专题12 线段的和与差及中点问题的四种考法-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学上册压轴题攻略（湘教版2024）

专题12 线段的和与差及中点问题的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、线段的和与差多解问题 3 类型二、线段中的单中点问题 5 类型三、线段中的双中点问题 8 类型四、线段中的多中点问题 10 压轴能力测评（17题） 14 解题知识必备 1.线段的和与差 如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD 2.线段的中点 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有： 3.线段双中点问题 两线段在同一直线上且有一个共同的端点，求这两条线段的中点距离的模型我们称之为线段的双中点模型 条件：点M、N分别为线段AB、BC的中点，结论：. 证明：①当点B在线段AC上，如图1， 图1 ∵M、N分别为AB、BC的中点， ∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM+BN， ∴； ②当点B在线段AC的延长线上，如图2， 图2 ∵M、N分别为AB、BC的中点， ∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM-BN， ∴； ③当点B在线段CA的延长线上 图3 ∵M、N分别为AB、BC的中点， ∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BN-BM， ∴； 4.线段的多中点问题 条件：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点、﹔第2次操作：分别取线段和的中点，﹔第3次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作n次，结论：． 证明：∵、是和的中点 ∴，， ∴， ∵、是和的中点， ∴，， ∴， ∵，是和的中点， ∴，， ∴，……发现规律：， 压轴题型讲练 类型一、线段的和与差多解问题 例题：（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知点C在直线上，，，则线段AC的长为 ． 【变式训练1】（23-24六年级下·山东烟台·期中）已知线段，直线上有一点C，且，则的长为 ． 【变式训练2】（23-24六年级下·山东济南·期中）已知线段，点C是直线上一点，且，则 ． 【变式训练3】（24-25七年级上·全国·课后作业）已知线段，，三点在一条直线上，线段的长度是多少？ 类型二、线段中的单中点问题 例题：（24-25七年级上·全国·课后作业）已知点在直线l上，其中线段，且，若M是线段的中点，求线段的长． 【变式训练1】（24-25七年级上·全国·单元测试）如图，是线段的中点，点在线段上，是线段的中点． (1)若，，求的长； (2)若，，求的长． 【变式训练2】（23-24六年级下·山东东营·期末）如图，点M在线段上，线段与的长度之比为，点N为线段的中点． (1)若，求的长． (2)在线段上作出一点E，满足，若，请直接写出的长（用含t的代数式表示）． 类型三、线段中的双中点问题 例题：（23-24七年级下·吉林松原·开学考试）如图，已知点C在线段上，线段，M，N分别是的中点 (1)求线段的长度； (2)根据第（1）题的计算过程和结果，设，其他条件不变，直接写出的长度 【变式训练1】（23-24七年级上·河北秦皇岛·期末）如图，已知点C为线段上一点，，，点D，E分别是，的中点．求： (1)的长度； (2)的长度． 【变式训练2】（22-23七年级上·河南郑州·阶段练习）如图①，已知点C在线段上，线段厘米，厘米，点M，N分别是，的中点． (1)求线段的长度； (2)根据第（1）题的计算过程和结果，设，其他条件不变，求的长度； (3)动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2厘米/秒的速度沿向右运动，终点为B，点Q以1厘米/秒的速度沿向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时： ①点P恰好为线段的中点？ ②直接写出C、P、Q三点中有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？（除①外） 类型四、线段中的多中点问题 例题：（23-24六年级下·山东威海·期末）已知线段，点C，D是线段上的点，且，点D是线段的三等分点，则 ． 【变式训练1】（23-24七年级上·江西南昌·期中）如图，图中数轴的单位长度为．若原点为的四等分点，则点代表的数为 ．    【变式训练2】（23-24七年级上·辽宁锦州·期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣： 如图1，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点．若AB＝12，AC＝8，求MN的长． (1)根据题意，小明求得MN＝___________； (2)小明在求解（1）的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设AB＝a，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． ①如图1，M，N分别是AC，BC的中点，则MN＝______________； ②如图2，M，N分别是AC，BC的三等分点，即，，求MN的长； ③若M，N分别是AC，BC的n等分点，即，，则MN＝___________； 压轴能力测评（17题） 一、单选题 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）点B在线段上，以下四个等式：①；    ②；    ③；    ④．其中能表示，点B是线段中点的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24六年级下·山东东营·期末）如图，点C是线段上的点，点M、N分别是的中点，若，则线段的长度是（　　　） A． B． C． D． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，C是线段上一点，D为的中点，且．若点E在直线上，且，则的长为（   ） A． B． C．或 D．或 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，点C是线段上一点，D为的中点，且，．若点E在直线上，且，则的长为（　　） A．4 B．15 C．3或15 D．4或10 5．（2023七年级上·浙江·专题练习）如图，点C是线段的中点，点N是线段的三等分点．若线段的长为12，则线段的长度是（　　） A．10 B．8 C．7或9 D．8或10 二、填空题 6．（23-24七年级上·宁夏银川·期末）已知线段，点C在线段上，且，O是的中点，则线段的长度是 ． 7．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）如图所示，已知是线段上的一个点，是的中点，为中点，且满足，求 ． 8．（22-23七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，有公共端点P的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线的“折中点”，点E为线段的中点，，，则线段的长为 ． 9．（24-25七年级上·河北唐山·期中）点A，B，C在同一条直线上，其中一点为另外两点形成的线段的中点，， ． 10．（22-23七年级上·河南周口·阶段练习）已知线段，点是线段上任意一点不与点，重合，若，分别是，的中点，如图，则；若，分别是，上靠近，的三等分点，即，，则；若，分别是，上靠近，的等分点，即，，则 三、解答题 11．（23-24六年级下·黑龙江大庆·期末）如图，点，在线段上． (1)填空： ___________． (2)若是线段中点，，cm，求线段的长． 12．（23-24七年级上·河南驻马店·期末）如图，已知点在线段上，分别是的中点． (1)若，求的长； (2)若，请用含有的式子表示出的长． 13．（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，，C为线段上一点，D为的中点，E为的中点，F为的中点． (1)若， ①求的长； ②求的长； (2)若，求 的值． 14．（23-24七年级上·辽宁盘锦·期末）如图，点C在线段上，，． (1) ； ． (2)若点D、E在过线上，点D在点E的左侧，线段DE在线段上移动，． ①如图1，当E为中点时，求的长； ②点F（异于A，B，C点）在线段上，，，画出图形，求的长； 15．（23-24七年级下·湖北恩施·开学考试）如图所示，线段点从点出发以的速度沿向左运动，点从点出发以的速度沿向左运动（在线段上，在线段上） (1)若运动到任意时刻都有，求出在上的位置； (2)在（1）的条件下，是直线上一点，若，求的值； (3)在（1）的条件下，若运动了一段时间后恰有，这时点停止运动，点继续在线段上运动，分别是的中点，求出的值． 16．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）【概念学习】 点在线段上，若，则称是点在线段上的“分点值”，记作．例如，如图1，若，则点在线段上的“分点值”是，记作；若，则，故点在线段上的“分点值”是，记作． 【理解与应用】 (1)已知点在线段上．若，，则________； 若，，则_________． (2)如图2，线段， 是线段上一点，、两点分别从点、出发以，的速度同时向点运动，运动的时间为， 当其中一点到达点时，两点都停止运动． ①若点在上运动时，总有，求出的值； ②若，则当为何值时，； ③若时，，则___________． 17．（23-24七年级上·河南周口·期末）学习了线段的中点之后，小明利用数学软件做了n次取线段中点实验：如图，设线段，第1次，取的中点；第2次，取的中点；第3次，取的中点，第4次，取的中点；… (1)请完成下列表格数据． 次数      线段的长 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 ①______ ②________ … … … (2)小明对线段的表达式进行了如下化简： 因为， 所以， 两式相加，得， 所以． 请你参考小明的化简方法，化简的表达式． (3)类比猜想：_____，=_____，随着取中点次数n的不断增大，的长最终接近的值是____． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 线段的和与差及中点问题的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、线段的和与差多解问题 3 类型二、线段中的单中点问题 5 类型三、线段中的双中点问题 8 类型四、线段中的多中点问题 10 压轴能力测评（17题） 14 解题知识必备 1.线段的和与差 如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD 2.线段的中点 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有： 3.线段双中点问题 两线段在同一直线上且有一个共同的端点，求这两条线段的中点距离的模型我们称之为线段的双中点模型 条件：点M、N分别为线段AB、BC的中点，结论：. 证明：①当点B在线段AC上，如图1， 图1 ∵M、N分别为AB、BC的中点， ∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM+BN， ∴； ②当点B在线段AC的延长线上，如图2， 图2 ∵M、N分别为AB、BC的中点， ∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM-BN， ∴； ③当点B在线段CA的延长线上 图3 ∵M、N分别为AB、BC的中点， ∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BN-BM， ∴； 4.线段的多中点问题 条件：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点、﹔第2次操作：分别取线段和的中点，﹔第3次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作n次，结论：． 证明：∵、是和的中点 ∴，， ∴， ∵、是和的中点， ∴，， ∴， ∵，是和的中点， ∴，， ∴，……发现规律：， 压轴题型讲练 类型一、线段的和与差多解问题 例题：（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知点C在直线上，，，则线段AC的长为 ． 【答案】2或7/7或2 【知识点】线段的和与差 【分析】本题考查线段的和差关系，分点C在点A的左侧、右侧两种情况，根据线段的和差关系分别求解即可． 【详解】解：当点C在点A的左侧时，如图， ，， ， ； 当点C在点A的右侧时，如图， ， ， ， 综上可知，线段AC的长为2或7， 故答案为：2或7． 【变式训练1】（23-24六年级下·山东烟台·期中）已知线段，直线上有一点C，且，则的长为 ． 【答案】50或75/75或50 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、线段的和与差、两点间的距离 【分析】本题考查了两点间的距离，解题的关键是掌握线段的和差，线段的几分之几的求法．分点C在线段的延长线上和点C在线段上两种情况求解即可． 【详解】解：如图，当点C在线段的延长线上时， ∵线段，， ∴， ∴， ∴； 如图，当点C在线段上时， ∵线段，， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的长为75或50． 故答案为：50或75． 【变式训练2】（23-24六年级下·山东济南·期中）已知线段，点C是直线上一点，且，则 ． 【答案】或 【知识点】线段的和与差 【分析】本题考查了线段的和差，熟练掌握分类讨论思想是解本题的关键． 根据题意，当点C在线段上时，则；当点C在线段的延长线上时，则，然后根据线段的和差分别代入计算即可。 【详解】，， 点C不在的延长线上 当点C在线段上时，如图： 则； 当C在线段的延长线上时，如图： 则， 故答案为：或． 【变式训练3】（24-25七年级上·全国·课后作业）已知线段，，三点在一条直线上，线段的长度是多少？ 【答案】线段的长度是或． 【知识点】线段的和与差 【分析】本题主要考查了两点之间的距离．根据点A在线段上和点C在线段延长线上两种情况计算即可． 【详解】解：当点A在线段上时， ； 当点C在线段延长线上时， ； 综上，线段的长度是或． 类型二、线段中的单中点问题 例题：（24-25七年级上·全国·课后作业）已知点在直线l上，其中线段，且，若M是线段的中点，求线段的长． 【答案】线段的长为5或1． 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，分当点C在点B的右侧时，当点C在点B的左侧时，两种情况先求出，再根据线段的和差关系求出的长，进而根据线段中点的定义求出的长，再求出的长即可． 【详解】解：如图①，当点C在点B的右侧时，∵，且， ∴． ∴． ∵M是线段的中点， ∴． ∴． 如图②，当点C在点B的左侧时， ∵，且， ∴． ∴． ∵M是线段的中点， ∴． ∴， 综上所述，线段的长为5或1． 【变式训练1】（24-25七年级上·全国·单元测试）如图，是线段的中点，点在线段上，是线段的中点． (1)若，，求的长； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了与线段中点有关的计算、线段的和差，熟练掌握以上知识点，找准线段之间的关系是解此题的关键． （1）由线段中点的定义得出，再结合计算即可得解； （2）设，则．由线段中点的定义得出，根据求出，再结合即可得解． 【详解】（1）解：是线段的中点，， ． ， ∴． （2）解：∵， ∴设，则． 是线段的中点， ∴． ∵，即， 解得． ∵， ． 【变式训练2】（23-24六年级下·山东东营·期末）如图，点M在线段上，线段与的长度之比为，点N为线段的中点． (1)若，求的长． (2)在线段上作出一点E，满足，若，请直接写出的长（用含t的代数式表示）． 【答案】(1)； (2) 【知识点】线段中点的有关计算、两点间的距离、列代数式 【分析】本题主要考查了两点间的距离、列代数式，熟练掌握线段中点的定义，线段之间的数量转化是解题关键． （1）根据，设，，根据线段和的关系列方程求出，再根据线段中点定义求出，进而得到的长； （2）根据，推得，再根据已知条件，等量代换后得出，进而得出用含t的代数式表示的长． 【详解】（1）解：由题知：，设，， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴，.   ∵点是线段的中点， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 类型三、线段中的双中点问题 例题：（23-24七年级下·吉林松原·开学考试）如图，已知点C在线段上，线段，M，N分别是的中点 (1)求线段的长度； (2)根据第（1）题的计算过程和结果，设，其他条件不变，直接写出的长度 【答案】(1) (2) 【知识点】线段中点的有关计算、两点间的距离 【分析】本题考查线段中点的计算，数形结合是解答本题的关键． （1）根据点M、N分别是的中点，先求出的长度，再利用即可求出的长度即可， （2）根据点M、N分别是的中点，可知，再利用即可求出的长度． 【详解】（1）∵点M、N分别是的中点，， ∴， ∴； （2）， ∵点M、N分别是的中点， ∴， ∴． 【变式训练1】（23-24七年级上·河北秦皇岛·期末）如图，已知点C为线段上一点，，，点D，E分别是，的中点．求： (1)的长度； (2)的长度． 【答案】(1) (2) 【知识点】线段中点的有关计算 【分析】本题考查了关于线段的中点的计算，线段的和与差的计算，读懂题意熟练运用线段的和差倍分是解本题的关键． （1）直接根据是的中点可得答案； （2）先求出的长，然后根据E是的中点求出，根据即可求出． 【详解】（1）解：∵，点D是的中的中点， ∴； （2）∵，， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴． 【变式训练2】（22-23七年级上·河南郑州·阶段练习）如图①，已知点C在线段上，线段厘米，厘米，点M，N分别是，的中点． (1)求线段的长度； (2)根据第（1）题的计算过程和结果，设，其他条件不变，求的长度； (3)动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2厘米/秒的速度沿向右运动，终点为B，点Q以1厘米/秒的速度沿向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时： ①点P恰好为线段的中点？ ②直接写出C、P、Q三点中有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？（除①外） 【答案】(1)厘米 (2) (3)①   ②或 【知识点】线段中点的有关计算、与线段有关的动点问题 【分析】本题考查了线段的中点和计算，利用线段中点的性质得出关于t的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏． （1）根据中点的定义、线段的和差，可得答案； （2）根据中点的定义、线段的和差，可得答案； （3）①分为为线段的中点和为线段的中点，利用线段中点的定义，可得方程，根据解方程，可得答案； ②分为C为线段的中点和点为线段的中点，利用线段中点的定义，可得方程，根据解方程，可得答案． 【详解】（1）解：∵线段 厘米， 厘米，点, 分别是, 的中点, 厘米， 厘米， 厘米； （2）∵点, 分别是的中点, ， ； （3）解：①当 时，为线段的中点，， 解得； ②当时，是线段的中点，得 解得 当 时，为线段的中点， 解得 当时，为线段的中点， 解得(舍) , 综上所述：或 类型四、线段中的多中点问题 例题：（23-24六年级下·山东威海·期末）已知线段，点C，D是线段上的点，且，点D是线段的三等分点，则 ． 【答案】或 【知识点】线段n等分点的有关计算 【分析】本题考查了线段的计算，由题意可知或，再结合线段和差关系即可求解，明确线段三等分点的意义，正确分类计算是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，则， ∵点D是线段的三等分点， ∴或， 当时，； 当时，； 综上，或， 故答案为：或． 【变式训练1】（23-24七年级上·江西南昌·期中）如图，图中数轴的单位长度为．若原点为的四等分点，则点代表的数为 ．    【答案】或或 【知识点】用数轴上的点表示有理数、线段n等分点的有关计算、数轴上两点之间的距离 【分析】根据线段的四等分点有个，分三种情况并结合图形即可得出答案． 【详解】解：∵图中数轴的单位长度为， ∴， ①如图，当点靠近点时， ∵原点为的四等分点， ∴， ∴点代表的数为；    ②如图，当点恰好是线段的中点时， ∵原点为的四等分点， ∴， ∴点代表的数为；    ③如图，当点靠近点时， ∵原点为的四等分点， ∴， ∴点代表的数为；    综上所述，点代表的数为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查线段的四等分点，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，运用了分类讨论的思想．解题的关键是掌握线段的四等分点的定义：把一条线段平均分成份． 【变式训练2】（23-24七年级上·辽宁锦州·期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣： 如图1，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点．若AB＝12，AC＝8，求MN的长． (1)根据题意，小明求得MN＝___________； (2)小明在求解（1）的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设AB＝a，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． ①如图1，M，N分别是AC，BC的中点，则MN＝______________； ②如图2，M，N分别是AC，BC的三等分点，即，，求MN的长； ③若M，N分别是AC，BC的n等分点，即，，则MN＝___________； 【答案】(1)6 (2)①；②；③ 【知识点】线段中点的有关计算、线段n等分点的有关计算、两点间的距离 【分析】（1）由AB=12，AC=8，得BC=AB-AC=4，根据M，N分别是AC，BC的中点，即得CM=AC=4，CN=BC=2，故MN=CM+CN=6； （2）①由M，N分别是AC，BC的中点，知CM=AC，CN=BC，即得MN=AC+BC=AB，故MN=a； ②由AM=AC，BN=BC，知CM=AC，CN=BC，即得MN=CM+CN=AC+BC=AB，故MN=a； ③由AM=AC，BN=BC，知CM=AC，CN=BC，即得MN=CM+CN=AC+BC=AB，故MN=a． 【详解】（1）解：∵AB=12，AC=8， ∴BC=AB-AC=4， ∵M，N分别是AC，BC的中点， ∴CM=AC=4，CN=BC=2， ∴MN=CM+CN=6； 故答案为：6； （2）解：①∵M，N分别是AC，BC的中点， ∴CM=AC，CN=BC， ∴MN=AC+BC=AB， ∵AB=a， ∴MN=a； 故答案为：a； ②∵AM=AC，BN=BC， ∴CM=AC，CN=BC， ∴MN=CM+CN=AC+BC=AB， ∵AB=a， ∴MN=a； ③∵AM=AC，BN=BC， ∴CM=AC，CN=BC， ∴MN=CM+CN=AC+BC=AB， ∵AB=a， ∴MN=a， 故答案为：a． 【点睛】本题考查了线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算． 压轴能力测评（17题） 一、单选题 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）点B在线段上，以下四个等式：①；    ②；    ③；    ④．其中能表示，点B是线段中点的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】线段中点的有关计算 【分析】本题考查了线段的中点这一概念．根据线段的中点概念，对选项进行一一分析，排除错误答案． 【详解】解：点B在线段上， ①，能表示点B是线段中点； ②，能表示点B是线段中点； ③，能表示点B是线段中点； ④，不能表示点B是线段中点． 故选：C． 2．（23-24六年级下·山东东营·期末）如图，点C是线段上的点，点M、N分别是的中点，若，则线段的长度是（　　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查线段中点的定义、线段的和差等知识点，掌握线段的中点定义是解题的关键． 根据线段中点的定义可得、，再结合可得，进而得到，即，据此求解即可． 【详解】解：∵点M、N分别是的中点， ∴,, ∵, ∴,即, ∴，即， ∴． 故选：D． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，C是线段上一点，D为的中点，且．若点E在直线上，且，则的长为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查线段中点的性质及线段的和差关系，解题的关键是熟练掌握线段中点的性质及和差关系；由题意易得，则有，然后分当点E在点A右侧时和当点E在点A左侧时，进而求解即可 【详解】解：因为D为的中点，， 所以． 因为， 所以． 如图①，当点E在点A右侧时． 因为，所以， 所以； 如图②，当点E在点A左侧时 因为， 所以． 综上所述，的长为或； 故选D． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，点C是线段上一点，D为的中点，且，．若点E在直线上，且，则的长为（　　） A．4 B．15 C．3或15 D．4或10 【答案】D 【知识点】两点间的距离、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了两点间的距离，根据线段中点的定义得到，，求得，分两种情况：当点在点右侧，当点在点左侧，根据线段的和差分别讨论，是解决问题关键． 【详解】解：∵D为的中点，， ∴，， ∵， ∴， 如图1，当点在点右侧， ∵， ∴， ∴； 如图2，当点在点左侧， ∵， ∴， 故的长为4或10， 故选：D． 5．（2023七年级上·浙江·专题练习）如图，点C是线段的中点，点N是线段的三等分点．若线段的长为12，则线段的长度是（　　） A．10 B．8 C．7或9 D．8或10 【答案】D 【知识点】线段n等分点的有关计算、线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题主要考查了线段和差倍分的计算，解题关键是熟练掌握线段与线段之间的和差倍分关系． 先根据已知条件求出和的长，然后根据点的位置，分两种情况讨论，画出图形，利用已知条件，求出的值即可． 【详解】解：，点是中点， ， 分两种情况讨论： ①点的位置如图所示： 点是线段的三等分点， ， ； ②点位置如图所示： 点是线段的三等分点， ， ； 综上可知：的长度为8或10， 故选：D． 二、填空题 6．（23-24七年级上·宁夏银川·期末）已知线段，点C在线段上，且，O是的中点，则线段的长度是 ． 【答案】1 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，先由线段中点的定义得到，再根据线段的和差关系可得答案． 【详解】解：∵，O是的中点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：1． 7．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）如图所示，已知是线段上的一个点，是的中点，为中点，且满足，求 ． 【答案】 【知识点】线段的和与差、两点间的距离、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了两点间的距离和中点的性质等知识点，由和推出，由M为的中点可得出的长，进而可得的长度，由 N为的中点可得出的长度，进而即可求出的值．根据各线段之间的关系求出的长度是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵M为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵N为的中点， ∴, ∴， ∴， 故答案为：． 8．（22-23七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，有公共端点P的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线的“折中点”，点E为线段的中点，，，则线段的长为 ． 【答案】4或24 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查两点间的距离，熟练掌握分类讨论的思想是解题的关键．根据“折中点”的定义分情况求出的长度即可． 【详解】①如图，，， ∵点D是折线的“折中点”， ∴， ∵点E为线段的中点， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，，， ∵点D是折线的“折中点”， ∴， ∵点E为线段的中点， ∴ ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为4或24， 故答案为：4或24． 9．（24-25七年级上·河北唐山·期中）点A，B，C在同一条直线上，其中一点为另外两点形成的线段的中点，， ． 【答案】1或2或4 【知识点】线段中点的有关计算 【分析】本题考查的是线段的中点的含义，分类讨论是解本题的关键．分三种情况讨论：当C是线段的中点，当A是线段的中点时，当B是线段的中点时，从而可得答案． 【详解】解：当C是线段的中点，则； 当A是线段的中点时，则； 当B是线段的中点时，则，此时， 故答案为：1或2或4． 10．（22-23七年级上·河南周口·阶段练习）已知线段，点是线段上任意一点不与点，重合，若，分别是，的中点，如图，则；若，分别是，上靠近，的三等分点，即，，则；若，分别是，上靠近，的等分点，即，，则 【答案】 【知识点】线段的和与差 【分析】本题考查线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算．由，，知，，得，即可作答． 【详解】解，， ，， ， 故答案为： 三、解答题 11．（23-24六年级下·黑龙江大庆·期末）如图，点，在线段上． (1)填空： ___________． (2)若是线段中点，，cm，求线段的长． 【答案】(1)， (2)cm 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查了两点间的距离，解题关键是正确识别图形，理解线段与线段之间的和差倍分关系． （1）根据线段的和差运算求解即可； （2）根据中点的定义求出，根据推出，即可根据求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：，； （2）∵是线段中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 12．（23-24七年级上·河南驻马店·期末）如图，已知点在线段上，分别是的中点． (1)若，求的长； (2)若，请用含有的式子表示出的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差、整式加减的应用 【分析】本题考查求线段长，涉及线段中点、线段和差倍分关系等，数形结合表示出线段是解决问题的关键． （1）根据分别是的中点，得到，，数形结合，得到，代值求解即可得到答案； （2）根据分别是的中点，得到，，数形结合，得到，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：分别是的中点， ，， ， ； （2）解：分别是的中点， ，， ， ． 13．（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，，C为线段上一点，D为的中点，E为的中点，F为的中点． (1)若， ①求的长； ②求的长； (2)若，求 的值． 【答案】(1)①，② (2)的值为或2 【知识点】绝对值非负性、线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】题目主要考查线段中点的计算，绝对值的非负性，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）根据题意得出；①利用中点结合图形求解即可；②利用中点结合①中结果求解即可； （2）分两种情况分析：当时，当时，设，结合图形求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴， ∴； ①∵D为的中点，E为的中点， ∴， ∴， ②∵F为的中点， ∴， ∴； （2）分两种情况： 当时，如图： 设， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 当时，如图所示： 设， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 综上所述，的值为或2． 14．（23-24七年级上·辽宁盘锦·期末）如图，点C在线段上，，． (1) ； ． (2)若点D、E在过线上，点D在点E的左侧，线段DE在线段上移动，． ①如图1，当E为中点时，求的长； ②点F（异于A，B，C点）在线段上，，，画出图形，求的长； 【答案】(1)12，6 (2)①7；②的长为3或5． 【知识点】线段中点的有关计算、两点间的距离、线段的和与差 【分析】本题考查了两点间的距离，线段中点的性质，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键． （1）根据，，可求得，； （2）①根据中点定义求出，由线段的和差即可得到的长； ②点（异于，，点）在线段上，，，确定点是的中点，即可求的长． 【详解】（1）∵，， ，； （2）如图1， 为中点， ， ， ， ； ②Ⅰ、当点在点的左侧，如图2， ，， 点是的中点， ， ， ； ，故图2（b）这种情况求不出； Ⅱ、如图3，当点在点的右侧， ，， ， ， ． ，故图3（b）这种情况求不出； 综上所述：的长为3或5． 15．（23-24七年级下·湖北恩施·开学考试）如图所示，线段点从点出发以的速度沿向左运动，点从点出发以的速度沿向左运动（在线段上，在线段上） (1)若运动到任意时刻都有，求出在上的位置； (2)在（1）的条件下，是直线上一点，若，求的值； (3)在（1）的条件下，若运动了一段时间后恰有，这时点停止运动，点继续在线段上运动，分别是的中点，求出的值． 【答案】(1)点P在线段上的离A较近的处 (2)或 (3) 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是解题的关键． （1）根据的运动速度知，再由已知条件求得，所以点P在线段上离A点较近的处； （2）由题设画出图示，根据求得；然后求得，从而求得与的关系； （3）当C点停止运动时，有，故，再设，，，即可列式得出答案． 【详解】（1）根据的运动速度知：， ∵， ∴，即， ∴点P在线段上的离A点较近的处； （2）如图： ∵， ∴； 又∵， ∴， ∴； 当点 ∵ ，且 ，，    ∴ ． 综上所述，长为或； （3）的值不变，理由： 如图2, 当点停止运动时，有， ∴ ， D点继续运动，设，，， ∴． 16．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）【概念学习】 点在线段上，若，则称是点在线段上的“分点值”，记作．例如，如图1，若，则点在线段上的“分点值”是，记作；若，则，故点在线段上的“分点值”是，记作． 【理解与应用】 (1)已知点在线段上．若，，则________； 若，，则_________． (2)如图2，线段， 是线段上一点，、两点分别从点、出发以，的速度同时向点运动，运动的时间为， 当其中一点到达点时，两点都停止运动． ①若点在上运动时，总有，求出的值； ②若，则当为何值时，； ③若时，，则___________． 【答案】(1)；18 (2)①；②；③或 【知识点】线段的和与差、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，线段的数量关系，解题关键在于理解新定义，根据新定义列出方程即可． （1）根据新定义，列出式子即可． （2）①设，，表示出，列式子求解． ②根据定义，，表示出，即可求解． ③分两种情况进行讨论，一个是当在的左侧时，一个当在的右侧时，根据新定义列出式子，进行求解． 【详解】（1）解：若，，则， 若，，则， ∵， ∴． ∵ ∴． 故答案为：；18； （2）①，． ∵， ∴． ∴． ∴； ②∵，， ∴，则． ∴，， ∵， ∴， 故； ③∵． ∴，． 分两种情况： 当在的左侧时， ∵， ∴． ∴． 可知，， 则； 当在的右侧时， ． ， 则； 综上所述，或； 故答案为：或． 17．（23-24七年级上·河南周口·期末）学习了线段的中点之后，小明利用数学软件做了n次取线段中点实验：如图，设线段，第1次，取的中点；第2次，取的中点；第3次，取的中点，第4次，取的中点；… (1)请完成下列表格数据． 次数      线段的长 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 ①______ ②________ … … … (2)小明对线段的表达式进行了如下化简： 因为， 所以， 两式相加，得， 所以． 请你参考小明的化简方法，化简的表达式． (3)类比猜想：_____，=_____，随着取中点次数n的不断增大，的长最终接近的值是____． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、线段中点的有关计算、数字类规律探索 【分析】本题考查规律型：数字的变化类，找到规律并会表现出来是解题关键． （1）根据表中的规律可求出，根据可得出答案； （2）参照小明对线段的表达式的化简可得的表达式； （3）根据类比猜想可得答案． 【详解】（1）解：，； 故答案为：，； （2）因为， 所以． 两式相加，得． 所以； （3），随着取中点次数的不断增大的长最终接近的值是． 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$