专题08 一元一次方程应用的四种考法-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学上册压轴题攻略（湘教版2024）

专题08 一元一次方程应用的五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、利用一元一次方程解决销售问题 2 类型二、利用一元一次方程解决方案问题 5 类型三、利用一元一次方程解决配套问题 7 类型四、利用一元一次方程解决电费和水费问题 9 类型五、利用一元一次方程解决数轴上的行程问题 12 压轴能力测评（15题） 18 解题知识必备 1. 列方程解应用题的步骤 ①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系 ②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x） ③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系 ④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程 ⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值 ⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 2. 用一元一次方程解决实际问题的常见类型 1.行程问题：路程＝速度×时间 2.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价 4.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量 5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数 6.数字问题：多位数的表示方法：例如： 压轴题型讲练 类型一、利用一元一次方程解决销售问题 例题：（2024·贵州黔东南·一模）年月下旬，我省各地中小学陆续正常开学．开学之际，学生对书包的需求量增加． 市场调研： 某班数学兴趣小组对某商场进行调研后了解到如下信息： 信息一 信息二 商场从厂家购进、两款书包，其中款书包个，款书包个，共付款元，已知每个款书包的进价比每个款书包贵元． 商场将款书包按信息一中的进价提高后标价，实际销售时再打折出售，此时每个款书包仍可获利． 问题解决： (1)每个款书包的进价为 元，每个款书包的进价为 元； 信息应用： (2)在信息二中，款书包实际销售时打多少折出售？ 【变式训练1】（2024七年级下·全国·专题练习）列方程解应用题： 某社区超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的倍多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：（注：获利=售价﹣进价） 甲 乙 进价（元/件） 22 30 售价（元/件） 29 40 (1)该超市第一次购进的甲、乙两种商品分别为多少件？ (2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲种商品的件数不变，乙种商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品打折销售．第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多180元，求第二次乙种商品是按原价打几折销售？ 【变式训练2】（23-24七年级上·云南昭通·阶段练习）某商场销售A、B两种商品，A种商品每件售价60元，利润率为；B种商品每件进价50元，售价80元． (1)A种商品每件进价为____________元，每件B种商品利润率为____________． 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于400元 不优惠 超过400元，但不超过600元 按总售价打9折 超过600元 其中600元部分8折优惠，超过600元的部分打7.5折优惠 (2)在“双11”期间，该商场对所有商品进行如下的优惠促销活动：按上述优惠条件，若小明一次性购买商品实际付款531元，求若没有优惠促销，小明在该商场购买同样商品要付多少元？ 类型二、利用一元一次方程解决方案问题 例题：（2024七年级下·全国·专题练习）友谊商场进行促销活动，出售一种优惠购物卡（注：此卡只作为购物优惠凭证，不能顶替货款），花300元买这种卡后，凭卡可在这家商场按标价的八折购物． (1)顾客购买多少元的商品时，买卡与不买卡花钱相等？讨论在什么情况下购物合算？ (2)小张要买一台标价为3500元的冰箱，应如何购买合算？小张能节省多少元钱？ (3)在（2）的条件下，小张按合算的方案把这台冰箱买下，如果友谊商场还能盈利，则这台冰箱的进价是多少元？ 【变式训练1】（23-24七年级上·贵州铜仁·阶段练习）临近2024元旦节，民生超市准备“元旦”大酬宾，对顾客实行优惠购物，规定如下：若顾客一次性购物不超过100元，则不予优惠；若顾客一次性购物超过100元，但不超过300元，则按标价给予九折优惠；若顾客一次性购物超过300元，其中300元按上述给予九折优惠，超过300元的部分给予八折优惠． (1)小强在该超市购买了一台标价为450元的学习机，他应付多少元？ (2)小强的妈妈先后两次去该超市购物，分别付款99和354元，如果小强的妈妈一次性购买，只需要付款多少元？ 【变式训练2】（23-24七年级上·贵州铜仁·期末）印江县为了响应国家乡村振兴战略，大力扶持各乡镇茶叶产业，茶叶产业成为了印江县财政的重要收入来源．今年国庆期间某茶叶公司为了宣传本公司的产品，准备印制一批宣传材料．甲广告公司收费方式：每份材料收元印制费，另收元设计费；乙广告公司收费方式：每份材料收元印制费，不收设计费．该茶叶公司准备印制份宣传材料． (1)若选择甲广告公司，则需付款______元；（用含的代数式表示） 若选择乙广告公司，则需付款______元．（用含的代数式表示） (2)当取何值时，两广告公司收费一样？ (3)当时，通过计算说明此时选哪家广告公司收费更少？ 类型三、利用一元一次方程解决配套问题 例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某车间有27个工人生产甲、乙两种零件，每3个甲种零件与2个乙种零件配成一套，已知每个工人每天能加工甲种零件12个或乙种零件16个，为使每天生产的两种零件配套，则生产甲、乙零件的工人数各多少人？ 【变式训练1】（22-23八年级下·重庆潼南·期中）2023年，中国潼南油菜花节期间，潼南一特产礼盒套装销售火暴，其中，一个礼盒里有两袋双江花生米和一个黄桃罐头．生产车间里，一个工人一天可做150袋花生米，或者100个罐头．现有70个工人全部上岗，分配多少人做花生米，多少人做罐头，才使生产出来的产品刚好全部包装才礼盒套装？ 【变式训练2】（23-24七年级上·湖南长沙·期末）列一元一次方程解下列应用题： (1)某公司有80个工人，生产甲、乙两种零件，每人每天平均能生产甲种零件24个或乙种零件12个．已知每2个甲种零件和3个乙种零件配成一套，问应分配多少人生产甲种零件，多少人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套？ (2)甲乙零件配套后的某产品由A商家销售，A商家将产品定价为每套900元，为了参与市场竞争，A商家按定价的9折再让利40元销售，此时仍可获利，则此产品每套进价是多少元？ 类型四、利用一元一次方程解决电费和水费问题 例题：（24-25七年级上·上海宝山·期中）2015年上海出租车收费标准作了新的调整，起步价调整为14元（0到3公里）；超过3公里并且不超过15公里时，超出的部分每公里2.5元；超过15公里时，超出的部分每公里3.6元． (1)小丽打车去外婆家，如果路程是9公里，那么车费是_________元；如果路程是16公里，那么车费是___________元． (2)小丽打车去外婆家，行程公里，（），那么出租车的费用是多少元？（用含的代数式表示）； (3)如果打车的费用为54.8元，那么小丽去外婆家的路程是多少公里？ 【变式训练1】（24-25七年级上·四川成都·期中）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市民居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 a 超过17吨但不超过30吨的部分 b 超过30吨的部分 （说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量：②水费=自来水费用+污水处理费） 已知小王家2024年7月用水16吨，交水费元．8月份用水25吨，交水费元． (1)求a、b的值． (2)如果小王家9月份用水36吨，求小王家这个月上交水费多少元？ 【变式训练2】（23-24七年级下·山东济南·期中）某地政府为鼓励节约用电，采用阶梯式电价计量标准．根据每户居民每月的用电量（用电量均为整数，单位：千瓦·时）分为三档进行收费（第一档：月用电量不高于240千瓦·时．第二档： 月用电量为千瓦·时，第三档： 月用电量超过 400 千瓦·时）．设居民每月应交电费y（元） ，用电量为x（千瓦·时） 用电量（千瓦·时） 收费（元） 不超过 240 千瓦·时 每千瓦·时 元 千瓦·时 每千瓦·时 元 超过 400千瓦·时 超过的部分每千瓦·时 元 (1)①每月用电量不超过240千瓦·时，y= ； ②每月用电量超过 400千瓦·时，y= ． (2)若某户居民用电量为210千瓦·时，则应交电费多少元? (3)若某户居民某月交费210元，则该户居民用电多少千瓦·时? 类型五、利用一元一次方程解决数轴上的行程问题 例题：（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）已知：数轴上点、、对应的数分别为、、，且满足， (1)求数________，________； (2)若动点、分别从、同时出发向右运动，点的速度为3个单位长度/秒；点的速度为个单位长度/秒，求经过多长时间，两点的距离为； (3)在（2）的条件下，若点运动至点处立刻以原速返回，折返至点后停止运动，点运动到点也以原速返回，当点停止运动点随之停止运动．求在整个运动过程中，两点，相遇时的点在数轴上表示的数． 【变式训练1】（24-25七年级上·全国·期中）已知，，在数轴上对应的数分别用，表示，且． (1)数轴上点表示的数是__________，点表示的数是__________． (2)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，当点在数轴上且满足时，求点对应的数． (3)若一动点从点出发，以个单位长度/秒速度由向运动，当运动到点时，再立即以同样速度返回，运动到点停止；点从点出发时，另一动点从原点出发，以个单位长度/秒速度向运动，运动到点停止．设点运动时间为秒．当为何值时，点与点之间的距离为个单位长度． 【变式训练2】（24-25七年级上·广东广州·期中）如图，点，均在数轴上，点所对应的数是，点在点的右边，且距点个单位长度，点、是数轴上两个动点． (1)求出点所对应的数； (2)当点到点，的距离之和是个单位长度时，求出此时点所对应的数； (3)若点、分别从点，出发，均沿数轴向左运动，点每秒运动个单位长度，点每秒运动个单位长度，若点先出发秒后点出发，当、两点相距个单位长度时，求此时点、分别对应的数； (4)若点、分别同时从点，出发，均沿数轴相向运动，运动时间为，点保持每秒运动个单位长度，点保持每秒运动个单位长度，点到立即折返，点到立即折返，并且当点或点其中一个点回到起点时停止运动，直接写出、距离为时的值． 压轴能力测评（15题） 一、单选题 1．（24-25七年级上·浙江·开学考试）一双鞋子，如果卖169元可赚；如果卖104元，就要亏（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某茶具生产车间共有22名工人，每人每天可生产30个茶壶或者100只茶杯，一个茶壶与4只茶杯配套．为使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套，需要有_________名工人生产茶壶（    ） A．8 B．14 C．10 D．12 3．（24-25七年级上·全国·期中）如图，已知两点在数轴上，点表示的数为，，点以每秒个单位长度的速度从点向右运动．点以每秒个单位长度的速度从点向左运动（点、点同时出发）．经过几秒，点、点分别到原点的距离相等？（    ） A．秒 B．秒或者秒 C．秒或秒 D．秒 二、填空题 4．（2024七年级上·全国·专题练习）某轮船在两个码头之间航行，顺水航行需要，逆水航行需要，水流的速度是．两个码头之间的距离为 ． 5．（23-24七年级上·甘肃武威·期末）某班全体同学参加义务植树活动，如果每人种6棵树，那么剩余15棵，如果每人种7棵树，那么还差33棵，问这个班共有人，树苗共有 棵． 6．（24-25七年级上·广东珠海·期中）如图已知数轴有A、B两点，分别表示的数为、18．点P沿线段自点A向点B以2个单位/秒的速度运动，点P出发3秒后，点Q沿线段自点B向A以4个单位/秒的速度运动，问再经过 秒P，Q两点相距8个单位长度． 三、解答题 7．（2024七年级上·全国·专题练习）甲站和乙站相距，一列慢车从甲站开出，速度为，一列快车从乙站开出，速度为． (1)若两车相向而行，慢车先开，快车开出多少小时后两车相遇？ (2)若两车同时开出，相背而行，多少小时后两车相距？ (3)若两车同时开出，快车在慢车后面同向而行，多少小时后两车相距（快车在慢车的后面）？ 8．（23-24七年级上·湖北襄阳·阶段练习）中国瓷器对世界文明的影响丝毫不亚于中国的四大发明．那些制作精美的瓷器更是成了西方人眼中的“神器”，以至于他们就用瓷器（China）来称呼中国．某瓷器厂共有120名工人，每名工人一天能做200只茶杯或50只茶壶．如果8只茶杯和1只茶壶为一套． (1)应安排多少人生产茶杯，可以使每天生产的茶具配套？ (2)按（1）中的安排，每天可以生产多少套茶具？ 9．（23-24七年级下·山东济南·阶段练习）某城市为了加强公民的节气和用气意识，按以下规定收取每月煤气费：所用煤气如果不超过50立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过50立方米，超过部分按每立方米1.2元收费．设小丽家每月用气量为立方米，应交煤气费为元． (1)分别写出煤气不超过50立方米和超过50立方米时，与之间的关系式； (2)若小丽家4月份的煤气费为88元，那么她家4月份所用煤气为多少立方米？ (3)已知小丽家6月份的煤气费平均每立方米0.95元，那么6月份小丽家用了多少立方米的煤气？ 10．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）“水是生命之源”，市自来水公司为鼓励用户节约用水，按以下规定收取水费： 用水量/月 单价（元/吨） 不超过吨的部分 超过吨但不超过吨的部分 超过吨的部分 注意：另外每吨用水加收元的城市污水处理费． 例如某用户2月份用水吨，共需交纳水费元． (1)若小明家2月份用水吨，共需交纳水费多少元？ (2)若小明家2月份共交纳水费元，那么小明家2月份用水多少吨？ (3)若小强和小明家2月份一共用水吨，共交纳水费元，其中小强家用水量少于吨，小明家用水量少于吨，那么小强和小明家2月份各用水多少吨？ 11．（23-24七年级下·全国·课后作业）某超市计划购进甲、乙两种型号的节能灯共1200只，这两种节能灯的进货单价、销售单价如下表： 类型 进货单价（元） 销售单价（元） 甲型 25 30 乙型 45 60 (1)如果进货款恰好为46000元，那么可以购进甲型节能灯多少只？ (2)超市为庆祝元旦，进行大促销活动，决定对乙型节能灯打折销售，要求全部售完后，乙型节能灯的利润率为，请问乙型节能灯需打几折？ 12．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）徐州宣武批发市场内，某商品的价格按如下优惠：购买不超过300件时，每件3元；超过300件但不超过500件时，每件2.5元；超过500件时，每件2元．某客户欲采购这种商品700件． (1)现有两种购买方案： ①分两次购买，第一次购买100件，第二次购买500件； ②一次性购买600件．按哪种方案购买更省钱？说明理由． (2)若该客户分两次购买该商品共700件（第一次购买不超过300件），共付费1860元，求第一次和第二次分别购买该商品多少件？ 13．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）苏州市某商场经销的、两种商品，种商品每件进价80元，售价100元；种商品每件的售价为60元，利润率为（）． (1)每件种商品的利润率为______；种商品每件的进价为______元； (2)若该商场同时购进、两种商品共40件，总进价恰好为2200元，求购进种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场对所有商品进行如下的优惠促销活动： 优惠前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于900元 不优惠 超过900元，但不超过1200元 按总售价打九折优惠 超过1200元 其中1200元部分八折优惠， 超过1200元的部分打七折优惠 在商场优惠促销活动期间，若小华一次性购买商品实际付款1044元，求小华所购商品优惠前的总金额为多少元？ 14．（24-25七年级上·吉林长春·期中）如图1，在长方形中，．点P从点B出发，以的速度沿方向运动到点C停止，点Q从点C出发，以的速度沿方向运动到点C停止，连接、；若P、Q两点同时出发，设点P的运动时间为t秒，的面积为．    (1)当时，_________；当时，_________． (2)当点P和点Q相遇时，求t的值． (3)当时，用含t的代数式表示S． (4)如图2，在点P和点Q不重合的情况下，连接，当以A、P、Q、D为顶点的四边形的面积是长方形的面积的时，直接写出t的值． 15．（24-25七年级上·吉林·期中）如图，已知A、B、C是数轴上三点，点O为原点，点C表示的数为8，，． (1)直接写出数轴上点A 表示的数为_____，点B表示的数为_____； (2)动点P、Q分别从A、C同时出发，沿数轴向右匀速运动，点P的速度是每秒6个单位长度，点Q的速度是每秒4个单位长度，设运动时间为秒．则 ①______， ______（用含t的式子表示）； ②当P、Q两点到原点的距离相等时，t的值为______； (3)在（2）的条件下，若点M为的中点，点N在线段上，且． ①在数轴上点M表示的数为______，点N表示的数为______；（用含t的式子表示） ②当M、B、N，三个点中的其中一个点是另两点构成的线段的中点的时候，直接写出t的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 一元一次方程应用的五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、利用一元一次方程解决销售问题 2 类型二、利用一元一次方程解决方案问题 5 类型三、利用一元一次方程解决配套问题 7 类型四、利用一元一次方程解决电费和水费问题 9 类型五、利用一元一次方程解决数轴上的行程问题 12 压轴能力测评（15题） 18 解题知识必备 1. 列方程解应用题的步骤 ①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系 ②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x） ③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系 ④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程 ⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值 ⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 2. 用一元一次方程解决实际问题的常见类型 1.行程问题：路程＝速度×时间 2.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价 4.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量 5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数 6.数字问题：多位数的表示方法：例如： 压轴题型讲练 类型一、利用一元一次方程解决销售问题 例题：（2024·贵州黔东南·一模）年月下旬，我省各地中小学陆续正常开学．开学之际，学生对书包的需求量增加． 市场调研： 某班数学兴趣小组对某商场进行调研后了解到如下信息： 信息一 信息二 商场从厂家购进、两款书包，其中款书包个，款书包个，共付款元，已知每个款书包的进价比每个款书包贵元． 商场将款书包按信息一中的进价提高后标价，实际销售时再打折出售，此时每个款书包仍可获利． 问题解决： (1)每个款书包的进价为 元，每个款书包的进价为 元； 信息应用： (2)在信息二中，款书包实际销售时打多少折出售？ 【答案】(1)60，100； (2)在信息二中，B款书包实际销售时打九折出售 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程利润型问题，根据图标信息建立方程是解题的关键． （1）设每个款书包为元，则款书包为元，利用款书包的总价款书包的总价付款总额列出方程求解即可； （2）设折扣为，根据成本售价折扣，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设每个款书包为元，则款书包为元， 由题意可得：， 解得：， ∴， ∴每个款书包为元，则款书包为元； （2）解：设折扣为 由题意可得： 解得：， ∴打了九折， 答：在信息二中，B款书包实际销售时打九折出售 【变式训练1】（2024七年级下·全国·专题练习）列方程解应用题： 某社区超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的倍多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：（注：获利=售价﹣进价） 甲 乙 进价（元/件） 22 30 售价（元/件） 29 40 (1)该超市第一次购进的甲、乙两种商品分别为多少件？ (2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲种商品的件数不变，乙种商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品打折销售．第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多180元，求第二次乙种商品是按原价打几折销售？ 【答案】(1)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品两种商品分别为150件或90件 (2)第二次乙商品是按原价打8.5折销售 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．正确理解题意得出等量关系是解题的关键. （1）设第一次购进甲种商品x件，则购进乙种商品（）件，根据单价×数量＝总价，即可得出关于x的一元一次方程，解方程即可得到答案； （2）设第二次乙种商品是按原价打y折销售，根据总利润＝单件利润×销售数量，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）设第一次购进甲种商品x件，则购进乙种商品（）件， 根据题意得， 解得， 则， 答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品分别为150件或90件； （2）两种商品全部卖完后可获得利润(元) 设第二次乙种商品是按原价打y折销售， 根据题意得， 解得， 答：第二次乙商品是按原价打折销售． 【变式训练2】（23-24七年级上·云南昭通·阶段练习）某商场销售A、B两种商品，A种商品每件售价60元，利润率为；B种商品每件进价50元，售价80元． (1)A种商品每件进价为____________元，每件B种商品利润率为____________． 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于400元 不优惠 超过400元，但不超过600元 按总售价打9折 超过600元 其中600元部分8折优惠，超过600元的部分打7.5折优惠 (2)在“双11”期间，该商场对所有商品进行如下的优惠促销活动：按上述优惠条件，若小明一次性购买商品实际付款531元，求若没有优惠促销，小明在该商场购买同样商品要付多少元？ 【答案】(1)40；； (2)小明在该商场购买同样商品要付590元或668元． 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是仔细审题，找到等量关系并利用方程思想求解． （1）设种商品每件进价为元，种商品每件售价为60元，利润率为，列方程即可求出的值；根据利润率利润成本，可以求出每件种商品利润率； （2）若没有优惠促销，设小明在该商场购买同样商品要付元，分两种情况讨论：①当打折前一次性购物总金额超过400元，但不超过600元时和②当打折前一次性购物总金额超过600元，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：设种商品每件进价为元， 种商品每件售价为60元，利润率为， 可列方程：， 解得：， 每件种商品利润率， 故答案为：40；． （2）若没有优惠促销，设小明在该商场购买同样商品要付元， 分两种情况讨论： ①当打折前一次性购物总金额超过400元，但不超过600元时， 可列方程：， 解得：， ②当打折前一次性购物总金额超过600元， 可列方程：， 解得：， 答：若没有优惠促销，小明在该商场购买同样商品要付590或668元． 类型二、利用一元一次方程解决方案问题 例题：（2024七年级下·全国·专题练习）友谊商场进行促销活动，出售一种优惠购物卡（注：此卡只作为购物优惠凭证，不能顶替货款），花300元买这种卡后，凭卡可在这家商场按标价的八折购物． (1)顾客购买多少元的商品时，买卡与不买卡花钱相等？讨论在什么情况下购物合算？ (2)小张要买一台标价为3500元的冰箱，应如何购买合算？小张能节省多少元钱？ (3)在（2）的条件下，小张按合算的方案把这台冰箱买下，如果友谊商场还能盈利，则这台冰箱的进价是多少元？ 【答案】(1)当顾客消费少于1500元时，不买卡合算；当顾客消费等于1500元时，买卡与不买卡花钱相等；当顾客消费多于1500元时，买卡合算 (2)小张可以节省400元 (3)这台冰箱的进价是2480元 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】（1）设顾客购买元的商品，根据“买卡与不买卡花钱相等”列出等式，即可求解， （2）根据“”判断，即可求解， （3）设这台冰箱的进价是y元，根据“还能盈利”列式，即可求解， 本题考查了，一元一次方程的应用，解题的关键是：充分理解题意，列出等量关系式． 【详解】（1）解：设顾客购买元的商品，买卡与不买卡花钱相等， 根据题意得：，解得：． ∴当顾客消费少于1500元时，不买卡合算； 当顾客消费等于1500元时，买卡与不买卡花钱相等； 当顾客消费多于1500元时，买卡合算． （2）解：， ∴买卡合算， 则（元）， 答：小张买卡合算，可以节省400元． （3）解：设这台冰箱的进价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：这台冰箱的进价是2480元． 【变式训练1】（23-24七年级上·贵州铜仁·阶段练习）临近2024元旦节，民生超市准备“元旦”大酬宾，对顾客实行优惠购物，规定如下：若顾客一次性购物不超过100元，则不予优惠；若顾客一次性购物超过100元，但不超过300元，则按标价给予九折优惠；若顾客一次性购物超过300元，其中300元按上述给予九折优惠，超过300元的部分给予八折优惠． (1)小强在该超市购买了一台标价为450元的学习机，他应付多少元？ (2)小强的妈妈先后两次去该超市购物，分别付款99和354元，如果小强的妈妈一次性购买，只需要付款多少元？ 【答案】(1)元 (2)元或元 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用问题以及有理数的混合运算： （1）根据题意列出算式计算即可； （2）分两种情况，一种是不享受优惠，一种是享受优惠，分别计算两种情况下的费用之和即可； 设未知数列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得：（元）， ∴他应付元； （2）解：∵小强的妈妈先后两次去该超市购物，分别付款99和354元， ∴有两种情况： 第一次付款99元没有享受优惠，即没有打折，第二次享受优惠， ∴设第二次实际购物的钱数为x元， 则， 解得：， ∴小强的妈妈先后两次去该超市购物的钱数为元， ∴一次性购买后需付款元； 第一次付款99元有享受优惠，即打九折， 那么第一次世纪购物的钱数为元， 由①可知第二次也享受优惠，实际付款数为元， ∴小强的妈妈先后两次去该超市购物的钱数为元， ∴一次性购买后需付款元 答：如果小强的妈妈一次性购买，只需要付款元或元． 【变式训练2】（23-24七年级上·贵州铜仁·期末）印江县为了响应国家乡村振兴战略，大力扶持各乡镇茶叶产业，茶叶产业成为了印江县财政的重要收入来源．今年国庆期间某茶叶公司为了宣传本公司的产品，准备印制一批宣传材料．甲广告公司收费方式：每份材料收元印制费，另收元设计费；乙广告公司收费方式：每份材料收元印制费，不收设计费．该茶叶公司准备印制份宣传材料． (1)若选择甲广告公司，则需付款______元；（用含的代数式表示） 若选择乙广告公司，则需付款______元．（用含的代数式表示） (2)当取何值时，两广告公司收费一样？ (3)当时，通过计算说明此时选哪家广告公司收费更少？ 【答案】(1)，； (2)； (3)选甲广告公司收费更少． 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值、方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】（）根据题意，列出代数式即可； （）解方程即可求解； （）把代入计算即可判断求解； 本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，代数式求值，根据题意，正确列出代数式是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，选择甲广告公司需付款元， 选择乙广告公司需付款元， 故答案为：，； （2）解：当两广告公司收费一样时， 则， 解得， ∴当时，两广告公司收费一样； （3）解：当时， 需向甲广告公司支付元， 需向乙广告公司支付元， ∵， ∴选甲广告公司收费更少． 类型三、利用一元一次方程解决配套问题 例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某车间有27个工人生产甲、乙两种零件，每3个甲种零件与2个乙种零件配成一套，已知每个工人每天能加工甲种零件12个或乙种零件16个，为使每天生产的两种零件配套，则生产甲、乙零件的工人数各多少人？ 【答案】应分配18人生产甲种零件，9人生产乙种零件才能使每天生产的甲种零件和乙种零件刚好配套． 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．关键是设出生产甲和乙的人数，以配套的比例列方程求解．设应分配人生产甲种零件，人生产乙种零件才能使每天生产的甲种零件和乙种零件刚好配套，根据每人每天平均能生产甲种零件12个或乙种零件16个，可列方程求解． 【详解】解：设应分配人生产甲种零件，则应分配人生产甲种零件，由题意得： ， 解得， （人． 答：应分配18人生产甲种零件，9人生产乙种零件才能使每天生产的甲种零件和乙种零件刚好配套． 【变式训练1】（22-23八年级下·重庆潼南·期中）2023年，中国潼南油菜花节期间，潼南一特产礼盒套装销售火暴，其中，一个礼盒里有两袋双江花生米和一个黄桃罐头．生产车间里，一个工人一天可做150袋花生米，或者100个罐头．现有70个工人全部上岗，分配多少人做花生米，多少人做罐头，才使生产出来的产品刚好全部包装才礼盒套装？ 【答案】分配人生产花生米，人生产罐头，刚好成套装 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设分配x人生产花生米，则分配人做罐头，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：设分配x人生产花生米，则分配人做罐头， 由题意得：， 解得：， ． 答：分配人生产花生米，人生产罐头，刚好成套装． 【变式训练2】（23-24七年级上·湖南长沙·期末）列一元一次方程解下列应用题： (1)某公司有80个工人，生产甲、乙两种零件，每人每天平均能生产甲种零件24个或乙种零件12个．已知每2个甲种零件和3个乙种零件配成一套，问应分配多少人生产甲种零件，多少人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套？ (2)甲乙零件配套后的某产品由A商家销售，A商家将产品定价为每套900元，为了参与市场竞争，A商家按定价的9折再让利40元销售，此时仍可获利，则此产品每套进价是多少元？ 【答案】(1)：应分配20人生产甲种零件，60人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套 (2)此产品每套进价是700元 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用)、销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用； （1）应分配x人生产甲种零件，则分配人生产乙种零件，根据每人每天平均能生产甲种零件24个或乙种零件12个．已知每2个甲种零件和3个乙种零件配成一套列出方程求解即可； （2）设此产品每套进价是m元，根据利润打折后的售价进价列出方程求解即可． 【详解】（1）解：应分配x人生产甲种零件，则分配人生产乙种零件， 由题意得，， 解得， ∴， 答：应分配20人生产甲种零件，60人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套； （2）解：设此产品每套进价是m元， 由题意得，， 解得， 答：此产品每套进价是700元． 类型四、利用一元一次方程解决电费和水费问题 例题：（24-25七年级上·上海宝山·期中）2015年上海出租车收费标准作了新的调整，起步价调整为14元（0到3公里）；超过3公里并且不超过15公里时，超出的部分每公里2.5元；超过15公里时，超出的部分每公里3.6元． (1)小丽打车去外婆家，如果路程是9公里，那么车费是_________元；如果路程是16公里，那么车费是___________元． (2)小丽打车去外婆家，行程公里，（），那么出租车的费用是多少元？（用含的代数式表示）； (3)如果打车的费用为54.8元，那么小丽去外婆家的路程是多少公里？ 【答案】(1)29，47.6 (2) (3)18 【知识点】列代数式、电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了利用一元一次方程解决实际问题、列代数式等知识； （1）利用支付的车费起步价超过3公里并且不超过15公里的费用超过15公里的费用，代入数据计算即可； （2）利用支付的车费起步价超过3公里并且不超过15公里的费用，列出代数式即可； （3）根据打车的费用为54.8元，建立方程求得答案即可． 【详解】（1）解：路程是9公里，那么车费是：（元）， 路程是16公里，那么车费是：（元）， 故答案为：29，47.6； （2）解：∵， ∴出租车的费用（元）， 答：出租车的费用是元； （3）解：设小丽去外婆家的路程是x公里， ∵当，打车的费用， ∴，则，解得， 答：小丽去外婆家的路程是18公里． 【变式训练1】（24-25七年级上·四川成都·期中）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市民居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 a 超过17吨但不超过30吨的部分 b 超过30吨的部分 （说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量：②水费=自来水费用+污水处理费） 已知小王家2024年7月用水16吨，交水费元．8月份用水25吨，交水费元． (1)求a、b的值． (2)如果小王家9月份用水36吨，求小王家这个月上交水费多少元？ 【答案】(1) (2)上交水费元 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了列代数式的应用—分段计费问题，有理数的运算，理解题意正确列出代数式是关键； （1）当用水16吨时，水费为元，根据水费为，则列式可求得a的值；当用水25吨时，由所求a的值，可计算出基本水费与超过部分水费，等于元减去污水处理费，由此列式计算求得b的值； （2）根据（1）所求a与b的值，直接计算出基本部分水费、超过部分水费、污水处理费，相加即可求解． 【详解】（1）解：当用水16吨时，水费为元，则， 则（元）； 当用水25吨时，17吨水的费用为（元），（元）， 所以， 得：； （2）解：（元）； 答：小王家9月份用水36吨，应上交水费元． 【变式训练2】（23-24七年级下·山东济南·期中）某地政府为鼓励节约用电，采用阶梯式电价计量标准．根据每户居民每月的用电量（用电量均为整数，单位：千瓦·时）分为三档进行收费（第一档：月用电量不高于240千瓦·时．第二档： 月用电量为千瓦·时，第三档： 月用电量超过 400 千瓦·时）．设居民每月应交电费y（元） ，用电量为x（千瓦·时） 用电量（千瓦·时） 收费（元） 不超过 240 千瓦·时 每千瓦·时 元 千瓦·时 每千瓦·时 元 超过 400千瓦·时 超过的部分每千瓦·时 元 (1)①每月用电量不超过240千瓦·时，y= ； ②每月用电量超过 400千瓦·时，y= ． (2)若某户居民用电量为210千瓦·时，则应交电费多少元? (3)若某户居民某月交费210元，则该户居民用电多少千瓦·时? 【答案】(1)①；② (2)（元） (3)本月用电344度 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】(1) ①根据费用=单价乘以用电量，列式计算即可． ②根据费用=单价乘以用电量，列式计算即可． (2)根据(1)求得的结果，讨论x的值，得出的结论． （3）根据当时，最多费用为元；当时，最多费用为元；当时，费用大于元；根据分档计算即可． 本题考查了一元一次方程的生活实际应用，正确理解分档的界点是解题的关键． 【详解】（1）①根据时，每千瓦·时 元， 故， 故答案为：． ②根据时，每千瓦·时 元， 故 ， 故答案为：． （2）根据时，每千瓦·时 元， 故， 由， 故当时， (元)． 答：应交电费元． （3）根据题意，当时，最多费用为元； 当时，最多费用为元； 当时，费用大于元； ∵， ∴用电量满足， 设用电x度，根据题意，得， 解得， 答：本月用电344度． 类型五、利用一元一次方程解决数轴上的行程问题 例题：（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）已知：数轴上点、、对应的数分别为、、，且满足， (1)求数________，________； (2)若动点、分别从、同时出发向右运动，点的速度为3个单位长度/秒；点的速度为个单位长度/秒，求经过多长时间，两点的距离为； (3)在（2）的条件下，若点运动至点处立刻以原速返回，折返至点后停止运动，点运动到点也以原速返回，当点停止运动点随之停止运动．求在整个运动过程中，两点，相遇时的点在数轴上表示的数． 【答案】(1) (2)当或时，，两点的距离为 (3)在整个运动过程中，两点，相遇时的点在数轴上表示的数为或 【知识点】数轴上的动点问题、行程问题(一元一次方程的应用)、用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离 【分析】本题主要考查数轴与动点的关系，两点之间距离的计算，一元一次方程的综合， （1）根据绝对值、偶次幂的非负性即可求解； （2）根据题意，设运动时间为，分别用含的式子表示出点P，Q表示的数，根据点，两点的距离为列方程求解即可； （3）分类讨论：点与点在向右运动时的第一次相遇，点的路程等于点的路程加上，由此列式求解；点到达后返回时与点相遇；点都在返回的过程中相遇；根据行程问题中的数量关系列式求解即可． 【详解】（1）解：已知，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：点表示的有理数是，点表示的有理数的是，点 从向右运动的速度为个单位每秒，点从向右的运动速度为个单位每秒，设运动时间为， ∴点表示的数为，点表示的数为， 当点在点的左边时，， 解得，； 当点在点的右边时，， 解得，； 综上所述，当或时，，两点的距离为； （3）解：点表示的有理数是， ∴，， ∴点从的时间为，从的时间也是，点从的时间为，从的时间为，且， ①点与点在向右运动时的第一次相遇，点的路程等于点的路程加上， ∴， 解得，， 此时表示的数为：； ②点到达后返回时与点相遇， ∴， 解得，， ∵，符合题意， ∴此时表示的数为； ③点都在返回的过程中相遇， 当到的时间为，此时点从表示的数为， ∴当时，假设点相遇， ∴， 解得，，不符合题意，舍去； 综上所述，在整个运动过程中，两点，相遇时的点在数轴上表示的数为或． 【变式训练1】（24-25七年级上·全国·期中）已知，，在数轴上对应的数分别用，表示，且． (1)数轴上点表示的数是__________，点表示的数是__________． (2)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，当点在数轴上且满足时，求点对应的数． (3)若一动点从点出发，以个单位长度/秒速度由向运动，当运动到点时，再立即以同样速度返回，运动到点停止；点从点出发时，另一动点从原点出发，以个单位长度/秒速度向运动，运动到点停止．设点运动时间为秒．当为何值时，点与点之间的距离为个单位长度． 【答案】(1)； (2)或 (3)秒或秒或秒或秒 【知识点】数轴上的动点问题、行程问题(一元一次方程的应用)、数轴上两点之间的距离、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）根据非负数的性质即可求出、的值； （2）分点在线段上和线段的延长线上两种情况讨论即可求解； （3）根据“路程速度时间”可得，若点从到运动，则点表示的数为；若点从到运动，则点表示的数为，点表示的数为，分两种情况：①当时，分点在点的左边和点在点的右边；②当t时，分点在点的左边和点在点的右边，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得：，， ∴数轴上点表示的数是，点表示的数是， 故答案为：；； （2）解：设数轴上点表示的数为， ∵， ∴，即， 若点在点的左边，则，不符合题意， ∴点在线段上和线段的延长线上， 当点在线段上时， 得：， 解得：； 当点在线段的延长线上时， 得：， 解得：； 综上所述，点对应的数为或； （3）解：∵动点从点出发，以个单位长度/秒速度由向运动，当运动到点时，再立即以同样速度返回，运动到点停止；点从点出发时，另一动点从原点出发，以个单位长度/秒速度向运动，运动到点停止， ∴点从点到点的运动时间为秒、从点到点的运动时间为秒，点从点到点的运动时间为秒， ∴点从到运动，则点表示的数为；点从到运动，则点表示的数为，点表示的数为， ①当时，即点从到运动， 若点在点左侧，则， 解得：； 若点在点右侧，则， 解得：； ②当t时，即点从到运动， 若点在点右侧，则， 解得：； 若点在点左侧，则， 解得：； 综上所述，当为秒或秒或秒或秒时，点与点之间的距离为个单位长度． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用、偶次方及绝对值的非负性、数轴以及列代数式，运用分类讨论思想、方程思想及数形结合思想是解题的关键． 【变式训练2】（24-25七年级上·广东广州·期中）如图，点，均在数轴上，点所对应的数是，点在点的右边，且距点个单位长度，点、是数轴上两个动点． (1)求出点所对应的数； (2)当点到点，的距离之和是个单位长度时，求出此时点所对应的数； (3)若点、分别从点，出发，均沿数轴向左运动，点每秒运动个单位长度，点每秒运动个单位长度，若点先出发秒后点出发，当、两点相距个单位长度时，求此时点、分别对应的数； (4)若点、分别同时从点，出发，均沿数轴相向运动，运动时间为，点保持每秒运动个单位长度，点保持每秒运动个单位长度，点到立即折返，点到立即折返，并且当点或点其中一个点回到起点时停止运动，直接写出、距离为时的值． 【答案】(1) (2)或 (3)点，对应的数分别为，或， (4)秒或秒或秒或秒 【知识点】数轴上的动点问题、几何问题(一元一次方程的应用)、用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查一元一次方程的应用，两点间的距离和数轴， （1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）因为，因此点不可能在点、之间，所以分两种情况进行解答，即点在点的左侧，在点的右侧，设未知数，利用数轴上两点距离的计算方法列方程求解即可； （3）设移动的时间为，用含有的代数式表示移动后点、所表示的数，再根据两点距离计算方法列方程求出时间t，最后再计算所表示的数； （4）分，，，，五种情况进行讨论求解即可； 解题的关键是熟练掌握数轴及“分类讨论”的数学思想． 【详解】（1）解：∵点所对应的数是，点在点的右边， ∴， ∴点所对应的数是； （2）∵， ∴点不可能在点、之间， 当点在点的左侧时，设点所表示的数为， 则，， 由得：， 解得：； 当点在点的右侧时，设点所表示的数为， 则，， 由得：， 解得：， ∴当点到点，的距离之和是个单位时，点所对应的数是或； （3）点从点向左移动后所对应的数为：， 设点移动的时间为，则点所对应的数为，点所对应的数为， ①当点在点的右侧时， 得：， 解得：， 此时点所表示的数为：，点所表示的数为：； ②当点在点的左侧时， 得：， 解得：， 此时点所表示的数为：，点所表示的数为：； 答：当，两点相距个单位长度时，点，对应的数分别为，或，； （4）∵点到达点所需时间为：， ∴点到立即折返至起点的时间为； ∵点到达点所需时间为：， ∴点到立即折返至起点的时间为， 又∵，两点第一次相遇所需时间为：， 当点到达点时，点表示的数为：，点P和点Q第二次相遇所需时间为：， ①，两点第一次相遇前，相距个单位长度，即当时： 得：， 解得：； ②，两点第一次相遇后，相距个单位长度，即当时， 得：， 解得：； ③点从点返回，点未到点时，即， ，不符合题意； ④点从点返回，点从点返回，第二次相遇前，相距个单位长度，即当时， 得：， 解得：； ⑤，两点第一次相遇后，相距个单位长度，即当时， 得：， 解得：； 综上所述，点、距离为时的值为秒或秒或秒或秒． 压轴能力测评（15题） 一、单选题 1．（24-25七年级上·浙江·开学考试）一双鞋子，如果卖169元可赚；如果卖104元，就要亏（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设该鞋子的成本为x元，利用利润=售价-进价，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：设该鞋子的成本为x元， 根据题意得：， 解得：， ∴， ∴如果卖104元，就要亏． 故选：A． 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某茶具生产车间共有22名工人，每人每天可生产30个茶壶或者100只茶杯，一个茶壶与4只茶杯配套．为使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套，需要有_________名工人生产茶壶（    ） A．8 B．14 C．10 D．12 【答案】C 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是建立等量关系．设分配x名工人生产茶壶，则人生产茶杯，由一个茶壶与4只茶杯配套可知茶杯的个数是茶壶个数的4倍从而得出等量关系，就可以列出方程求出即可． 【详解】解：设分配x名工人生产茶壶，则人生产茶杯，根据题意得： ，即， 解得：， 故需要有10名工人生产茶壶， 故选：C． 3．（24-25七年级上·全国·期中）如图，已知两点在数轴上，点表示的数为，，点以每秒个单位长度的速度从点向右运动．点以每秒个单位长度的速度从点向左运动（点、点同时出发）．经过几秒，点、点分别到原点的距离相等？（    ） A．秒 B．秒或者秒 C．秒或秒 D．秒 【答案】B 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、绝对值方程、数轴上的动点问题 【分析】本题考查数轴上点的表示，解一元一次方程，绝对值，结合动点运动情况确定点所表示的数是解题的关键． 由确定点表示的数为，由点、点分别到原点的距离相等，分别表示出，，建立方程求解即可． 【详解】解：∵点表示的数为，， ∴， ∴点表示的数为， 设经过秒，点、点分别到原点的距离相等，则点运动距离为，则点表示的数为，点运动的距离为，点表示的数为， ∴，， 根据题意得：时， 即， ∴或， 解得：或， 即经过秒或秒后，点到原点的距离相等． 故选：B． 二、填空题 4．（2024七年级上·全国·专题练习）某轮船在两个码头之间航行，顺水航行需要，逆水航行需要，水流的速度是．两个码头之间的距离为 ． 【答案】48 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出一元一次方程．设轮船在静水中的速度是，根据码头之间的距离不变列方程即可解得答案． 【详解】解：设静水中轮船的速度为．根据题意， 得， 解得， 则， 故答案为：． 5．（23-24七年级上·甘肃武威·期末）某班全体同学参加义务植树活动，如果每人种6棵树，那么剩余15棵，如果每人种7棵树，那么还差33棵，问这个班共有人，树苗共有 棵． 【答案】303 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是找出合适的等量关系列出方程，再求解．设这个班共有x名同学，根据等量关系：如果每人种6棵树，那么剩余15棵树苗；如果每人种7棵树，那么还差33棵树苗，列出方程求解即可． 【详解】解：设这个班共有x名同学，依题意有 ， 解得， 棵． 故答案为：303． 6．（24-25七年级上·广东珠海·期中）如图已知数轴有A、B两点，分别表示的数为、18．点P沿线段自点A向点B以2个单位/秒的速度运动，点P出发3秒后，点Q沿线段自点B向A以4个单位/秒的速度运动，问再经过 秒P，Q两点相距8个单位长度． 【答案】或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、数轴上两点之间的距离 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，数轴上两点间距离，设再经过x秒P，Q两点相距8个单位长度，分两种情况：两个点相遇前相距8个单位长度，两个点相遇后相距8个单位长度，分别列出方程，解方程即可． 【详解】解：根据题意可知：，点P出发3秒后运动的路程为：， 设再经过x秒P，Q两点相距8个单位长度， 两个点相遇前相距8个单位长度，则， 解得：； 两个点相遇后相距8个单位长度，则， 解得：； 综上分析可知：再经过秒或秒P，Q两点相距8个单位长度． 故答案为：或． 三、解答题 7．（2024七年级上·全国·专题练习）甲站和乙站相距，一列慢车从甲站开出，速度为，一列快车从乙站开出，速度为． (1)若两车相向而行，慢车先开，快车开出多少小时后两车相遇？ (2)若两车同时开出，相背而行，多少小时后两车相距？ (3)若两车同时开出，快车在慢车后面同向而行，多少小时后两车相距（快车在慢车的后面）？ 【答案】(1)快车开出后两车相遇 (2)后两车相距 (3)后两车相距 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据每一问的速度和路程列出关于时间的方程式并求解是解题的关键． （1）设快车开出后两车相遇，根据两车行驶路程和为，列出方程式即可解题； （2）设后两车相距，两车行驶路程和再加上甲站和乙站的距离为，列出方程式即可解题； （3）设后两车相距，根据快车所走的路程比慢车所走的路程多，即可列出方程式，即可解题． 【详解】（1）解：设快车开出后两车相遇． ． 由题意，得， 解得． 答：快车开出后两车相遇． （2）解：设后两车相距． 由题意，得， 解得． 答：后两车相距． （3）解：设后两车相距． 由题意，得， 解得． 答：后两车相距． 8．（23-24七年级上·湖北襄阳·阶段练习）中国瓷器对世界文明的影响丝毫不亚于中国的四大发明．那些制作精美的瓷器更是成了西方人眼中的“神器”，以至于他们就用瓷器（China）来称呼中国．某瓷器厂共有120名工人，每名工人一天能做200只茶杯或50只茶壶．如果8只茶杯和1只茶壶为一套． (1)应安排多少人生产茶杯，可以使每天生产的茶具配套？ (2)按（1）中的安排，每天可以生产多少套茶具？ 【答案】(1)应安排80人生产茶杯，可使每天生产的茶具配套 (2)每天可以生产套茶具 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用； （1）设安排x人生产茶杯，则人生产茶壶，根据“每名工人一天能做200只茶杯或50只茶壶，8只茶杯和1只茶壶为一套”列方程求解即可； （2）求出按（1）中的安排生产的茶壶数量即可得到答案． 【详解】（1）解：设安排x人生产茶杯，则人生产茶壶， 根据题意，得， 解得， 答：应安排80人生产茶杯，可使每天生产的茶具配套； （2）由（1）知：（套）， 答：每天可以生产套茶具． 9．（23-24七年级下·山东济南·阶段练习）某城市为了加强公民的节气和用气意识，按以下规定收取每月煤气费：所用煤气如果不超过50立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过50立方米，超过部分按每立方米1.2元收费．设小丽家每月用气量为立方米，应交煤气费为元． (1)分别写出煤气不超过50立方米和超过50立方米时，与之间的关系式； (2)若小丽家4月份的煤气费为88元，那么她家4月份所用煤气为多少立方米？ (3)已知小丽家6月份的煤气费平均每立方米0.95元，那么6月份小丽家用了多少立方米的煤气？ 【答案】(1)当时，；当时，； (2)小丽家4月份用煤气90立方米 (3)6月份小丽家用了80立方米的煤气 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用)、列代数式 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用： （1）根据题意计算即可； （2）设小丽家4月份所用煤气量为x立方米，先判断x是否大于50，然后代入对应的关系式中求值即可； （3）设6月份小丽家用了a立方米的煤气，先判断a是否大于50，然后根据题意列方程，并解方程即可； 【详解】（1）解：当时，； 当时，； （2）解：设小丽家4月份用煤气立方米， （元），而88元＞40元， 根据题意得：， 解得：， 答：小丽家4月份用煤气90立方米； （3）解：设6月份小丽家用了立方米的煤气， 根据题意得：， 解得：， 答：6月份小丽家用了80立方米的煤气． 10．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）“水是生命之源”，市自来水公司为鼓励用户节约用水，按以下规定收取水费： 用水量/月 单价（元/吨） 不超过吨的部分 超过吨但不超过吨的部分 超过吨的部分 注意：另外每吨用水加收元的城市污水处理费． 例如某用户2月份用水吨，共需交纳水费元． (1)若小明家2月份用水吨，共需交纳水费多少元？ (2)若小明家2月份共交纳水费元，那么小明家2月份用水多少吨？ (3)若小强和小明家2月份一共用水吨，共交纳水费元，其中小强家用水量少于吨，小明家用水量少于吨，那么小强和小明家2月份各用水多少吨？ 【答案】(1) (2) (3)小强和小明家2月份各用水和吨 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用)、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，一元一次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键． （1）由题意知，小明家2月份共需交纳水费，计算求解即可； （2）由题意知，当用水吨，共需交纳水费（元），由，可知小明家2月份用水超过吨但不超过吨，设小明家2月份用水吨，依题意得，，计算求解即可； （3）设小强家2月份用水吨，则小明家2月份用水吨，依题意得，，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，小明家2月份共需交纳水费（元）， ∴共需交纳水费元； （2）解：当用水吨，共需交纳水费（元）， ∵， ∴小明家2月份用水超过吨但不超过吨， 设小明家2月份用水吨， 依题意得，， 解得，， ∴小明家2月份用水吨； （3）解：设小强家2月份用水吨，则小明家2月份用水吨， 依题意得，， 解得，， ∴， ∴小强和小明家2月份各用水和吨． 11．（23-24七年级下·全国·课后作业）某超市计划购进甲、乙两种型号的节能灯共1200只，这两种节能灯的进货单价、销售单价如下表： 类型 进货单价（元） 销售单价（元） 甲型 25 30 乙型 45 60 (1)如果进货款恰好为46000元，那么可以购进甲型节能灯多少只？ (2)超市为庆祝元旦，进行大促销活动，决定对乙型节能灯打折销售，要求全部售完后，乙型节能灯的利润率为，请问乙型节能灯需打几折？ 【答案】(1)400只 (2)九折 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程． （1）设商场购进甲型节能灯x只，则购进乙型节能灯只，根据甲乙两种灯的总进价为46000元列出一元一次方程，解方程即可； （2）设乙型节能灯需打a折，根据利润售价进价，列出a的一元一次方程，求出a的值即可． 【详解】（1）解：设商场购进甲型节能灯x只，则购进乙型节能灯只． 由题意，得， 解得． 答：可以购进甲型节能灯400只； （2）解：设乙型节能灯需打a折， 则， 解得． 答：乙型节能灯需打九折． 12．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）徐州宣武批发市场内，某商品的价格按如下优惠：购买不超过300件时，每件3元；超过300件但不超过500件时，每件2.5元；超过500件时，每件2元．某客户欲采购这种商品700件． (1)现有两种购买方案： ①分两次购买，第一次购买100件，第二次购买500件； ②一次性购买600件．按哪种方案购买更省钱？说明理由． (2)若该客户分两次购买该商品共700件（第一次购买不超过300件），共付费1860元，求第一次和第二次分别购买该商品多少件？ 【答案】(1)购买方案②费用较省，理由见解析 (2)第一次购买该商品220件，第二次购买该商品480件 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用)、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查一元一次方程的应用．能读懂题意，根据题中的费用计算方式，分情况讨论是解题关键． （1）依据费用计算方式，分别计算两种方案的费用，比较即可； （2）设第一次购买该商品x件，则第二次购买该商品件． 分当时，当时，两种情况讨论，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：购买方案②费用较省，理由如下： 购买方案①所需费用为（元）， 购买方案②所需费用为（元）． ∵， ∴购买方案②费用较省． （2）设第一次购买该商品x件，则第二次购买该商品件． ①当时，， 解得：， ∵， ∴不合题意，舍去； ②时，， 解得：， ∴． 答：第一次购买该商品220件，第二次购买该商品480件． 13．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）苏州市某商场经销的、两种商品，种商品每件进价80元，售价100元；种商品每件的售价为60元，利润率为（）． (1)每件种商品的利润率为______；种商品每件的进价为______元； (2)若该商场同时购进、两种商品共40件，总进价恰好为2200元，求购进种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场对所有商品进行如下的优惠促销活动： 优惠前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于900元 不优惠 超过900元，但不超过1200元 按总售价打九折优惠 超过1200元 其中1200元部分八折优惠， 超过1200元的部分打七折优惠 在商场优惠促销活动期间，若小华一次性购买商品实际付款1044元，求小华所购商品优惠前的总金额为多少元？ 【答案】(1)； (2)件 (3)元或元 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用； （1）根据利润率的计算方法列式求解即可； （2）设购进种商品x件，则购进B种商品件，根据恰好总进价为2200元列方程求解即可； （3）设小华在该商场原购物总金额为元，分两种情况：①原购物总金额超过元，但不超过元时，②原购物总金额超过元时，分别根据实际付款1044元列方程求解即可． 【详解】（1）解：每件种商品利润率为，每件种商品进价为（元）， 故答案为：；； （2）设购进种商品x件，则购进B种商品件， 由题意得：， 解得：， 答：购进种商品件； （3）设小华在该商场原购物总金额为元， ①原购物总金额超过元，但不超过元时， 由题意得：， 解得：； ②原购物总金额超过元时， 由题意得：， 解得：， 答：小华在该商场原购物总金额为元或元． 14．（24-25七年级上·吉林长春·期中）如图1，在长方形中，．点P从点B出发，以的速度沿方向运动到点C停止，点Q从点C出发，以的速度沿方向运动到点C停止，连接、；若P、Q两点同时出发，设点P的运动时间为t秒，的面积为．    (1)当时，_________；当时，_________． (2)当点P和点Q相遇时，求t的值． (3)当时，用含t的代数式表示S． (4)如图2，在点P和点Q不重合的情况下，连接，当以A、P、Q、D为顶点的四边形的面积是长方形的面积的时，直接写出t的值． 【答案】(1)； (2) (3) (4)或或 【知识点】列代数式、几何问题(一元一次方程的应用)、有理数四则混合运算、行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）先根据和求出，，再求出的值即可； （2）根据P、Q的运动速度求出t的值即可； （3）分两种情况进行讨论：当，即、Q相遇前，当，即、Q相遇后，点Q到达点B前，根据三角形面积公式求出结果即可； （4）分三种情况讨论：当，即、Q相遇前，当，即、Q相遇后，当，点Q从点B向点C运动的过程中，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：当时，，， ∴， 当时，，， ∴． （2）解：， 解得：， 即当点P和点Q相遇时，t的值为． （3）解：当，即、Q相遇前， ， ∴； 当，即、Q相遇后，点Q到达点B前， ， ∴； 综上分析可知：． （4）解：四边形的面积为， ∴以A、P、Q、D为顶点的四边形的面积是：， 当，即、Q相遇前， ， 则， 解得：； 当，即、Q相遇后，点Q到达点B前， ， 则， 解得：； 当，点Q从点B向点C运动的过程中， ， 则， 解得：； 综上分析可知：当或或时，以A、P、Q、D为顶点的四边形的面积是长方形的面积的． 【点睛】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，有理数混合运算的应用，方程思想与分类讨论是解题的关键． 15．（24-25七年级上·吉林·期中）如图，已知A、B、C是数轴上三点，点O为原点，点C表示的数为8，，． (1)直接写出数轴上点A 表示的数为_____，点B表示的数为_____； (2)动点P、Q分别从A、C同时出发，沿数轴向右匀速运动，点P的速度是每秒6个单位长度，点Q的速度是每秒4个单位长度，设运动时间为秒．则 ①______， ______（用含t的式子表示）； ②当P、Q两点到原点的距离相等时，t的值为______； (3)在（2）的条件下，若点M为的中点，点N在线段上，且． ①在数轴上点M表示的数为______，点N表示的数为______；（用含t的式子表示） ②当M、B、N，三个点中的其中一个点是另两点构成的线段的中点的时候，直接写出t的值． 【答案】(1)，3； (2)①，②9或； (3)①，②或或． 【知识点】列代数式、数轴上两点之间的距离、几何问题(一元一次方程的应用)、数轴上的动点问题 【分析】（1）根据点C表示的数为8，，，列式计算，即可作答． （2）①结合动点P、Q的速度和起点位置，分别得出，即可作答． ②因为P、Q两点到原点的距离相等，所以列式，然后化简计算，即可作答． （3）①结合点M为的中点，点N在线段上，且．所以在数轴上点M表示的数为，点N表示的数为，即可作答． ②进行分类讨论，分别是当是的中点；当M是的中点；当N是的中点，逐个情况进行列式，化简计算即可作答． 【详解】（1）解：∵点C表示的数为8，，． ∴结合数轴， ∴数轴上点A 表示的数为，点B表示的数为3， 故答案为：，3； （2）解：①∵动点P、Q分别从A、C同时出发，沿数轴向右匀速运动，点P的速度是每秒6个单位长度，点Q的速度是每秒4个单位长度，设运动时间为秒， ∴， ②∵P、Q两点到原点的距离相等， ∴， 则， ∴或 则或 t的值为9或 故答案为：，9或； （3）解：①∵点M为的中点， ∴， 即点M表示的数为； ∵，， ∴， ∵点N在线段上， ∴点N表示的数为； 故答案为：，； ②当是的中点时， 即 ∴ 解得； 当M是的中点时， 即 ∴ 解得； 当N是的中点时， 即 ∴ 解得； 综上：满足题意的的值为或或． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴上的动点问题，列代数式表达式，数轴两点间的距离，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$