专题13 角的和与差及角平分线问题的四种考法-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学上册压轴题攻略（湘教版2024）

专题13 角的和与差及角平分线问题的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、角的和与差多解问题 3 类型二、单条角平分线问题 5 类型三、双条角平分线问题 10 类型四、多条角平分线问题 13 压轴能力测评（16题） 17 解题知识必备 1.角的和与差 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 2.角平分线模型 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 3.双角平分线模型 共顶点的三条射线组成的三个角中（两角共一边），已知任意两个角的平分线，求角平分线夹角。 图1 图2 1）双角平分线模型（两个角无公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC， ∴，， ∴， ∴。 2）双角平分线模型（两个角有公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC， ∴，， ∴， ∴。 4.角n等分线模型 条件：如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线，…，分别是和的平分线；结论：． 证明：∵分别是和的平分线， ， ， 、分别是和的平分线， ， ， 、分别是和的平分线， ， ，…， 由此规律得：。 压轴题型讲练 类型一、角的和与差多解问题 例题：（23-24七年级下·山东淄博·阶段练习）平面内有公共端点的三条射线，构成的角，则的度数是 ． 【答案】或 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】本题主要查角的和与差．分两种情况讨论：射线在的内部时，射线在的外部时，即可求解． 【详解】解：射线在的内部时， ∵， ∴； 射线在的外部时， ∵， ∴． ∴的度数为或． 故答案为：或 【变式训练1】（23-24七年级下·云南玉溪·期末），，则的余角的度数为 ． 【答案】或 【知识点】求一个角的余角、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了角的和差计算，余角的概念，解题的关键是分两种情况讨论． 需要分两种情况，当射线在内部时，当射线在的外部时，根据角度的和差运算求出，然后根据余角的概念求解即可． 【详解】解：当射线在内部时， ∵，， ∴， ∴的余角的度数为； 当射线在的外部时， ∵，， ∴， ∴的余角的度数为； 综上所述，的余角的度数为或． 故答案为：或． 【变式训练2】（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）从点O出发的三条射线、、，使得，且，则的度数为 ． 【答案】或 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】此题考查角的和差倍分，根据射线的位置不明确，所以本题难点在于要分两种情况讨论；因为两角的位置关系不明确，所以分射线在的内部和外部两种情况讨论求解． 【详解】解：∵，， ∴． 如图，当在的内部时， ∴； 如图，当在的外部时， ∴． 故的度数为或或． 故答案为：或或 类型二、单条角平分线问题 例题：（24-25七年级上·全国·课后作业）已知，平分，，则的度数为 ． 【答案】或 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角平分线的定义、几何图中角度的计算，先由角平分线的定义得出，再分两种情况：如答图①，当在的同侧时，如答图②，当在的异侧时，分别求解即可得解，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵，平分， ∴． 分两种情况：如答图①，当在的同侧时， ， 此时； 如答图②，当在的异侧时， ， 此时． 综上，的度数为或， 故答案为：或． 【变式训练1】（22-23七年级上·江苏无锡·期末）如图，若，，，射线绕点O以每秒逆时针旋转，射线绕点O以每秒顺时针旋转，射线绕点O每秒顺时针旋转，三条射线同时旋转，当一条射线与直线重合时，三条射线同时停止运动，运动 秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线． 【答案】或或8 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了角平分线的定义，一元一次方程的应用，角度的计算，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．由题意可得，在旋转过程中，，，，根据角平分线的定义分四种情况讨论，分别解方程求解即可． 【详解】解：设经过的时间为x秒， ，，， 在旋转过程中，，，， 令，， 解得：，． 即当时，三条射线停止运动． ①当为、夹角的角平分线时， ． ， 解得：， 此时，不合题意； ②当为、夹角的角平分线时， ． ， 解得：； ③当为、夹角的角平分线时， ． 解得：； ④当为、夹角的角平分线时， ． 解得：； 综上可知，运动或或秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线， 故答案为：或或8． 【变式训练2】（24-25七年级上·河北秦皇岛·期中）如图，点O在直线上，，，平分． (1)求的度数； (2)求的度数； (3)是否平分？试说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)平分，理由见解析． 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键； （1）由角分线的定义，得到的度数； （2）根据角的运算，求出的度数，进而求出的度数； （3）由角分线的定义证明即可求解． 【详解】（1） 解：，平分， ， ； （2）解：，， ， ； （3）平分； 理由：，， ， 又 ， 平分． 【变式训练3】（2024七年级上·全国·专题练习）已知，顶点O在直线上，，是的平分线． (1)当点A，B在直线的同侧时，如图1： ①若，则 ； 若，则 ； ②若，则 （用n表示）； (2)当A，B在直线的异侧时，如图2： ①猜想与之间的数量关系，并说明理由； ②若，直接写出的度数． 【答案】(1)①20，40；② (2)①，理由见解析；② 【知识点】角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角的计算及角平分线的定义，熟记这些知识点并灵活运用是解题的关键． （1）①根据，再利用角平分线的定义求解即可； ②先求出，再根据是的平分线，得到，最后求即可； （2）①分别写出与可得其数量关系； ②由①的结论即可得的度数． 【详解】（1）解：①，， ， 是的平分线， ， ， 当时， ∵， ， 是的平分线， ， ， 故答案为：20，40， ②，， ， 是的平分线， ， ， 故答案为：； （2）解：①，理由如下： 平分， ， ， ， ， ②若， ∴． 类型三、双条角平分线问题 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）如图，是的平分线，是的平分线． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、角的和差运算等知识点，弄清角之间的关系成为解题的关键． （1）由角平分线的定义可得，进而得到，再由角平分线的定义可得最后根据角的和差即可解答； （2）由角平分线的定义可得，进而得到，再由角平分线的定义可得，最后根据角的和差即可解答． 【详解】（1）解：∵是的平分线， ∴， ∴． ∵是的平分线， ∴ ∴． （2）解：∵是的平分线， ∴， ∴． ∵OD是的平分线， ∴， ∴． 【变式训练1】（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图，已知内部有三条射线，平分，平分． (1)若，，求的度数； (2)若，求的度数（写出求解过程）； (3)若将条件中“平分，平分．平分”改为“，”，且，求的度数（写出求解过程）． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】（1）先求得的度数，然后，再依据角平分线的定义求得、的度数，最后，再依据求解即可； （2）按照（1）的思路先求得的度数，然后再求得、的度数，最后，再依据求解即可； （3）先求得的度数，然后，依据题意求得、的度数，最后，再依据求解即可． 本题主要考查的是角的计算，熟练掌握图形中相关角之间的和、差、倍、分关系是解题的关键． 【详解】（1）解： ，， ； 平分，平分， ，， ． （2）解：，平分，平分， ． （3）解：，，， ． 【变式训练2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图①，是内部的一条射线，、分别平分，． (1)若，，求 ； (2)与的大小有什么关系，写出你的结论并说明理由． (3)如图②，如果是外部的一条射线，、分别平分，．那么（2）中与的大小关系还成立吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)成立，理由见解析 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了角平分线，灵活利用角平分线的定义是解题的关键． （1）由角平分线的定义得出，进而即可求得； （2）由角平分线的定义得出，即； （3）由角平分线的定义得出得出，根据，，进而即可求解． 【详解】（1）解：、分别平分，， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 、分别平分，， ， ， ， ； （3）解：成立，理由如下， 、分别平分，， ， ， ． 类型四、多条角平分线问题 例题：（2023七年级上·全国·专题练习）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个部分的射线，叫做这个角的三分线，一个角的三分线有两条．如图1，，则OB是的一条三分线．    （1）如图1，若，则 ； （2）如图2，若，，是的两条三分线，且． ①则 ； ②若以点为中心，将顺时针旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为 ． 【答案】 /度 /度 或 【知识点】角n等分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题属于新定义类型的问题，主要考查了角的计算，解决问题的关键是掌握角的三分线的定义，解题时注意分类思想的运用，分类时不能重复，也不能遗漏． （1）根据三分线的定义计算即可； （2）①根据三分线的定义计算即可；②根据三分线的定义可得，由旋转得，然后分两种情况：当是的三分线，且时；当是的三分线，且时，分别求出和的值即可． 【详解】解：（1）解：∵， ∴, 故答案为：； （2）①∵，是的两条三分线，， ∴， 故答案为：； ②∵，，是的两条三分线， ∴， 由旋转得：， 分两种情况： 当是的三分线，且时，可得， ∴， ∴，即； 当是的三分线，且时，可得， ∴，即； 故答案为：或． 【变式训练1】（23-24七年级上·河南新乡·期末）如图①，射线在内部，图中共有三个角，若其中有两个角的度数之比为，则称射线为的“幸运线”．如图②，若，射线为的“幸运线”，则的度数是 ． 【答案】 【知识点】角n等分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了角的和差，正确分情况讨论是解题关键．分四种情况：时， 时，时，时，再根据角的和差进行计算即可． 【详解】解：由题意，分以下四种情况： ①当时，射线是的“幸运线”， ∵， ； ②当时，射线是的“幸运线”， ∵， ， ； ③当时，射线是的“幸运线”， ∵，， ， 解得； ④当时，射线是的“幸运线”， ∵，， ， 解得； 综上，的度数为或或， 故答案为：或或． 【变式训练2】（23-24七年级上·安徽合肥·期末）已知下图中的均为直角． (1)如图一，是的角平分线，是的角平分线； ①若，求的大小； ②若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）； (2)如图二，若内部的射线OP、OQ把分成了三部分，且使得，我们称OP、OQ为的“三等分线”． 在图三中，OD是的三等分线，OE是的三等分线，且，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1)①；②； (2)或或或． 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、角n等分线的有关计算 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算，解题的关键是理解题意，分情况讨论，进而求解． （1）①根据角平分线的定义，求得和的大小，进而求解；②根据角平分线的定义，求得和的大小，进而求解； （2）根据“三等分线”的定义，分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：是的角平分线，是的角平分线 ∴， ∵均为直角 ∴ ①由可得， ∴； ②由可得， ∴； （2）是的三等分线，是的三等分线，分以下四种情况， 当是靠近的三等分线，是靠近的三等分线时， ，， ∴； 当是靠近的三等分线，是靠近的三等分线时， ，， ∴； 当是靠近的三等分线，是靠近的三等分线时， ，， ∴； 当是靠近的三等分线，是靠近的三等分线时， ，， ∴； 综上：的度数为或或或． 压轴能力测评（16题） 一、单选题 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线、相交于点，射线平分，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查角平分线的定义，以及角的和差计算，可以根据角平分线结合直角进行解答．由角平分线的定义可得，根据，结合角的和差可得，由此可以得到答案． 【详解】解：射线平分，， ， ∵， ∴， 故选：C． 2．（23-24七年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，是平角，，分别是的平分线，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】几何图形中角度计算问题、角的概念理解、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了平角的定义，角平分线的性质，求一个角度数可以看成两个或者多个角度的和求解是解题的关键 ．、分别是、的平分线，结合，可得，再由平角的定义即可求得的度数． 【详解】解：、分别是、的平分线，，, , , ． 故选：B． 3．（23-24七年级下·广西柳州·开学考试），平分，以为一边作，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了角有关的计算，解题的关键是正确识别图形，理解角与角之间的和差倍分关系． 分两种情况讨论：①如图当射线在的内部时，根据求出答案；②当射线在的内部时，根据求出答案即可． 【详解】分两种情况讨论： 如图所示：当射线在的内部时， ∵，平分， ∴， ∵， ∴． 如图所示：当射线在的内部时， ∵，平分， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 4．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，C为直线上一点，平分，平分，平分．有下列结论：①与互余；②与互补；③与互补；④，其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查余角和补角，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 根据角平分的定义，互为余角、互为补角的定义逐个进行判断，最后得出答案做出选择． 【详解】解：∵ ∴， ∵平分平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∴， 即：与互补；故②正确； ∵， ∴，故③错误； ∵，故④正确； 综上：正确的有3个； 故选C． 5．（22-23七年级上·浙江湖州·期末）定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（    ） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 【答案】C 【知识点】角n等分线的有关计算 【分析】分四种情况，分别计算，即可求解． 【详解】解：如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 综上，为或或， 故选：C． 【点睛】本题考查了角的有关计算，画出图形，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 二、填空题 6．（23-24七年级上·四川自贡·期末）如果，，那么的度数为 ． 【答案】或 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了有关角的计算．分为两种情况：①当在内部，②当在外部，画出图形，根据图形求出即可． 【详解】解：分为两种情况：①如图1， ； ②如图2， ， 故答案为：或． 7．（23-24七年级下·四川德阳·阶段练习）如图，若与是一对邻补角，平分，在内部，并且，，则的度数是 ． 【答案】/80度 【知识点】与余角、补角有关的计算、角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了对顶角、邻补角，设未知数，把角用未知数表示出来，列方程组，求解．角平分线的运用，为解此题起了一个过渡的作用．设，，把角用未知数表示出来，建立的方程，用代数方法解几何问题是一种常用的方法． 【详解】解：∵ ∴设，则， ∵平分 ∴ 则， 则， 即， 解得， 故． 故答案为： 8．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）如图，点O是直线上的一点，射线在直线的上方且，有一大小为的可绕其顶点O旋转一周，其中射线、分别平分、，当时， ． 【答案】或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，角平分线的定义，一元一次方程的应用，分射线 在的内部，射线的反向延长线在的内部两种情况进行讨论，设，分别用含x的式子表示和，根据建立方程即可求解． 【详解】解：如图，当射线在内部时， 设， 则， 则， ， ， ， ， ， ， ； 当点射线的反向延长线在内部时，如图， 设， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ， ， 综上所述，或． 9．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）如图，在内部顺次有一组射线，，，，满足，，，，. 若，则 （用含，的代数式表示）. 【答案】/ 【知识点】几何图形中角度计算问题、用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题主要考查了图形规律探索，角的计算，根据，得出，求出，，，，得出一般规律即可． 【详解】∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为： 10．（23-24七年级上·河南南阳·期末）【动手操作】如图，为直线上一点，作射线使．将一个直角三角板按图1所示的方式摆放，直角顶点在点处，一条直角边在射线上．将图1中的三角板绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转一周，如图2所示．当所在直线恰好平分时，旋转时间为 秒． 【答案】4或10/10或4 【知识点】角平分线的有关计算、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据角平分线定义、平角的定义，列出方程是解答本题的关键．由平角的定义可得，然后根据角平分线的定义列出方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵所在直线平分， ∴或． ∵图1中的三角板绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转， ∴或， 解得：或． 故答案为：4或10． 三、解答题 11．（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）已知，，分别是的平分线，求的度数． 【答案】或 【知识点】角平分线的有关计算 【分析】本题考查角平分线的性质．根据题意，需要分两种情况进行讨论，即在内部及在外部． 【详解】解：①当在内部时，如图 分别是的平分线,， , ； ②当在外部时，如图 分别是的平分线,， , ． 综上，的度数为或． 12．（23-24七年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，直线相交于点，平分，． (1)求证：是的平分线； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了角平分线的定义、邻补角的性质和余角的性质，解题的关键是熟练掌握邻补角和余角的性质． （1）由，从而，由角平分线的定义可得，再根据等角的余角相等可得结论； （2）由并且互补，可得和的度数，再利用邻补角求得的度数，根据角平分线的定义可得，利用邻补角和角平分线求得和的度数． 【详解】（1）证明： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，（等角的余角相等） ∴是的平分线； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴． 13．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）如图，已知O为直线上一点，是内部一条射线且满足与互补，，分别为，的角平分线． (1)与相等吗？请说明理由； (2)若，试求与的度数； (3)若，试求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)， (3) 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算、同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，角的和差计算，解题的关键是根据图形，理清角之间的关系． （1）由题意可得，，可以根据同角的补角相等得到； （2）根据与互补，及可求出的度数，根据角平分线的定义求出、的度数，即可求出的度数； （3）根据角平分线的定义得出，，再根据得出，结合与互补即可求出的度数． 【详解】（1）解：；理由如下： 与互补， ， ， ； （2）解：∵与互补，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∵为的角平分线，， ∴， ∴； （3）解：∵，分别为，的角平分线， ∴，， ∴， ∴①， ∵②， 得． 14．（22-23七年级上·辽宁鞍山·期末）如图，，平分，平分． (1)如图①，在的内部，则_________； (2)如图②，在的外部，且，能否求出的度数，若能，请写出求解过程，若不能，说明理由． 【答案】(1) (2) 【知识点】角平分线的有关计算 【分析】本题考查角的计算等，熟练掌握角平分线的定义是解答本题的关键． （1）利用角平分线的定义解答即可； （2）利用角平分线的定义解答即可． 【详解】（1）解：平分，平分，， ，， ． 故答案为：； （2）解：能．求解过程如下： 平分，平分，， ． 15．（23-24七年级上·广西百色·期末）【知识背景】已知为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角尺的直角顶点放在点处． 【动手操作】 （1）如图①所示，若三角尺的一边与射线重合，则______； 【类比操作】 （2）如图②所示，将三角尺绕点逆时针旋转一定角度，此时是的平分线，求和的度数； （3）将三角尺绕点逆时针旋转至如图③所示的位置时，，求的度数． 【答案】（1）；（2）；；（3） 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、几何问题(一元一次方程的应用)、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查角的计算和旋转的知识，关键是明确题意，灵活变化，找出所求问题需要的量． （1）根据余角进行计算即可； （2）根据角平分线的定义求出，即可得到结论； （3）设，则，求出，即可计算得到结论． 【详解】解：（1），， ； （2），平分， ， ， ； （3）设，则， ， ， ， ， ．    16．（23-24七年级下·重庆九龙坡·开学考试）如图，在的内部引一条射线，则图中共有个角，分别是、和．若其中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍，则称射线是的“定分线”． (1)一个角的角平分线______这个角的“定分线”（填“是”或“不是”）； (2)如图，若，其中射线是的“定分线”，请求出的度数； (3)如图，若，射线绕点从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，当与成时停止旋转，旋转的时间为秒．同时射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，并与同时停止旋转．请直接写出射线是“定分线”时的值． 【答案】(1)是； (2)或或； (3)或或． 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、角平分线的有关计算、角n等分线的有关计算 【分析】（）根据角平分线的定义即可求解； （）分三种情况：①是的角平分线；是的三等分线，且更小；③是的三等分线，且更大进行解答即可求解； （）分三种情况：①；②；③；分别画出图形列出方程解答即可求解； 本题考查了“定分线”的定义，一元一次方程的几何应用，理解题意并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：一个角的角平分线是这个角的“定分线”， 故答案为：是； （2）解：①当是的角平分线时，； ②当是的三等分线时，且更小时， ； ③当是的三等分线时，且更大时， ； 综上，的度数为或或； （3）解：①当时，如图， 则， 解得； ②当时，如图， 则， 解得； ③当时，如图， 则， 解得； 综上，的值为或或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 角的和与差及角平分线问题的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、角的和与差多解问题 3 类型二、单条角平分线问题 5 类型三、双条角平分线问题 10 类型四、多条角平分线问题 13 压轴能力测评（16题） 17 解题知识必备 1.角的和与差 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 2.角平分线模型 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 3.双角平分线模型 共顶点的三条射线组成的三个角中（两角共一边），已知任意两个角的平分线，求角平分线夹角。 图1 图2 1）双角平分线模型（两个角无公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC， ∴，， ∴， ∴。 2）双角平分线模型（两个角有公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC， ∴，， ∴， ∴。 4.角n等分线模型 条件：如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线，…，分别是和的平分线；结论：． 证明：∵分别是和的平分线， ， ， 、分别是和的平分线， ， ， 、分别是和的平分线， ， ，…， 由此规律得：。 压轴题型讲练 类型一、角的和与差多解问题 例题：（23-24七年级下·山东淄博·阶段练习）平面内有公共端点的三条射线，构成的角，则的度数是 ． 【变式训练1】（23-24七年级下·云南玉溪·期末），，则的余角的度数为 ． 【变式训练2】（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）从点O出发的三条射线、、，使得，且，则的度数为 ． 类型二、单条角平分线问题 例题：（24-25七年级上·全国·课后作业）已知，平分，，则的度数为 ． 【变式训练1】（22-23七年级上·江苏无锡·期末）如图，若，，，射线绕点O以每秒逆时针旋转，射线绕点O以每秒顺时针旋转，射线绕点O每秒顺时针旋转，三条射线同时旋转，当一条射线与直线重合时，三条射线同时停止运动，运动 秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线． 【变式训练2】（24-25七年级上·河北秦皇岛·期中）如图，点O在直线上，，，平分． (1)求的度数； (2)求的度数； (3)是否平分？试说明理由． 【变式训练3】（2024七年级上·全国·专题练习）已知，顶点O在直线上，，是的平分线． (1)当点A，B在直线的同侧时，如图1： ①若，则 ； 若，则 ； ②若，则 （用n表示）； (2)当A，B在直线的异侧时，如图2： ①猜想与之间的数量关系，并说明理由； ②若，直接写出的度数． 类型三、双条角平分线问题 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）如图，是的平分线，是的平分线． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【变式训练1】（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图，已知内部有三条射线，平分，平分． (1)若，，求的度数； (2)若，求的度数（写出求解过程）； (3)若将条件中“平分，平分．平分”改为“，”，且，求的度数（写出求解过程）． 【变式训练2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图①，是内部的一条射线，、分别平分，． (1)若，，求 ； (2)与的大小有什么关系，写出你的结论并说明理由． (3)如图②，如果是外部的一条射线，、分别平分，．那么（2）中与的大小关系还成立吗？请说明理由． 类型四、多条角平分线问题 例题：（2023七年级上·全国·专题练习）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个部分的射线，叫做这个角的三分线，一个角的三分线有两条．如图1，，则OB是的一条三分线．    （1）如图1，若，则 ； （2）如图2，若，，是的两条三分线，且． ①则 ； ②若以点为中心，将顺时针旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为 ． 【变式训练1】（23-24七年级上·河南新乡·期末）如图①，射线在内部，图中共有三个角，若其中有两个角的度数之比为，则称射线为的“幸运线”．如图②，若，射线为的“幸运线”，则的度数是 ． 【变式训练2】（23-24七年级上·安徽合肥·期末）已知下图中的均为直角． (1)如图一，是的角平分线，是的角平分线； ①若，求的大小； ②若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）； (2)如图二，若内部的射线OP、OQ把分成了三部分，且使得，我们称OP、OQ为的“三等分线”． 在图三中，OD是的三等分线，OE是的三等分线，且，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 压轴能力测评（16题） 一、单选题 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线、相交于点，射线平分，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，是平角，，分别是的平分线，则（　　） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·广西柳州·开学考试），平分，以为一边作，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 4．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，C为直线上一点，平分，平分，平分．有下列结论：①与互余；②与互补；③与互补；④，其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（22-23七年级上·浙江湖州·期末）定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（    ） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 二、填空题 6．（23-24七年级上·四川自贡·期末）如果，，那么的度数为 ． 7．（23-24七年级下·四川德阳·阶段练习）如图，若与是一对邻补角，平分，在内部，并且，，则的度数是 ． 8．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）如图，点O是直线上的一点，射线在直线的上方且，有一大小为的可绕其顶点O旋转一周，其中射线、分别平分、，当时， ． 9．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）如图，在内部顺次有一组射线，，，，满足，，，，. 若，则 （用含，的代数式表示）. 10．（23-24七年级上·河南南阳·期末）【动手操作】如图，为直线上一点，作射线使．将一个直角三角板按图1所示的方式摆放，直角顶点在点处，一条直角边在射线上．将图1中的三角板绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转一周，如图2所示．当所在直线恰好平分时，旋转时间为 秒． 三、解答题 11．（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）已知，，分别是的平分线，求的度数． 12．（23-24七年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，直线相交于点，平分，． (1)求证：是的平分线； (2)若，求的度数． 13．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）如图，已知O为直线上一点，是内部一条射线且满足与互补，，分别为，的角平分线． (1)与相等吗？请说明理由； (2)若，试求与的度数； (3)若，试求的度数． 14．（22-23七年级上·辽宁鞍山·期末）如图，，平分，平分． (1)如图①，在的内部，则_________； (2)如图②，在的外部，且，能否求出的度数，若能，请写出求解过程，若不能，说明理由． 15．（23-24七年级上·广西百色·期末）【知识背景】已知为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角尺的直角顶点放在点处． 【动手操作】 （1）如图①所示，若三角尺的一边与射线重合，则______； 【类比操作】 （2）如图②所示，将三角尺绕点逆时针旋转一定角度，此时是的平分线，求和的度数； （3）将三角尺绕点逆时针旋转至如图③所示的位置时，，求的度数． 16．（23-24七年级下·重庆九龙坡·开学考试）如图，在的内部引一条射线，则图中共有个角，分别是、和．若其中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍，则称射线是的“定分线”． (1)一个角的角平分线______这个角的“定分线”（填“是”或“不是”）； (2)如图，若，其中射线是的“定分线”，请求出的度数； (3)如图，若，射线绕点从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，当与成时停止旋转，旋转的时间为秒．同时射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，并与同时停止旋转．请直接写出射线是“定分线”时的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$