专题14 线段和角的动态问题的八种考法-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学上册压轴题攻略（湘教版2024）

专题14 线段和角的动态问题的八种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、线段上动点求线段长问题 2 类型二、线段上动点求定值问题 6 类型三、线段上动点求时间问题 10 类型四、线段上动点的新定义型问题 13 类型五、几何图形中动角求定值问题 17 类型六、几何图形中动角探究数量关系问题 21 类型七、几何图形中动角求运动时间问题 26 类型八、几何图形中动角之新定义型问题 32 压轴能力测评（18题） 36 解题知识必备 1. 线段的中点模型 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有： 2. 角平分线模型 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 压轴题型讲练 类型一、线段上动点求线段长问题 例题：（23-24七年级上·陕西渭南·期末）如图，B是线段上一动点，以的速度沿往返运动1次，C是线段的中点，，设点B运动的时间为． (1)当时，求线段的长； (2)当时，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算、两点间的距离 【分析】本题主要考查了线段中点的有关计算，线段的和差计算，解题关键是数形结合，熟练掌握中点的定义． （1）根据点B运动的速度进行计算即可； （2）先求出，然后根据中点定义进行计算即可． 【详解】（1）解：∵点B是线段上一动点，以的速度沿往返运动1次， ∴当时，线段的长为：； （2）解：当时，点B运动的路程为：， ∵， ∴此时， ∴， ∵C是线段的中点， ∴． 【变式训练1】（23-24六年级下·山东青岛·期末）如图，动点B在线段AD上，沿以2cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中点，，设点B的运动时间为t秒． (1)当时， ①________cm； ②求线段CD的长度． (2)用含t的代数式表示运动过程中线段AB的长度． 【答案】(1)①；② (2)或 【知识点】与线段有关的动点问题 【分析】（1）①根据速度乘以时间等于路程，可得答案； ②根据线段的和差，可得BD的长，根据线段中点的性质，可得答案； （2）根据速度乘以时间等于路程，及线段的和差，可得AB的长． 【详解】（1）解：①当时，； 故答案为：4 ②∵，， ∴． ∵C是线段BD的中点， ∴． （2）解：∵B是线段AD上一动点，沿以2m/s的速度往返运动， ∴当点B沿点A→D运动时， 点B沿点D→A运动时， ∴综上所述，（）或（） 【点睛】本题考查两点间的距离，利用线段中点的性质及线段的和差得出AB与BD的关系是解题关键． 【变式训练2】（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期末）点C在线段上满足，点D和点E是线段上的两动点（点D在点E的左侧）满足，． (1)当点E是的中点时，求的长度； (2)当时，求的长度． 【答案】(1) (2) 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查线段的和差，线段的中点． （1）由，可得，，由点E是的中点，得到，从而，； （2）设，则，，根据即可得到方程，求解即可解答． 【详解】（1）∵，， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）设，则， ， ∵， ∴， 解得， ∴． 【变式训练3】（22-23七年级上·河南驻马店·期末）线段，C，D是线段上的两个动点（点C在点D的左侧），且，E为的中点， (1)如图1，当时，求的长． (2)如图2，F为的中点 ①点C，D在线段上移动的过程中，线段的长度是否会发生变化，若会，请说明理由，若不会，请求出的长． ②当时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)4 (2)①不变，4；②4.2或5.8 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】（1）首先根据题意求出的长度，然后由为的中点求出的长度，最后即可求出的长； （2）由题意可得，由为的中点和为的中点表示出，代入，即可求出长． 【详解】（1）解：因为 所以 因为为的中点． 所以，因为， 所以 （2）解：①因为是线段的中点，是线段的中点， 所以，． 因为 所以线段的长度不会发生变化，． ②或． 提示：当点在点的左侧时，如图1所示。 因为， 所以． 由①知． 所以． 当点在点的右侧时，如图2所示． 因为． 所以 由①知，所以 综上所述，当时，线段的长为或． 【点睛】此题考查了线段的和差计算以及有关线段中点的计算问题，解题的关键是正确分析题目中线段之间的数量关系． 类型二、线段上动点求定值问题 例题：（23-24七年级上·云南曲靖·期末），是数轴上的两点（点在点的右侧），点表示的数为，、两点的距离是点到原点的距离的倍，即．点为数轴上的动点． (1)数轴上点表示的数是______； (2)当时，求点表示的数； (3)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若发生变化，请你说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段的长度． 【答案】(1)； (2)点表示的数为或； (3)不发生变化，图见解析，． 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、几何问题(一元一次方程的应用)、线段的和与差 【分析】（1）本题根据数轴上两点之间的距离算出，利用，得到的长，利用数轴上两点之间的距离，即可解题． （2）本题根据，可判断点不在线段上，设点表示的数为，则可分两种情况进行分析：点在左侧或点在右侧，分别表示出后，根据建立等式求解，即可解题； （3）本题根据点为数轴上的动点，分为以下三种情况，①点在点的左侧，②点在之间，③点在点右侧，利用中点求出线段、的长度，根据图形分析表示出的长度，即可解题． 【详解】（1）解：点表示的数为， ， ， ， 又点在点的右侧， 点表示的数为， 故答案为：． （2）解：设点表示的数为， ， 点在点的左侧或点的右侧， 当点在点的左侧时， ， 解得； 当在的右侧时， ． 解得． 综上所述，点表示的数为或． （3）解：的长度不发生变换，理由如下： ①点在点的左侧， ，，是的中点，是的中点， ，， ； ②点在之间， ，，是的中点，是的中点， ，， ； ③点在点的右侧， ，，是的中点，是的中点， ，， ． 【点睛】本题考查用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题，线段中点的定义、一元一次方程的应用、线段的和差，解题关键是根据数轴表示出线段的长度． 【变式训练1】（23-24七年级上·北京·期末）如图，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线运动，M为的中点． (1)出发多少秒后，？ (2)当P在线段上运动时，试说明为定值． (3)当P在延长线上运动时，N为的中点，下列两个结论：长度不变；的值不变．选择一个正确的结论，并求出其值． 【答案】(1)出发6秒后； (2)，理由见解析； (3)选，，理由见解析． 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了两点间的距离，解答本题的关键是用含时间的式子表示出各线段的长度． （1）分两种情况讨论，点P在点B左边，点P在点B右边，分别求出t的值即可． （2），，，表示出后，化简即可得出结论． （3），，，，分别表示出，的长度，即可作出判断． 【详解】（1）解：设出发x秒后， 当点P在点B左边时，，，， 由题意得，， 解得：； 当点P在点B右边时，，，， 由题意得：，方程无解； 综上可得：出发6秒后． （2）解：，，， ； （3）解：选； ，，，， 定值； 变化． 【变式训练2】（23-24七年级上·吉林白城·期末）如图，线段，点是线段上的一个动点，点从点出发，以的速度从点运动到点，再从点运动到点，然后停止．设点运动的时间为． (1)当时，________；当时，________； (2)用含的式子表示整个运动过程中的长度； (3)设是线段的中点，是线段的中点． ①当点从点向点运动时，线段的长度是否变化？若不变，求出的长度；若变化，说明理由； ②当时，直接写出的值，________． 【答案】(1)4；8 (2)①当点从运动到点时，；②当点从运动到点时， (3)①当点从点向点运动时，线段的长度不变，；②或 【知识点】列代数式、几何问题(一元一次方程的应用)、线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，用代数式表示式，线段的和差以及线段中点的有关计算，根据情况分情况计算是解题关键． （1）根据题意先得出当时，点C运动到点B处，时，点C从点B处返回点A，然后求出以及时的结果即可； （2）由（1）分析可知：当点从运动到点时以及当点从运动到点时，两种情况下的的长度； （3）①设D是线段的中点，E是线段的中点，根据线段中点的相关计算即可求解；②在若点C从点A向点B运动，时，点C从点B向点A运动，时，两种情况下分别求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知当时，点C运动到点B处，时，点C从点B处返回点A， 当时，（厘米）， 当时，（厘米）， 故答案为：4，8； （2）由（1）分析可知： 当点从运动到点时，即时，， 当点从运动到点时，即时，； （3）设D是线段的中点，E是线段的中点， ①当点C从点A向点B运动，线段的长度不变化， D是线段的中点，E是线段的中点， ， ， 即的长度为； ②当时， 若点C从点A向点B运动，时， 是线段的中点，E是线段的中点， ， ，即有， ； 若点C从点B向点A运动，时， D是线段的中点，E是线段的中点， ， ，即有， ， 综上可知，当时，t的值为或． 类型三、线段上动点求时间问题 例题：（23-24七年级·四川达州·阶段练习）如图，C是线段中点，且，两点分别从C、B同时出发以，的速度沿线段向左运动，设运动时间为． (1)当点追上点时，求的值． (2)若点相距，则的值为多少？ 【答案】(1) (2)或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、两点间的距离、与线段有关的动点问题 【分析】（1）由题意列出方程并求解即可； （2）分两种情况：①    当点M未追上点N时；②    当点M追上点N后，分别列出方程并求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： 解得：， ∴当点追上点时， 的值为； （2）当点未追上点时，，得； 当点追上点后，，得； 综上，当或时，点M与N相距． 【点睛】本题考查线段上动点问题，一元一次方程的应用，两点之间距离的概念，找等量关系列出方程是解决问题的关键，属于中考常考题型． 【变式训练1】（22-23七年级上·吉林长春·期末）如图，点B在线段上，且，．动点P从点A出发，沿以每秒4个单位长度的速度向终点C匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点A匀速运动．设点Q的运动时间为． (1)线段、的中点之间的距离为_______． (2)当点P到点C时，求的长． (3)求的长（用含t的代数式表示）． (4)设时，直接写出t的值． 【答案】(1)6 (2)6 (3)当时，；当时，；当时，； (4)或 【知识点】与线段有关的动点问题、线段中点的有关计算、几何问题(一元一次方程的应用)、列代数式 【分析】（1）设点的中点为M，的中点为N，分别求出和的长，再求和即可； （2）先求出当P到点C时t的值，再根据路程时间速度可求出； （3）先找到何时P、Q相遇，再分段讨论，当时，当时，当时，分别求出的长即可； （4）根据（3）中求出的长，利用列方程，求出t的值即可． 【详解】（1）解：设点的中点为M，的中点为N， ∵，， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴ ∵动点P从点A出发，沿以每秒4个单位长度的速度向终点C匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点A匀速运动 ∴当P到点C时，， ∴； （3）解：当点P、Q相遇时，． 当时，； 当时，； 当时，； （4）解：当时，，解得； 当时，，解得． 当时，，（舍）． ∴或． 【点睛】本题考查在动点问题的背景下考查线段的和差运算，线段中点的性质，一元一次方程的应用等知识，关键是理清点的运动状态，找到临界点． 【变式训练2】（23-24七年级上·重庆南岸·期末）如图，点C是线段 上的一点，线段，，点D为线段的中点． (1)直接写出线段和的长； (2)若动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿直线向右运动，动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度沿直线 向左运动，当点Q到达点A时立即掉头沿直线向右运动，当点Q再次回到点B时，动点P，Q同时停止运动．设运动时间为t秒． ①当t为何值时，点 P与点Q 重合？ ②当t为何值时，点P与点Q之间的距离． 【答案】(1)； (2)①或；②或或或． 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了线段中点相关的计算，列一元一次方程解几何动点问题，恰当分类并建立方程是解题的关键． （1）利用，结合已知条件计算线段的长度，根据中点的定义计算线段的长度，再利用计算线段的长； （2）①点与点重合有两种情况：点从到向左运动时、点到达点后掉头向右运动时，分别列方程求解即可； ②分四种情况：动点相遇前，动点第一次相遇后反向运动，动点第一次相遇后同向运动，动点第二次相遇后同向运动，分别根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵点D为线段的中点， ∴， ∴． （2）解：①由题意可知，，点与点重合有两种情况：点从到向左运动时、点到达点后掉头向右运动时， 当点向左运动时，．解得． 当点向右运动时，．解得． 答：当或时，点与点重合． ②当动点没有相遇时，两点相距4时，有，解得； 当动点第一次相遇后，向右运动，向左运动，两点相距4时，有，解得； 当动点第一次相遇后，向右运动，向右运动两点相距4时，有，解得； 当动点第二次相遇后，向右运动，向右运动两点相距4时，有，解得． 综上所述，满足条件的有：或或或． 类型四、线段上动点的新定义型问题 例题：（23-24七年级上·北京房山·期中）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是的美好点． 例如；如图1，点A表示的数为，点B表示的数为2，表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是的美好点，但点D是的美好点． 如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为，点N所表示的数为2． (1)点E，F，G表示的数分别是，，11，其中是美好点的是________；写出美好点H所表示的数是___________． (2)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，点P恰好为M和N的美好点？ 【答案】(1)G，或 (2)或3或9 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、绝对值方程、与线段有关的动点问题 【分析】（1）根据美好点的定义即可求解； （2）根据美好点的定义，分三种情况分别确定P点的位置，进而可确定t的值． 【详解】（1）解：根据题意得∶， 此时，故点E不是美好点； ， 此时，故点F不是美好点； ， 此时，故点G是美好点； 故答案是：G． 设点H所表示的数是x，则， ∵点H为美好点， ∴， ∴， 解得：或； 故答案是：或． （2）解：第一情况：当P为的美好点，点P在M，N之间，如图1， ∵，， ∴， ∴秒； 第二种情况，当P为的美好点，点P在M，N之间，如图2， ∵，， ∴， ∴秒； 第三种情况，P为的美好点，点P在M左侧，如图3， ∵，， ∴， ∴秒； 综上所述，t的值为：或3或9． 【点睛】本题考查实数与数轴、美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目． 【变式训练1】（23-24七年级上·江西吉安·期末）我们将数轴上不同的三点A，B，C表示的数记为a，b，c，若满足，其中为有理数，则称点是点关于点的“星点”．已知在数轴上，原点为，点，点表示的数分别为，． (1)若点是点关于原点的“星点”，则 ；若点是点关于点的“星点”，则 ． (2)若线段在数轴上沿正方向运动，每秒运动1个单位长度，取线段的中点．是否存在某一时刻，使得点是点关于点2的“−2星点”？若存在，求出线段的运动时间；若不存在，请说明理由； (3)点是数轴上的动点，点表示为整数，且点是原点关于点的“星点”，请直接写出的值． 【答案】(1)， (2) (3)，，0，2 【知识点】数轴上的动点问题、几何问题(一元一次方程的应用)、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查新定义下的解一元一次方程和线段中点计算， 根据给定的定义列出方程求解即可； 设线段的运动时间为t秒，表示出点A、点B和点X的坐标，根据题意列出方程求解即可； 根据题意列出关于m的方程，化简为，结合m为整数，求得k值即可． 【详解】（1）解：∵点是点关于原点的“星点”， ∴， ∵， ∴，解得； ∵若点是点关于点的“星点”， ∴，解得， 故答案为：，； （2）设线段的运动时间为t秒，则点A的坐标为，点B得坐标为， ∵点为线段的中点， ∴点X的坐标为， ∵点是点关于点2的“−2星点”， ∴，解得， ∴线段的运动8秒时，使得点是点关于点2的“−2星点”； （3）∵点表示为整数，且点是原点关于点的“星点”， ∴，整理得， ∵点表示为整数， ∴当m为、、1和3时，、2、和， 则的值为，，0，2． 【变式训练2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）【新知理解】如图①，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”． （1）线段的中点______这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）； （2）若，点是线段的巧点，则最长为______； 【解决问题】 （3）如图②，已知，动点从点出发，以的速度沿向点匀速移动；点从点出发，以的速度沿向点匀速移动，点、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当为何值时，为、的巧点？说明理由． 【答案】（1）是；（2）；（3）当为或或时，为、的巧点 【知识点】与线段有关的动点问题、线段中点的有关计算、线段的和与差、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了线段的相关计算，与线段有关的动点问题，一元一次方程的应用． （1）根据“巧点”的定义解答即可； （2）点为线段的巧点，则最长时，满足，即，即可求解； （3）根据“巧点”的定义，分为或或，三种情况，分别计算即可求解． 【详解】（1）解：∵点在线段上，点为线段的中点， ∴， ∴点是线段的的“巧点”， 故答案为：是． （2）解：点在线段上，点为线段的巧点， ∴则最长时，满足， 即， ∴， 故答案为：． （3）解：秒后，，，， ∵为、的巧点 ∴或，或， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， ∴当为或或时，为、的巧点． 类型五、几何图形中动角求定值问题 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）已知一副直角三角尺和，，，，． (1)将两个直角三角尺按如图1摆放，点在边上，则 ； (2)将直角三角尺从图1位置绕点逆时针方向转到图2位置，使恰好平分，求的度数； (3)如图3，当三角尺摆放在内部时，作射线平分，射线平分，若三角尺在内部绕点任意转动（均在内部），试判断的度数是否会发生变化？通过计算说明理由． 【答案】(1) (2) (3)的度数不发生变化，始终等于，理由见解析 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、三角板中角度计算问题 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，角的计算，理解角平分线的定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． （1）根据即可得出答案； （2）根据角平分线性质得，再根据可得出答案； （3）先求出，再根据角平分线定义得，由此可得得度数． 【详解】（1）解：依题意得：， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，恰好平分， ∴， ∴； （3）解：的度数不发生变化，始终等于，理由如下： ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． 【变式训练1】（23-24七年级上·江苏徐州·期末）已知，．平分，平分． (1)如图①，当重合时，求的值； (2)当从图①所示位置绕点O以每秒的速度顺时针旋转t秒（）；在旋转过程中的值是否会因t的变化而变化，若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由． 【答案】(1)； (2)不变，是定值，见解析． 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角度的计算以及角的平分线的定义，理解角度之间的和差关系是解题的关键． ∠AOE-∠BOF的值是定值， （1）首先根据角平分线的定义求得，，然后求解即可； （2）首先由题意可得，再根据角平分线的定义得出，，然后由角平分的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， ∴； （2）解：是定值．理由如下： 由题意：， 则，， ∵平分，平分， ∴， ， ． ∴的值是定值，定值为． 【变式训练2】（23-24七年级下·陕西榆林·开学考试）【问题情境】已知，，，平分，平分． 【特例分析】（1）如图1，当、重合时，求的值； 【深入探究】（2）如图2，当、不重合，在的下方时，设， 的值是否会因为x的变化而变化? 若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由； 【问题解决】（3）在（2）的条件下，当时，求的度数. 【答案】（1）；（2）不会变化，定值为；（3） 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角度的计算以及角的平分线的性质，理解角度之间的和差关系是关键． （1）首先根据角平分线的定义求得和的度数，然后根据求解； （2）根据角平分线的定义得出：， ，然后代入求值即可； （3）根据，，求出，根据角平分线的定义求出，，根据角度间的关系，求出结果即可． 【详解】解：（1）∵平分，平分，，， ∴，， ∴； （2）的值是定值；理由如下： ∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴， ， ∴． ∴的值是定值，定值为； （3）∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 类型六、几何图形中动角探究数量关系问题 例题：（24-25七年级上·河北唐山·期中）【问题情境】O为直线上一点，过点O在直线上方任意作射线，一直角三角板的直角顶点放在点O处，且三角板可以围绕点O旋转． 【操作探究】如图1，将三角板的一边与射线重合时． （1）若，______°； （2）若，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转一定角度，如图2，当恰好是的平分线时，求旋转角是多少度； 【归纳总结】设，在旋转的过程中当边恰好是的平分线时，通过观察和测量猜想和有怎样的数量关系，试着说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），见解析 【知识点】几何图形中角度计算问题、与余角、补角有关的计算、角平分线的有关计算 【分析】（1）由邻补角和余角的定义求出，即可得出结论； （2）由角平分线的定义可得，再根据，从而可求解； （3）用分别求出和，即可得到答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为； （2）因为恰好是的平分线，， 所以， 因为 所以； 所以旋转角是50度； （3） 理由：因为恰好是的平分线 因为， 所以． 因为， 所以， 因为， 所以． 【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，余角和补角，解题的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系． 【变式训练1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示，O是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1，若，求的度数． (2)在图1中，若，直接写出的度数： （用含的代数式表示）． (3)将图1中的绕顶点O顺时针开始旋转． ①当旋转至如图2的位置时，请探究与的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； ②过点O的一条射线，使得恰好平分，在图1和图2中分别探究与的度数之间的关系，请直接写出结论． 【答案】(1) (2) (3)①．理由见解析；②， 【知识点】与余角、补角有关的计算、几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查角的运算、角平分线的定义，解题关键是正确运用相关定义，利用角的和差倍分关系进行计算． （1）利用平角的定义可得，由角平分线的定义得，则． （2）利用平角的定义可得，由角平分线的定义得，则． （3）①当旋转至题图2的位置时，设，同理可得，则，即，由，，两式相减即可得到结果； ②在图1中，反向延长得到射线  ，由对顶角和角平分线的性质易得，于是，由（2）可知，进而，即；在图1中，由角平分线的性质和平角的定义易得，即，由知，于是，将代入上式，化简即可得到结果． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， 是直角，即， ； （2）解：， ， 平分， ， 是直角，即， ， 故答案为：； （3）解：①．理由如下： 当旋转至题图2的位置时， 设，则， 平分， ， ， ，即， ， ， ， ； ②在图1中，．理由如下： 由已知，过点O的一条射线，使得恰好平分，反向延长得到射线，如图， 则平分， ， 又， ， ， 由（2）知，若，则， ， ，即； 在图2中，．理由如下： 平分， ， 又， ，即， 由①知，， ， ， ， 将代入，得， 整理得． 【变式训练2】（2024七年级上·全国·专题练习）已知O为直线上的一点，． (1)如图①，以O为观察中心，射线表示正北方向，表示正东方向． ①若，则射线的方向是_________； ②与的关系为_________； ③与的关系为_________． (2)若将射线、射线绕点O旋转至如图②所示的位置，另一条射线恰好平分．若，求的度数； (3)若将射线、射线绕点O旋转至如图③所示的位置，射线仍然平分与之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)①北偏东；②相等；③互补 (2) (3)，理由见解析 【知识点】角平分线的有关计算、同(等)角的余(补)角相等的应用、方向角的表示 【分析】本题主要考查了方向角的定义，以及角平分线的定义，余角与补角的性质，对定义的熟练掌握是解题关键． （1）①根据方向角的定义即可求解； ②根据同角的余角相等即可得出结论； ③先根据同角的余角相等得出，再根据两角互补的定义即可得出结果； （2）①根据同角的余角可知，又根据角平分线的定义可得，两式相减即可得出结果； （3）根据角的和差，以及角平分线的定义即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴射线的方向是北偏东； ②∵由题意知，， ∴； ③由题意知，， ∴， 又， ∴． 即与的关系为互补． 故答案为：①北偏东；②相等；③互补； （2）由题意知，， ∴． ∵恰好平分， ∴， ∴， ∴． （3），理由如下： ∵为的平分线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 类型七、几何图形中动角求运动时间问题 例题：（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在数学实验课中，学生进行操作探究，用一副三角板（其中，，，）按如图1所示摆放，边与在同一条直线上（点C与点E重合）．如图2，将三角板从图1的位置开始绕点C以每秒的速度顺时针旋转，当边与边重合时停止运动，设三角板的运动时间为t秒． (1)当t为何值时，平分？ (2)当t为何值时，？ 【答案】(1)t为21 (2)t为22.5秒或24.75秒 【知识点】三角板中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了三角板有关的角度计算，角平分线的定义， （1）根据角平分线的定义可得，从而得到三角板旋转的角度，再结合三角板运动的速度即可解题； （2）根据出现的情况分类讨论，再根据将与的结果关联即可求解． 【详解】（1）解：如图1， 平分， ， 旋转的角度为， （秒）， 答：当t为21时，平分． （2）解：由题可知：当时会出现以下两种情况： ①如图2， 由图可得： ， 又，     ，， 旋转的角度为， （秒）， ②如图3， 由图可得： ， 又， ，， 旋转的角度为， （秒）， 答：当t为秒或秒时，． 【变式训练1】（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，为线段上一点，，为的角平分线，定义与重合时为初始位置，将绕着点从初始位置开始，以秒的速度顺时针旋转，至与重合时终止． (1)当从初始位置旋转秒，求此时的度数； (2)当从初始位置旋转至时，求此时的值； (3)当从初始位置旋转至时，__________秒（用含有m的代数式直接表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了解一元一次方程，角平分线的定义，几何图形中的角度计算； （1）根据角平分线的定义可得，根据题意得，进而根据补角的定义求得，根据，即可求解； （2）根据（1）的方法得出，将代入，解一元一次方程，即可求解； （3）根据（2）可得，将代入，解关于的一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵，为的角平分线， ∴， ∵从初始位置旋转秒， ∴， ∴， ∴， ∴， （2）解：∵，为的角平分线， ∴， ∵从初始位置旋转秒， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：； （3）解：由（2）可得， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 【变式训练2】（23-24七年级上·福建厦门·期末）【实践操作】三角尺中的数学    (1)如图1，将两块三角尺的直角顶点C叠放在一起，． ①若，则 ；若，则 ； ②猜想与的大小有何数量关系，并说明理由． (2)如图2，若是将两个同样的含锐角的直角三角尺叠放在一起，其中锐角的顶点A重合在一起，． ①探究与的大小有何数量关系，并说明理由； ②若一开始就将与完全重合（与重合），保持不动，将绕点A以每秒的速度逆时针旋转一周，旋转时间为t．在旋转的过程中，t为何值时． 【答案】(1)①；；②猜想，理由见解析 (2)①，理由见解析；②3或21 【知识点】三角板中角度计算问题 【分析】此题考查了三角板中角度的技术，解答本题的关键是仔细观察图形，根据图形得出各角之间的关系． （）①本题已知两块直角三角尺实际就是已知三角板的各个角的度数，根据角的和差就可以求出，的度数；②根据前两个小问题的结论猜想与的大小关系，结合前两问的解决思路得出证明； （）①根据（）解决思路确定与的大小并证明即可；②分点G在上方和下方两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴ 故答案为：；； ②猜想，理由如下： ∵，， ∴，， ∴； （2）解：①，理由如下： ∵， ∴ ； ②如图所示，当点G在上方时， ∵， ∴， ∴由（3）①的结论可知，， ∴， ∴；    如图所示，当点G在下方时，则在的基础上再旋转180度时，， ∴； 综上所述，t的值为3或21．    类型八、几何图形中动角之新定义型问题 例题：（23-24六年级下·上海徐汇·期末）定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们将这条射线称为这个角的分位线．例如：如图1，，则为的分位线；，则也是的分位线． (1)若，为的分位线，且，则 ． (2)如图，点、、在同一条直线上，为一条射线，，分别为与的分位线，（，）． ①已知，，则 ． ②若，当变化时，的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由． (3)如果点、、在同一条直线上，为一条射线，已知射线、分别为与的分位线，且，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①；②不变，见解析 (3)或 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了新定义，几何图形中角度的计算，正确联系新定义的内容是解题的关键； （1）根据题意可得：，，进而得出答案； （2）①由题意可得：，，根据，得到，，求解即可；②不变，根据题意，，代入即可求解； （3）因为，位置不确定，有两种情况，第一种情况，设，，，代入求解，进而求得的度数；第二种情况，设，，，代入求解，进而求得的度数． 【详解】（1），为的分位线，且； ， （2）①，分别为与的分位线，（，） ，， ，， ，， ，， ； ②不变；，分别为与的分位线，（，）， ， 若，的度数不会改变； （3）根据题意作图，如图所示 已知射线、分别为与的分位线， 设，， ，， 点、、在同一条直线上 ， ， ； 根据题意作图，如图所示； 已知射线、分别为与的分位线， 设，， ， 点、、在同一条直线上 ， ， 解得 的度数为或 【变式训练1】（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·期末）【问题初探】 在一个角的内部，从顶点画一条射线，得到三个角，若其中有一个角是另一个角的倍，则称这条射线是已知角的“奇妙线”． 例如：图中，则射线是的“奇妙线”． （1）一个角的角平分线______这个角的“奇妙线”；（填“是”或“不是”） 【类比分析】 （2）如图，若，在内部画一条射线，使是的“奇妙线”，求的度数； 【变式拓展】 （3）如图，若，且射线绕点从位置开始以每秒的速度逆时针旋转，同时射线以每秒的速度也绕点逆时针旋转，当射线与射线重合时全部停止运动．设旋转时间为秒，请直接写出为何值时，射线是的“奇妙线”． 【答案】（）是；（）或或；（）或或． 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】（）根据奇妙线定义即可求解； （）分三种情况，根据奇妙线定义即可求解； （）分三种情况，根据奇妙线定义得到方程求解即可； 本题考查了角平分线定义，角度和差，奇妙线的定义，理解“奇妙线”的定义是解题的关键． 【详解】（）解：根据角平分线的定义可知： 由平分， 得：， 则一个角的角平分线是这个角的“奇妙线”， 故答案为：是； （）当平分时， ∴， 当时， ∴， ， ∴， 则综上可知：的度数为或或； （）由题意得：如图， 则，，则， ∵射线是的“奇妙线”， ∴，即，解得：， ，即，解得：， ，即，解得：， 综上可知：或或． 压轴能力测评（18题） 一、单选题 1．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，点A、B、C是直线l上的三个定点．点B是线段的三等分点，，若点D是直线l上的一动点，M、N分别是、的中点，则与的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】两点间的距离 【分析】本题考查了两点间的距离，用特殊值法设点A为，C为，根据题意求出，设D为x，则为，为，表示出，从而得出结论． 【详解】解：设点A为，C为， 点B是线段的三等分点，， 为，， 设D为x，则为，为， ， , 故选：C． 2．（23-24七年级上·福建厦门·期末）如图，点是直线外一点，连接、，若点是直线上一动点，则下列说法正确的是（　　） A．点A在射线上 B． C．连接 D．连接，若，则平分 【答案】D 【知识点】点与线的位置关系、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了直线、射线的相关知识，角平分线的定义，邻补角，解题的关键是利用分类思想、数形结合思想、举反例来解决相关问题．根据点是直线上一动点，分类讨论，逐项判断，即可得出答案． 【详解】解：A．当点在点的右侧时，点在射线上，故A选项错误，不符合题意； B．当点在点的右侧时，，故B选项错误，不符合题意； C．当点在点的左侧时，，此时不一定成立，故C选项错误，不符合题意； D．连接，若，根据角平分线的定义，可得平分，故D选项正确，符合题意． 故选：D． 3．（23-24七年级上·湖北荆门·单元测试）如图，射线都在的内部，和都是直角，下列说法：①；②；③ 若，则；④ 若平分，平分，则．其中结论正确的有（      ）      A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，与角平分线有关的计算，找准角度之间的和差关系，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵和都是直角， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； 若，则：， ∴，故③正确； 若平分，平分，    则：，， ∴；故④正确； 故选：D． 4．（23-24七年级上·山东临沂·期末）如图，已知（在的左侧）是数轴上的两点，点对应的数，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点的运动过程中，始终为的中点，设运动时间为（）秒，则下列结论中正确结论的个数是（    ） ①对应的数是； ②点到达点时，； ③时，； ④在点的运动过程中，线段的长度会发生变化． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了数轴，根据两点间距离进行计算即可判断；利用路程除以速度即可判断；分两种情况，点在点的右边，点在点的左边，由题意求出的长，再利用路程除以速度即可判断；分两种情况，点在点的右边，点在点的左边，利用线段的中点性质进行计算即可判断；根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键． 【详解】解：∵已知(在的左侧)是数轴上的两点，点对应的数为，且， ∴对应的数为，故正确； ∵， ∴点到达点时，，故是正确的； 当点在点右边时， ∵， ∴， ∴； 当点在点左边时， ∵， ∴， ∴， ∴时，或，故错误； 在点的运动过程中，当点在点右边时， ； 在点的运动过程中，当点在点左边时， ； ∴在点的运动过程中，线段的长度不会发生变化，故错误； ∴正确结论有， 故选：． 二、填空题 5．（23-24七年级下·江苏苏州·开学考试）如图，于点O，，射线从出发，绕点O以每秒的速度顺时针向终边旋转，同时，射线从出发，绕点O以每秒的速度顺时针向终边旋转，当、中有一条射线到达终边时，另一条射线也随之停止．在旋转过程中，设，，则x与y之间的数量关系为 ． 【答案】或 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查几何图形中角度的计算．正确的识图，理清角之间的和差关系，是解题的关键． 【详解】解：设运动的时间为秒， ∵于点， ∴， ∴， ∴. 当与成一条直线时，则， ∴. (秒)， (秒)， ∴秒时停止运动. 当时，， ∴， ∴； 当时，，， ∴. 综上所述，与之间的数量关系为或， 故答案为：或． 6．（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）如图，数轴上，A两点的距离为3，一动点从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点，，，…，．（，是整数）处，那么线段的长度为 （，是整数）． 【答案】/ 【知识点】图形类规律探索、数轴上两点之间的距离、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了两点间的距离，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．本题注意根据题意表示出各个点跳动的规律．根据题意，得第一次跳动到的中点处，即在离原点的长度为，第二次从点跳动到处，即在离原点的长度为，则跳动n次后，即跳到了离原点的长度为，再根据线段的和差关系可得线段的长度． 【详解】解：由题可知：， 此第一次跳动到的中点处时，， 同理，第二次从点跳动到处，， 同理，跳动次后，， 故线段的长度为：， 故答案为：． 7．（23-24七年级下·浙江金华·开学考试）如图，点为直线上一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方．将三角板绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，直线恰好平分锐角，则的值为 ． 【答案】或 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了角平分线的定义，应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系，是解题的关键．分两种情况进行讨论，分别依据直线恰好平分锐角，得到三角板旋转的度数，进而得到的值． 【详解】解：当直线恰好平分锐角时，如下图： ∵平分， ∴， 此时，三角板旋转的角度为， ∴； 当在的内部时，如下图： ∵平分， ∴， 三角板旋转的角度为， ∴； ∴的值为：或． 故答案为：或． 8．（23-24七年级上·河南郑州·期末）在数轴上，O为原点，点A对应的数为3，点B在点A的左侧，且．动点M从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动，动点N从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴正方向运动．设运动时间为t秒，当点O，M，N中，其中一点正好位于另外两点所确定线段的中点时，t的值为 ． 【答案】或33 【知识点】数轴上的动点问题、几何问题(一元一次方程的应用)、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，由点，之间的关系，可得出点对应的数为，当运动时间为秒时，动点对应的数为，动点对应的数为，分点是线段的中点及点是线段的中点两种情况考虑（由点在点，的右边，可得出只有这两种情况），根据中点到另外两点的距离相等，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：∵点对应的数为3，点在点的左侧，且， ∴点对应的数为． 当运动时间为秒时，动点对应的数为，动点N对应的数为． 当点是线段的中点，即时，， 解得：； 当点是线段的中点，即时，， 解得：． 综上所述，的值为或33． 故答案为：或33． 三、解答题 9．（22-23七年级上·吉林·期末）如图，在直线上顺次取，，三点，已知，，点，分别从，两点同时出发向点运动．当其中一动点到达点时，，同时停止运动．已知点的速度为每秒2个单位长度，点速度为每秒1个单位长度，设运动时间为秒． (1)用含的式子表示线段的长度为______； (2)当为何值时，，两点重合？ (3)若点为中点，点为中点．问：是否存在时间，使长度为5？若存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，M、N两点重合 (3)当或时， 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算、列代数式、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用、列代数式、线段的和与差，理解题意，正确得出表示线段的代数式，利用数形结合思想和分类讨论思想求解是解答的关键． （1）直接根据路程时间速度求解即可； （2）先用t表示出、，再根据题意列出方程求解即可； （3）先用t表示出，，再分点P在Q的左边和点P在Q的右边，利用列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点M的速度为每秒2个单位长度，运动时间为t秒， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意，，， 当，两点重合时，， ∴， 解得， ∴当时，M、N两点重合； （3）解：存在时间t，使． 由题意得，， ∵点为中点，点为中点． ∴，， ∴， 当点P在Q的左边时，，解得； 当点P在Q的右边时，，解得， ∴当或时，． 10．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）如图①，O是直线上的一点，是直角，平分． (1)将图①中的绕顶点O顺时针旋转至图②的位置，其它条件不变，探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； (2)将图①中的绕顶点O顺时针旋转至图③的位置，其他条件不变，探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． (3)如图①，平分，补齐图形，探究与的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)，图形及理由见解析 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】此题考查的知识点是角平分线的性质旋转性质及角的计算，关键是正确运用好有关性质准确计算角的和差倍分； （1）设，根据平分，得出，，再根据，得出，即可得出； （2）设，则，表示出①，②，即可得出； （3）设，，根据平分，平分得出，，，再得出，即可求解； 【详解】（1）设，平分， ， ， 是直角， ， ， ； （2）结论：； 理由：设，则， ①， ②， 得：； （3）结论：； 理由：设，， 平分，平分． ，， ， ， ，即， ． 11．（23-24七年级上·吉林长春·期末）如图，点C在射线上，且在点A、B之间，，．动点P从C出发．以每秒1个单位长度的速度沿射线向右匀速运动；同时动点Q从A出发，以每秒3个单位长度的速度沿射线运动，遇到点P时按原速返回点C停止运动．当点Q停止运动时，点P也随之停止运动，设点Q的运动时间为t（s）．    (1) ． (2)当点P是线段的中点时，求的长． (3)求的长（用含t的代数式表示）． (4)当时，直接写出t的值． 【答案】(1)12 (2)6 (3)当时，，当时， (4)或或 【知识点】数轴上的动点问题、几何问题(一元一次方程的应用)、线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题在动点问题的背景下考查线段的和差运算，线段中点的性质，一元一次方程的应用等知识，关键是理清点的运动状态，找到临界点． （1）根据，以及即可求解； （2）先求出运动时间t的值，然后根据线段的和差关系求解即可； （3）分相遇前和相遇后两种情况讨论即可； （4）分相Q到达C点前，P、Q遇前和相遇后三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 故答案为：12； （2）解：∵点P是线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：当P、Q相遇时， 根据题意，得， 解得， 此时， ∴Q返回到点C的时间为， 当时，， 当时，， 综上，当时，，当时，； （4）解：当Q 、C重合时，， 当时，，， ∵， ∴， 解得； 当时，， ∵， ∴， 解得； 当时，， ∵， ∴， 解得； 综上，当t的值为或或时，． 12．（23-24七年级上·山东临沂·期末）如图，数轴上A，B两点所表示的数分别为和9，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．    (1)当点P到点A的距离与点P到点B的距离相等时，点P在数轴上表示的数为__________； (2)另一个动点R从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P，R同时出发，求点P运动多长时间追上点R？ (3)若M为的中点，N为的中点，点P在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请你画出图形，并求出线段的长度． 【答案】(1)3 (2)点P运动6秒追上点R (3)不变，图见解析， 【知识点】数轴上的动点问题、几何问题(一元一次方程的应用)、数轴上两点之间的距离、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离，线段中点等， （1）根据数轴上两点间的距离得出的长度，再根据线段中点的意义得出，即可求解； （2）设点P运动x秒追上点R，根据题意列出一元一次方程，求解即可； （3）分两种情况进行计算：点P在A、B之间时，点P在点B左侧时，即可求解； 熟练掌握知识点并运用数形结合的思想是解题的关键． 【详解】（1）∵数轴上A，B两点所表示的数分别为和9， ∴， ∵点P到点A的距离与点P到点B的距离相等， ∴， ∴点P在数轴上表示的数为， 故答案为：3； （2）设点P运动x秒追上点R，由题意得 ， 解得， 所以，点P运动6秒追上点R； （3）不变，理由如下： 当点P在A、B之间时，如图，   ； 当点P在点B左侧时，如图，   ； ∴点P在运动过程中，线段的长度不发生变化，的长度为6． 13．（23-24七年级下·广西南宁·开学考试）阅读理解 线段类多解问题：已知，点A、B、C在同一直线上，且，，求的长． 解：①如图1当点C在点B的右侧时 ②如图2当点C在点B的左侧时 综上所述或4．    (1)类比上述过程解决类多解问题：同一平面内，，，求的度数． (2)在（1）的条件下，若是角平分线，是角平分线，求的度数． (3)若同一平面内，，是角平分线，是角平分线，直接用含x的式子表示出． 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】（1）分两种情况讨论：当在的外部时，；当在的内部时，，进行计算即可； （2）分两种情况讨论：当在的外部时，；当在的内部时，，进行计算即可； （3）同第（2）问，分两种情况讨论，分别进行计算即可． 本题考查了角的计算、角的大小比较、角平分线的定义等有关内容，关键在于要分两种情况讨论，不要遗漏． 【详解】（1）解：当在的外部时，如图1，   ； 当在的内部时，如图2， ， 综上所述，的度数为或； （2）解：如图1， 是角平分线，是角平分线， ，， ； 如图2， 是角平分线，是角平分线， ，， ； 综上所述，的度数为； （3）解：如图1，   是角平分线，是角平分线， ，， ； 如图2，是角平分线，是角平分线， ，， ； 综上所述，的度数为． 14．（23-24七年级上·贵州遵义·期末）请阅读以下信息：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所组成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的“内半角”．如图①，若射线，在的内部，且，则称是的“内半角”． 请根据以上信息，解决下面的问题： (1)如图①，，．若是的“内半角”，则_______． (2)如图②，已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度至，即，其中．若是的“内半角”，求的度数． (3)把一块含的三角板按如图③方式放置，使边与边重合，边与边重合．如图④，将三角板绕顶点O以每秒的速度按顺时针方向旋转一周，旋转时间为t秒．当射线，，，构成“内半角”时，请直接写出t的值． 【答案】(1) (2) (3)t的值为或30 【知识点】几何图形中角度计算问题、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算： （1）根据题意算出的度数，利用即可算出的度数； （2）根据旋转性质可推出和，然后可用含有α的式子表示和的度数，根据是的内半角，即可求出α的值； （3）根据旋转一周构成内半角的情况总共有两种，分别画出图形，求出对应t值即可． 【详解】（1）解：∵是的内半角，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵是的内半角， ∴，即， 解得：， ∴α的值为； （3）解：①如图所示，此时是的内半角， 由旋转性质可知：， ∴， ∵是的内半角， ∴，即， 解得：； ②如图所示，此时是的半角， 由旋转性质可得：， ∴， ∵是的内半角， ∴，即， 解得：； 综上所述：当射线构成内半角时，t的值为或30． 15．（23-24七年级上·广东揭阳·阶段练习）如图，图一已知数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，动点P从A出发，以每秒3个单位长度的速度沿射线方向向右运动，运动时间为t秒． (1)线段___________，当点P运动到线段的延长线上时___________．（用含t的代数式表示） (2)如图二，当时，点M是的中点，点N是的中点，求此时的长． (3)当点P从A出发时，另一个动点Q同时从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，存在这样的t值，使三点有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点，请求出满足条件的t值． 【答案】(1)； (2)7 (3)或或14 【知识点】数轴上两点之间的距离、几何问题(一元一次方程的应用)、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，数轴上两点的距离计算，与线段中点有关的线段和差计算，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离可直接求出的长；先求出，则； （2）先求出，再由线段中点的定义求出，再求出的长即可； （3）根据点的运动可直接得出点和点所表示的数，再根据中点的定义分情况讨论可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意可知，； 由点的运动可知，， ， 当点运动到的延长线时； 故答案为：；； （2）解：∵，， ∴ 点是的中点，点是的中点， ∴， ． （3）解：由题意得，点表示的数为，点表示的数为， 当点为的中点时，， ， ； 当点为的中点时，， ， ； 当点为的中点时，， ， ； 综上所述，当t的值为 或或14时，B，P，Q三点有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点． 16．（23-24七年级上·山东潍坊·期末）数轴上A，两点对应的数分别是，12，线段在数轴上运动，点在点的左边，且，点始终是的中点． (1)如图1，当线段运动到A，之间时，若，则______；______； (2)如图2，当线段运动到点，分别在点A两侧时，设在数轴上对应的数为． ①＝______（用含的代数式表示）； ②求与的数量关系； (3)当线段运动到点在数轴上表示数的位置时，动点从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向运动；同时动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向运动；当点或点中有一点到达点时，另一点也随之停止运动．求运动多长时间时，，两点间的距离为1个单位长度？ 【答案】(1)4，4 (2)①；② (3)1秒或3秒 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、线段中点的有关计算、数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题 【分析】（1）两点间的距离公式求出的长，，求出的长，进而求出的长，进一步求出的长即可； （2）①中点，求出的长，再用表示出即可；②用表示出，即可得出与的数量关系； （3）分两种情况讨论，利用两点距离公式列出方程可求解． 【详解】（1）解：∵A、B两点对应的数分别是、12， ∴， ∵， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4，4； （2）解：①∵点F是的中点，在数轴上对应的数为， ， ∴， ∴． 故答案为：； ②∵，， ∴； （3）解：∵点C运动到数轴上表示数，， ∴点E表示的数为； ， ， 当点P向数轴正方向运动，且与Q没有相遇时， 由题意可得：， 解得； 当点P向数轴正方向运动，且与Q相遇后时， 由题意可得：， 解得； 综上所述：运动1秒或3秒时，P、Q两点间的距离为1个单位长度． 【点睛】本题考查两点间的距离公式，线段中点有关的计算，列代数式，一元一次方程的应用．掌握两点间的距离公式，正确的列出代数式和方程，是解题的关键． 17．（23-24七年级上·四川成都·期末）【阅读理解】 定义：一条射线在内部，且与角的两边边所构成两个角、，若这两个角的大小满足的关系，则称为的内分线；一条射线在外部，且与角的两边边所构成两个角、，若这两个角的大小满足的关系，则称为的外分线．内、外分线统称为倍分线． 【知识运用】 (1)如图（1），若，为的一条内分线，求的度数． (2)如图（2），已知，． ①若射线从出发，以的速度逆时针方向旋转，射线从出发，以的速度逆时针方向旋转．若t秒后为的外分线时，恰为的内分线，求m的值． ②若射线从出发，以的速度逆时针方向旋转，射线从出发，以的速度逆时针方向旋转，设旋转的时间为秒．当由三条射线组成的图形中，其中一条射线是另两条射线为边构成的角的倍分线时，求时间t的值． 【答案】(1)或 (2)①或；②或或或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、几何图形中角度计算问题 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，一元一次方程的应用，倍分线的定义： （1）根据题意可得或，再由即可求出答案； （2）①先推出在内部，再求出，由题意得，，根据题意可得，则，解得；②当时，如图2-3所示，当是的外分线时，则；如图2-4所示，当是的内分线时，则或；当时，如图2-5所示，当是的外分线时，则；如图2-6所示，当为的内分线时，则或；四种情况分别建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵为的一条内分线， ∴或， ∵， ∴或； （2）解：①∵， ∴， ∴在内部， ∵，， ∴， 由题意得，， ∵为的外分线时， ∴， ∴， 解得； 如图2-1所示，当时，则， ∴； 如图2-2所示，当时，则， ∴； 综上所述，或； ②当时， 如图2-3所示，当是的外分线时，则， ∴，此时方程无解； 如图2-4所示，当是的内分线时，则或， ∴或， ∴或， 解得或（舍去）； 当时， 如图2-5所示，当是的外分线时，则， ∴， 解得； 如图2-6所示，当为的内分线时，则或， ∴或， 解得或； 综上所述，当由三条射线组成的图形中，其中一条射线是另两条射线为边构成的角的倍分线时， 或或或． 18．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）【定义】： 若点P在线段上，当时，我们称m为点P在线段上的“分值”，记作． 【理解】： 如点P是的中点时，即当，则；反过来，当时，则．因此，我们可以这样理解：“”与“”具有相同的含义． 【应用】： (1)如图1，点P在线段上．若，则＝ ；若，则 ． (2)如图2，已知线段，点P，Q分别从点A、B同时出发，相向运动，点P到达点B时，P，Q都停止运动，设运动时间为． ① 若点P，Q的运动速度均为，试用含t的代数式表示和，并说明：； ② 若点P和点Q的运动速度分别为和，点Q到达点A后立即以原速返回B，当t为何值时，． 【答案】(1)， (2)①和，见解析，②2或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、线段的和与差 【分析】本题查了新定义下线段和差倍数关系和一元一次方程的应用， 根据新定义即可求得；结合，可得，即可求得； ①根据题意可得和，结合新定义即可求得和，即有结论成立；②分两种情况点Q到达点A前，且点P未到达点B；点P到达点B前，且点Q从点A未到达点B前用，分别求得和，进一步列出，解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：，； （2）①∵点P，Q的运动速度均为， ∴，， ∵， ∴，， ； ②∵点P到达点B时，P，Q都停止运动， ∴点Q到达点A前，且点P未到达点B用时；点P到达点B时，且点Q从点A未到达点B前用时，用时， 当时，，， 则， 解得； 当时，，， 则， 解得； 综上所述，或时，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 线段和角的动态问题的八种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、线段上动点求线段长问题 2 类型二、线段上动点求定值问题 6 类型三、线段上动点求时间问题 10 类型四、线段上动点的新定义型问题 13 类型五、几何图形中动角求定值问题 17 类型六、几何图形中动角探究数量关系问题 21 类型七、几何图形中动角求运动时间问题 26 类型八、几何图形中动角之新定义型问题 32 压轴能力测评（18题） 36 解题知识必备 1. 线段的中点模型 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有： 2. 角平分线模型 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 压轴题型讲练 类型一、线段上动点求线段长问题 例题：（23-24七年级上·陕西渭南·期末）如图，B是线段上一动点，以的速度沿往返运动1次，C是线段的中点，，设点B运动的时间为． (1)当时，求线段的长； (2)当时，求线段的长． 【变式训练1】（23-24六年级下·山东青岛·期末）如图，动点B在线段AD上，沿以2cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中点，，设点B的运动时间为t秒． (1)当时， ①________cm； ②求线段CD的长度． (2)用含t的代数式表示运动过程中线段AB的长度． 【变式训练2】（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期末）点C在线段上满足，点D和点E是线段上的两动点（点D在点E的左侧）满足，． (1)当点E是的中点时，求的长度； (2)当时，求的长度． 【变式训练3】（22-23七年级上·河南驻马店·期末）线段，C，D是线段上的两个动点（点C在点D的左侧），且，E为的中点， (1)如图1，当时，求的长． (2)如图2，F为的中点 ①点C，D在线段上移动的过程中，线段的长度是否会发生变化，若会，请说明理由，若不会，请求出的长． ②当时，请直接写出线段的长． 类型二、线段上动点求定值问题 例题：（23-24七年级上·云南曲靖·期末），是数轴上的两点（点在点的右侧），点表示的数为，、两点的距离是点到原点的距离的倍，即．点为数轴上的动点． (1)数轴上点表示的数是______； (2)当时，求点表示的数； (3)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若发生变化，请你说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段的长度． 【变式训练1】（23-24七年级上·北京·期末）如图，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线运动，M为的中点． (1)出发多少秒后，？ (2)当P在线段上运动时，试说明为定值． (3)当P在延长线上运动时，N为的中点，下列两个结论：长度不变；的值不变．选择一个正确的结论，并求出其值． 【变式训练2】（23-24七年级上·吉林白城·期末）如图，线段，点是线段上的一个动点，点从点出发，以的速度从点运动到点，再从点运动到点，然后停止．设点运动的时间为． (1)当时，________；当时，________； (2)用含的式子表示整个运动过程中的长度； (3)设是线段的中点，是线段的中点． ①当点从点向点运动时，线段的长度是否变化？若不变，求出的长度；若变化，说明理由； ②当时，直接写出的值，________． 类型三、线段上动点求时间问题 例题：（23-24七年级·四川达州·阶段练习）如图，C是线段中点，且，两点分别从C、B同时出发以，的速度沿线段向左运动，设运动时间为． (1)当点追上点时，求的值． (2)若点相距，则的值为多少？ 【变式训练1】（22-23七年级上·吉林长春·期末）如图，点B在线段上，且，．动点P从点A出发，沿以每秒4个单位长度的速度向终点C匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点A匀速运动．设点Q的运动时间为． (1)线段、的中点之间的距离为_______． (2)当点P到点C时，求的长． (3)求的长（用含t的代数式表示）． (4)设时，直接写出t的值． 【变式训练2】（23-24七年级上·重庆南岸·期末）如图，点C是线段 上的一点，线段，，点D为线段的中点． (1)直接写出线段和的长； (2)若动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿直线向右运动，动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度沿直线 向左运动，当点Q到达点A时立即掉头沿直线向右运动，当点Q再次回到点B时，动点P，Q同时停止运动．设运动时间为t秒． ①当t为何值时，点 P与点Q 重合？ ②当t为何值时，点P与点Q之间的距离． 类型四、线段上动点的新定义型问题 例题：（23-24七年级上·北京房山·期中）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是的美好点． 例如；如图1，点A表示的数为，点B表示的数为2，表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是的美好点，但点D是的美好点． 如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为，点N所表示的数为2． (1)点E，F，G表示的数分别是，，11，其中是美好点的是________；写出美好点H所表示的数是___________． (2)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，点P恰好为M和N的美好点？ 【变式训练1】（23-24七年级上·江西吉安·期末）我们将数轴上不同的三点A，B，C表示的数记为a，b，c，若满足，其中为有理数，则称点是点关于点的“星点”．已知在数轴上，原点为，点，点表示的数分别为，． (1)若点是点关于原点的“星点”，则 ；若点是点关于点的“星点”，则 ． (2)若线段在数轴上沿正方向运动，每秒运动1个单位长度，取线段的中点．是否存在某一时刻，使得点是点关于点2的“−2星点”？若存在，求出线段的运动时间；若不存在，请说明理由； (3)点是数轴上的动点，点表示为整数，且点是原点关于点的“星点”，请直接写出的值． 【变式训练2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）【新知理解】如图①，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”． （1）线段的中点______这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）； （2）若，点是线段的巧点，则最长为______； 【解决问题】 （3）如图②，已知，动点从点出发，以的速度沿向点匀速移动；点从点出发，以的速度沿向点匀速移动，点、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当为何值时，为、的巧点？说明理由． 类型五、几何图形中动角求定值问题 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）已知一副直角三角尺和，，，，． (1)将两个直角三角尺按如图1摆放，点在边上，则 ； (2)将直角三角尺从图1位置绕点逆时针方向转到图2位置，使恰好平分，求的度数； (3)如图3，当三角尺摆放在内部时，作射线平分，射线平分，若三角尺在内部绕点任意转动（均在内部），试判断的度数是否会发生变化？通过计算说明理由． 【变式训练1】（23-24七年级上·江苏徐州·期末）已知，．平分，平分． (1)如图①，当重合时，求的值； (2)当从图①所示位置绕点O以每秒的速度顺时针旋转t秒（）；在旋转过程中的值是否会因t的变化而变化，若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由． 【变式训练2】（23-24七年级下·陕西榆林·开学考试）【问题情境】已知，，，平分，平分． 【特例分析】（1）如图1，当、重合时，求的值； 【深入探究】（2）如图2，当、不重合，在的下方时，设， 的值是否会因为x的变化而变化? 若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由； 【问题解决】（3）在（2）的条件下，当时，求的度数. 类型六、几何图形中动角探究数量关系问题 例题：（24-25七年级上·河北唐山·期中）【问题情境】O为直线上一点，过点O在直线上方任意作射线，一直角三角板的直角顶点放在点O处，且三角板可以围绕点O旋转． 【操作探究】如图1，将三角板的一边与射线重合时． （1）若，______°； （2）若，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转一定角度，如图2，当恰好是的平分线时，求旋转角是多少度； 【归纳总结】设，在旋转的过程中当边恰好是的平分线时，通过观察和测量猜想和有怎样的数量关系，试着说明理由． 【变式训练1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示，O是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1，若，求的度数． (2)在图1中，若，直接写出的度数： （用含的代数式表示）． (3)将图1中的绕顶点O顺时针开始旋转． ①当旋转至如图2的位置时，请探究与的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； ②过点O的一条射线，使得恰好平分，在图1和图2中分别探究与的度数之间的关系，请直接写出结论． 【变式训练2】（2024七年级上·全国·专题练习）已知O为直线上的一点，． (1)如图①，以O为观察中心，射线表示正北方向，表示正东方向． ①若，则射线的方向是_________； ②与的关系为_________； ③与的关系为_________． (2)若将射线、射线绕点O旋转至如图②所示的位置，另一条射线恰好平分．若，求的度数； (3)若将射线、射线绕点O旋转至如图③所示的位置，射线仍然平分与之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 类型七、几何图形中动角求运动时间问题 例题：（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在数学实验课中，学生进行操作探究，用一副三角板（其中，，，）按如图1所示摆放，边与在同一条直线上（点C与点E重合）．如图2，将三角板从图1的位置开始绕点C以每秒的速度顺时针旋转，当边与边重合时停止运动，设三角板的运动时间为t秒． (1)当t为何值时，平分？ (2)当t为何值时，？ 【变式训练1】（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，为线段上一点，，为的角平分线，定义与重合时为初始位置，将绕着点从初始位置开始，以秒的速度顺时针旋转，至与重合时终止． (1)当从初始位置旋转秒，求此时的度数； (2)当从初始位置旋转至时，求此时的值； (3)当从初始位置旋转至时，__________秒（用含有m的代数式直接表示）． 【变式训练2】（23-24七年级上·福建厦门·期末）【实践操作】三角尺中的数学    (1)如图1，将两块三角尺的直角顶点C叠放在一起，． ①若，则 ；若，则 ； ②猜想与的大小有何数量关系，并说明理由． (2)如图2，若是将两个同样的含锐角的直角三角尺叠放在一起，其中锐角的顶点A重合在一起，． ①探究与的大小有何数量关系，并说明理由； ②若一开始就将与完全重合（与重合），保持不动，将绕点A以每秒的速度逆时针旋转一周，旋转时间为t．在旋转的过程中，t为何值时． 类型八、几何图形中动角之新定义型问题 例题：（23-24六年级下·上海徐汇·期末）定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们将这条射线称为这个角的分位线．例如：如图1，，则为的分位线；，则也是的分位线． (1)若，为的分位线，且，则 ． (2)如图，点、、在同一条直线上，为一条射线，，分别为与的分位线，（，）． ①已知，，则 ． ②若，当变化时，的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由． (3)如果点、、在同一条直线上，为一条射线，已知射线、分别为与的分位线，且，请直接写出的度数． 【变式训练1】（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·期末）【问题初探】 在一个角的内部，从顶点画一条射线，得到三个角，若其中有一个角是另一个角的倍，则称这条射线是已知角的“奇妙线”． 例如：图中，则射线是的“奇妙线”． （1）一个角的角平分线______这个角的“奇妙线”；（填“是”或“不是”） 【类比分析】 （2）如图，若，在内部画一条射线，使是的“奇妙线”，求的度数； 【变式拓展】 （3）如图，若，且射线绕点从位置开始以每秒的速度逆时针旋转，同时射线以每秒的速度也绕点逆时针旋转，当射线与射线重合时全部停止运动．设旋转时间为秒，请直接写出为何值时，射线是的“奇妙线”． 压轴能力测评（18题） 一、单选题 1．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，点A、B、C是直线l上的三个定点．点B是线段的三等分点，，若点D是直线l上的一动点，M、N分别是、的中点，则与的数量关系是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·福建厦门·期末）如图，点是直线外一点，连接、，若点是直线上一动点，则下列说法正确的是（　　） A．点A在射线上 B． C．连接 D．连接，若，则平分 3．（23-24七年级上·湖北荆门·单元测试）如图，射线都在的内部，和都是直角，下列说法：①；②；③ 若，则；④ 若平分，平分，则．其中结论正确的有（      ）      A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（23-24七年级上·山东临沂·期末）如图，已知（在的左侧）是数轴上的两点，点对应的数，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点的运动过程中，始终为的中点，设运动时间为（）秒，则下列结论中正确结论的个数是（    ） ①对应的数是； ②点到达点时，； ③时，； ④在点的运动过程中，线段的长度会发生变化． A． B． C． D． 二、填空题 5．（23-24七年级下·江苏苏州·开学考试）如图，于点O，，射线从出发，绕点O以每秒的速度顺时针向终边旋转，同时，射线从出发，绕点O以每秒的速度顺时针向终边旋转，当、中有一条射线到达终边时，另一条射线也随之停止．在旋转过程中，设，，则x与y之间的数量关系为 ． 6．（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）如图，数轴上，A两点的距离为3，一动点从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点，，，…，．（，是整数）处，那么线段的长度为 （，是整数）． 7．（23-24七年级下·浙江金华·开学考试）如图，点为直线上一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方．将三角板绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，直线恰好平分锐角，则的值为 ． 8．（23-24七年级上·河南郑州·期末）在数轴上，O为原点，点A对应的数为3，点B在点A的左侧，且．动点M从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动，动点N从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴正方向运动．设运动时间为t秒，当点O，M，N中，其中一点正好位于另外两点所确定线段的中点时，t的值为 ． 三、解答题 9．（22-23七年级上·吉林·期末）如图，在直线上顺次取，，三点，已知，，点，分别从，两点同时出发向点运动．当其中一动点到达点时，，同时停止运动．已知点的速度为每秒2个单位长度，点速度为每秒1个单位长度，设运动时间为秒． (1)用含的式子表示线段的长度为______； (2)当为何值时，，两点重合？ (3)若点为中点，点为中点．问：是否存在时间，使长度为5？若存在，请说明理由． 10．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）如图①，O是直线上的一点，是直角，平分． (1)将图①中的绕顶点O顺时针旋转至图②的位置，其它条件不变，探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； (2)将图①中的绕顶点O顺时针旋转至图③的位置，其他条件不变，探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． (3)如图①，平分，补齐图形，探究与的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． 11．（23-24七年级上·吉林长春·期末）如图，点C在射线上，且在点A、B之间，，．动点P从C出发．以每秒1个单位长度的速度沿射线向右匀速运动；同时动点Q从A出发，以每秒3个单位长度的速度沿射线运动，遇到点P时按原速返回点C停止运动．当点Q停止运动时，点P也随之停止运动，设点Q的运动时间为t（s）．    (1) ． (2)当点P是线段的中点时，求的长． (3)求的长（用含t的代数式表示）． (4)当时，直接写出t的值． 12．（23-24七年级上·山东临沂·期末）如图，数轴上A，B两点所表示的数分别为和9，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．    (1)当点P到点A的距离与点P到点B的距离相等时，点P在数轴上表示的数为__________； (2)另一个动点R从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P，R同时出发，求点P运动多长时间追上点R？ (3)若M为的中点，N为的中点，点P在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请你画出图形，并求出线段的长度． 13．（23-24七年级下·广西南宁·开学考试）阅读理解 线段类多解问题：已知，点A、B、C在同一直线上，且，，求的长． 解：①如图1当点C在点B的右侧时 ②如图2当点C在点B的左侧时 综上所述或4．    (1)类比上述过程解决类多解问题：同一平面内，，，求的度数． (2)在（1）的条件下，若是角平分线，是角平分线，求的度数． (3)若同一平面内，，是角平分线，是角平分线，直接用含x的式子表示出． 14．（23-24七年级上·贵州遵义·期末）请阅读以下信息：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所组成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的“内半角”．如图①，若射线，在的内部，且，则称是的“内半角”． 请根据以上信息，解决下面的问题： (1)如图①，，．若是的“内半角”，则_______． (2)如图②，已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度至，即，其中．若是的“内半角”，求的度数． (3)把一块含的三角板按如图③方式放置，使边与边重合，边与边重合．如图④，将三角板绕顶点O以每秒的速度按顺时针方向旋转一周，旋转时间为t秒．当射线，，，构成“内半角”时，请直接写出t的值． 15．（23-24七年级上·广东揭阳·阶段练习）如图，图一已知数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，动点P从A出发，以每秒3个单位长度的速度沿射线方向向右运动，运动时间为t秒． (1)线段___________，当点P运动到线段的延长线上时___________．（用含t的代数式表示） (2)如图二，当时，点M是的中点，点N是的中点，求此时的长． (3)当点P从A出发时，另一个动点Q同时从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，存在这样的t值，使三点有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点，请求出满足条件的t值． 16．（23-24七年级上·山东潍坊·期末）数轴上A，两点对应的数分别是，12，线段在数轴上运动，点在点的左边，且，点始终是的中点． (1)如图1，当线段运动到A，之间时，若，则______；______； (2)如图2，当线段运动到点，分别在点A两侧时，设在数轴上对应的数为． ①＝______（用含的代数式表示）； ②求与的数量关系； (3)当线段运动到点在数轴上表示数的位置时，动点从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向运动；同时动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向运动；当点或点中有一点到达点时，另一点也随之停止运动．求运动多长时间时，，两点间的距离为1个单位长度？ 17．（23-24七年级上·四川成都·期末）【阅读理解】 定义：一条射线在内部，且与角的两边边所构成两个角、，若这两个角的大小满足的关系，则称为的内分线；一条射线在外部，且与角的两边边所构成两个角、，若这两个角的大小满足的关系，则称为的外分线．内、外分线统称为倍分线． 【知识运用】 (1)如图（1），若，为的一条内分线，求的度数． (2)如图（2），已知，． ①若射线从出发，以的速度逆时针方向旋转，射线从出发，以的速度逆时针方向旋转．若t秒后为的外分线时，恰为的内分线，求m的值． ②若射线从出发，以的速度逆时针方向旋转，射线从出发，以的速度逆时针方向旋转，设旋转的时间为秒．当由三条射线组成的图形中，其中一条射线是另两条射线为边构成的角的倍分线时，求时间t的值． 18．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）【定义】： 若点P在线段上，当时，我们称m为点P在线段上的“分值”，记作． 【理解】： 如点P是的中点时，即当，则；反过来，当时，则．因此，我们可以这样理解：“”与“”具有相同的含义． 【应用】： (1)如图1，点P在线段上．若，则＝ ；若，则 ． (2)如图2，已知线段，点P，Q分别从点A、B同时出发，相向运动，点P到达点B时，P，Q都停止运动，设运动时间为． ① 若点P，Q的运动速度均为，试用含t的代数式表示和，并说明：； ② 若点P和点Q的运动速度分别为和，点Q到达点A后立即以原速返回B，当t为何值时，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$