广西壮族自治区柳州市2025届高三第一次模拟考试数学试题

柳州市2025届高三第一次模拟考试 数学 （考试时间 120分钟 满分 150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则的虚部为（ ）． A. B. C. D. 2. 对于非零向量，，“”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则（ ） A. B. C. D. 4. 若过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程为（ ）． A. B. C. D. 6. 设函数，已知，，且的最小值为，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知正四棱台的体积为，则与底面ABCD所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 4 8. 设函数，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机变量服从正态分布，即，则（ ）． A. B. C. D. 10. 过抛物线：的焦点作倾斜角为的直线交于，两点，经过点和原点的直线交抛物线的准线于点，则下列说法正确的是（ ）． A. B. C. 以为直径的圆与轴相切 D. 11. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知是定义在上的可导函数，其导函数为，若函数是奇函数，函数为偶函数，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. 为奇函数 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则_________． 13. 在的展开式中，常数项为_________． 14. 如图，在的格子中，有一只蚂蚁从点爬到点，每次只能向右或向上移动一格，则从点爬到点的所有路径总数为_________，若蚂蚁只在下三角形（对角线及以下的部分所围成的三角形）行走，则从点到点的所有总路径数为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若，，求的周长． 16. 如图，在圆锥中，为圆锥底面的直径，为底面圆周上一点，点在线段上，，． （1）证明：平面； （2）若圆锥的侧面积为，求二面角的正弦值． 17. 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围． 18. 在平面直角坐标系中，为直线上一动点，椭圆：的左右顶点分别为，，上、下顶点分别为，．若直线交于另一点，直线交于另一点． （1）求证：直线过定点，并求出定点坐标； （2）求四边形面积的最大值． 19. 某购物平台为了吸引更多的顾客在线购物，推出了和两个套餐服务，并在购物平台上推出了优惠券活动，顾客可自由选择和两个套餐之一，下图是该购物平台7天销售优惠券的情况（单位：千张）的折线图： （1）由折线图可看出，可用回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明； （2）假设每位顾客选择套餐的概率为，选择套餐的概率为，其中包含一张优惠券，套餐包含两张优惠券，截止某一时刻，该平台恰好销售了张优惠券，设其概率为，求； （3）记（2）中所得概率的值构成数列，求数列的最值． 参考数据：，，， 参考公式：相关系数 柳州市2025届高三第一次模拟考试 数学 （考试时间 120分钟 满分 150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】BD 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】6 【13题答案】 【答案】70 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） 平面，，故以为坐标原点，为轴正方向， 为轴正方向，与同向的方向为轴正方向建立空间直角坐标系． 设，故，，，，， ，，． ，． 故，， ，，平面，平面； （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2）． 【18题答案】 【答案】（1）证明：由题意知，，椭圆： 如图，设， 当时，直线的方程为：，代入， 得，则，从而，点 又直线的方程为：，代入， 得则，从而，点 由对称性知，定点在轴上，设为 由，即，化简得， 因故得，解得. 即直线过定点，而当时，直线也过定点． 综上，直线恒过定点． （2） 【19题答案】 【答案】（1） 由折线图中数据和附注中参考数据得，，， ， 所以相关系数， 因为与的相关系数近似为0.9632，说明与的相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系. （2） （3）最大值为，最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $