与轴的交点坐标，可得和的长度． （2）①联立直线与圆的方程，求出两根之和与两根之积，找到相等代换量，从而证明成立；②猜测，分别求出点和点的横坐标表达式，结合①中的结论，从而证明成立． 【小问1详解】 当，，，时， 圆，直线，由解得或， 故，； 直线，由解得或， 故，． 所以直线，令得，即； 直线，令得，即， 所以． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第一学期期中质量检测 高二数学 2024.11 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线经过，两点，则该直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 45° C. 135° D. 150° 2. 若是空间的一个基底，且不能构成空间的一个基底，则（ ） A. B. 1 C. 0 D. -2 3. 圆的圆心坐标和半径分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方体中，是棱的中点，点在棱上，且，若平面，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段上靠近点的三等分点，过点的平面分别交棱，，于点，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知点为直线：上的动点，点为圆：上的动点，若点，则的最小值为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列四个选项中，说法正确的有（ ） A. 坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B. 直线与直线互相平行，则 C. 过，两点的直线方程为 D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 10. 已知圆与圆相交于两点（点在第一象限），则（ ） A. 直线的方程是 B. 四点不共圆 C. 圆的过点的切线方程为 D. 11. 如图，该几何体是由正方形沿直线旋转得到的，已知点是圆弧的中点，点是圆弧上的动点（含端点），则（ ） A. 存在点，使得平面 B. 存在点，使得平面平面 C. 存在点，使得直线与平面的所成角的余弦值为 D. 存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，若，则的值为______. 13. 由曲线围成的图形的面积为______. 14. 已知点为棱长等于的正方体内部一动点，且，则的值达到最小时，与夹角的余弦值______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图所示，在三棱柱中，M，N分别是，上的点，且，.设，，. （1）试用，，表示向量； （2）若，，，求的长. 16. 求适合下列条件的圆的方程. （1）求过两点，且圆心在直线上的圆的标准方程. （2）已知的顶点为，，，求外接圆的一般方程. 17. 已知三个顶点分别为，，． （1）求的面积； （2）过内一点有一条直线l与边AB，AC分别交于点M，N，且点P平分线段MN，求直线l的方程． 18. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，．E为PD的中点，点F在PC上，且，设点G是线段PB上的一点． （1）求证：CD⊥平面PAD； （2）若．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由． （3）设CG与平面AEF所成角为，求的范围. 19. 如图，已知圆的方程为，直线与圆交于，（在上方），直线与圆交于，（在上方）．原点在圆内．设交轴于点，交轴于点． （1）当，，，时，分别求线段和的长度； （2）①求证：； ②猜想和的大小关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $